28.2（3）相似三角形的性质（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本初中数学讲义聚焦相似三角形的性质，从定义（对应角相等、对应边成比例）出发，系统梳理对应高、中线、角平分线、周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方等核心知识点，通过分点讲解、随学随练、题型分类构建学习支架。 资料亮点在于分层设计，题型涵盖角度计算、线段比例、面积比等，结合实例培养学生的推理能力与模型意识。课中辅助教师系统授课，课后通过基础通关与素养提升练习，帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第二十七章 相似三角形 28.2（3） 相似三角形的性质 课标要点 1. 理解相似三角形对应角相等、对应边成比例的基本性质； 2. 掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比值规律； 3. 能利用性质进行相关的角度、边长、线段、周长、面积计算和证明； 4. 综合运用相似的判定与性质解决问题。 学习重难点 重点： 理解并掌握相似三角形的性质； 难点： 综合运用相似的判定与性质解决问题。 知识点 相似三角形的基本性质 相似三角形的定义本身就是相似三角形的基本性质 定义：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 特别提醒 相似三角形对应边成比例，对应方式有两种 标准格式：（k为相似比） 变形格式：或或 随学随练 1. 如图，，，．求的度数． 知识点 相似三角形的性质定理 定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比以及周长的比都等于相似比。 定理2：相似三角形面积的比等于相似比的平方。 符号语言：（以高为例） ∵△ABC∽△，AD⏊BC，⏊， ∴，，， 特别提醒 面积比等于相似比的平方，而不是等于相似比。 随学随练 1. 如下图，在中，交于点，交于点，且的周长与的周长差是16．求和的周长． 2．如图，与相交于点，，，则______________． 题型相似三角形的基本性质——角度的计算和证明 ▌例1如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． ▌对点练1. 如图，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2. 如图，已知A，C，E三点在一条直线上，，，则的度数是______． ▌对点练3. 如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 题型 相似三角形的基本性质——线段成比例 解题贴士 1. 相似三角形对应线段成比例。 2. 利用相似成比例，把未知量设为x，可用方程思想求未知线段的长度。 ▌例1如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 ▌对点练1. 如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． ▌对点练2. 如图，在中，，是边上的高． (1)直接写出图中所有相似的三角形； (2)求证：； (3)若已知，求的长． ▌对点练3. 如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 题型 相似三角形对应线段的比和周长比 ▌例1已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． ▌对点练1. 已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 ▌对点练2. 中，若，和它相似的一个三角形的最短边是15，则这个三角形的周长是（    ） A．63 B．54 C．45 D．162 ▌对点练3. 一个三角形框架模型的边长分别为，，，工人师傅要利用两根和的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（   ） A． B． C． D． ▌对点练4. 如图，在中，．    (1)求边上的高的长度； (2)正方形的一边在上，另两个顶点E、H分别在边上，求正方形的边长． 题型 相似三角形的面积比 ▌例1 如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． ▌对点练1. 若，且面积比为，则其对应边上的高的比为_______． ▌对点练2. 如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是___________． ▌对点练3. 如图，在和中，，．    (1)求证：． (2)若，，求的长． ▌对点练4. 如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点E，使．，与交于点F． (1)求证：． (2)若F为的中点，的面积为1，求和的面积． 题型 平行四边形、梯形背景下的面积问题 ▌例1 如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的三等分点，连结AE与对角线BD交于点F，则＝____________.解题贴士 1. 等高三角形面积之比等于底边之比； 2.相似三角形面积比等于相似比的平方。 ▌对点练1. 如图，在中，，若，则与四边形的面积比是________． ▌对点练2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是线段AD的中点，连接AC，BE，交于点O，若=1，则=____________． ▌对点练3. 如图，，与交于点E，，连接． (1)若，求； (2)若的面积为m，求的面积．（用含m的代数式表示） ▌对点练4. 如图，梯形中，，交于O点，，则___________ 题型6 平行四边形、梯形背景下的面积问题 ▌例1 如图，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则移动的距离是_______．解题贴士 1. 等高三角形面积之比等于底边之比； 2.相似三角形面积比等于相似比的平方。 ▌对点练1. 如图，在中，，，，为斜边上一点，且，为边上一点，将沿直线翻折得，到，当与的边平行时，的长为_____ ▌对点练2. 如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． ▌对点练3. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图（不要求写出画法，但要保留必要的痕迹） (1)在图①中，过点画直线． (2)在图②中，过点画直线． (3)在图③中，在边上取一点，使得 ▌对点练4. 已知：如图，在四边形中，，，，是上一点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证． 基础通关 1．如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 2．如图，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置O处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部N与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端Q为止．此时，测得小亮眼睛P到地面的距离，小亮到O处的距离，电线杆底部N到O的距离．电线杆的高度的值为（   ） A． B． C． D． 4．如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，那么它们的对应中线之比为_______． 5．两个相似三角形的相似比为，则对应的角平分线之比为______． 6．小明和爸爸都站在平地上，他们的身高分别为和，在某一时刻，小明在太阳下的影子长为，此时，小明爸爸的影子长为______． 7．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法） (1)在图①中，在线段上画出点M，使 (2)在图②中，在线段上画出点N，使 (3)在图③中，在线段上画出点Q，使 8．如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，为的中点，则的长为_______． 9．在平面直角坐标系中，已知，；点从开始沿以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用， (1)用含t的代数式表示：线段______ ；________． (2)当与相似时，求出t的值． 10．某“综合与实践”小组开展测量校园内一棵树高度的实践活动，以下是组和组的测量方案（部分）． 组 组 测量工具 皮尺，小平面镜 皮尺，标杆 测量示意图   说明：在观测者和大树之间的地面上点放一面镜子，使得观测者在镜子中看到大树顶端   说明：阳光下，将标杆立于操场上，测量此时标杆和大树的影长 测量数据 观测者眼睛离地面的高度米，观测者与镜子的水平距离米，镜子与大树的水平距离米 标杆米，标杆影长米，大树影长米 (1)利用组的测量数据，求出大树的高度； (2)利用组的测量数据，直接表示出大树的高度． 素养提升 1．已知，相似比为，那么和的周长比为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，对角线与相交于点，，，以下说法中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 4．如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是和，它们周长的差是，那么这两个三角形的周长分别为____________． 5．已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为_____． 6．如图，中，点、分别在、上，，，则与的面积的比为___________． 7．如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 8．如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 9．（2026·上海金山·一模）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．（2024·上海黄浦·二模）如图，D是边上点，已知，，．    (1)求边的长； (2)如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数． 11.（2026·上海青浦·二模）已知：如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在的延长线上，，的延长线与相交于点，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证：点是边的中点． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 迁移创新 1．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在菱形中，是上一点，联结并延长交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若是的中点，且，求证：． 2．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，点是轴负半轴上一点，且． (1)求点、、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 相似三角形 28.2（3） 相似三角形的性质 课标要点 1. 理解相似三角形对应角相等、对应边成比例的基本性质； 2. 掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比值规律； 3. 能利用性质进行相关的角度、边长、线段、周长、面积计算和证明； 4. 综合运用相似的判定与性质解决问题。 学习重难点 重点： 理解并掌握相似三角形的性质； 难点： 综合运用相似的判定与性质解决问题。 知识点 相似三角形的基本性质 相似三角形的定义本身就是相似三角形的基本性质 定义：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 特别提醒 相似三角形对应边成比例，对应方式有两种 标准格式：（k为相似比） 变形格式：或或 随学随练 1. 如图，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，再根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：，， ， ， ． 知识点 相似三角形的性质定理 定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比以及周长的比都等于相似比。 定理2：相似三角形面积的比等于相似比的平方。 符号语言：（以高为例） ∵△ABC∽△，AD⏊BC，⏊， ∴，，， 特别提醒 面积比等于相似比的平方，而不是等于相似比。 随学随练 1. 如下图，在中，交于点，交于点，且的周长与的周长差是16．求和的周长． 【答案】的周长为，的周长为． 【分析】本题围绕相似三角形的判定与性质展开，利用两边对应成比例且夹角相等判定，由相似三角形周长比等于相似比，设未知数建立方程，求解周长. 【详解】解：，，且相似比为． 设的周长为，则的周长为． 由题意，得，解得． 故的周长为，的周长为． 2．如图，与相交于点，，，则______________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据两边成比例且夹角相等的两三角形相似得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵与相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 题型相似三角形的基本性质——角度的计算和证明 ▌例1如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得到角和边的关系，再通过计算边的比例证明相似； （2）利用（1）的相似结论得到角的关系，进而求出的度数． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ． ▌对点练1. 如图，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2. 如图，已知A，C，E三点在一条直线上，，，则的度数是______． 【答案】60 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理，平角的定义，推出即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵A，C，E三点在一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：60 ▌对点练3. 如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用相似三角形的性质和等腰三角形的性质，三角形的内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 题型 相似三角形的基本性质——线段成比例 解题贴士 1. 相似三角形对应线段成比例。 2. 利用相似成比例，把未知量设为x，可用方程思想求未知线段的长度。 ▌例1如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． ▌对点练1. 如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， 即， 解得． ▌对点练2. 如图，在中，，是边上的高． (1)直接写出图中所有相似的三角形； (2)求证：； (3)若已知，求的长． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， ∴； (3)4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）根据相似三角形的判定定理解答即可； （2）根据，即可求证； （3）根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴，即， 解得：． ▌对点练3. 如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，G为的中点，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，由，，所以，则，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”得到结论； （2）由，G为的中点，得，而，由相似三角形的性质得，求出长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 题型 相似三角形对应线段的比和周长比 ▌例1已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 【答案】 【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设矩形的长，则宽， 四边形是矩形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． ▌对点练1. 已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长的比等于相似比计算即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴的周长的周长， ∵的周长为，设的周长为， ， 即， 解得， 即的周长为12． ▌对点练2. 中，若，和它相似的一个三角形的最短边是15，则这个三角形的周长是（    ） A．63 B．54 C．45 D．162 【答案】B 【分析】先确定原三角形的最短边，得到相似比，再计算目标三角形的周长． 【详解】解：在中，，，， 可得原三角形最短边为，原的周长为． 设所求相似三角形的周长为， ∵两个三角形相似，相似三角形周长比等于相似比， ∴， 解得． ▌对点练3. 一个三角形框架模型的边长分别为，，，工人师傅要利用两根和的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例的性质，以铁丝为最长边；以铁丝为中等边；以铁丝为最短边长；以铁丝为一边时，同理验证即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，以铁丝为最长边，设中等边长为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴符合题意，周长为：， 以铁丝为中等边，设最长边为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最短边，设最长边为，中等边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最短边，设最长边为，中等边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为中等边，设最长边为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最长边，设中等边长为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意， 故选：． ▌对点练4. 如图，在中，．    (1)求边上的高的长度； (2)正方形的一边在上，另两个顶点E、H分别在边上，求正方形的边长． 【详解】（1）解：在中，∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 如图，设与交于点M，    ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为x， ∵ ∴， 得， 解得， ∴正方形的边长为． 题型 相似三角形的面积比 ▌例1 如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 【答案】 【分析】根据中位线的性质，可知,进而可知,根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，，进而可转化出答案． 本题考查了相似三角形的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：在中， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则,, ,, , , , ∵， , , , , 在中，和等高， , , 故答案为：． ▌对点练1. 若，且面积比为，则其对应边上的高的比为_______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．根据相似三角形的性质，先由面积比求出相似比，再利用相似三角形对应高的比等于相似比得出结果即可． 【详解】解：∵，且面积比为， ∴相似比为， ∴对应边上的高的比为． ▌对点练2. 如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设两个相似三角形的相似比为， 则面积比为， 由题意，， 解得， 周长比等于相似比，即它们的周长之比是， 故答案为：． ▌对点练3. 如图，在和中，，．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键． （1）先根据得到，再根据即可证明； （2）根据得到，进而得到，根据，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ▌对点练4. 如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点E，使．，与交于点F． (1)求证：． (2)若F为的中点，的面积为1，求和的面积． 【答案】(1) 证明：是边上的高线， 于点， 在边上取点，与交于点， ， ， ， △△． (2)的面积是4．△的面积是6 【分析】此题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明△△是解题的关键． （1）由是边上的高线，得，由，得，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△△． （2）由为的中点，得，则，，由相似三角形的性质得，则，求得． 【详解】（1）略 （2）解：为的中点，△的面积为1， ， ，， △△． ， ， ， △的面积是6． 题型 平行四边形、梯形背景下的面积问题 ▌例1 如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的三等分点，连结AE与对角线BD交于点F，则＝____________.解题贴士 1. 等高三角形面积之比等于底边之比； 2.相似三角形面积比等于相似比的平方。 【答案】1：3：9：11或4：6：9：11 【分析】分或两种情况解答，根据平行得出，由面积比等于相似比是平方，得出△BEF与△DAF的面积比，再根据面积公式得出△BEF与△ABF的面积比，根据图形得出四边形CDFE与△BEF的面积关系，最后求面积比即可. 【详解】解：E为三等分点，则或 ①时， 设，则，， ②时， 同理可得 设，则，， 【点睛】本题考查相似三角形面积比等于相似比的平方及面积公式，得出图形之间的关系是解答此题的关键. ▌对点练1. 如图，在中，，若，则与四边形的面积比是________． 【答案】 【分析】先证明，利用三角形相似的性质解答即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ▌对点练2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是线段AD的中点，连接AC，BE，交于点O，若=1，则=____________． 【答案】4 【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，通过证明△AEO∽△CBO，利用相似三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵点E是线段AD的中点， ∴AE=AD=BC， ∵AD∥BC， ∴△AEO∽△CBO， ∴   ∴S△BOC=4×1=4， 故答案为：4． ▌对点练3. 如图，，与交于点E，，连接． (1)若，求； (2)若的面积为m，求的面积．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)10； (2)． 【分析】此题重点考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，证明，得成比例线段，进而可以求得； （2）由，得，，则，，即可求得． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 的长为10． （2），的面积为m， ， ，， ， ， ， 的面积是． ▌对点练4. 如图，梯形中，，交于O点，，则___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键，由，可得，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，再根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型6 平行四边形、梯形背景下的面积问题 ▌例1 如图，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则移动的距离是_______．解题贴士 1. 等高三角形面积之比等于底边之比； 2.相似三角形面积比等于相似比的平方。 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 由平移的性质可得，从而可得，由相似三角形的性质求得，即可得解． 【详解】解：由平移的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即移动的距离是 故答案为：． ▌对点练1. 如图，在中，，，，为斜边上一点，且，为边上一点，将沿直线翻折得，到，当与的边平行时，的长为_____ 【答案】 或 【分析】先在中用勾股定理求出斜边，得到，再分两种情况讨论与的边平行时的长度：当时，通过建立平面直角坐标系，利用翻折性质和两点间距离公式，解得；当时，由平行线性质和翻折性质推出为等腰三角形，得：，此时与重合，符合条件，综上的长为或． 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得斜边， ∵， ∴， 由翻折性质得：，， 分两种情况讨论： ①当时， ∵， ∴， 建立平面直角坐标系：令，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ 设直线的解析式， 代入，， 得， 解得， ∴， 当时，， 解得：， 得， 设，则， ∵， ∴横坐标和相同，且向下，得， 由， 列距离公式：， 化简得：， 解得， ②当时， ∵， ∴， 结合翻折性质，得， ∴为等腰三角形， ∴， 此时与重合，属于边，符合条件， 综上，的长为或． ▌对点练2. 如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）等边对等角，得到，三角形的外角的性质结合角的和差关系求出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∴， ∴，即， ∴． ▌对点练3. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图（不要求写出画法，但要保留必要的痕迹） (1)在图①中，过点画直线． (2)在图②中，过点画直线． (3)在图③中，在边上取一点，使得 【答案】(1) 如图①中，直线即为所求； (2) 如图②中，直线即为所求； (3) 如图，点即为所求； 【分析】本题考查的是格点作图，平移的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质； （1）把向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到点，作直线即可； （2）取格点，作直线交于即可； （3）取格点，连接，交于即可． 【详解】（1）略 （2）解：由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （3）解：由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∴. ▌对点练4. 已知：如图，在四边形中，，，，是上一点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证． 【答案】(1)证明：在和中， ， ，  ， ， ， ， ， 又，， ， 四边形是菱形． (2)证明：， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）先由三条边对应相等得到，结合得到，利用等角对等边得到即可得证； （2）由结合，推得，从而，再利用相似三角形性质结合可得证． 【详解】（1）略 （2）略 基础通关 1．如图，在中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得且，进而证得，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．如图，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】​本题考查了平行线分线段成比例定理​，相似三角形的判定和性质，根据已知的平行关系，运用相关的定理和性质对每个选项进行分析和判断是解题的关键．先根据平行条件，针对每个选项，用平行线分线段成比例定理和三角形相似的判定和性质进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ∵， ， 故B不符合题意； 设 ，，则， ， ， ， ， ， ， ， 这一结论不一定正成立， 故C符合题意； ， ， 故D不符合题意， 故选：C． 3．小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置O处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部N与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端Q为止．此时，测得小亮眼睛P到地面的距离，小亮到O处的距离，电线杆底部N到O的距离．电线杆的高度的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据与可判断，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， ，，， ， ． 经检验，是方程的解， 故电线杆的高度的值为， 故选：D． 4．如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，那么它们的对应中线之比为_______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质． 根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：根据相似三角形的性质可得：两个相似三角形的对应边上的高之比它们的对应中线之比， 它们的对应中线之比是． 故答案为：． 5．两个相似三角形的相似比为，则对应的角平分线之比为______． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的对应线段之比等于相似比进行解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比为， 它们的对应角的角平分线的比为． 故答案为：． 6．小明和爸爸都站在平地上，他们的身高分别为和，在某一时刻，小明在太阳下的影子长为，此时，小明爸爸的影子长为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确利用物体高度与影长的关系是解题关键．利用同一时刻实际物体与影长的比值相等进而求出即可． 【详解】解：设小明爸爸的影子长为， 由题意可得：， 解得：． 故答案为：． 7．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法） (1)在图①中，在线段上画出点M，使 (2)在图②中，在线段上画出点N，使 (3)在图③中，在线段上画出点Q，使 【答案】(1) 解：如图①，取格点C，D，使，且， 连接，交于点M， 则， ， 即， 则点M即为所求． (2) 如图②，取格点E，F，使，且， 连接，交于点N， 则， ， 即， 则点N即为所求． (3) 如图③，取格点G，连接交于点Q， 则点Q即为所求． 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点C，D，使，且，连接，交于点M，则点M即为所求． （2）取格点E，F，使，且，连接，交于点N，则点N即为所求． （3）利用网格，过点P作的垂线，与的交点即为点Q 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，为的中点，则的长为_______． 【答案】(1) 证明：四边形是矩形，， ， ， , ． (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可；利用相似三角形对应边成比例求解即可； 【详解】（1）略 （2）由可得，， ． E为AB的中点， ， ， ． 故答案为： . 9．在平面直角坐标系中，已知，；点从开始沿以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用， (1)用含t的代数式表示：线段______ ；________． (2)当与相似时，求出t的值． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题考查了相似三角形的性质、坐标与图形的性质： （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）分两种情形：当时和当时，根据数量关系列出算式即可求解； 解题的关键是灵活运用所学知识及利用分类讨论思想解决问题． 【详解】（1）解：由图得： ，； 故答案为：，． （2）由题意得： ①当时，即：， ． ②当时，即， ． ∴t的值为或． 10．某“综合与实践”小组开展测量校园内一棵树高度的实践活动，以下是组和组的测量方案（部分）． 组 组 测量工具 皮尺，小平面镜 皮尺，标杆 测量示意图   说明：在观测者和大树之间的地面上点放一面镜子，使得观测者在镜子中看到大树顶端   说明：阳光下，将标杆立于操场上，测量此时标杆和大树的影长 测量数据 观测者眼睛离地面的高度米，观测者与镜子的水平距离米，镜子与大树的水平距离米 标杆米，标杆影长米，大树影长米 (1)利用组的测量数据，求出大树的高度； (2)利用组的测量数据，直接表示出大树的高度． 【答案】(1)大树的高度为8米 (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质在实际测量中的应用，解题的关键是根据实际场景（光的反射、平行光线）识别出相似三角形，并利用相似三角形对应边成比例的性质建立等量关系求解． （1）A组根据光的反射定律及直角相等判定，再代入测量数据通过相似比计算大树高度； （2）B组根据平行光线性质及直角相等判定，再通过相似比用已知字母表示大树高度． 【详解】（1）解：∵由光的反射定律可知， 又∵，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知米，米，米，代入得：， 解得（米）． 答：大树的高度为8米； （2）解：∵阳光下光线平行， ∴， 又∵，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知米，米，米，代入得：， 解得（米）． 答：大树的高度为米． 素养提升 1．已知，相似比为，那么和的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴和的周长比为． 故选：A． 2．如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得，然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，的周长为， ∴， 解得：， 故选：A． 3．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，对角线与相交于点，，，以下说法中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及三角形的面积，关键是利用相似三角形的性质找到三角形的面积与线段之间的关系． ①根据三角形面积的求法，找到两三角形的底、高、各自的关系，即可得出结论； ②找到与之间的关系，即可求得； ③找到与之间的关系，即可求得； ④分别求出两三角形的面积，再作差即可求得． 【详解】解：∵ ∴和同底等高 ∴ 故结论①正确； ∵ ∴∽ ∴ ∴ ∴ 即 故结论③正确； ∵ ∴ 故结论②正确； ∵ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ 故结论④正确； 故选：D ． 4．如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是和，它们周长的差是，那么这两个三角形的周长分别为____________． 【答案】， 【分析】本题考查了相似三角形对应中线的比等于相似比，相似三角形周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．根据相似三角形对应中线的比等于相似比，求出两个三角形的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比列式计算即可． 【详解】解：由题意，得两三角形的周长比为， 设两三角形的周长分别为，， 由题意，得，解得， ，， 即这两个三角形的周长分别为， 故答案为：． 5．已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据对应中线的比是，可得这两个三角形的相似比是，由于相似三角形的周长比等于相似比，由此可求出结果． 【详解】解：∵与相似且对应中线的比为， ∴的周长为的周长， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：． 6．如图，中，点、分别在、上，，，则与的面积的比为___________． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据得到，，再结合相似比是，因而面积的比是，问题得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴． 故答案为． 7．如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，，于是可证得，然后由相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴． 8．如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据题意得出，，根据平行线的性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知：，，，，，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为： 9．（2026·上海金山·一模）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）等边对等角，得到，三角形的外角的性质结合角的和差关系求出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∴， ∴，即， ∴． 10．（2024·上海黄浦·二模）如图，D是边上点，已知，，．    (1)求边的长； (2)如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，勾股定理的逆定理等知识点． （1）证明，由相似的性质可得出，然后计算出，代入求值即可． （2）由得出，由勾股定理的逆定理得出，进一步得出，由等量代换即可求出，即的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∵，即 ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 11. （2026·上海青浦·二模）已知：如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在的延长线上，，的延长线与相交于点，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证：点是边的中点． 【答案】(1) 证明：如图，    ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； (2) 解：∵ ∴设 ∴ ∵ ∴（舍负）， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴点是边的中点． 【分析】（1）先证明，再证明，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）设，由求出，再由证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 12．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 【答案】(1)当的值为时，； (2)当的值为或时，与相似． 【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长度，，，再根据题意列出代数式求解即可； （2）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点，， ∴，， ； 由题意，，则， 由题意则有：， 解得， 当时，； （2）解：∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 迁移创新 1．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在菱形中，是上一点，联结并延长交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若是的中点，且，求证：． 【答案】(1) 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 又∵是的中点， ∴，即． 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，熟知菱形的性质和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）证明得到，证明，得到，则可得到，据此可证明结论； （2）连接，证明，得到，由相似三角形的性质得到，则，则可证明，即，再由三线合一定理可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，点是轴负半轴上一点，且． (1)求点、、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)存在，点的坐标为或． 【分析】（1）根据题意即可求得点、、的坐标； （2）求得是等腰直角三角形，作于点，求得是等腰直角三角形，分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则； 令，则，解得； ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：存在，理由如下： ∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ，，， ∴， 作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， 当时， 则，即， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当时， 则，即， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数综合题，相似三角形的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定和性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，解题的关键学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数图象的交点坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $