第二十五章 一元二次方程专题03配方法的应用 训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以配方法为核心，构建从基础变形到综合应用的完整训练体系，覆盖代数变形、大小比较、最值求解及几何实际问题，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础变形|4题|方程配方化为顶点式|从完全平方公式到一元二次方程变形，夯实配方法基础| |大小比较|8题|作差后单/双配方，利用非负性判断|结合作差法，拓展配方法在代数式比较中的应用| |最值求解|12题|单/双变量配方、消元后配方求最值|从单变量到多变量，深化非负性在最值问题中的应用| |综合应用|14题|配方判断三角形形状、证明恒成立、解决新定义与实际问题|融合几何、代数综合及实际情境，提升知识迁移与应用意识|

专题03 配方法的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 利用配方法求值】 1．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 2．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 3．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 4．用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 【题型2 单配方比较大小】 5．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 6．我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 7．根据等式和不等式的性质，可以得到：若，则 ；若，则b；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小． (1)若 则 （填“>”“=”或“<”）． (2)已知 ，试比较A，B的大小． 8．阅读下列材料，并完成问题： 阅读材料: 比较代数式与的大小. 解: 因为且,则 所以,所以 问题:令,；请仿照上述过程：比较与的大小. 【题型3 双配方比较大小】 9.已知，，则，的大小关系是________． 10.已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 11.若，，则A、B的大小关系为（　　） A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B 12.已知a、b满足x＝a2+b2+21，y＝4（2b﹣a），则x、y的大小关系是（　　） A．x≤y B．x≥y C．x＞y D．x＜y 【题型4 单变量单配方求最值】 13．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 14．用配方法说明代数式的值总大于的值． 15．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 16．阅读下面的例题： 求代数式的最小值． 解：． ，， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． 【题型5 双变量双配方求最值】 17．若代数式有最小值，则最小值是_______． 18．代数式的最小值是 _____． 19．已知代数式，当x=____，y=_____时，代数式的值最小，最小值为______． 20．如果多项式，则的最小值是__________． 【题型6 双变量先消元再配方求最值】 21．若实数x，y满足条件2x2﹣6x＋y2＝0，则x2＋y2＋2x的最大值是____． 22．已知实数x，y满足，则代数式的最大值为______． 23．若实数x，y满足关系式，则的最大值为______． 24．实数，满足是实数，则的最小值是________． 【题型7 利用配方法判断三角形形状】 25．已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的唯一最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 26．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最大值． (2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程) (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 27．先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 28．阅读材料： 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值．例如： 材料一： 材料二： 的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)依照阅读材料的方法分解因式：； (2)已知a、b、c是的三边长，且满足，求的周长； (3)已知实数a、b满足，求的最值． 【题型8 利用配方法解决恒成立问题】 29．不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 30．在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 31．求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 32．已知代数式， (1)用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 33．利用完全平方公式可以将多项式（）变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式，能对一些多项式进行分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题，或求代数式的最大值、最小值等． 例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)用配方法将多项式化成的形式． (2)求证：不论，取任何实数，多项式的值总为正数． 【题型9 利用配方法解决新定义问题】 34．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 35．[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是 ． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【题型10 利用配方法解决实际问题】 36．阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． (3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 37．阅读下面材料，并完成相应的任务． 【材料】因为，所以，即有最小值，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以，即有最大值，只有当时，才能得到这个式子的最大值． 【材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法也叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以解一元二次方程，也可以求代数式的最大值或最小值． 【材料】数学课上，吴老师在求代数式的最大值时，对式子作如下变形：．因为，，当时，多项式有最大值，最大值为． 通过阅读，解决下列问题： (1)【直接应用】对于代数式，当________时，代数式的最小值为________； (2)【类比应用】若多项式，试求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个矩形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），问围成的菜地的面积能否是，如果能，求出矩形菜地的长与宽；如果不能，说明理由． 38．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 配方法的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 利用配方法求值】 1．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】14 【分析】先移项将常数项移到等号右侧，再对左侧配方，对比形式即可得到的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴． 2．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 3．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 4．用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 【答案】 【分析】将的两边分别平方整理后得到，然后比较求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 【题型2 单配方比较大小】 5．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)2；1； (2)．理由如下： ， ． ， 即， ． 【分析】（1）根据差值比较法比较两式大小即可； （2）求出，据此得出结论即可； 【详解】（1）解：设， 则． 所以，； （2）略 7．根据等式和不等式的性质，可以得到：若，则 ；若，则b；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小． (1)若 则 （填“>”“=”或“<”）． (2)已知 ，试比较A，B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了不等式的性质，整式的加减运算，注意比较两个数大小的方法：若，则；若，则；若，则，另外也考查了非负数的性质． （1）把原式化为，再移项即可得到答案； （2）利用作差法计算，再利用非负数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 8．阅读下列材料，并完成问题： 阅读材料: 比较代数式与的大小. 解: 因为且,则 所以,所以 问题:令,；请仿照上述过程：比较与的大小. 【答案】A＞2B 【分析】根据题意利用作差法比较两式子的大小即可． 【详解】解：因为 = = =， 因为，则＞0， 所以＞0，所以A＞2B． 【点睛】本题考查不等式的性质和偶次方的非负性，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型3 双配方比较大小】 9.已知，，则，的大小关系是________． 10.已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 11.若，，则A、B的大小关系为（　　） A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B 12.已知a、b满足x＝a2+b2+21，y＝4（2b﹣a），则x、y的大小关系是（　　） A．x≤y B．x≥y C．x＞y D．x＜y 【题型4 单变量单配方求最值】 13．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用完全平方公式对二次代数式配方，再根据平方数的非负性即可求出最小值． 【详解】解：∵ ， 又∵ 对任意实数都有， ∴ 当 时，代数式取得最小值，最小值为． 14．用配方法说明代数式的值总大于的值． 【答案】见解析. 【分析】直接两式做减法，得到，配方之后得到，利用非负数性质这个值永远都大于2，所以得证 【详解】因为 所以代数式的值总大于的值． 【点睛】本题考查配方法的应用，掌握配方法的步骤和非负数的性质是解题关键 15．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 【答案】无论取何实数，二次三项式有最大值23 【分析】将配方成，然后结合平方的非负性求解即可． 【详解】解： ， 无论取何实数，总有， ， ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23． 16．阅读下面的例题： 求代数式的最小值． 解：． ，， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． 【答案】(1)2 (2)有最大值，最大值为12 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）利用例题的解题思路，通过配方进行计算即可解答； （2）先提取负号，然后按照例题的解题思路将其配方，得到，再利用非负数的性质即可求出最大值． 【详解】（1）解：． ， ， 的最小值是2． （2）． ， ， 有最大值，最大值为． 【题型5 双变量双配方求最值】 17．若代数式有最小值，则最小值是_______． 【答案】-10 【分析】将原式变形为，然后分组进行变形进一步即可得出答案. 【详解】 = =. ∴当，时原代数式有最小值，并且最小值为. 所以答案为. 【点睛】本题主要考查了完全平方式的实际运用，熟练掌握相关公式是解题关键. 18．代数式的最小值是 _____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和非负数性质的应用能力，通过将原式变形为，再运用非负数的性质进行求解，关键是能对原式进行准确变形配方． 【详解】解： ， 故答案为：． 19．已知代数式，当x=____，y=_____时，代数式的值最小，最小值为______． 【答案】 1 -2 6 【分析】通过配方法将原式配成完全平方形式，再根据完全平方的非负性即可求解． 【详解】原式 ， ， ∵，， ∴原式⩾6，当x=1，y=−2时，有最小值是6． 故答案为：1，-2，6． 【点睛】此题考查了配方法求最值，原式可化为两个完全平方式和一个常数和的形式．利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值，熟练掌握配方法是解题的关键． 20．如果多项式，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】根据题意直接利用完全平方公式将原式变形，进而分析计算即可求出答案． 【详解】解： 当x=1，y=1时，P有最小值，最小值是：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查配方法的应用，根据题意正确应用完全平方公式是解题的关键． 【题型6 双变量先消元再配方求最值】 21．若实数x，y满足条件2x2﹣6x＋y2＝0，则x2＋y2＋2x的最大值是____． 【答案】15 【分析】先将2x2﹣6x+y2＝0，变形为y2＝﹣2x2+6x，代入所求代数式并化简为x2+y2+2x＝﹣（x﹣4）2+16，利用非负数性质可得x2+y2+2x≤16，再因为y2＝﹣2x2+6x≥0，求得0≤x≤3，即可求解． 【详解】解：∵2x2﹣6x+y2＝0， ∴y2＝﹣2x2+6x， ∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x﹣4）2+16， ∵（x﹣4）2≥0， ∴x2+y2+2x≤16， ∵y2＝﹣2x2+6x≥0， 解得0≤x≤3， 当x＝3时，x2+y2+2x取得最大值为15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法以及完全平方式的非负性是解决本题的关键． 22．已知实数x，y满足，则代数式的最大值为______． 【答案】 【分析】将代入代数式，利用配方法可得，利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， 将代入代数式得： ， ， ， ， 原代数式的最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法的应用、不等式的性质及平方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． 23．若实数x，y满足关系式，则的最大值为______． 【答案】4 【分析】将适当变形得到用含有x的代数式表示的形式，再利用配方法变形后，根据x的取值范围即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ， ∴， 当时，解得：，， ∴要使，必须使， ∴当时的最大值为． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了代数式的极值、配方法等知识点，利用配方法对式子灵活变形是解题的关键． 24．实数，满足是实数，则的最小值是________． 【答案】20 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．把变形为，求出m的最小值，将代入所求式子，根据完全平方公式进行变形，利用偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 即m的最小值为1． ∴ ， 当时， 原式 ∵， 则代数式的最小值是20， 故答案为：20． 【题型7 利用配方法判断三角形形状】 25．已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的唯一最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用． 先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 26．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最大值． (2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程) (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 【答案】(1)有最大值 (2)， ∵， ∴． 由（1）可得， ∴， ∴． (3)这个三角形的周长为17 【分析】本题考查了完全平方公式、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，掌灵活运用完全平方式的非负性求最值是解题关键． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合（1）求解即可； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，确定等腰三角形的三边分别为3、7、7，即可求出周长． 【详解】（1）解：． ∵， ∴， ∴当时，有最大值． （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． ∵a，b是等腰三角形的两边，且， ∴等腰三角形的三边分别为3、7、7， ∴这个等腰三角形的周长为． 27．先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 【答案】(1)，； (2) 解：是等腰三角形，理由， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰三角形． 【分析】本题考查了配方法的应用，等腰三角形定义，掌握完全平方公式、非负数的性质是解题的关键． （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出即可； （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出，根据等腰三角形的概念解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （2）略 28．阅读材料： 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值．例如： 材料一： 材料二： 的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)依照阅读材料的方法分解因式：； (2)已知a、b、c是的三边长，且满足，求的周长； (3)已知实数a、b满足，求的最值． 【答案】(1) (2)12 (3)的最小值4，无最大值 【分析】本题考查了配方法、平方差公式以及完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键． （1）先通过配方法将多项式转化为完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解． （2）通过配方法将等式转化为完全平方和的形式，根据非负性求出三边长度，进而求出周长． （3）先用含的式子表示, 再代入, 通过配方法求最值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 解得， 的周长为； （3）解：， ， ， ， ， ， 有最小值4，无最大值． 【题型8 利用配方法解决恒成立问题】 29．不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键． 利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可． 【详解】解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 30．在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴选项D不可能， 故选：D． 31．求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 【答案】 证明：， 不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数． 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法和完全平方的非负性，进行证明即可． 【详解】略． 32．已知代数式， (1)用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) 证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)当时，代数式的值最小，最小值为1 【分析】本题主要考查了在代数式中配方法的运用，抛物线的最值等知识，熟练掌握配方法的运用是解题关键． （1）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是正数； （2）设代数式的值为y，根据二次函数的图像与性质可求出最值． 【详解】（1）略 （2）解：令， ∴， ∵， ∴函数开口向上，有最小值， ∴当时，最小值为1． 33．利用完全平方公式可以将多项式（）变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式，能对一些多项式进行分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题，或求代数式的最大值、最小值等． 例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)用配方法将多项式化成的形式． (2)求证：不论，取任何实数，多项式的值总为正数． 【答案】(1) ； (2) 证明： ， ∵， ∴， 不论，取任何实数，多项式的值总为正数． 【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方公式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题干的过程，进行模仿配方，即可作答． （2）把整理得，因为，则，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 【题型9 利用配方法解决新定义问题】 34．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完美数的定义变形成，即可得到答案； （2）将根据完全平方公式进行配方即可； （3）将式子化简成，根据“完美数”的定义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 其中只有是两个平方数的和， ； （2）解： ， ， ； （3）解：， 要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则， 解得． 35．[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“雅美数”． (1)[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是 ． (2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为 ； (3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的值． (4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【答案】(1)8，10 (2)6 (3) (4) 解：设，（a、b、c、d为整数）， ∴， ． 又∵a、b、c、d为整数， ∴，均为整数， ∴是“雅美数”． 【分析】本题主要考查了配方法的应用、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键． （1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后比较，即可求得对应系数的值； （3）配方后根据非负数的性质可得x、y的值，再根据“雅美数”的定义列式计算即可； （4）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论即可． 【详解】（1）解：8是“雅美数”，理由：因为； 10是“雅美数”，理由：因为． 故答案为：8，10． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：6． （3）解：， 又∵，， ∴ ∴， ∴． （4）略 【题型10 利用配方法解决实际问题】 36．阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． (3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 【答案】(1)，小， (2)，大， (3)当宽是，高是时，窗户的透光面积最大 【分析】本题考查了配方法的应用及不等式的基本性质，熟练掌握配方法变形二次三项式及不等式的基本性质是解题的关键． （1）利用利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解； （2）先利用配方法将二次三项式变形，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解； （3）窗框的宽度为，则高度为，则，利用配方法变形二次三项式，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 当，即时，代数式有最小值， 故答案为：，小，； （2） ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值， 故答案为：，大，； （3）窗框的宽度为，则高度为， 窗户的透光面积 ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值，即窗户的透光面积最大为， 此时窗框的高为， 答：当宽是，高是时，窗户的透光面积最大． 37．阅读下面材料，并完成相应的任务． 【材料】因为，所以，即有最小值，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以，即有最大值，只有当时，才能得到这个式子的最大值． 【材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法也叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以解一元二次方程，也可以求代数式的最大值或最小值． 【材料】数学课上，吴老师在求代数式的最大值时，对式子作如下变形：．因为，，当时，多项式有最大值，最大值为． 通过阅读，解决下列问题： (1)【直接应用】对于代数式，当________时，代数式的最小值为________； (2)【类比应用】若多项式，试求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个矩形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），问围成的菜地的面积能否是，如果能，求出矩形菜地的长与宽；如果不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)最小值为 (3)解：不能，理由: 设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得：， 当时，有最大值，最大值是， ， 围成的菜地的面积不能为． 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． （1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）对代数式进行变形，， ， ， 当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； （2） ． ，， ∴当，时，有最小值，最小值为； （3）略 38．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【答案】(1)；； (2) (3)8 【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可； （2）把化为，再利用三角形三边关系进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $