25.2.4一元二次方程的根与系数的关系（分层作业，11大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本同步练习以一元二次方程根与系数关系为核心，采用A、B、C三级分层设计，梯度从基础公式应用到创新问题解决，构建“理解-掌握-运用”的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组（理解层级）|直接套用公式、代数式变形、基础逆用等单一知识点|以选择填空为主，强化运算能力，如直接求两根和差| |B组（掌握层级）|含参数、判别式、根系综合应用|解答题为主，培养推理意识，如参数取值范围探究| |C组（运用层级）|新定义、跨情境创新问题|开放探究题，发展创新意识，如“倒方程”概念应用|

分层作业 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直接套用公式求值 题型02 简单代数式变形代入求值 题型03 基础逆用与单参计算 题型04 高阶代数式变形求值 题型05 含参数结合判别式综合题 题型06 根的定义+韦达定理综合 题型07 两根非对称式求值 题型08 双方程根系关联问题 题型09 一元二次方程的根与系数的关系的应用 B组 能力进阶 题型 一元二次方程的根与系数的关系·综合应用 C组 思维拔高 题型 一元二次方程的根与系数的关系·创新性问题 直接套用公式求值题型01 1．已知m，n是方程x2-2x-1=0的两实数根，则m+n=的值为(     ) A．-2 B．- C． D．2 【答案】D 【详解】试题解析：∵m，n是方程x2-2x-1=0的两实数根 由一元二次方程根与系数的关系得：m+n=2. 故选D. 2．一元二次方程的两根之和为___________． 【答案】5 【分析】根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由根与系数的关系得：一元二次方程的两根之和为， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）若，是方程的两个实数根，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程的根与系数的关系求解． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ． 故答案为：． 4．已知、是方程的两个实数根，则________． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系，可直接求出x1+x2的值 【详解】根据题意得x1+x2=−=−=4 故答案为4 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键 简单代数式变形代入求值题型02 1．若与是方程的两个根，且，则m的值为（   ） A．-1或2 B．1或-2 C．-2 D．1 【答案】D 【详解】试题分析：根据一元二次方程的韦达定理可得：，，则根据题意可知：，解得：；根据根的判别式可得：，解得：；综上所述m=1，故选D． 2．（2025·广东·一模）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．对于一元二次方程的两个根，满足，．先根据根与系数的关系求出和的值，再将转化成，然后将和的值代入即可得解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：D． 3．若是方程的两个根，则（    ） A． B．16 C． D．20 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出本题中，，再将变形为，代入计算即可得出答案． 【详解】解：是方程的两个根， ，， ， 故选：C． 4．已知和是方程的两个根，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：和是方程的两个根， ． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程有两个实数根，，那么，，掌握上述内容是解题的关键． 5．若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根与系数关系定理解答即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】是方程的两个根， 则，， 故选A． 基础逆用与单参计算题型03 1．一元二次方程的两根为， ，则的值是（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】根据题意可得：， 由根与系数的关系可知：. 2．（2025·广东惠州·模拟）方程的一个根为2，则另一个根为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到两根之积为，进而求出方程的另一根即可． 【详解】解：∵方程的一个根为 2 ，且两根之积为， ∴另一个根为； 故选：C． 3．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（　 ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到a+b=2，ab=3，再把变形得到，再代入求解即可. 【详解】∵一元二次方程的两根为，， ∴a+b=2，ab=3， ∴==． 故选：A． 【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=- ，x1•x2=． 4．已知关于的一元二次方程有一个根是，则另一个根是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用根与系数之间的关系求解即可． 【详解】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得： ，解得：． 故选：A 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键掌握根与系数关系并能够熟练使用． 5．若，，则以，为根的一元二次方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴以，为根的一元二次方程是， 故选：A． 高阶代数式变形求值题型04 1．若是一元二次方程的一个解，则该方程的另一个解（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级下·安徽淮南·月考）若一元二次方程，，是它的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，完全平方公式的变形运算，先把方程整理成一般式，再利用根和系数的关系可得，，最后利用完全平方公式的变形运算计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：方程整理得，， ∵，是它的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 故选：． 3．a、b是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，可得出和的值，把变形为，再代入即可． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根， ∴， ∴ 故选：A． 4．（25-26九年级上·天津·期中）若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，满足，． 根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程 的两个实数根分别为，， ∴． 故选：C． 5．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则的值是（    ） A．或3 B． C．3 D．或7 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得出，，根据，，得出，求出，，根据，得出，即可求出结果． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是解题的关键． 含参数结合判别式综合题题型05 1．若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， 此方程根的判别式，且， 解得且， 又关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数， ， 解得或（舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 2．关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． 且 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，设一元二次方程的两个根分别为，根据方程有两个不相等的正实数根，可得，由此可得出m的取值范围． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别为， 关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根， ， 解得， 解得， 解得， 解④得，当时，恒成立， m的取值范围是， 故选：D． 3．若关于x的一元二次方程的两个实数根，满足，且，则k的值为__________． 【答案】2 【分析】根据所给一元二次方程有实数根，得出关于k的不等式，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根，，且，， ∴， 由是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故 解得，符合题意， 故答案为：2． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为______________． 【答案】 【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系将已知条件转化为关于a的方程。 由一元二次方程根与系数的关系可知，再整体代入中，求出a的值． 【详解】解：∵是的两个实数根， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 5．若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是________． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设方程的两个根为，，由题意得：，，，再利用完全平方公式的变形得出，求出的值，再利用判别式检验即可得出答案． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由题意得：，，， ， ， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 综上所述，实数的值是或， 故答案为：或． 根的定义+韦达定理综合题型06 1．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值． 【答案】5 【分析】①根据凤凰方程的定义可知：是方程的一个根，以及方程有两个相等的实数根，，求出的值，再进行计算即可；②利用凤凰方程的定义、根据系数法的关系求解． 【详解】解：法一：根据题意得： 解得：， 则． 法二：∵是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根， ∴的两个根均为1， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程判别式与根的个数的关系．理解凤凰方程的定义，得到是方程的一个根，是解题的关键．本题也可以利用根与系数的关系进行解题． 2．（24-25九年级上·广西来宾·月考）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为_________； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线上，求，的值． 【答案】(1) (2) ①证明：∵， 所以不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②；③ 【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式以及根与系数的关系，解题关键是理解题意并正确计算． （1）根据题意解出方程的两个根，再根据衍生点的定义即可求出M点坐标． （2）①利用根的判别式即可证明；②根据衍生点的定义即可写出M点坐标；③根据题意将直线转化为，求出定点坐标，再利用根与系数的关系公式即可解出答案． 【详解】（1）解：∵ ∴两个根为， 根据题意衍生点的定义为横坐标和纵坐标得到点得的衍生点为． 故答案为：． （2）解：①略 ②， 解得：， 所以方程的衍生点M为； ③∵， 所以直线过定点， 所以方程的两个实数根为， 所以，， 解得：． 3．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）阅读下面的材料： 材料一：和3是方程的解． ； 材料二：如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根． 问题解决： (1)若两个不同的实数、满足，，求的值； (2)已知实数，，满足，，且，求的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义． （1）根据、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （2）将、看作是方程的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：∵，实数、满足， ∴、可看作方程的两根， ， ∴． （2）解：∵、， ∴将看作是方程得两实数根； ， 而， ， ∴，即， ∴的最大值为2． 4．十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． (1)，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． (2)已知：是一元二次方程的两个实数根，设，，…，，根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)k的值为1 (2)①，； ②猜想：当时， 证明：因为为方程的根，所以有，等式两边都乘以，得 同理可得： 两式相加可得： 根据题意，，， ∴，且根据题意，因此， 所以当3时，有． 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的定义； （1）根据根与系数的关系即可求出答案． （2）①根据根与系数的关系，可得由根的定义可知，，，根据一元二次方程的解的定义可得，进而求得； ②根据题意，，，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实根， ∴ 解得：， 由根与系数的关系可知∶， ，即， 整理得：， 解得： (舍去)， ， ∴k的值为1． （2）①由根的定义可知，， 又∵是一元二次方程的两个实数根， ， ②略 5．（24-25九年级上·福建宁德·期中）阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，， 例：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 已知实数a，b满足：，且，则______，______； (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，，求的值； (3)拓展应用： 已知a，b，c满足，，求正整数c的最小值． 【答案】(1)， (2)2或 (3)3 【分析】本题考查了一元二方程的解以及根与系数的关系． （1）由题意可知a、b是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得，； （2）由题意可知分两种情况，或时，m、n可看作方程的两根，分别计算原式的值即可； （3）由已知得，故a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式计算出c的取值范围，取最小正整数即可． 【详解】（1）解：由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，， 故答案为：，； （2）解：∵m，n满足， 当时，原式， 当时，m、n可看作方程的两根， ∴， ∴原式， 综上，的值为2或； （3）解：∵， ∴，， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵， ∵正整数， ∴，即． ∴正整数c的最小值为3． 两根非对称式求值题型07 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．2024 B．2025 C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用方程根的定义和根与系数的关系求解．将代入原方程得到的表达式，再结合的值整体代入目标式即可． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ ，即， 代入所求式： ， 由根与系数的关系，方程两根之和为， ∴ ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东烟台龙口·期中）已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：方程整理得：， a，b是方程的两个根， ，， ． 故选：C． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A． B．2023 C． D．2021 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系的运用，由根与系数的关系可以求出，，然后变形为，再整体代入可以求出其值． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的应用．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据两个不相等的实数a，b满足，，得出，是方程的两个根，由根与系数的关系，得即可． 【详解】解：∵两个不相等的实数a，b满足，， ∴可以把，看作是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可知：． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·四川达州·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是________． 【答案】2032 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式及求代数式的值，掌握这些知识点是解题的关键． 由根与系数的关系可得，再将变形，即可求得结果的值． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：2032． 双方程根系关联问题题型08 1．若x2－4x＋3＝0，y2－4y＋3＝0，x≠y，则x＋y－2xy的值是__________． 【答案】-2 【分析】构造一元二次方程，根据根与系数的关系求解． 【详解】解：∵x2－4x＋3＝0，y2－4y＋3＝0， ∴x、y可看作一元二次方程m2－4m＋3＝0的2个根， ∴x＋y=4，xy=3， x＋y－2xy=4-6=-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，． 2．若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 【答案】 【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0， ∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根， ∴a+b=4，ab=3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 3．已知，且，则代数式的值为______． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确的得出根与系数的关系是解决本题的关键． 先将两边同时除以，进而可以分析m与n的关系，最后根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：将可得，方程两边同时除以， 得，即， ∵， ∴m和同时满足， 又∵， ∴， ∴m和是的两个不同根， ∴， ∵ ， 将代入，原式， 故答案为：11． 4．已知，且有，则的值等于__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握同解方程，和根与系数的关系，是解题的关键． 把的两边同时除以，得到，则x、是关于x的方程的两根，则利用根与系数的关系求得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴x、是关于x的方程的两根， ∴． 故答案为：． 一元二次方程的根与系数的关系的应用题型09 1．已知a，b，c是△ABC三条边的长，那么方程cx2+(a+b)x+=0的根的情况是( )． A．没有实数根 B．有两个不相等的正实数根 C．有两个不相等的负实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【详解】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号，结合三角形三边关系即可作出判断． 解：在此方程中△=b2-4ac=（a+b）2-4c×=（a+b）2-c2 ∵a，b，c是△ABC三条边的长 ∴a＞0，b＞0，c＞0．c＜a+b，即（a+b）2＞c2 ∴△=（a+b）2-c2＞0 故方程有两个不相等的实数根． 又∵两根的和是-＜0，两根的积是=＞0 ∴方程有两个不等的负实根． 故选C 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0?方程有两个不相等的实数根； （2）△=0?方程有两个相等的实数根； （3）△＜0?方程没有实数根． 三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 2．（24-25八年级下·江苏南通·月考）关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 3．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 【答案】(1) 证明：，， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根 (2)3 【分析】本题考查了根的判别式，韦达定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意直接列出根的判别式，即可证明； （2）根据韦达定理用表示出，，再利用勾股定理，变式得到，代入即可得到的方程，解之即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：和是的两个根 ， 是以为斜边的直角三角形 ，即 解得：，（，不合题意，舍去） 的值为3 一元二次方程的根与系数的关系·综合应用题型 1．（24-25九年级上·江西吉安·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值是_____． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系得出，，进而得出关于的一元二次方程求出即可．熟知一元二次方程根与系数的关系为：，，是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， 整理得出：， 解得：， 故答案为：1． 2．已知：关于x的方程 （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值． 【答案】 （1）证明：①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根． （2）k=1或． 【分析】（1）确定判别式的范围即可得出结论． （2）根据根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，继而根据题意可得出方程，解出即可． 【详解】解：（1）略 ②当k≠0时，方程是一元二次方程， ∵， ∴一元二次方程有两实数根． 综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根． （2）∵此方程有两个实数根x1，x2， ∴． ∵|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4． ∴，解得k=1或 3．已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两实数根分别为和，且满足，求的值． 【答案】(1) 解：， ， 该方程总有两个不相等的实数根； (2)或 【分析】（1）由根的判别式，即可得出结论， （2）将化简，由根与系数关系，求出与的值，代入即可， 本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数关系，解题的关键是：熟练应用根的判别式和根与系数关系． 【详解】（1）略 （2）解：， ，即：， 由和是方程两实数根，可得：，， 代入，可得：，即， 或， 故答案为：或． 4．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式： （1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可得出，，结合m的取值范围即可得出，，再由即可得出，即可得出m的值． 【详解】（1）解：这里，． ∵方程有两个实数根， ∴． ∴． （2）解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴，同号． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， 即． ∴． 解得：． 所以，m的值为． 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程两个实数根的差为2，求的值． 【答案】(1) 解：关于的一元二次方程的根的判别式 ， 不论取任何实数，都有即成立； 当时，方程有两个不相等的实数根， 当时，方程有两个相等的实数根； 故该方程总有两个实数根； (2)2或． 【分析】（1）先求一元二次方程的根的判别式，然后再证明即可； （2）不妨设方程的两实数根为且，则，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得，进而变形即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：不妨设方程的两实数根为且， 则， ， 又， ， 或， 故的值为2或． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式以及直接开平方求解一元二次方程等知识，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系的应用是解答此题的关键． 6．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)的值为1或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 一元二次方程的根与系数的关系·创新性问题题型 1．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 2．设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．0 D．0.5 【答案】A 【分析】把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可 【详解】解：，， 看作以上方程的两个不同的根， 即是方程的两根， 故，即 故选A 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键． 3．若实数、，满足，，且，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，根与系数的关系，完全平方公式及其变式，灵活运用一元二次方程根的定义和根的判别式是解题的关键． 由已知和是一元二次方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式的变式即可解决问题． 【详解】解：若实数、，满足， 和是一元二次方程，即的两根， ，即， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）规定：我们用表示一元二次方程，用数组表示一元二次方程的两个解（其中），当时，唯一对应一个数组，可记作：．如方程：的两个解分别为1，；则有，又如，，反之，当数组确定时，却有无数个一元二次方程与之对应，如方程和的解都是则称方程和为同解方程，记作方程．研究发现：当时，总有成立． (1)若则_______，若则_______； (2)若，且，求t的值； (3)如果实数a、b、c、d满足，，，探究是否为定值？如果是，请求出k的值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；5 (2) (3)是定值， 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形应用，理解新定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意知，表明一元二次方程有两个实数解与4，由一元二次方程根与系数的关系即可求解；当时，总有，由此可求得c的值； （2）由知，m、n是一元二次方程的两个实数解，且; 由根与系数的关系知；结合，则，再利用完全平方公式的变形即可求得t的值； （3）由，，则c、d是方程的两个实数解，则a、b是方程的两个实数解，由根与系数的关系得，则，，从而有，；再由c是的解，有，同理，整理得，利用完全平方公式变形可求得的值，而，即可判定k为定值． 【详解】（1）解：由题意知，与4是一元二次方程的两个实数解， 由根与系数的关系得：； 当时，总有，而 ∴， ∴； 故答案为：；5； （2）解：由知，m、n是一元二次方程的两个实数解，且; ∴； ∵， 当m、n全为正或全为负时，则，这与矛盾； ∴， ∴， 则有， 即， ∴， 解得：； （3）解：∵，， ∴c、d是方程的两个实数解，a、b是方程的两个实数解， 由根与系数的关系得：， ∴,， ∴，； ∵c是的解， ∴，即； ∵a是方程的解， ∴，即； ∴， 即， ∴， 整理得：， 解得：或； ∵当，时，a、c是方程的两个实数解， 解此方程得：， 即 这与题设矛盾， ∴， ∴， ∴k为定值48． 5．已知关于的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了根的判别式和跟与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式的关系． （1）若方程有两个不相等的实数根，则，从而求出a的取值范围； （2）根据根与系数的关系求出，再借助完全平方公式解决即可． 【详解】（1）， ∵方程有两个不相等的实数根， ； （2）由题意得： ， , 解得：或 ， ． 6．已知关于的一元二次方程． (1)请你为选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根； (2)设、是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）根据求得的取值范围，再进一步在范围之内确定的一个整数值，代入求得方程，解方程即可； （2）根据根与系数的关系，对进行变形求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得：． ∴只要是的整数即可． ∴可以取值为（答案不唯一）． （2）解：当时，则得方程， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数关系；掌握根的判别式定理，根与系数关系是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直接套用公式求值 题型02 简单代数式变形代入求值 题型03 基础逆用与单参计算 题型04 高阶代数式变形求值 题型05 含参数结合判别式综合题 题型06 根的定义+韦达定理综合 题型07 两根非对称式求值 题型08 双方程根系关联问题 题型09 一元二次方程的根与系数的关系的应用 B组 能力进阶 题型 一元二次方程的根与系数的关系·综合应用 C组 思维拔高 题型 一元二次方程的根与系数的关系·创新性问题 直接套用公式求值题型01 1．已知m，n是方程x2-2x-1=0的两实数根，则m+n=的值为(     ) A．-2 B．- C． D．2 2．一元二次方程的两根之和为___________． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）若，是方程的两个实数根，则______． 4．已知、是方程的两个实数根，则________． 简单代数式变形代入求值题型02 1．若与是方程的两个根，且，则m的值为（   ） A．-1或2 B．1或-2 C．-2 D．1 2．（2025·广东·一模）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．6 B． C．4 D． 3．若是方程的两个根，则（    ） A． B．16 C． D．20 4．已知和是方程的两个根，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 5．若是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 基础逆用与单参计算题型03 1．一元二次方程的两根为， ，则的值是（   ） A．4 B． C．3 D． 2．（2025·广东惠州·模拟）方程的一个根为2，则另一个根为（   ） A． B．1 C． D． 3．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（　 ） A． B． C． D．以上答案都不对 4．已知关于的一元二次方程有一个根是，则另一个根是（    ） A．1 B． C．2 D． 5．若，，则以，为根的一元二次方程是（      ） A． B． C． D． 高阶代数式变形求值题型04 1．若是一元二次方程的一个解，则该方程的另一个解（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·安徽淮南·月考）若一元二次方程，，是它的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．a、b是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．7 4．（25-26九年级上·天津·期中）若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 5．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则的值是（    ） A．或3 B． C．3 D．或7 含参数结合判别式综合题题型05 1．若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（    ） A．1 B．-1 C． D． 2．关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． 且 C． D． 3．若关于x的一元二次方程的两个实数根，满足，且，则k的值为__________． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为______________． 5．若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是________． 根的定义+韦达定理综合题型06 1．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值． 2．（24-25九年级上·广西来宾·月考）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为_________； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线上，求，的值． 3．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）阅读下面的材料： 材料一：和3是方程的解． ； 材料二：如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根． 问题解决： (1)若两个不同的实数、满足，，求的值； (2)已知实数，，满足，，且，求的最大值． 4．十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． (1)，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． (2)已知：是一元二次方程的两个实数根，设，，…，，根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 5．（24-25九年级上·福建宁德·期中）阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，， 例：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 已知实数a，b满足：，且，则______，______； (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，，求的值； (3)拓展应用： 已知a，b，c满足，，求正整数c的最小值． 两根非对称式求值题型07 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．2024 B．2025 C． D．2026 2．（24-25八年级下·山东烟台龙口·期中）已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A． B．2023 C． D．2021 4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为______． 5．（24-25九年级上·四川达州·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是________． 双方程根系关联问题题型08 1．若x2－4x＋3＝0，y2－4y＋3＝0，x≠y，则x＋y－2xy的值是__________． 2．若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 3．已知，且，则代数式的值为______． 4．已知，且有，则的值等于__________． 一元二次方程的根与系数的关系的应用题型09 1．已知a，b，c是△ABC三条边的长，那么方程cx2+(a+b)x+=0的根的情况是( )． A．没有实数根 B．有两个不相等的正实数根 C．有两个不相等的负实数根 D．有两个异号实数根 2．（24-25八年级下·江苏南通·月考）关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 3．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 一元二次方程的根与系数的关系·综合应用题型 1．（24-25九年级上·江西吉安·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值是_____． 2．已知：关于x的方程 （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值． 3．已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程两实数根分别为和，且满足，求的值． 4．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程两个实数根的差为2，求的值． 6．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 一元二次方程的根与系数的关系·创新性问题题型 1．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 2．设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ） A．-1 B．1 C．0 D．0.5 3．若实数、，满足，，且，则的值为_______． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）规定：我们用表示一元二次方程，用数组表示一元二次方程的两个解（其中），当时，唯一对应一个数组，可记作：．如方程：的两个解分别为1，；则有，又如，，反之，当数组确定时，却有无数个一元二次方程与之对应，如方程和的解都是则称方程和为同解方程，记作方程．研究发现：当时，总有成立． (1)若则_______，若则_______； (2)若，且，求t的值； (3)如果实数a、b、c、d满足，，，探究是否为定值？如果是，请求出k的值，如果不是，请说明理由． 5．已知关于的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 6．已知关于的一元二次方程． (1)请你为选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根； (2)设、是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $