专题02 弹性碰撞与非弹性碰撞（重难点训练）物理沪科版选择性必修第一册

### 基本信息 以碰撞类型为脉络，系统整合弹性/非弹性碰撞规律，提炼方程法与结论应用策略，构建从概念推导到多场景应用的解题体系，培养科学思维与模型建构能力。 ### 专项设计 |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |弹性与非弹性碰撞|5题|动量守恒+机械能守恒方程法；“一动一静”模型结论应用|从弹性碰撞定义推导速度公式，通过质量关系分类讨论结果，延伸至完全非弹性碰撞规律| |碰撞结果讨论|4题|动量守恒+动能不增加+速度合理性三原则验证法|以守恒定律为基础，结合能量关系与运动逻辑判断碰撞可能性，强化科学推理| |多次碰撞问题|5题|过程分段分析法；弹性碰撞结论迁移应用|在单次碰撞规律上，叠加多物体/多过程运动分析，构建复杂场景下的模型拆解能力|

专题02 弹性碰撞与非弹性碰撞（题型突破） 题型01 弹性碰撞与非弹性碰撞 题型02 碰撞结果的讨论 题型03 多次碰撞问题 ▌题型01 弹性碰撞与非弹性碰撞 1．弹性碰撞讨论 (1)碰后速度的求解 根据动量守恒和机械能守恒 解得：v1′＝，v2′＝ (2)分析讨论 当碰前两物体的速度不为零时，若m1＝m2，则v1′＝v2，v2′＝v1，即两物体交换速度。 当碰前物体2的速度为零时： v1′＝v1，v2′＝v1， ①m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1，碰撞后两物体交换速度。 ②m1>m2时，v1′>0，v2′>0，碰撞后两物体沿相同方向运动。 ③m1<m2时，v1′<0，v2′>0，碰撞后质量小的物体被反弹回来。 2．“一动一静”碰撞问题讨论 质量为m1的球a以速度v1与静止的质量为m2的球b正碰，碰后球a、b的速度分别为v1′和v2′，根据能量损失情况不同，讨论碰后可能出现的情况如下。 (1)弹性碰撞：由动量守恒得m1v1＋0＝m1v1′＋m2v2′ 由机械能守恒得m1v＝m1v1′2＋m2v2′2解得：v1′＝v1，v2′＝v1。 ①若m1＝m2，则v1′＝0，v2′＝v1，即两球碰撞后速度互换； ②若m1>m2，则v1′>0，v2′>0，碰后两球均向前运动； ③若m1<m2，则v1′<0，v2′>0，碰后质量小的球a被反弹回来。 (2)完全非弹性碰撞：v1′＝v2′＝v1。 (3)一般情况(即非弹性碰撞)：v1≥v1′≥v1；v1≥v2′≥v1。 碰撞问题解题策略 (1)抓住碰撞的特点和不同种类碰撞满足的条件，列出相应方程求解。 (2)可熟记一些公式，例如“一动一静”模型中，两物体发生弹性正碰后的速度满足：v1＝v0、v2＝v0。 (3)熟记弹性正碰的一些结论，例如，当两物体质量相等时，两物体碰撞后交换速度；当m1>>m2，且v20＝0时，碰后质量大的物体速度v0不变，质量小的物体速度为2v0；当m1<<m2，且v20＝0时，碰后质量大的物体速度不变(仍静止)，质量小的物体原速率反弹。 1．（多选）水平地面上有两个物体在同一直线上运动，两物体碰撞前后的速度—时间图象如图所示(其中一个物体碰后速度变为0)。下列说法正确的是（ ） A．t＝0时，两物体的距离为1 m B．t＝2.5 s时，两物体的距离为4.5 m C．两物体间的碰撞为完全弹性碰撞 D．碰撞前，地面对两个物体的摩擦力大小不相等 【答案】BC 【详解】两物体相向运动，均做匀减速直线运动，1 s时相碰，可知t＝0时，两物体的距离为Δs＝×(4＋6)×1 m＋×(2＋6)×1 m＝9 m，A错误；t＝2.5 s时，两物体的距离为Δs′＝×6×(2.5－1) m＝4.5 m，B正确；设碰前速度为正值的物体的质量为m1，速度为负值的物体的质量为m2，由题设可知，碰后原来速度为正值的物体的速度变为零，由动量守恒定律可知，m1×4＋m2×(－2)＝m2×6，解得m1＝2m2，由能量关系：碰前E1＝m1×42＋m2×22＝8m1＋2m2＝18m2，碰后E2＝m2×62＝18m2，则两物体间的碰撞为完全弹性碰撞，C正确；碰前速度为正值的物体的摩擦力大小f1＝m1a1＝m1×＝2m1，速度为负值的物体的摩擦力大小f2＝m2a2＝m2×＝4m2＝2m1 ＝f1，则D错误。 【举一反三】 2．如图所示，光滑水平面上有大小相同的A、B两个小球在同一直线上运动。两球质量关系为mB＝2mA，规定向右为正方向，A、B两球的动量均为8 kg·m/s，运动过程中两球发生碰撞，碰撞后A球的动量增量为－4 kg·m/s，则（ ） A．右方为A球，碰撞后A、B两球的速度大小之比为2∶3 B．右方为A球，碰撞后A、B两球的速度大小之比为1∶6 C．左方为A球，碰撞后A、B两球的速度大小之比为2∶3 D．左方为A球，碰撞后A、B两球的速度大小之比为1∶6 【答案】C 【详解】A、B两球发生碰撞，规定向右为正方向，由动量守恒定律可得ΔpA＝－ΔpB，由于碰后A球的动量增量为负值，所以右边不可能是A球，若是A球则动量的增量应该是正值，因此碰撞后A球的动量为4 kg·m/s，所以碰撞后B球的动量是增加的，为12 kg·m/s，由于mB＝2mA，所以碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶3，故C正确。 3．用一个半球形容器和三个小球可以进行碰撞实验，已知容器内侧面光滑，半径为R，三个质量分别为m1、m2、m3的小球编号为1、2、3，各小球半径相同且可视为质点，自左向右依次静置于容器底部的同一直线上且彼此相互接触，若将质量为m1的小球移至左侧离容器底高h处无初速度释放，如图所示，各小球间的碰撞时间极短且碰撞时无机械能损失，小球1与2、2与3碰后，球1停在O点正下方，球2上升的最大高度为R，球3恰能滑出容器，则三个小球的质量之比为（ ） A．2∶2∶1 B．3∶3∶1 C．4∶4∶1 D．3∶2∶1 【答案】B 【详解】碰后球1速度为0，根据v1′＝v1，说明m1＝m2，碰撞前球1下滑过程，由机械能守恒定律得m1gh＝m1v，对于碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得m1v0＝m2v2＋m3v3，由机械能守恒定律得：m1v＝m2v＋m3v，碰后，对球2有m2v＝m2g·R，对球3有m3v＝m3gR，联立解得m1∶m2∶m3＝3∶3∶1，B正确。 4．如图所示，两质量分别为m1和m2的弹性小球A、B叠放在一起，从高度为h处自由落下，h远大于两小球半径，落地瞬间，B先与地面碰撞，后与A碰撞，所有的碰撞都是弹性碰撞，且都发生在竖直方向，碰撞时间均可忽略不计。已知m2＝3m1，则A反弹后能达到的高度为（ ） A．h B．2h C．3h D．4h 【答案】D 【详解】所有的碰撞都是弹性碰撞，所以不考虑能量损失。设竖直向上为正方向，根据机械能守恒定律和动量守恒定律可得，(m1＋m2)gh＝(m1＋m2)v2，m2v－m1v＝m1v1＋m2v2，(m1＋m2)v2＝m1v＋m2v，m1v＝m1gh1，将m2＝3m1代入，联立可得h1＝4h，D正确。 5．两滑块a、b沿水平面上同一条直线运动，并发生碰撞；碰撞后两者粘在一起运动；经过一段时间后，从光滑路段进入粗糙路段。两者的位置x随时间t变化的图象如图所示。求： (1)滑块a、b的质量之比； (2)整个运动过程中，两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比。 【答案】(1)1∶8　(2)1∶2 【详解】(1)设a、b的质量分别为m1、m2，a、b碰撞前的速度为v1、v2。由题给图象得 v1＝ m/s＝－2 m/s① v2＝ m/s＝1 m/s② a、b发生完全非弹性碰撞，设碰撞后两滑块的共同速度为v。由题给图象得 v＝ m/s＝ m/s③ 由动量守恒定律得m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v④ 联立①②③④式得m1∶m2＝1∶8⑤ (2)由能量守恒得，两滑块因碰撞而损失的机械能为 ΔE＝m1v＋m2v－(m1＋m2)v2⑥ 由图象可知，两滑块最后停止运动。由动能定理得，两滑块克服摩擦力所做的功为W＝(m1＋m2)v2⑦ 联立①②③⑤⑥⑦式，得W∶ΔE＝1∶2。 6．如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态。现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。 【答案】(－2)M≤m<M 【详解】A向右运动与C发生第一次碰撞，碰撞过程中，系统的动量守恒、机械能守恒。设速度方向向右为正，开始时A的速度为v0，第一次碰撞后C的速度为vC1，A的速度为vA1，由动量守恒定律和机械能守恒定律得 mv0＝mvA1＋MvC1① mv＝mv＋Mv② 联立①②式得 vA1＝v0③ vC1＝v0④ 如果m>M，第一次碰撞后，A与C速度同向，且A的速度小于C的速度，不可能与B发生碰撞；如果m＝M，第一次碰撞后，A停止，C以A碰前的速度向右运动，A不可能与B发生碰撞；所以只需考虑m<M的情况。 第一次碰撞后，A反向运动与B发生碰撞。设与B发生碰撞后，A的速度为vA2，B的速度为vB1，同样有 vA2＝vA1＝2v0⑤ 根据题意，要求A只与B、C各发生一次碰撞，应有 vA2≤vC1⑥ 联立④⑤⑥式得m2＋4mM－M2≥0⑦ 解得m≥(－2)M⑧ 另一解m≤－(＋2)M舍去。 所以，m和M应满足的条件为(－2)M≤m<M。 ▌题型02 碰撞结果讨论 1．碰撞遵循的三条原则 (1)动量守恒定律。 (2)动能不增加，Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋。 (3)速度要合理 ①同向碰撞：碰撞前，后面的物体速度大；碰撞后，若物体速度仍同向，则前面物体的速度大于或等于后面物体的速度。 ②相向碰撞：碰撞后两物体的运动方向不可能都不改变。 7．两球A、B在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，mA＝1 kg，mB＝2 kg，vA＝6 m/s，vB＝2 m/s。当A追上B并发生碰撞后，两球A、B速度的可能值是（ ） A．vA′＝3 m/s，vB′＝4 m/s B．vA′＝5 m/s，vB′＝2.5 m/s C．vA′＝2 m/s，vB′＝4 m/s D．vA′＝－4 m/s，vB′＝7 m/s 【答案】C 【详解】碰前系统总动量为：p＝mAvA＋mBvB＝1×6 kg·m/s＋2×2 kg·m/s＝10 kg·m/s，碰前总动能为：Ek＝mAv＋mBv＝×1×62 J＋×2×22 J＝22 J。如果vA′＝3 m/s，vB′＝4 m/s，则碰后总动量为：p′＝1×3 kg·m/s＋2×4 kg·m/s＝11 kg·m/s，动量不守恒，不可能，A错误；若vA′＝5 m/s，vB′＝2.5 m/s，则碰撞后，A、B两球同向运动，A球在B球的后面，A球的速度大于B球的速度，不可能，B错误；如果vA′＝2 m/s，vB′＝4 m/s，则碰后总动量为：p′＝1×2 kg·m/s＋2×4 kg·m/s＝10 kg·m/s，系统动量守恒，碰后总动能为：Ek′＝×1×22 J＋×2×42 J＝18 J，系统动能减小，满足碰撞的条件，C正确；如果vA′＝－4 m/s，vB′＝7 m/s，则碰后总动量为：p′＝1×(－4)kg·m/s＋2×7 kg·m/s＝10 kg·m/s，系统动量守恒，碰后总动能为：Ek′＝×1×42 J＋×2×72 J＝57 J，系统总动能增加，不可能，D错误。 【举一反三】 8．（多选）两个小球A、B在光滑水平面上相向运动，已知它们的质量分别是m1＝4 kg，m2＝2 kg，A的速度v1＝3 m/s(设为正)，B的速度v2＝－3 m/s，则它们发生正碰后，其速度可能分别是（ ） A．均为1 m/s B．＋4 m/s和－5 m/s C．＋2 m/s和－1 m/s D．－1 m/s和5 m/s 【答案】AD 【详解】由动量守恒，可验证四个选项都满足要求。再看动能情况Ek＝m1v＋m2v＝×4×9 J＋×2×9 J＝27 J，Ek′＝m1v1′2＋m2v2′2，由于碰撞过程动能不可能增加，所以应有Ek≥Ek′，可排除B项。C项虽满足Ek≥Ek′，但A、B沿同一直线相向运动，发生碰撞后各自仍保持原来的速度方向(vA′>0，vB′<0)，这显然是不符合实际的，因此C错误。验证A、D两项均满足Ek≥Ek′，故答案为A(完全非弹性碰撞)和D(弹性碰撞)。 9．如图所示，在光滑水平面的左侧固定一竖直挡板，A球在水平面上静止放置，B球向左运动与A球发生正碰，B球碰撞前、后的速率之比为3∶1，A球垂直撞向挡板，碰后原速率返回。两球刚好不发生第二次碰撞，则A、B两球的质量之比为（ ） A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 【答案】D 【详解】设A、B的质量分别为mA、mB，B的初速度为v0，取B的初速度方向为正方向，由题意知，A球经挡板反弹后两球刚好不发生第二次碰撞，说明A、B碰撞后速度大小相等，方向相反，分别为和－，则有mBv0＝mA·＋mB(－)，解得mA∶mB＝4∶1，D正确。 10．（多选）水平冰面上有一固定的竖直挡板。一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为4.0 kg的静止物块以大小为5.0 m/s的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为5.0 m/s的速度与挡板弹性碰撞。总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于5.0 m/s，反弹的物块不能再追上运动员。不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为（ ） A．48 kg B．53 kg C．58 kg D．63 kg 【答案】BC 【详解】设运动员和物块的质量分别为m、m0，规定运动员运动的方向为正方向，运动员开始时静止，第1次将物块推出后，设运动员和物块的速度大小分别为v1、v0，则根据动量守恒定律有：0＝mv1－m0v0，解得v1＝v0，物块与挡板弹性碰撞后，运动方向与运动员同向，当运动员第2次推出物块时，有：mv1＋m0v0＝mv2－m0v0，解得v2＝v0，第3次推出物块时，有：mv2＋m0v0＝mv3－m0v0，解得v3＝v0，以此类推，第8次推出物块后，运动员的速度v8＝v0。根据题意可知，v8＝v0>v0，解得m<15m0＝60 kg；第7次推出物块后，运动员的速度v7＝v0<v0，解得m>13m0＝52 kg。综上所述，该运动员的质量应满足52 kg<m<60 kg，故A、D错误，B、C正确。 ▌题型03 多次碰撞问题 1．弹性碰撞与非弹性碰撞规律。 2．多次碰撞之间的运动规律。 11．（多选）如图所示，三个小孩分别坐在三辆碰碰车(可看成质点)上，任意一个小孩加上自己的碰碰车后的总质量都相等，三辆碰碰车在一光滑水平面上排成一直线，且初始时彼此隔开相等的距离。具有初动能E0的碰碰车1向右运动，依次与两辆静止的碰碰车2、3发生碰撞，碰撞时间很短且碰后连为一体，最后这三辆车粘成一个整体成为一辆“小火车”，下列说法正确的是（ ） A．三辆碰碰车整体最后的动能等于E0 B．碰碰车1运动到2的时间与2运动到3的时间之比为2∶3 C．碰碰车第一次碰撞时损失的机械能和第二次碰撞时损失的机械能之比为3∶1 D．碰碰车第一次碰撞时损失的机械能和第二次碰撞时损失的机械能之比为3∶2 【答案】AC 【详解】设每辆碰碰车的质量均为m，碰碰车1的初速度为v0，三辆碰碰车粘成一个整体后速度为v，动能为Ek，由动量守恒定律可得mv0＝3mv，解得v＝v0，又E0＝mv，则Ek＝×3mv2＝E0，故A正确；设相邻两辆碰碰车间的距离为x，则碰碰车1运动到2的时间为t1＝，依题意，碰碰车1与静止的碰碰车2碰撞过程，由动量守恒定律有mv0＝2mv12，解得碰后碰碰车1、2的速度v12＝，则2运动到3的时间为t2＝＝，可得t1∶t2＝1∶2，故B错误；碰碰车第一次碰撞时损失的机械能为ΔE1＝mv－×2mv＝mv，第二次碰撞时损失的机械能为ΔE2＝×2mv－×3mv2＝mv，可得ΔE1∶ΔE2＝3∶1，故C正确，D错误。 12．（多选）如图甲所示，内表面光滑的“”形槽固定在水平地面上，完全相同的两物块a、b(可视为质点)置于槽的底部中点，t＝0时，a、b分别以速度v1、v2向相反方向运动，已知b开始运动后，其速度v随时间t的变化关系如图乙所示，所有的碰撞均视为弹性碰撞且碰撞时间极短，下列说法正确的是（ ） A．前17秒内a与b共碰撞3次 B．初始时a的速度大小为1 m/s C．前17秒内b与槽的侧壁碰撞3次 D．槽内底部长为10 m 【答案】BC 【详解】根据碰撞规律可知，物块与槽壁碰后速度大小不变，方向反向，两物块质量相同且碰撞为弹性碰撞，则碰后两物块交换速度，则根据物块b的v­t图像，可知前17秒内a与b共碰撞4次，分别发生在4～6 s之间、8 s时刻、10～12 s之间以及16 s时刻；前17秒内b与槽的侧壁碰撞3次，分别发生在2 s、10 s和12 s时刻，A错误，C正确。在4～6 s之间，与a碰前b的速度为v2＝2 m/s，方向向左，碰后的速度为v2′＝1 m/s，方向向右，可知碰前a的速度v1＝v2′＝1 m/s，即初始时a的速度大小为1 m/s，B正确。物块b从开始运动到第1次与槽的侧壁发生碰撞的时间间隔为Δt＝2 s－0＝2 s，期间b的位移为槽内底部长的一半，则槽内底部长为L＝2v2Δt＝2×2×2 m＝8 m，D错误。 13．（多选）如图所示，光滑的水平面上有P、Q两个固定挡板，A、B是两挡板连线的三等分点，A点处有一质量为m2的静止小球，紧贴P挡板的右侧有一质量为m1的等大小球以速度v0向右运动并与质量为m2的小球相碰。小球与小球、小球与挡板间的碰撞均为弹性正碰，两小球均可视为质点。已知两小球之间的第二次碰撞恰好发生在B点处，则两小球的质量关系可能为（ ） A．m1＝3m2 B．m2＝3m1 C．m2＝5m1 D．m2＝7m1 【答案】ABD 【详解】令左侧的小球为球1，右侧的小球为球2。以向右为正方向，设两球第一次碰后的速度分别为v1、v2，根据动量守恒定律得m1v0＝m1v1＋m2v2，根据机械能守恒定律得m1v＝m1v＋m2v，联立解得v1＝v0，v2＝v0。若两球第一次碰后球1的速度方向与原来的方向相同，可知球1的速度小于球2的速度，球2与挡板Q碰后反弹，随后两小球在B点相遇，有v2t＝3v1t，解得m1＝3m2，A正确；若两球第一次碰撞后球1的速度方向与原来的方向相反，与挡板P碰后反弹在B点追上球2，则有－v1t＝3v2t，解得m2＝7m1，D正确；若两球第一次碰撞后球1的速度方向与原来的方向相反，与挡板P碰后反弹，球2与挡板Q碰后反弹，随后两小球在B点相遇，则有－v1t＝v2t，解得m2＝3m1，故B正确。 14．如图所示，桌面上固定有一半径为R的水平光滑圆轨道，M、N为轨道上的两点，且位于同一直径上，P为段的中点。在P点处有一加速器(大小可忽略)，小球每次经过P点后，其速度大小都增加v0。质量为m的小球1从N处以初速度v0沿轨道逆时针运动，与静止在M处的小球2发生第一次弹性碰撞，碰后瞬间两球速度大小相等。忽略每次碰撞时间。求： (1)球1第一次经过P点后瞬间向心力的大小； (2)球2的质量； (3)两球从第一次碰撞到第二次碰撞所用时间。 【答案】(1)4m　(2)3m　(3) 【详解】(1)由题意知，球1从N处以初速度v0出发，第一次经过P点后瞬间速度大小变为v1＝v0＋v0 解得v1＝2v0 设球1第一次经过P点后瞬间向心力大小为Fn，则有Fn＝m 解得Fn＝4m。 (2)球1与球2发生第一次弹性碰撞后瞬间两球速度大小相等，说明球1碰后反弹，设球2的质量为m′，第一次碰后瞬间两球速度大小均为v2，取碰前球1的速度方向为正方向，碰撞过程由动量守恒定律可得mv1＝－mv2＋m′v2 由总动能不变可得mv＝mv＋m′v 联立解得v2＝v0，m′＝3m。 (3)第一次碰后瞬间两球速度大小相等，分析知，第二次碰撞的位置在N点左侧。设从两球第一次碰撞到球1再次经过P点的时间为t1，从球1再次经过P点至两球第二次碰撞的时间为t2，则t1＝ t1时间内，两球运动的路程之和为s1＝πR 球1在P点再次加速后，速度大小变为 v3＝v2＋v0 从球1再次经过P点到两球第二次碰撞瞬间，有v2t2＋v3t2＝2πR－s1 两球从第一次碰撞到第二次碰撞所用时间为Δt＝t1＋t2 联立解得Δt＝。 15．如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置，每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度v0向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。 (1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小v； (2)若钢球质量为3m，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小v1； (3)若钢球质量为3m，求玻璃球经历2n次碰撞后的动能Ek。 【答案】(1)v0　(2)v0　(3)mv 【详解】(1)玻璃球碰撞右侧第1个钢球，碰撞过程系统动量守恒，机械能守恒，以向右为正方向，设碰撞后玻璃球速度为v01，钢球速度为v右1，则有 mv0＝mv01＋mv右1 mv＝mv＋mv 联立解得v01＝0，v右1＝v0 之后右侧钢球依次碰撞，同理可得，碰撞的两球质量相等，则速度交换，最右侧的钢球最终运动的速度大小v＝v0。 (2)玻璃球碰撞右侧第1个钢球，碰撞过程系统动量守恒，机械能守恒，以向右为正方向，设碰撞后玻璃球速度为v1′，钢球速度为v11，则有 mv0＝mv1′＋3mv11 mv＝mv1′2＋×3mv 联立解得v1′＝－v0，v11＝v0 则玻璃球的速度大小v1＝|v1′|＝v0。 (3)玻璃球与右侧第1个钢球碰撞后，右侧钢球依次碰撞，第1个钢球的速度最终会交换到第n个钢球，玻璃球反向后与左侧第1个钢球碰撞，碰撞过程系统动量守恒，机械能守恒，以向左为正方向，设碰撞后玻璃球速度为v2′，钢球速度为v21，则有 mv1＝mv2′＋3mv21 mv＝mv2′2＋×3mv 联立解得v2′＝－v0＝－v0，v21＝v0 则玻璃球的速度大小v2＝|v2′|＝v0 且结合上述分析，同理可知，左侧钢球依次碰撞后，最左侧钢球速度大小为v0，左侧其余钢球静止，玻璃球向右运动，与静止的右侧第1个钢球碰撞，该钢球再将所获得速度依次交换给右侧第n－1个钢球…… 以此类推，知每次碰撞后玻璃球的速度大小均为碰撞前的，玻璃球经历2n次碰撞后速度大小为v2n＝v0 动能为Ek＝mv 解得Ek＝mv。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 弹性碰撞与非弹性碰撞（题型突破） 题型01 弹性碰撞与非弹性碰撞 题型02 碰撞结果的讨论 题型03 多次碰撞问题 ▌题型01 弹性碰撞与非弹性碰撞 1．弹性碰撞讨论 (1)碰后速度的求解 根据动量守恒和机械能守恒 解得：v1′＝，v2′＝ (2)分析讨论 当碰前两物体的速度不为零时，若m1＝m2，则v1′＝v2，v2′＝v1，即两物体交换速度。 当碰前物体2的速度为零时： v1′＝v1，v2′＝v1， ①m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1，碰撞后两物体交换速度。 ②m1>m2时，v1′>0，v2′>0，碰撞后两物体沿相同方向运动。 ③m1<m2时，v1′<0，v2′>0，碰撞后质量小的物体被反弹回来。 2．“一动一静”碰撞问题讨论 质量为m1的球a以速度v1与静止的质量为m2的球b正碰，碰后球a、b的速度分别为v1′和v2′，根据能量损失情况不同，讨论碰后可能出现的情况如下。 (1)弹性碰撞：由动量守恒得m1v1＋0＝m1v1′＋m2v2′ 由机械能守恒得m1v＝m1v1′2＋m2v2′2解得：v1′＝v1，v2′＝v1。 ①若m1＝m2，则v1′＝0，v2′＝v1，即两球碰撞后速度互换； ②若m1>m2，则v1′>0，v2′>0，碰后两球均向前运动； ③若m1<m2，则v1′<0，v2′>0，碰后质量小的球a被反弹回来。 (2)完全非弹性碰撞：v1′＝v2′＝v1。 (3)一般情况(即非弹性碰撞)：v1≥v1′≥v1；v1≥v2′≥v1。 碰撞问题解题策略 (1)抓住碰撞的特点和不同种类碰撞满足的条件，列出相应方程求解。 (2)可熟记一些公式，例如“一动一静”模型中，两物体发生弹性正碰后的速度满足：v1＝v0、v2＝v0。 (3)熟记弹性正碰的一些结论，例如，当两物体质量相等时，两物体碰撞后交换速度；当m1>>m2，且v20＝0时，碰后质量大的物体速度v0不变，质量小的物体速度为2v0；当m1<<m2，且v20＝0时，碰后质量大的物体速度不变(仍静止)，质量小的物体原速率反弹。 1．（多选）水平地面上有两个物体在同一直线上运动，两物体碰撞前后的速度—时间图象如图所示(其中一个物体碰后速度变为0)。下列说法正确的是（ ） A．t＝0时，两物体的距离为1 m B．t＝2.5 s时，两物体的距离为4.5 m C．两物体间的碰撞为完全弹性碰撞 D．碰撞前，地面对两个物体的摩擦力大小不相等 【举一反三】 2．如图所示，光滑水平面上有大小相同的A、B两个小球在同一直线上运动。两球质量关系为mB＝2mA，规定向右为正方向，A、B两球的动量均为8 kg·m/s，运动过程中两球发生碰撞，碰撞后A球的动量增量为－4 kg·m/s，则（ ） A．右方为A球，碰撞后A、B两球的速度大小之比为2∶3 B．右方为A球，碰撞后A、B两球的速度大小之比为1∶6 C．左方为A球，碰撞后A、B两球的速度大小之比为2∶3 D．左方为A球，碰撞后A、B两球的速度大小之比为1∶6 3．用一个半球形容器和三个小球可以进行碰撞实验，已知容器内侧面光滑，半径为R，三个质量分别为m1、m2、m3的小球编号为1、2、3，各小球半径相同且可视为质点，自左向右依次静置于容器底部的同一直线上且彼此相互接触，若将质量为m1的小球移至左侧离容器底高h处无初速度释放，如图所示，各小球间的碰撞时间极短且碰撞时无机械能损失，小球1与2、2与3碰后，球1停在O点正下方，球2上升的最大高度为R，球3恰能滑出容器，则三个小球的质量之比为（ ） A．2∶2∶1 B．3∶3∶1 C．4∶4∶1 D．3∶2∶1 4．如图所示，两质量分别为m1和m2的弹性小球A、B叠放在一起，从高度为h处自由落下，h远大于两小球半径，落地瞬间，B先与地面碰撞，后与A碰撞，所有的碰撞都是弹性碰撞，且都发生在竖直方向，碰撞时间均可忽略不计。已知m2＝3m1，则A反弹后能达到的高度为（ ） A．h B．2h C．3h D．4h 5．两滑块a、b沿水平面上同一条直线运动，并发生碰撞；碰撞后两者粘在一起运动；经过一段时间后，从光滑路段进入粗糙路段。两者的位置x随时间t变化的图象如图所示。求： (1)滑块a、b的质量之比； (2)整个运动过程中，两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比。 6．如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态。现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。 ▌题型02 碰撞结果讨论 1．碰撞遵循的三条原则 (1)动量守恒定律。 (2)动能不增加，Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋。 (3)速度要合理 ①同向碰撞：碰撞前，后面的物体速度大；碰撞后，若物体速度仍同向，则前面物体的速度大于或等于后面物体的速度。 ②相向碰撞：碰撞后两物体的运动方向不可能都不改变。 7．两球A、B在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，mA＝1 kg，mB＝2 kg，vA＝6 m/s，vB＝2 m/s。当A追上B并发生碰撞后，两球A、B速度的可能值是（ ） A．vA′＝3 m/s，vB′＝4 m/s B．vA′＝5 m/s，vB′＝2.5 m/s C．vA′＝2 m/s，vB′＝4 m/s D．vA′＝－4 m/s，vB′＝7 m/s 【举一反三】 8．（多选）两个小球A、B在光滑水平面上相向运动，已知它们的质量分别是m1＝4 kg，m2＝2 kg，A的速度v1＝3 m/s(设为正)，B的速度v2＝－3 m/s 发生正碰后，其速度可能分别是（ ） A．均为1 m/s B．＋4 m/s和－5 m/s C．＋2 m/s和－1 m/s D．－1 m/s和5 m/s 9．如图所示，在光滑水平面的左侧固定一竖直挡板，A球在水平面上静止放置，B球向左运动与A球发生正碰，B球碰撞前、后的速率之比为3∶1，A球垂直撞向挡板，碰后原速率返回。两球刚好不发生第二次碰撞，则A、B两球的质量之比为（ ） A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 10．（多选）水平冰面上有一固定的竖直挡板。一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为4.0 kg的静止物块以大小为5.0 m/s的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为5.0 m/s的速度与挡板弹性碰撞。总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于5.0 m/s，反弹的物块不能再追上运动员。不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为（ ） A．48 kg B．53 kg C．58 kg D．63 kg ▌题型03 多次碰撞问题 1．弹性碰撞与非弹性碰撞规律。 2．多次碰撞之间的运动规律。 11．（多选）如图所示，三个小孩分别坐在三辆碰碰车(可看成质点)上，任意一个小孩加上自己的碰碰车后的总质量都相等，三辆碰碰车在一光滑水平面上排成一直线，且初始时彼此隔开相等的距离。具有初动能E0的碰碰车1向右运动，依次与两辆静止的碰碰车2、3发生碰撞，碰撞时间很短且碰后连为一体，最后这三辆车粘成一个整体成为一辆“小火车”，下列说法正确的是（ ） A．三辆碰碰车整体最后的动能等于E0 B．碰碰车1运动到2的时间与2运动到3的时间之比为2∶3 C．碰碰车第一次碰撞时损失的机械能和第二次碰撞时损失的机械能之比为3∶1 D．碰碰车第一次碰撞时损失的机械能和第二次碰撞时损失的机械能之比为3∶2 12．（多选）如图甲所示，内表面光滑的“”形槽固定在水平地面上，完全相同的两物块a、b(可视为质点)置于槽的底部中点，t＝0时，a、b分别以速度v1、v2向相反方向运动，已知b开始运动后，其速度v随时间t的变化关系如图乙所示，所有的碰撞均视为弹性碰撞且碰撞时间极短，下列说法正确的是（ ） A．前17秒内a与b共碰撞3次 B．初始时a的速度大小为1 m/s C．前17秒内b与槽的侧壁碰撞3次 D．槽内底部长为10 m 13．（多选）如图所示，光滑的水平面上有P、Q两个固定挡板，A、B是两挡板连线的三等分点，A点处有一质量为m2的静止小球，紧贴P挡板的右侧有一质量为m1的等大小球以速度v0向右运动并与质量为m2的小球相碰。小球与小球、小球与挡板间的碰撞均为弹性正碰，两小球均可视为质点。已知两小球之间的第二次碰撞恰好发生在B点处，则两小球的质量关系可能为（ ） A．m1＝3m2 B．m2＝3m1 C．m2＝5m1 D．m2＝7m1 14．如图所示，桌面上固定有一半径为R的水平光滑圆轨道，M、N为轨道上的两点，且位于同一直径上，P为段的中点。在P点处有一加速器(大小可忽略)，小球每次经过P点后，其速度大小都增加v0。质量为m的小球1从N处以初速度v0沿轨道逆时针运动，与静止在M处的小球2发生第一次弹性碰撞，碰后瞬间两球速度大小相等。忽略每次碰撞时间。求： (1)球1第一次经过P点后瞬间向心力的大小； (2)球2的质量； (3)两球从第一次碰撞到第二次碰撞所用时间。 15．如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置，每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度v0向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。 (1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小v； (2)若钢球质量为3m，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小v1； (3)若钢球质量为3m，求玻璃球经历2n次碰撞后的动能Ek。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $