第13章 三角形（举一反三讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学三角形单元复习讲义通过“夯实基础-进阶拔高-创新思辨”的分层框架系统梳理知识体系，以题型归纳为脉络呈现三角形边与角的关系、中线与角平分线性质等核心内容，清晰展示基础概念到综合应用的内在逻辑。 讲义亮点在于“例题+变式”的递进式练习设计，如经典模型（A字、8字、飞镖）求角度（题型19）培养模型意识，直角三角形与动点综合题（题型21）发展推理能力，助力不同层次学生巩固基础或拓展思维，为教师实施分层教学提供精准资源。

第13章 三角形（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材人教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 判断三条线段能否组成三角形】 1 【题型2 已知两边求第三边取值范围】 3 【题型3 利用中线性质求线段长】 5 【题型4 利用角平分线求角度】 7 【题型5 三角形内角和的计算与证明】 10 【题型6 利用外角性质求未知角】 13 【题型7 直角三角形中已知一锐角求另一锐角】 14 【题型8 按角或按边判断三角形类型】 16 【进阶拔高】 19 【题型9 三边关系与等腰三角形综合求周长】 19 【题型10 利用中线平分面积求三角形面积】 21 【题型11 高与角平分线夹角的角度计算】 25 【题型12 外角与角平分线综合求角度】 29 【题型13 折叠问题中利用内角和求角度】 32 【题型14 从多根木棒中选三根组成三角形求个数】 36 【题型15 利用外角性质求多个角的和】 38 【题型16 中线与角平分线综合】 41 【创新思辨】 46 【题型17 利用三边关系化简含绝对值表达式】 46 【题型18 多次中线嵌套求面积】 48 【题型19 经典模型（A字、8字、飞镖）求角度】 53 【题型20 中线、高、角平分线综合角度与线段计算】 56 【题型21 直角三角形与动点综合】 60 【题型22 外角性质与平行线综合角度证明】 66 【题型23 含参数的三角形分类讨论】 72 【题型24 多个直角三角形嵌套角度探究】 79 【夯实基础】 【题型1 判断三条线段能否组成三角形】 【例1】（24-25七年级上·山东泰安·阶段检测）下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，5，10 D．2，8，7 【答案】D 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以均不能围成三角形，选项D中，符合三角形任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形． 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）下面的图中，三条线段首尾相接能围成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形和构成三角形的条件进行判断即可． 【详解】解：A．两条较短线段之和等于最长的线段，不能构成三角形； B．两条较短线段之和大于最长的线段，能构成三角形； C．两条较短线段之和小于最长的线段，不能构成三角形； D．两条较短线段之和小于最长的线段，不能构成三角形． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）三角形中，已知两边长为和，还有一边与前面两边中的一边长相等，这个三角形的周长是_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，分两种情况：第三边的长为和第三边的长为，根据三角形中，任意两边之和大于第三边判断能否构成三角形，再结合三角形周长公式求解即可． 【详解】解：当第三边的长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当第三边的长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此时该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为； 故答案为：20． 【变式1-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）现有4根木条、长度分别为（单位：）：，从中取出三根连成一个三角形__________________ ．（任写一种即可） 【答案】，，（或，，） 【分析】先列举从4根木条中任取3根的所有组合，再利用三角形三边关系判断各组合能否构成三角形，任写一种符合条件的组合即可． 【详解】解：从长度为，，，的4根木条中任取3根，所有组合为：，，；，，；，，；，，． ∵，不满足三边关系， 故不能构成三角形； ∵，不满足三边关系， 故不能构成三角形， ∵，，，满足三边关系， ∴构成三角形， ∵，，，满足三边关系， ∴构成三角形 综上：，，；，，这两种组合能构成三角形． 【题型2 已知两边求第三边取值范围】 【例2】（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的三边长分别是x，3，4， ∴x的取值范围是， 即． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东德州·期中）三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合周长表达式得到周长的取值范围． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∵周长， ∴，即． 【变式2-2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）小明有两根长度分别为的木棒，他想钉一个三角形木框架，则第三根木棒的长度可以是___________cm．（只写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求出第三根木棒长度的取值范围，选取范围内任意一个值即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形三边关系可得：， 计算得， 在范围内选取，符合要求．（答案不唯一，满足即可） 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·期末）若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足，则第三边长c的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：∵a、b满足， ∴，， ∴，， ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴，即． 【题型3 利用中线性质求线段长】 【例3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 【答案】8 【分析】由是的中线可得，由是的中线可得，结合已知条件即可求解． 【详解】解：是的中线 ， ， 是的中线 ， ， ． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是的中线，的周长比的周长多，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的顶点和对边中点的连线是三角形的中线． 根据三角形中线的定义得出，再根据“的周长比的周长大4”，推出，即可求解． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式3-2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，分别列出三个三角形的周长等式，整理变形即可求出的长． 【详解】解：根据题意得：， 由，得， ∵是的中线， ∴． ∴． 又∵， ∴，解得． 【变式3-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是边上的中线，若和的周长之差为，且与的和为，则__________，__________． 【答案】 8 6 【分析】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键． 根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ， 的周长的周长， 即①， 又②， ①②得．， 解得， ②①得，， 解得， 故答案为：8；6 【题型4 利用角平分线求角度】 【例4】（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，中，，点在上，于点．若，，则_____．    【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，角平分线的定义，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明平分，据此根据角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，是的平分线，若，，则的度数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的角平分线；由三角形内角和定理得，由三角形的角平分线求出，再由三角形外角的性质得 ，即可求解；掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的角平分线是解题的关键． 【详解】解： ，， ， 是的平分线， ， ， 故答案：． 【变式4-2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）在中，点O为和角平分线的交点，，则_______． 【答案】/76度 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可； 【详解】解：如图， ∵点为和角平分线的交点， ∴，. ， ∴ ． ． 在中，根据三角形内角和定理得 ． 【变式4-3】（25-26七年级下·河南驻马店·期末）已知如图，在中，点D，E分别在和上，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的度数； (3)在第（2）问的基础上，若平分，交于点F，则__________． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再结合已知条件，通过等量代换得到，最后根据平行线的判定定理即可证明； （2）先根据角平分线的定义，三角形内角和定理和已知条件求出的度数，再根据平行线的性质求出和的度数，最后利用角的和差关系求出的度数； （3）利用角平分线的定义结合已知条件求出的度数，再由，根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， 在中，， 解得， ∵， ∴，， ∴． （3）解：如图，作的角平分线交于点F， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴ 【题型5 三角形内角和的计算与证明】 【例5】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 【答案】65 【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再由，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴． 【变式5-1】（24-25六年级上·广西防城港·开学考试）李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三角形三个内角拼在一起，若顶点重合、相邻边重合且组成平角，则验证了内角和为． 【详解】解：验证三角形内角和，需将三个内角拼在一起组成平角， ∵平角等于， ∴ 正确的拼法应使三个角的顶点重合，相邻边重合，且三个角之和构成平角， A选项拼法中角未紧密拼接，错误，该选项不符合题意； B选项拼法中边未重合，错误，该选项不符合题意； C选项拼法中角未构成平角，错误，该选项不符合题意； D选项拼法中三个角顶点重合，相邻边重合，构成平角，正确，该选项符合题意． 【变式5-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为______． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，折叠的性质，利用三角形的外角的性质，折叠的性质，计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵将三角形纸片沿折叠， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，在中，，，边上的高为，则的度数为________． 【答案】/20度 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，根据三角形高的定义求出的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵边上的高为， ∴，即， ∵， ∴ ． 【题型6 利用外角性质求未知角】 【例6】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，点在的延长线上，，则_____． 【答案】 【分析】利用三角形外角性质直接算出答案． 【详解】解：， ． 【变式6-1】（25-26八年级下·广东揭阳·期末）体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则的度数是（     ）          A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得：. 【变式6-2】（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在和中，与相交于点．若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质求出，的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 【变式6-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，把沿折叠，点A与上的点D重合，则______ ． 【答案】70 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键．由折叠性质可知，，根据三角形外角性质得出． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠性质可知， ， ∴． 故答案为：． 【题型7 直角三角形中已知一锐角求另一锐角】 【例7】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，工地地面的钢架直线与轨道直线形成的夹角．为了加固钢架，施工队需要在支点处焊接一根支撑柱连接轨道，为节省钢材，要让支撑柱用料最短，则支撑柱与钢架形成的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短和直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：要让支撑柱用料最短，那么支撑柱应垂直于轨道直线， ∴， ∵， ∴． 【变式7-1】（25-26八年级上·广东广州·期末）中，，，则______． 【答案】60 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 【详解】解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 【变式7-2】（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得旋转角，再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转，得到， ∴， 又∵， ∴． 【变式7-3】如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【题型8 按角或按边判断三角形类型】 【例8】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和求出第三个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【详解】解：根据题意得：这个三角形的两个内角的度数为， ∴这个三角形的第三个内角的度数为， ∴这个三角形形状是锐角三角形． 【变式8-1】（25-26六年级下·黑龙江大庆·阶段检测）一个三角形三个内角度数之比是，它是一个_____．（填锐角三角形，直角三角形或钝角三角形） 【答案】锐角三角形 【分析】根据三角形内角和定理，计算出最大内角的度数，再根据三角形按角的分类判断三角形的形状即可． 【详解】解：设三角形三个内角的度数分别为，，， 根据三角形内角和定理可得：， 合并同类项得， 解得， 因此最大内角的度数为 ， 因为，最大内角为锐角，所以该三角形是锐角三角形 【变式8-2】（25-26六年级下·上海·开学考试）在三角形中，，最大角( )度．如果按角分类，这是( )三角形．如果按边分类，这是( )三角形． 【答案】 钝角 等腰 【分析】三角形内角和为，将角度比的各项看作份数，先求出一份对应的角度，再计算得到最大角的度数，结合三角形按角分类的标准判断三角形类型，再根据等角对等边的性质，按边分类判断三角形类型． 【详解】解：（度）， 因为， 所以按角分类，这个三角形是钝角三角形； 因为和所占份数相等， 因此， 根据等角对等边，可得两条对边相等， 所以按边分类，这个三角形是等腰三角形． 【变式8-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列四个条件： ①在中，都是锐角； ②的三个内角的度数之比是； ③在中，； ④的三个外角的度数之比是． 其中能确定是直角三角形的是______（只填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查的是三角形的分类，三角形的内角和定理的应用，判断每个条件是否能确定为直角三角形，逐一分析后即可得出答案． 【详解】解：①∵，都是锐角； ∴不一定为， ∴不一定为直角三角形；不符合题意； ②∵的三个内角的度数之比是， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴为直角三角形；符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴，符合题意； ④∵的三个外角的度数之比是． 设的外角为，则的外角为，的外角为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴该三角形的一个内角为， ∴为直角三角形；符合题意； 能确定为直角三角形的有：②③④． 故答案为：②③④． 【进阶拔高】 【题型9 三边关系与等腰三角形综合求周长】 【例9】（25-26八年级上·云南昭通·期中）（1）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则该等腰三角形的周长是__________． （2）若等腰三角形的周长是，则它的腰长的取值范围是__________． 【答案】 25 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识，解题的关键是： （1）分三边为5，5，10；10，10，5两种情况讨论，即可求解； （2）先求出底边长为，然后根据三角形三边关系构造不等式组求解即可． 【详解】解：（1）当等腰三角形三边为5，5，10时， ∵， ∴此三角形不存在； 当等腰三角形三边为10，10，5时， ∵， ∴此三角形存在， ∴改等腰三角形的周长为， 故答案为：25； （2）∵等腰三角形的周长是，腰长为， ∴底边长为， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式9-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）等腰三角形的两边长a、b满足，则该等腰三角形的周长是________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出，的值，分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长. 【详解】解：，且，， ，解得， 该三角形是等腰三角形， 三边长为或， ，不满足三角形三边关系，该情况不合题意，舍去， 等腰三角形的周长为． 【变式9-2】（25-26七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，若这个等腰三角形的一边长为，则等腰三角形的周长为____________． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形的构成条件，根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线，根据题意画出图形，如图，中，，设，等腰三角形的腰长，进而分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线， 根据题意画出图形，如图，中，，设，等腰三角形的腰长， ∵是腰上的中线， ∴， 当时，， 若，则 解得，此时的周长为； 若，则解得，此时的周长为； 当时， 若，则 解得， ∴， 此时的周长为； 若，则解得， ∴， ∵，，不符合三角形的条件， ∴此情形应舍去， 故答案为：或或． 【变式9-3】（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，一边长为可能是腰或底边，但需满足三角形三边关系．通过计算，为腰时不能构成三角形，故只能为底边，从而求出腰长，再计算优美比． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为 ，底边长为 ，周长为． 若一边长为， 分两种情况讨论： 当为腰长时，则，．但，不满足三角形三边关系，故舍去． 当为底边长时，则，，．此时，，满足三角形三边关系，则优美比． 故答案为：． 【题型10 利用中线平分面积求三角形面积】 【例10】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 【答案】2 【分析】这道题的解题关键在于巧妙地运用“同高不同底”的几何性质来转化面积关系，首先，利用中点 将大三角形 分割成面积相等的两部分，并进一步推导出 与 的面积相等，接着，根据“等高三角形面积比等于底边比”，由 可直接推导：在 中， 与 等高，故 。设 ，则 ，进而 ，同理，对以 为顶点的 ，也有 ，利用面积差 及 ，可推得 ，所以 ，即可解得 ，从而将所有相关面积统一用 表示，最后列方程即可求解． 【详解】解：连接 ， 为 边的中点 设 ， 则 ． 【变式10-1】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】6 【分析】根据三角形的中线等分面积得到，即可求解． 【详解】解：∵点，，分别是，，的中点， ∴ ∵ ∴阴影部分的面积之和． 【变式10-2】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【答案】 4 2 【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键． （1）根据三角形的中线性质，可得，再根据三角形的周长公式解答即可； （2）根据三角形的中线性质，可得的面积为32，的面积为16，以此类推，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵，， ∴的周长与的周长的差为； 故答案为：4 （2）为的中线， ， 同理， ， ， ∴． 故答案为：2． 【变式10-3】（25-26七年级下·重庆·开学考试）如图，点为的边上的中点，、是边上的三等分点．已知，求的面积． 【答案】12 【分析】由点、是边上的三等分点，可得；根据三角形的面积等于底乘高，可得；再因为点为边上的中点，可得即可求解． 【详解】解：连接， ∵E，F是边上的三等分点， ∴， ∵ ∴， ∵点为的边上的中点， ∴，即， ∵， ∴． 答：的面积是12． 【题型11 高与角平分线夹角的角度计算】 【例11】（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中线的性质可判断A选项； 根据角平分线平分角、同角的余角相等，以及对顶角相等可判断B选项；利用等面积法可判断C选项；先说明，，即，即可判断D选项． 【详解】解：A．∵是的中线， ∴， ∴ (等底等高的两个三角形面积相等)，故A正确，不符合题意； B．∵是角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即B选项正确； C．∵， ∴，解得：，即C选项正确； D．∵， ∴， ∵， ∴，即，故D选项，错误，符合题意． 【变式11-1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，是高，是角平分线，，．求： (1)的度数； (2)的度数； (3)的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理进行解答即可； （2）根据角平分线的定义，外角的性质，进行解答即可； （3）根据垂直的定义，直角三角形两锐角互余，以及角的和差关系，进行解答即可． 【详解】（1）解：在中，． （2）解： 平分，， ， ． （3）解： 是的高，即， ， ． 由（2）可知，， ． 【变式11-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为________． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的角平分线，三角形高的含义，根据三角形的高的位置分别画图，再结合图形解答即可． 【详解】解：如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴， 如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴； 综上：为或； 故答案为：或； 【变式11-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点A、C重合），连接交于点． (1)若是的中线，，求与的周长之差； (2)若是的高，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义得到，利用三角形的周长公式表示出与的周长，两者相减即可得出答案； （2）根据三角形的高的定义得到，根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴． ∵， ∴的周长，的周长． ∴与的周长之差为 ． （2）解：∵是的高， ∴． ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【题型12 外角与角平分线综合求角度】 【例12】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，是的边上一点，连接，，． (1)求的大小； (2)若，试说明：平分． 【答案】(1) (2)证明：设，， ， 即， ， ， ， 平分． 【分析】（1）根据三角形的外角性质得出，结合题意即可求解； （2）根据题意设，，结合三角形内角和是，列出方程，解方程求出的值，求出，结合角平分线的定义即可证明． 【详解】（1）解：是的外角， ， ， ． （2）略 【变式12-1】（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在中，，，是的角平分线，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义求得，进而根据三角形的外角性质即可求得的度数． 【详解】解：，是的角平分线， ， 又， ． 【变式12-2】（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图所示，在中，，的角平分线与的外角的平分线所在的直线交于点D，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，设，，构建方程组求解即可． 【详解】解：设，， 则有，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式12-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，用铁丝折成一个四边形（点在直线的上方），且，若要使，的平分线相交构成的角的度数为，则可保持不变，将增大______． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质与角平分线的计算，熟知三角形外角与内角之间的关系是解题的关键．连接并延长至点，根据三角形外角的性质可推出，结合已知条件和角平分线的定义可得，同理可得，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接并延长至点， ∵， ， ， ， 分别平分， ， 同理可得，， ， 需将增大． 故答案为：10． 【题型13 折叠问题中利用内角和求角度】 【例13】（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，点D，E，F分别在的各边上，，．将沿翻折， 使得点B落在 处，沿翻折，使得点C 落在处．若，则________°． 【答案】70 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【详解】解：设， ∵将沿翻折， 使得点B落在 处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折，使得点C 落在处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式13-1】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形的为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在图①的中，根据三角形内角和定理，可求得；结合折叠的性质和图②和图③可知：，即可在中，得到另一个关于、度数的等量关系式，联立两式即可求得的度数． 【详解】解：如图：    在中， 则； 根据折叠的性质知：，； 在中，则有：， 即； ，得， 解得． 故选：A 【点睛】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现和的倍数关系是解答此题的关键． 【变式13-2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，将沿（点在边上）所在直线翻折，翻折后的对应边交于点，又将沿所在直线翻折，翻折后点的对应点恰好落在上，若，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．根据折叠得出，，，，根据三角形外角性质得出，设，则，，根据三角形内角和定理得出，解方程即可． 【详解】解：根据折叠可知：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 【变式13-3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，将边沿着过点B的一条直线翻折，使点C落在边上的点D，展开后再将边沿着直线翻折，点C刚好落在边上的点E处，连接，则__________． 【答案】/18度 【分析】先由轴对称的性质得到，，，再根据等腰三角形的性质得到，设，，则，根据三角形内角和得，即，得根据三角形外角性质得方程即，求解即可． 【详解】解：∵将边沿着过点B的一条直线翻折，使点C落在边上的点D， ∴， ∵将边沿着直线翻折，点C刚好落在边上的点E处， ∴，， ∵， ∴， 设，，则， 在中， ∴，即 ∵在中，， 又∵， ∴即 把②代入①，解得： ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【题型14 从多根木棒中选三根组成三角形求个数】 【例14】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余．重叠和折断，能摆出不同的三角形的个数是　（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解．在组合三角形的时候，注意较小的2边之和应大于最大的边，三角形三边之和等于12． 【详解】解：设摆出的三角形的三边有两边是根，根，则第三边是根， 根据三角形的三边关系定理得到： 得到：，，， 又因为，是整数，因而同时满足以上三式的，的分别值是（不计顺序）：，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5． 则第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2． 因而三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，则能摆出不同的三角形的个数是3． 故选：C． 【变式14-1】（25-26七年级下·山东·期末）以，，，四根木条中的三根组成三角形，可以构成的三角形的个数是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】从、、、这四根木条中任取根，共有种不同的取法，分别为： 、、， ∵， ∴以、、可以组成三角形； 、、， ∵， ∴以、、可以组成三角形； 、、， ∵， ∴以、、不可以组成三角形； 、、， ∵， ∴以、、可以组成三角形； 综上可知：能构成三角形的个数为个， 故选：． 【变式14-2】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边可画出三角形的个数是___个。 【答案】3 【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可． 【详解】首先可以组合为13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7．再根据三角形的三边关系，发现其中的13，5，7不符合，则可以画出的三角形有3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系：即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．这里一定要首先把所有的情况组合后，再看是否符合三角形的三边关系． 【变式14-3】（24-25七年级下·四川成都·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是______． 【答案】17 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2025个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是， 故答案为：17． 【题型15 利用外角性质求多个角的和】 【例15】（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，的度数相同，，，则的度数为______； 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形的内角和，外角，角平分线，掌握知识点是解题的关键． 在图①中，用的式子表示出，进而用含有的式子表示出，在图②中，先用含有的式子表示出，进而表示出，再表示出，然后表示出，即可求解． 【详解】解：设， 如图① ∵是的外角， ∴， ∵， ∴； ∴ ∵是的外角， ∴， ∴， 图②中，， ，， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 【变式15-1】（25-26九年级·全国·单元测试）如图，，求的度数. 【答案】. 【分析】根据三角形的内角和定理即可求解 【详解】解： 在中， 在中， 在中， 在中， ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键 【变式15-2】（25-26八年级上·湖北黄冈·期中）求如图星形中, ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数． 【答案】180° 【详解】试题分析： 试题解析：将AC,BD相交的点命名为F,将AC,BE相交的点命名为G ∵∠A+∠D=∠AFB,∠AFB+∠B=∠CGE ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠AFB+∠B+∠C+∠E =∠CGE+∠C+∠E =三角形CGF的内角和 =180º 考点：1.三角形的内角和;2.多边形的内角和 【变式15-3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）七下数学页有：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 探究：利用上述性质，求出如图五角星中的度数和． 发现：直接写出七角星中，的度数和为______． 【答案】探究：；发现： 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理与外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角的性质，正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． 探究：根据三角形外角的性质求出和，再根据三角形的内角和定理求出答案即可； 发现：根据三角形外角的性质求出、和，再根据三角形的内角和定理求出答案即可． 【详解】解：探究：如图所示， ，，， ，即； 发现：如图所示： ，，， ， ，， ，即， 故答案为：． 【题型16 中线与角平分线综合】 【例16】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，是边上的高，是中线，的平分线交于点，交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据等底等高的两个三角形面积相等即可判断； ②根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠CAD，再由三角形外角性质即可判断； ③根据三角形内角和定理求出∠FAG=∠ACD，再根据三角形角平分线定义即可判断； ④根据等腰三角形的性质即可判断． 【详解】解：∵BE是中线， ∴AE=CE， ∴S△ABE=S△BCE， 故①正确； ∵CF是角平分线， ∴∠ACF=∠BCF， ∵AD是高， ∴∠ADC=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠CAD=90°， ∴∠ABC=∠CAD， ∵∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF， ∴∠AFG=∠AGF， 故②正确； ∵AD是高， ∴∠ADB=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠ACB=∠BAD， ∵CF是角平分线， ∴∠ACB=2∠ACF， ∴∠BAD=2∠ACF， 即∠FAG=2∠ACF， 故③正确； ∵CF平分∠ACB， ∴只有当AC=BC时，AF=FB， 故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线，中线和高的定义，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线，中线，高的定义是解题的关键，属于基础题． 【变式16-1】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形中线等分三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点．设交于点，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得.，推出当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交于点，设交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，△的面积最大，最大面积为． 图中两个阴影部分面积之差的最大值为8， 故选：B． 【变式16-2】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为30，，则点A到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义即可求解； （2）根据中线的定义得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵为的角平分线，， ∴； （2）解：∵为的中线，， ∴， 设点A到边的距离为， ∵， ∴， 解得， ∴点A到边的距离为6． 【变式16-3】（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，、分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为_____； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的中线、高、角平分线，三角形外角的定义及性质，直角三角形两锐角互余，三角形的周长等知识点，掌握三角形的中线、高、角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义得，然后计算即可； （2）根据三角形的高得，根据直角三角形两部角互余得，根据三角形外角的性质得，根据三角形的角平分线得，可得答案． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴ ， ∴与的周长差为， 故答案为：； （2）∵是的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即的度数为． 【创新思辨】 【题型17 利用三边关系化简含绝对值表达式】 【例17】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 【变式17-1】（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）已知的三边长分别为，，，化简________． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，整式的加减，正确得出的取值范围是解题关键．利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为，，， 所以． 解得． ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式17-2】（25-26七年级下·江西萍乡·期末）已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形三边关系，判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质，去掉绝对值符号，化简即可． 【详解】解：∵、、是的三边长， ∴，， ∴，． ∴． 【变式17-3】（2025八年级上·四川绵阳·专题练习）（1）三角形三边长分别为3，，4，则a的取值范围是________． （2）三角形三边长分别为2，，4，则化简的结果是________． （3）已知． ①a的取值范围是________； ②如果是等腰三角形，那么的周长是__________ 【答案】 【分析】（1）根据三角形三边长的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列不等式求解即可； （2）同（1）求出a的取值范围，再化简绝对值计算； （3）根据等腰三角形及三角形三边长的关系，分情况讨论得到周长即可． 【详解】解：（1）根据题意，， 解得：； （2），解得， ， ； （3）①，解得， ②如果是等腰三角形， 当时，，不符合题意； 当时，此时的周长是． 【题型18 多次中线嵌套求面积】 【例18】如图，，若，则________． 【答案】 【分析】先求出，根据三角形中线的性质可得出，进而求出，即可求解. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【变式18-1】（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，已知的面积为12，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】4 【分析】连接，过作 交的延长线于，证出平行四边形，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可． 【详解】解：连接，过作 交的延长线于，如图所示：   四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 边上的高和的边上的高相同， 的面积和的面积相等， 同理：的面积和的面积相等， 阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半， 设上的高为， 平行四边形的面积 ， ∵， ∴， 的面积是12， ， ， 阴影部分的面积是． 【变式18-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【答案】A 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得的值，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 【变式18-3】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 (1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 (2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)； 证明：∵是的中线， ∴是的中线， ∴, 同理可得：,, 设，， ∴, ∵ ∴ ∴ 同理可知，， ∴ ∴,, ∴ (3)30 【分析】（1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等； （2）根据中线可知，根据面积转化即可求得，进而可判断相等； （3）连接，延长交于点，根据面积公式可知，，即可求解，进而可求解面积． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵和的高相等， 则两个三角形的面积相等； （2）略 （3）连接，延长交于点， 由（2）可知， ∵， ∴, 同理可知, ∵，， ∴,, ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 【题型19 经典模型（A字、8字、飞镖）求角度】 【例19】（25-26八年级上·湖南湘西·阶段检测）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 【变式19-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可． 【详解】 解：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 【变式19-2】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 【变式19-3】（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则________． 【答案】105° 【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD＋∠CDE的度数，从而求出∠PCD＋∠PDC的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD的度数． 【详解】解：∵∠A＝160°，∠B＝80°，∠E＝90°， ∴∠BCD＋∠CDE＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°， ∴∠PCD＋∠PDC＝（180°×2−210°）＝75°， 在△CPD中，∠CPD＝180°−（∠PCD＋∠PDC）＝180°−75°＝105°， 故答案为：105°． 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD＋∠CDE的度数是解题的关键． 【题型20 中线、高、角平分线综合角度与线段计算】 【例20】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，．则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中线的定义，可判断A；根据角平分线的定义以及同角的余角相等，可判断C；根据等角的余角相等，对顶角相等，可判断D；即可得出结论． 【详解】解：A 、是的中线， ， ， ，故A选项正确； B、条件不足，无法得到，故B选项错误； C 、，分别是的高和角平分线， ，， ， ， ， ，故C选项正确； D、，， ，， ， ， ， ，故D选项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，同（等）角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式20-1】（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图，在中，，是中线，是角平分线，是高，则下列说法中正确的是__．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】①② 【分析】本题考查中线、高线、角平分线、三角形面积和角之间的换算，角之间的换算是关键． 根据中线、高线、角平分线、三角形面积和角之间的换算逐一分析即可． 【详解】解：∵是中线， ∴，①正确； 在中，，②正确； 与的高相等，底， ∴，③错误； 由题意可知，， ， 又， ， ， ， ，④错误； 故答案为：①②． 【变式20-2】（25-26七年级下·陕西·期中）如图，在中，，，，，是边上的高，是中线，平分，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①三角形的中线将三角形分成等底等高、面积相等的两部分，故； ②根据直角三角形的面积公式，用面积法可算出斜边上的高； ③通过“同角的余角相等”和“对顶角相等”，可推出； ④利用“同角的余角相等”和角平分线，可推出等于，即． 【详解】解：① 是中线， ， 等底等高的两个三角形面积相等， ，正确； ② ，，，，是边上的高， ， ， 解得，正确； ③ ，， ，， 平分， ， ， ， ，正确； ④ ，， ，， ， ， ，正确． 综上，正确的说法有个． 【变式20-3】（25-26七年级下·河北石家庄·期末） 如图，AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线． （1）对于下面的五个结论：①BC=2BF；②∠CAE=∠CAB；③BE=CE；④AD⊥BC；⑤S△AFB=S△ADC．其中错误的是______(只填序号)； （2）若∠C=70°，∠ABC=28°，求∠DAE的度数．    【答案】（1）③⑤；（2）21°。 【分析】（1）根据三角形的高、角平分线和中线的定义即可得到AD⊥BC，∠CAE=∠CAB，BC=2BF，S△AFB=S△AFC，无法确定AE=BE，S△AFB=S△ADC． （2）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-∠ABC-∠C=82°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE=∠CAB=41°，∠ADC=90°，则∠DAC=90°-∠C=20°，然后利用∠DAE=∠CAE-∠DAC计算即可． 【详解】（1）∵AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线， ∴AD⊥BC，∠CAE=∠BAE=∠CAB，BF=CF，BC=2BF， ∵S△AFB=BF•AD，S△AFC=CF•AD， ∴S△AFB=S△AFC，故①②④正确， ∵BF=CF， ∴BE＞CE， ∵BF＞CD， ∴S△AFB＞S△ADC．故③⑤错误， 故答案为③⑤． （2）∵∠C=70°，∠ABC=28°， ∴∠CAB=180°-∠ABC-∠C=82°， ∴∠CAE=∠CAB=41°， ∵∠ADC=90°，∠C=70°， ∴∠DAC=20° ∴∠DAE=∠CAE-∠DAC=41°-20°=21°． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，三角形内角和为180°．也考查了三角形的面积． 【题型21 直角三角形与动点综合】 【例21】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）如图，已知在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连结，在整个运动中，当垂直三角形中的一边时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了图形的平移，三角形内角和，直角三角形中两锐角互余，掌握平移的性质，平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 根据题意，分类讨论：①当；②当时；③当时；图形结合，根据三角形内角和，直角三角形两锐角互余，平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴， ①当时，即时，如图所示， ； ②当时，如图所示， ∴， ∴； ③当时，如图所示， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为：或或， 故答案为：或或 ． 【变式21-1】（25-26七年级下·广东佛山·期中）高桩舞狮是岭南地区的传统文化之一，以其在梅花桩上的闪转腾挪最为精彩绝伦．如图，在地面垂直放置了三支高桩、、，运动员从点的方向运动，已知，，则的度数为________． 【答案】120 【分析】过点C作，交于点M，交于点N，易证，，即可求出，，即可求解． 【详解】解：过点C作，交于点M，交于点N， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，直角三角形两个锐角互余，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 【变式21-2】（24-25七年级下·山东济南·期末）数学课上，在复习“三角形”这一章时，老师提出如下问题：如图，在中，，为的角平分线，点为角平分线上的一点并在（包括点，不包括点）上运动，过点向边作垂线，垂足为，请你猜想在点运动过程中，，，的数量关系，并说明理由． (1)一组同学通过画图的方式探究点运动到点时的情况（如图），尝试改变，，具体的数值求的值，对应值如下： /度 /度 /度 由表中数据可得， ______， ______； (2)二组同学受到启发，开始研究点在线段上（不包括端点、）运动时的情况（如图），很快发现了，，之间的数量关系：______； (3)三组同学提出：如果点在直线上（不包括点、）运动（如图），，，之间有什么样的数量关系呢？请你帮助他们解答并证明． 【答案】(1)，； (2) (3) 结论：． 理由：如图中，过点作于点． 与（2）证法过程完全相同可得结论：． 【分析】本题考查了三角形的角平分线性质、直角三角形的性质以及角度之间的等量代换，解题的关键是通过作辅助线（如过点A作的垂线），将所求角度与已知角（）建立联系，利用角的和差关系进行推导． （1）观察表格数据，发现与的差值存在倍数关系，通过前两组数据推测出规律，代入数值计算得出 和的值．； （2）过点 A 作 的垂线，利用角平分线性质表示出，结合直角三角形中与的关系，通过进行等量代换，推导出； （3）同样过点A作BC的垂线，借鉴小问2的推导思路，通过角度之间的和差关系，证明即使点F在直线上（不包括），仍有． 【详解】（1）由表中数据推测： ，． 故答案为：，； （2）结论：． 理由：如图，过点作于点． 则，① 平分， ，② ， ，③ 由①②③得， 故答案为：； （3）略 【变式21-3】（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图1，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都是． (1)连接交于点M，则在P、Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)何时是直角三角形？ (3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线、的交点为M，则的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【答案】(1)不变， (2)当第2秒或第4秒时，为直角三角形 (3) 【分析】（1）因为点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，所以．，，因而运用边角边定理可知．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数． （2）设时间为，则，．分别就①当时；②当时利用直角三角形的性质定理求得的值． （3）首先利用边角边定理证得△，再利用全等三角形的性质定理得到．再运用三角形角间的关系求得的度数． 【详解】（1）解： 不变． 等边三角形中，，， 又由条件得， 在与中， ， ， ． （2）解：设时间为，则，， ①当时， ， ，得，； ②当时， ， ，得，； 当第2秒或第4秒时，为直角三角形． （3）解：不变． 在等边三角形中，，， ， 又由条件得， 在与中， ， ， 又， ． 【点睛】此题是一个综合性很强的题目．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．一元一次方程的应用，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神． 【题型22 外角性质与平行线综合角度证明】 【例22】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，一副三角尺△ABC与△ADE的两条斜边在一条直线上，直尺的一边GF∥AC，则∠DFG的度数为_____________. 【答案】105° 【分析】解法一：利用平行线的性质定理∠CFG=180°-∠C =90°，利用等角的余角相等得出∠CFD=∠CAD=15°，它们之和即为∠DFG； 解法二：利用平行线的性质定理可求出∠FGE=∠CAB=60°，再利用三角形的外角和可求出∠FGE=∠FGE+∠DEA=105°. 【详解】解法一：∵GF∥AC，∠C=90°， ∴∠CFG=180°-90°=90°， 又∵AD，CF交于一点，∠C=∠D， ∴∠CAD=∠CFD=60°-45°=15°， ∴∠DFG=∠CFD+∠CFG=15°+90°=105°． 解法二：∵GF∥AC，∠CAB=60°， ∴∠FGE=60°， 又∵∠DFG是△EFG的外角，∠FEG=45°， ∴∠DFG=∠FGE+∠FEG=60°+45°=105°， 故答案为105°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【变式22-1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，利用平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式22-2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图1，将一只含角的直角三角板按如图摆放，其中，顶点A，C分别在直线上（），此时恰好平分，交直线于D点，过D点作交于E点，连接，在上取一点F，使，的角平分线交于G点． (1)_______°； (2)求证：平分； (3)现将三角板绕顶点A逆时针旋转一定的度数（如图2），的延长线交于点K，连接，过D点作交于E点，在上取一点F，使得相等，的角平分线交于G点，若，求此时的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形性质，得到，结合条件，得到，求解即可． （2）根据，得到，结合条件，得到，求解即可． （3）设，，，根据题意，得 ，，确定x，y之间的关系计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． （3）设，，，根据题意，得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵的角平分线交于G点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴， 故． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的意义，三角形外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 【变式22-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，，． (1)证明：； (2)如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数； (3)如图3，点P，G分别在线段，上，连接，作的平分线交于点Q，若点H是线段上一点，连接，且．设，，，求，，之间的数量关系． 【答案】(1) 证明：， 又，， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，利用已知条件，及等式的性质可得，根据内错角相等两直线平行即可得证； （2）由直角三角形的两个锐角互余及已知条件可得，由与的平分线交于点可得，过作，由平行公理推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，由即可得出答案； （3）设，则，，由（1）可得，利用平行线的性质可得，，由三角形外角的性质可得，，由、可得，利用等式的性质消去即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 与的平分线交于点， ，， ， 如图，过作， 由（1）可得：， ， ，， ； （3）解：如图，当在线段上， 设，则，， 由（1）可得：， ，， ， ， ，，，的平分线交于点Q， ，， 由、可得： ， ，，之间的数量关系为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等式的性质，内错角相等两直线平行，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的有关计算，平行公理推论的应用，两直线平行内错角相等，三角形外角的性质，列代数式，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形内外角之间的有关计算是解题的关键． 【题型23 含参数的三角形分类讨论】 【例23】（25-26七年级下·上海·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得到，点、对应点分别为、，线段交边于点．连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是________． 【答案】 或 【分析】根据旋转性质可得，，，，设旋转角，用表示的三个内角，分类讨论为等腰三角形的情况求出，进而求出，利用求解即可. 【详解】解：在中，，， ， 将绕点旋转得到， ，，，，， 设旋转角，则， ， ， 线段交边于点， ，且点在线段上， ， ， 在中，，， 是等腰三角形， 分三种情况讨论： 当时，， 则，解得， ②当时，， 则，解得； ③当时，， 则，无解， ，， ， ， ，射线在内部 ， ， 当时，， 当时，； 综上所述，的度数是或. 【变式23-1】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）两个直角三角形如图摆放，，，，点在上，点与点重合，平分，现将绕着点F顺时针旋转（），当的一边与的一边平行时（不考虑重合），则旋转角________． 【答案】或或或 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的性质求出各角的度数，再根据旋转的性质和平行线的判定分情况进行判断． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 如下图所示，当绕着点顺时针旋转时，， ， ， ， ； 如下图所示，当绕着点顺时针旋转时，， ； 如下图所示，当绕着点顺时针旋转时，， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，当绕着点顺时针旋转时，， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，当旋转角或或或时，的一边与的一边平行． 【变式23-2】（25-26八年级下·河南郑州·开学考试）如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使，则的度数为_________． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质，折叠的性质以及三角形的内角和为180度，进行求解即可. 【详解】解：如图2，当点在上方时， ∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 如图3，当点在下方时， 则， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或． 【变式23-3】（25-26七年级下·山东日照·期末）如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系可能是：________． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】先根据平行线和角平分线的性质求出的度数，分点P在点E与之间、点P在下方、点P在点E上方三种情况讨论，利用三角形外角的定义建立、和的关系，据此判断即可． 【详解】解：， ， 平分， ， 分情况讨论： （1）当点P在点E与之间时： 设与交于点， 是和的外角， ， ， ； （2）当点P在下方时： 如图，延长交于点， 是的外角， ， 是的外角， ， ； （3）当点P在点E上方时： ， 在四边形中，， ， ， 综上所述，点在运动过程中，与的关系可能是：①②③． 【题型24 多个直角三角形嵌套角度探究】 【例24】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，点在线段延长线上，为线段上一点，的平分线于点，和的平分线相交于点，设，则的度数为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】利用三角形内角和定理可得，根据等腰三角形的三线合一定理可以求出，根据直角三角形两锐角互余可得：，根据角平分线的性质可得，根据三角形外角的性质可得，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ∵， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ， ． 【变式24-1】（25-26七年级下·上海·阶段检测）中，与这两条边上的高所在直线的夹角为50度，那么___________度． 【答案】 或 【分析】本题需要分为锐角和钝角两种情况讨论，结合直角三角形两锐角互余的性质，四边形的内角和，求解角度． 【详解】解：①当为锐角时，设边上的高为，边上的高为，与交于点， 由题意得，两条高所在直线的夹角， ，， ， ． ②当为钝角时，设边上的高与边上的高交于点， 由题意得， ，， ， ， ． 综上，的度数为或． 【变式24-2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【变式24-3】（2026·江西上饶·一模）将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点在上．现将三角尺（）固定不动，将三角尺（）绕顶点顺时针旋转，则在整个旋转过程中，当直线与三角尺三边所在直线垂直时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】根据直角三角形的性质求出，，分三种情况分析：当直线与直线垂直时，根据直角三角形的性质求出，即可求出；当直线与直线垂直时，根据平行线的判定和性质得出，即可求出；当直线与直线垂直时，根据直角三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：根据题意可得，，， 当直线与直线垂直时， 与的交点为点，如图所示， 则， ∴， ∴； 当直线与直线垂直时，与的交点为点，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当直线与直线垂直时，与的交点为点，如图所示， 则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材人教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 判断三条线段能否组成三角形】 1 【题型2 已知两边求第三边取值范围】 2 【题型3 利用中线性质求线段长】 2 【题型4 利用角平分线求角度】 3 【题型5 三角形内角和的计算与证明】 4 【题型6 利用外角性质求未知角】 5 【题型7 直角三角形中已知一锐角求另一锐角】 6 【题型8 按角或按边判断三角形类型】 7 【进阶拔高】 8 【题型9 三边关系与等腰三角形综合求周长】 8 【题型10 利用中线平分面积求三角形面积】 8 【题型11 高与角平分线夹角的角度计算】 9 【题型12 外角与角平分线综合求角度】 10 【题型13 折叠问题中利用内角和求角度】 11 【题型14 从多根木棒中选三根组成三角形求个数】 12 【题型15 利用外角性质求多个角的和】 13 【题型16 中线与角平分线综合】 14 【创新思辨】 15 【题型17 利用三边关系化简含绝对值表达式】 15 【题型18 多次中线嵌套求面积】 15 【题型19 经典模型（A字、8字、飞镖）求角度】 17 【题型20 中线、高、角平分线综合角度与线段计算】 18 【题型21 直角三角形与动点综合】 19 【题型22 外角性质与平行线综合角度证明】 21 【题型23 含参数的三角形分类讨论】 22 【题型24 多个直角三角形嵌套角度探究】 23 【夯实基础】 【题型1 判断三条线段能否组成三角形】 【例1】（24-25七年级上·山东泰安·阶段检测）下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，5，10 D．2，8，7 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）下面的图中，三条线段首尾相接能围成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）三角形中，已知两边长为和，还有一边与前面两边中的一边长相等，这个三角形的周长是_____． 【变式1-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）现有4根木条、长度分别为（单位：）：，从中取出三根连成一个三角形__________________ ．（任写一种即可） 【题型2 已知两边求第三边取值范围】 【例2】（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东德州·期中）三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 【变式2-2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）小明有两根长度分别为的木棒，他想钉一个三角形木框架，则第三根木棒的长度可以是___________cm．（只写一个即可） 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·期末）若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足，则第三边长c的取值范围是_____． 【题型3 利用中线性质求线段长】 【例3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是的中线，的周长比的周长多，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【变式3-2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 【变式3-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是边上的中线，若和的周长之差为，且与的和为，则__________，__________． 【题型4 利用角平分线求角度】 【例4】（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，中，，点在上，于点．若，，则_____．    【变式4-1】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，是的平分线，若，，则的度数是__________． 【变式4-2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）在中，点O为和角平分线的交点，，则_______． 【变式4-3】（25-26七年级下·河南驻马店·期末）已知如图，在中，点D，E分别在和上，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的度数； (3)在第（2）问的基础上，若平分，交于点F，则__________． 【题型5 三角形内角和的计算与证明】 【例5】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 【变式5-1】（24-25六年级上·广西防城港·开学考试）李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为______． 【变式5-3】（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，在中，，，边上的高为，则的度数为________． 【题型6 利用外角性质求未知角】 【例6】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，点在的延长线上，，则_____． 【变式6-1】（25-26八年级下·广东揭阳·期末）体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则的度数是（     ）          A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在和中，与相交于点．若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，把沿折叠，点A与上的点D重合，则______ ． 【题型7 直角三角形中已知一锐角求另一锐角】 【例7】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，工地地面的钢架直线与轨道直线形成的夹角．为了加固钢架，施工队需要在支点处焊接一根支撑柱连接轨道，为节省钢材，要让支撑柱用料最短，则支撑柱与钢架形成的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级上·广东广州·期末）中，，，则______． 【变式7-2】（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，平分，，，，则是____三角形． 【题型8 按角或按边判断三角形类型】 【例8】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【变式8-1】（25-26六年级下·黑龙江大庆·阶段检测）一个三角形三个内角度数之比是，它是一个_____．（填锐角三角形，直角三角形或钝角三角形） 【变式8-2】（25-26六年级下·上海·开学考试）在三角形中，，最大角( )度．如果按角分类，这是( )三角形．如果按边分类，这是( )三角形． 【变式8-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列四个条件： ①在中，都是锐角； ②的三个内角的度数之比是； ③在中，； ④的三个外角的度数之比是． 其中能确定是直角三角形的是______（只填序号）． 【进阶拔高】 【题型9 三边关系与等腰三角形综合求周长】 【例9】（25-26八年级上·云南昭通·期中）（1）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则该等腰三角形的周长是__________． （2）若等腰三角形的周长是，则它的腰长的取值范围是__________． 【变式9-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）等腰三角形的两边长a、b满足，则该等腰三角形的周长是________． 【变式9-2】（25-26七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，若这个等腰三角形的一边长为，则等腰三角形的周长为____________． 【变式9-3】（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”的值为______． 【题型10 利用中线平分面积求三角形面积】 【例10】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 【变式10-1】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 【变式10-2】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【变式10-3】（25-26七年级下·重庆·开学考试）如图，点为的边上的中点，、是边上的三等分点．已知，求的面积． 【题型11 高与角平分线夹角的角度计算】 【例11】（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，是高，是角平分线，，．求： (1)的度数； (2)的度数； (3)的度数． 【变式11-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为________． 【变式11-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点A、C重合），连接交于点． (1)若是的中线，，求与的周长之差； (2)若是的高，，求的度数． 【题型12 外角与角平分线综合求角度】 【例12】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，是的边上一点，连接，，． (1)求的大小； (2)若，试说明：平分． 【变式12-1】（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在中，，，是的角平分线，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图所示，在中，，的角平分线与的外角的平分线所在的直线交于点D，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，用铁丝折成一个四边形（点在直线的上方），且，若要使，的平分线相交构成的角的度数为，则可保持不变，将增大______． 【题型13 折叠问题中利用内角和求角度】 【例13】（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，点D，E，F分别在的各边上，，．将沿翻折， 使得点B落在 处，沿翻折，使得点C 落在处．若，则________°． 【变式13-1】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形的为（    ）    A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，将沿（点在边上）所在直线翻折，翻折后的对应边交于点，又将沿所在直线翻折，翻折后点的对应点恰好落在上，若，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，将边沿着过点B的一条直线翻折，使点C落在边上的点D，展开后再将边沿着直线翻折，点C刚好落在边上的点E处，连接，则__________． 【题型14 从多根木棒中选三根组成三角形求个数】 【例14】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余．重叠和折断，能摆出不同的三角形的个数是　（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式14-1】（25-26七年级下·山东·期末）以，，，四根木条中的三根组成三角形，可以构成的三角形的个数是（      ） A． B． C． D． 【变式14-2】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边可画出三角形的个数是___个。 【变式14-3】（24-25七年级下·四川成都·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是______． 【题型15 利用外角性质求多个角的和】 【例15】（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，的度数相同，，，则的度数为______； 【变式15-1】（25-26九年级·全国·单元测试）如图，，求的度数. 【变式15-2】（25-26八年级上·湖北黄冈·期中）求如图星形中, ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数． 【变式15-3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）七下数学页有：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 探究：利用上述性质，求出如图五角星中的度数和． 发现：直接写出七角星中，的度数和为______． 【题型16 中线与角平分线综合】 【例16】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，是边上的高，是中线，的平分线交于点，交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号） 【变式16-1】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ） A． B．8 C．6 D．4 【变式16-2】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为30，，则点A到边的距离为多少？ 【变式16-3】（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，、分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为_____； (2)若，，求的度数． 【创新思辨】 【题型17 利用三边关系化简含绝对值表达式】 【例17】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【变式17-1】（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）已知的三边长分别为，，，化简________． 【变式17-2】（25-26七年级下·江西萍乡·期末）已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式17-3】（2025八年级上·四川绵阳·专题练习）（1）三角形三边长分别为3，，4，则a的取值范围是________． （2）三角形三边长分别为2，，4，则化简的结果是________． （3）已知． ①a的取值范围是________； ②如果是等腰三角形，那么的周长是__________ 【题型18 多次中线嵌套求面积】 【例18】如图，，若，则________． 【变式18-1】（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，已知的面积为12，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为_______． 【变式18-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【变式18-3】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 (1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 (2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 【题型19 经典模型（A字、8字、飞镖）求角度】 【例19】（25-26八年级上·湖南湘西·阶段检测）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【变式19-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【变式19-2】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【变式19-3】（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则________． 【题型20 中线、高、角平分线综合角度与线段计算】 【例20】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，．则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式20-1】（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图，在中，，是中线，是角平分线，是高，则下列说法中正确的是__．（填序号） ①；②；③；④． 【变式20-2】（25-26七年级下·陕西·期中）如图，在中，，，，，是边上的高，是中线，平分，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式20-3】（25-26七年级下·河北石家庄·期末） 如图，AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线． （1）对于下面的五个结论：①BC=2BF；②∠CAE=∠CAB；③BE=CE；④AD⊥BC；⑤S△AFB=S△ADC．其中错误的是______(只填序号)； （2）若∠C=70°，∠ABC=28°，求∠DAE的度数．    【题型21 直角三角形与动点综合】 【例21】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）如图，已知在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连结，在整个运动中，当垂直三角形中的一边时，的度数为______． 【变式21-1】（25-26七年级下·广东佛山·期中）高桩舞狮是岭南地区的传统文化之一，以其在梅花桩上的闪转腾挪最为精彩绝伦．如图，在地面垂直放置了三支高桩、、，运动员从点的方向运动，已知，，则的度数为________． 【变式21-2】（24-25七年级下·山东济南·期末）数学课上，在复习“三角形”这一章时，老师提出如下问题：如图，在中，，为的角平分线，点为角平分线上的一点并在（包括点，不包括点）上运动，过点向边作垂线，垂足为，请你猜想在点运动过程中，，，的数量关系，并说明理由． (1)一组同学通过画图的方式探究点运动到点时的情况（如图），尝试改变，，具体的数值求的值，对应值如下： /度 /度 /度 由表中数据可得， ______， ______； (2)二组同学受到启发，开始研究点在线段上（不包括端点、）运动时的情况（如图），很快发现了，，之间的数量关系：______； (3)三组同学提出：如果点在直线上（不包括点、）运动（如图），，，之间有什么样的数量关系呢？请你帮助他们解答并证明． 【变式21-3】（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图1，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都是． (1)连接交于点M，则在P、Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)何时是直角三角形？ (3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线、的交点为M，则的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【题型22 外角性质与平行线综合角度证明】 【例22】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，一副三角尺△ABC与△ADE的两条斜边在一条直线上，直尺的一边GF∥AC，则∠DFG的度数为_____________. 【变式22-1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式22-2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图1，将一只含角的直角三角板按如图摆放，其中，顶点A，C分别在直线上（），此时恰好平分，交直线于D点，过D点作交于E点，连接，在上取一点F，使，的角平分线交于G点． (1)_______°； (2)求证：平分； (3)现将三角板绕顶点A逆时针旋转一定的度数（如图2），的延长线交于点K，连接，过D点作交于E点，在上取一点F，使得相等，的角平分线交于G点，若，求此时的度数． 【变式22-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，，． (1)证明：； (2)如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数； (3)如图3，点P，G分别在线段，上，连接，作的平分线交于点Q，若点H是线段上一点，连接，且．设，，，求，，之间的数量关系． 【题型23 含参数的三角形分类讨论】 【例23】（25-26七年级下·上海·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得到，点、对应点分别为、，线段交边于点．连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是________． 【变式23-1】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）两个直角三角形如图摆放，，，，点在上，点与点重合，平分，现将绕着点F顺时针旋转（），当的一边与的一边平行时（不考虑重合），则旋转角________． 【变式23-2】（25-26八年级下·河南郑州·开学考试）如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使，则的度数为_________． 【变式23-3】（25-26七年级下·山东日照·期末）如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系可能是：________． ①；②；③；④． 【题型24 多个直角三角形嵌套角度探究】 【例24】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，点在线段延长线上，为线段上一点，的平分线于点，和的平分线相交于点，设，则的度数为_________．（用含的代数式表示） 【变式24-1】（25-26七年级下·上海·阶段检测）中，与这两条边上的高所在直线的夹角为50度，那么___________度． 【变式24-2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【变式24-3】（2026·江西上饶·一模）将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点在上．现将三角尺（）固定不动，将三角尺（）绕顶点顺时针旋转，则在整个旋转过程中，当直线与三角尺三边所在直线垂直时，的度数为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $