专题20.2.2二次根式化简求值综合 优等生讲义(知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

本讲义聚焦二次根式化简求值综合应用，系统梳理概念性质、混合运算、分母有理化（分单个根式、根式和差等类型）、化简求值技巧（整体代入、配方）及几何物理应用，构建从基础到综合的学习支架。 资料含思维导图总览课程内容，通过典例与压轴题训练，结合几何面积计算（如裁去小正方形求余下面积）和物理自由落体公式应用，培养抽象能力、推理能力与应用意识。课中辅助教师精准教学，课后通过针对性练习与复习建议，助力学生查漏补缺。

专题20.2.2二次根式化简求值综合 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习)新沪教版（五四制）数学8年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握二次根式的概念、性质及最简二次根式的判定。 · 熟练运用二次根式的乘除、加减法则进行混合运算。 · 理解“对偶式”的构造技巧，能利用平方差公式化简根式。 · 学会整体代入、配方法等化简求值策略，解决含参问题。 · 能将二次根式知识应用于几何面积、物理公式等实际情境。 · 通过压轴题训练，提升代数变形与逻辑推理能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数相同：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的。 · 运算结果要化为最简二次根式。 · 注意运用乘法公式（平方差、完全平方）简化运算。 · 有理数的运算律在二次根式中同样适用。 ☑ 典型例题 题目： 计算 的结果是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 原式 。 答案： B ☆ 2. 二次根式的化简求值 先化简代数式，再代入已知值计算。常用整体代入、配方变形等方法。 · 注意利用完全平方公式、平方差公式进行变形。 · 整体代入可简化计算。 ☑ 典型例题 题目： 已知 ，求 的值。 解析： 。由 ，得 ，代入得 。 答案： ☆ 3. 二次根式分母有理化 （1） 什么是分母有理化？ 把分母中的根号（二次根式）化去，使分母变为有理数的过程，称为分母有理化。 目的：简化运算、方便比较大小、便于合并同类项。 （2） 基本原理 利用公式： 以及平方差公式： 将分母中的根号“消除”。 （3） 常见类型及方法 类型一：分母为单个根式 如 方法：分子分母同乘 。 例题 1：化简 类型二：分母为两个根式的和或差 如 或 方法：利用平方差公式，分子分母同乘分母的共轭式。 的共轭为 的共轭为 的共轭为 公式： 例题 2：化简 类型三：分母含根号且系数不为1 如 或 方法：先提取系数，再按类型一或类型二处理。 例题 3：化简 例题 4：化简 解：分母共轭为 则 ※. 注意事项 根号下被开方数必须非负。 有理化后若分子出现可合并的同类项，应合并化简。 若分母含有多个根式，可多次有理化或寻找合适的共轭式。 ☆ 4. 二次根式的应用 利用二次根式表示几何图形的边长、面积、周长等，并进行运算。 · 常见于正方形、矩形、三角形等图形的面积和周长计算。 · 注意化简最简二次根式。 ☑ 典型例题 6 题目： 如图，从一个大正方形中裁去面积为 和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） 解析： 两个小正方形边长分别为 和 ，大正方形边长为 ，面积为 ，余下面积为 。 答案： ☆ 知识总结表 核心概念 定义/法则 注意事项 同类二次根式 化简后被开方数相同 先化简再判断 二次根式加减 化简后合并同类二次根式 不是同类不能合并 二次根式乘法 二次根式除法 混合运算 先乘方，再乘除，最后加减 结果化为最简 核心考点 ·7大典型考点精讲 【考点1】二次根式混合计算（第1–16题） 方法总结： · 先化简每个根式，再按运算顺序计算。 · 熟练运用乘法公式（平方差、完全平方）简化运算。 · 注意运算结果的化简，分母有理化要彻底。 · 对偶式技巧：(a+b)(a−b)=a−b。 1．（2025秋•徐汇区校级月考）若a，b都是有理数，且，则（　　） A．a＝11，b＝﹣6 B．a＝17，b＝﹣6 C．a＝11，b＝﹣12 D．a＝17，b＝﹣12 2．（2025秋•虹口区校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•静安区校级期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④．其中做错的题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025秋•黄浦区校级月考）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（　　） A． B． C． D． 5．（2025秋•杨浦区校级月考）学习小组设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　） A．小明和小丽 B．小红和小亮 C．小明和小亮 D．小丽和小红 6．（2024春•青浦区校级月考）下列说法错误的个数为（　　）个． （1）； （2）的倒数是； （3）； （4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2025秋•黄浦区校级月考）计算：　 　 ． 8．（2025秋•杨浦区校级月考）规定新运算：，如，则　 　 ． 9．（2025春•闵行区校级期中）若则x+y＝ 　 　 ． 10．（2025秋•浦东新区校级月考）求值：　 　 ． 11．（2025秋•浦东新区校级期末）（1）计算： （2）计算： 12．（2025秋•杨浦区期末）计算：． 13．（2025秋•普陀区校级月考）计算：． 14．（2025秋•长宁区校级月考）计算：4b．（b＞0） 15．（2025秋•浦东新区校级期中）计算 （1）； （2）（其中a＞0，b＞0）； （3）（其中a＞0，b＞0）； （4）（其中m≥0，n≥0，m≠n）． 16．（2025秋•闵行区月考）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 ＝18﹣x﹣11+x＝7 所以 （1）已知：，求的值； （2）结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：． 【考点2】二次根式化简求值（第17–32题） 方法总结： · 先化简代数式，再代入字母值计算。 · 利用配方、整体代入、换元等技巧。 · 注意字母的取值范围对化简结果的影响（如 a2=|a|）。 · 灵活运用已知条件变形，构造整体结构。 17．（2025秋•松江区期中）若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 18．（2026春•虹口区校级月考）已知，则的值为（　　） A． B．2 C．或2 D．或2 19．（2025秋•松江区校级月考）已知x+y＝﹣9，xy＝9，则值是（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 20．（2025秋•金山区期中）当时，化简（　　） A．0 B．2﹣6x C．2 D．6x﹣2 21．（2026•静安区校级模拟）若，，则a2﹣b2＝　 　 ． 22．（2025秋•闵行区月考）已知，请你化简下列代数式　 　 ． 23．（2025秋•黄浦区校级月考），其中a＝99，则y＝　 　 ． 24．（2024秋•杨浦区校级月考）若，则m3﹣3m2﹣2020m+2021的值是 　 　 ． 25．（2025秋•宝山区校级月考）定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 　 　 ． 26．（2022秋•虹口区校级月考）已知3，则的值为 　 　 ． 27．（2025秋•浦东新区校级期中）已知a、b满足0，求的值． 28．（2025秋•闵行区校级期中）已知，求代数式的值． 29．（2025秋•静安区校级期中）已知，求代数式的值． 30．（2025秋•虹口区月考）已知，求的值． 31．（2025秋•长宁区校级月考）已知y，求的值． 32．（2025秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值：（b25b），其中a＝2，b＝3． 【考点3】二次根式应用（第33–39题） 方法总结： · 几何问题：利用面积、周长公式列式，化简根式。 · 物理问题：套用公式（如自由落体、动能），代入计算。 · 实际建模：根据题意建立根式方程，求解并检验。 · 结果需根据实际意义取舍（如边长取正）。 33．（2025秋•闵行区校级月考）如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B． C．223 D．225 34．（2024秋•长宁区校级期中）如果一个三角形的三边长分别为1、k、4．则化简|2k﹣5|的结果是（　　） A．3k﹣11 B．k+1 C．1 D．11﹣3k 35．（2025秋•黄浦区校级期末）不等式的解集为　 　 ． 36．（2025秋•宝山区校级月考）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a、b、c，若a＝10，b＝12，c＝14，则△ABC的面积为　 　 ． 37．（2025秋•闵行区校级期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t（单位：s）和下落高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）物体从20m的高空落到地面的时间为　 　 s． （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为0.05kg的鸡蛋经过6s落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 38．（2025秋•闵行区校级月考）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为5：3． （1）围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ （2）围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 39．（2024秋•徐汇区校级月考）二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是cm，宽是cm，那么圆的半径应是多少？ 【考点4】创新及压轴题（第40–43题） 方法总结： · 观察规律（如数字序列、根式嵌套），归纳一般结论。 · 构造对偶式或配方法化简复合根式。 · 整体变形：将已知条件平方或移项，构造整体代入。 · 结合几何图形拼割，利用面积不变性列式。 40．（2025秋•长宁区校级月考）小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算： ①；②；③；④． 小明身边没有计算器，而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： ； ； ． （1）观察上述解法，直接写出结果： 　 　 ； （2）试用小明的方法求解出的结果； （3）根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 41．（2025秋•金山区校级月考）著名数学教育家G•波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如： ． 解决问题： （1）根据上述思路，试将予以化简； （2）根据上述思路，化简并求出的值； （3）当1≤x≤2时，化简． 42．（2025秋•长宁区校级月考）问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 小明是这样分析与解答的： ∵ ∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1）　 　 ； （2）计算：； （3）若，求a3﹣3a2+2a的值． 43．（2025秋•金山区校级月考）请阅读下列材料． 问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值． 解：根据，得（x﹣2）2＝5， ∴x2﹣4x+4＝5． ∴x2﹣4x＝1． ∴x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6． 总结：把已知条件适当变形，再整体代入可快速地解决问题． 应用： （1）已知，求代数式x2+4x﹣10的值； （2）已知，求代数式x3﹣x2﹣26x+5的值． 随堂检测 · 精选练习 练习1：二次根式混合计算（化简+运算）练习2：二次根式化简求值（先化简再代入） 练习3：二次根式化简求值（含字母参数） 44．（2025秋•长宁区校级期中）计算： （1）； （2）（a＞0，b＞0）； （3）． 45．（2025秋•金山区期中）先化简，再求值：，其中a＝3，． 【练习3】（2025秋•长宁区期中）先化简，再求值：，其中． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：二次根式乘除判断作业2：对偶式求值作业3：面积与根式应用 作业4：新定义 max 函数作业5：完全平方式求参数作业6：整体代入求值 作业7：分母有理化化简作业8：复合根式求值作业9：混合运算（含分母有理化） 作业10：分式化简求值作业11：根式性质化简作业12：矩形面积与根式 作业13：整体代入（二次）作业14：物理应用（自由落体） 💡 复习建议 夯实基础：熟记二次根式的性质与运算法则，尤其是 =|| 和分母有理化技巧。 强化计算：每天练习 3–5 道混合运算题，注重运算顺序和化简规范。 巧用对偶式：遇到含两个根号的和差问题，优先考虑构造对偶式消去根号。 整体意识：化简求值题中，先观察已知条件与所求式的结构，尝试整体代入。 实际应用：结合几何、物理背景，培养从实际问题中抽象出根式模型的能力。 【作业1】（2025秋•奉贤区期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【作业2】（2025春•武昌区校级期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 【作业3】（2025秋•崇明区期中）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　）cm2． A． B． C． D． 【作业4】（2024秋•嘉定区校级期中）已知max表示取三个数中最大的那个数，例如：当x＝9时，max81．当max时，则x的值为（　　） A． B． C． D． 【作业5】（2025秋•青浦区校级月考）若，且a、m、n均为正整数，则a的值是　 　 ． 【作业6】（2024秋•静安区校级期中）当时，多项式4x3﹣2025x﹣2022的值为 　 　 ． 【作业7】（2025春•石棉县期中）当x2时，则代数式x2+4x+6的值为 　 　 ． 【作业8】（2023秋•金山区期中）如果，则　 　 ． 【作业9】（2025秋•浦东新区校级期末）计算： （1）； （2）（a＞0）． 【作业10】（2025秋•普陀区校级期中）已知，，求的值． 【作业11】（2024秋•长宁区校级月考）化简： （1） 　 　 ； （2） 　 　 ； （3）当ab＜0时， 　 　 ； （4）当y＞0时， 　 　 ． 【作业12】（2025秋•青浦区校级期中）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为2m，宽为2m，广场中间有两块大小相同的小长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为（23）m，宽为（23）m． （1）求广场的周长； （2）除绿地部分，广场其他部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为每平方米50元，求这个广场铺地砖的费用． 【作业13】（2025秋•浦东新区校级期中）请阅读下列材料： 问题：已知x2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题： （1）已知x2，求代数式x2+4x﹣10的值； （2）已知x，求代数式x3+x2+1的值． 【作业14】（2025秋•黄浦区期中）高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． （1）研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间t（单位：s）和高度h（单位：m）满足公式，其中g＝9.8m/s2．假设一个物体从49m的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） （2）物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过65焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能E（单位：焦）可以用物体质量m（单位：kg）和初始位置的高度h（单位：m）近似表示，公式为E＝mgh，其中g＝9.8m/s2．假设从高度为35m的空中落下一个质量为0.2kg的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）？请通过计算说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.2.2二次根式化简求值综合 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习)新沪教版（五四制）数学8年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握二次根式的概念、性质及最简二次根式的判定。 · 熟练运用二次根式的乘除、加减法则进行混合运算。 · 理解“对偶式”的构造技巧，能利用平方差公式化简根式。 · 学会整体代入、配方法等化简求值策略，解决含参问题。 · 能将二次根式知识应用于几何面积、物理公式等实际情境。 · 通过压轴题训练，提升代数变形与逻辑推理能力。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数相同：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的。 · 运算结果要化为最简二次根式。 · 注意运用乘法公式（平方差、完全平方）简化运算。 · 有理数的运算律在二次根式中同样适用。 ☑ 典型例题 题目： 计算 的结果是（ ） A.   B.   C.   D. 解析： 原式 。 答案： B ☆ 2. 二次根式的化简求值 先化简代数式，再代入已知值计算。常用整体代入、配方变形等方法。 · 注意利用完全平方公式、平方差公式进行变形。 · 整体代入可简化计算。 ☑ 典型例题 题目： 已知 ，求 的值。 解析： 。由 ，得 ，代入得 。 答案： ☆ 3. 二次根式分母有理化 （1） 什么是分母有理化？ 把分母中的根号（二次根式）化去，使分母变为有理数的过程，称为分母有理化。 目的：简化运算、方便比较大小、便于合并同类项。 （2） 基本原理 利用公式： 以及平方差公式： 将分母中的根号“消除”。 （3） 常见类型及方法 类型一：分母为单个根式 如 方法：分子分母同乘 。 例题 1：化简 类型二：分母为两个根式的和或差 如 或 方法：利用平方差公式，分子分母同乘分母的共轭式。 的共轭为 的共轭为 的共轭为 公式： 例题 2：化简 类型三：分母含根号且系数不为1 如 或 方法：先提取系数，再按类型一或类型二处理。 例题 3：化简 例题 4：化简 解：分母共轭为 则 ※. 注意事项 根号下被开方数必须非负。 有理化后若分子出现可合并的同类项，应合并化简。 若分母含有多个根式，可多次有理化或寻找合适的共轭式。 ☆ 4. 二次根式的应用 利用二次根式表示几何图形的边长、面积、周长等，并进行运算。 · 常见于正方形、矩形、三角形等图形的面积和周长计算。 · 注意化简最简二次根式。 ☑ 典型例题 6 题目： 如图，从一个大正方形中裁去面积为 和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） 解析： 两个小正方形边长分别为 和 ，大正方形边长为 ，面积为 ，余下面积为 。 答案： ☆ 知识总结表 核心概念 定义/法则 注意事项 同类二次根式 化简后被开方数相同 先化简再判断 二次根式加减 化简后合并同类二次根式 不是同类不能合并 二次根式乘法 二次根式除法 混合运算 先乘方，再乘除，最后加减 结果化为最简 核心考点 ·7大典型考点精讲 【考点1】二次根式混合计算（第1–16题） 方法总结： · 先化简每个根式，再按运算顺序计算。 · 熟练运用乘法公式（平方差、完全平方）简化运算。 · 注意运算结果的化简，分母有理化要彻底。 · 对偶式技巧：(a+b)(a−b)=a−b。 1．（2025秋•徐汇区校级月考）若a，b都是有理数，且，则（　　） A．a＝11，b＝﹣6 B．a＝17，b＝﹣6 C．a＝11，b＝﹣12 D．a＝17，b＝﹣12 【分析】利用完全平方公式将等号右边的式子展开，进行求解即可． 【解答】解：∵（3﹣2）2＝9﹣128＝17﹣12， ∴a＝17，b＝﹣12； 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题关键． 2．（2025秋•虹口区校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、315，故A不符合题意； B、2+3＝5，故B不符合题意； C、2，故C符合题意； D、3，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2025秋•静安区校级期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④．其中做错的题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次根式的性质和运算法则，逐一判断各等式的正确性． 【解答】解：根据二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算逐项分析判断如下： ①，正确，不符合题意； ②，正确，不符合题意； ③，正确，不符合题意； ④，错误，符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 4．（2025秋•黄浦区校级月考）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的除法法则进行计算即可． 【解答】解：利用二次根式的除法法则进行计算可得： ， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式的除法法则． 5．（2025秋•杨浦区校级月考）学习小组设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　） A．小明和小丽 B．小红和小亮 C．小明和小亮 D．小丽和小红 【分析】利用二次根式的运算法则逐步进行判断即可． 【解答】解：根据二次根式的运算法则逐步进行判断如下： 由可得，小丽出现错误； 由可得小红出现错误； 出现错误的是小丽和小红． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 6．（2024春•青浦区校级月考）下列说法错误的个数为（　　）个． （1）； （2）的倒数是； （3）； （4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次根式运算法则和二次根式性质，判定每个式子的正误即可得出答案． 【解答】解：（1），故错误； （2）的倒数为，故错误； （3）当x≥1时，，故错误； （4），故正确； ∴错误的有3个； 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 7．（2025秋•黄浦区校级月考）计算：　1　 ． 【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解： ＝（16﹣15）2007 ＝12007 ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 8．（2025秋•杨浦区校级月考）规定新运算：，如，则　21﹣6　 ． 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得： ＝（21）2 ＝20﹣41﹣2 ＝21﹣6， 故答案为：21﹣6． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 9．（2025春•闵行区校级期中）若则x+y＝ 　4　 ． 【分析】先去掉括号，把x+y写成，然后分解因式，得到关于的方程，解方程求出，从而求出x+y即可． 【解答】解：∵， ， ， ， ， （不合题意，舍去）， ∴x+y＝4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和几种常见的分解因式的方法． 10．（2025秋•浦东新区校级月考）求值：　2023　 ． 【分析】先推导公式，然后利用公式计算即可． 【解答】解： ， ∴原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 11．（2025秋•浦东新区校级期末）（1）计算： （2）计算： 【分析】（1）先根据二次根式的性质，二次根式的除法和乘法法则计算，再合并同类二次根式即可； （2）先逐项化简，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 12．（2025秋•杨浦区期末）计算：． 【分析】利用二次根式的性质和因式分解的方法得到，再把除法化为乘法，然后约分即可求解． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 13．（2025秋•普陀区校级月考）计算：． 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 14．（2025秋•长宁区校级月考）计算：4b．（b＞0） 【分析】利用二次根式的乘除法则及性质计算后再算加减即可． 【解答】解：∵b＞0， ∴a＞0， ∴原式＝4••3• ＝4233 ＝0． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 15．（2025秋•浦东新区校级期中）计算 （1）； （2）（其中a＞0，b＞0）； （3）（其中a＞0，b＞0）； （4）（其中m≥0，n≥0，m≠n）． 【分析】（1）根据二次根式的乘法以及立方根和算术平方根的性质化简，再合并即可； （2）根据二次根式的运算法则化简即可 （3）根据二次根式的运算法则化简即可； （4）根据二次根式的运算法则化简即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ＝2（m﹣n） ＝2m﹣2n． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 16．（2025秋•闵行区月考）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 ＝18﹣x﹣11+x＝7 所以 （1）已知：，求的值； （2）结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：． 【分析】（1）运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可； （2）根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴． （2）由（1）可知，则， 解得：x＝﹣5， 经检验，x＝﹣5是方程的根． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件、二次根式的性质与化简、平方差公式，掌握二次根式的运算法则为解题的关键． 【考点2】二次根式化简求值（第17–32题） 方法总结： · 先化简代数式，再代入字母值计算。 · 利用配方、整体代入、换元等技巧。 · 注意字母的取值范围对化简结果的影响（如 a2=|a|）。 · 灵活运用已知条件变形，构造整体结构。 17．（2025秋•松江区期中）若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 【分析】根据二次根式有意义的条件，确定整数x的取值范围，并分别计算即可． 【解答】解：由条件可知x﹣1≥0 且 3﹣x≥0，即 1≤x≤3． 又∵x是整数， ∴x可取1，2，3． 当x＝1时，； 当x＝2时，； 当x＝3时，． ∴ 的值为或2， 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握其相关知识点是解题的关键． 18．（2026春•虹口区校级月考）已知，则的值为（　　） A． B．2 C．或2 D．或2 【分析】依据题意，设m，n，且m≥0，n≥0，则m2＝3x+2，n2＝5x﹣4，从而3﹣x，故m﹣n，可得（m﹣n）[m+n﹣2]＝0，进而分类讨论计算可以得解． 【解答】解：由题意，设m，n，且m≥0，n≥0， ∴m2＝3x+2，n2＝5x﹣4． ∴3﹣x． ∴m﹣n． ∴（m﹣n）[m+n﹣2]＝0． 若m＝n，则， ∴3x+2＝5x﹣4， ∴x＝3． ∴m＝n， ∴2． 若m≠n，则m+n﹣2＝0，即m+n＝2， ∴m+n＝2． 综上，2或2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 19．（2025秋•松江区校级月考）已知x+y＝﹣9，xy＝9，则值是（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 【分析】先根据x+y＝﹣9，xy＝9可得x＜0，y＜0，再根据二次根式的性质可得，，再利用二次根式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵x+y＝﹣9，xy＝9， ∴x＜0，y＜0， ∴，， ∴原式 ＝﹣6， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 20．（2025秋•金山区期中）当时，化简（　　） A．0 B．2﹣6x C．2 D．6x﹣2 【分析】先根据二次根式的性质计算得到原式＝|1﹣3x|+1﹣3x，再根据x的范围去绝对值，然后合并同类项即可． 【解答】解：原式1﹣3x ＝|1﹣3x|+1﹣3x， ∵x， 即3x≤1， ∴原式＝1﹣3x+1﹣3x ＝2﹣6x． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义是解决问题的关键． 21．（2026•静安区校级模拟）若，，则a2﹣b2＝　　 ． 【分析】根据二次根式的运算法则化简求值即可． 【解答】解：由条件可得：． 故答案为：8． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 22．（2025秋•闵行区月考）已知，请你化简下列代数式　　 ． 【分析】先根据已知条件确定x的正负，然后根据二次根式的性质把所求二次根式化简，最后合并即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴x＜0， ∴ ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 23．（2025秋•黄浦区校级月考），其中a＝99，则y＝　197　 ． 【分析】先将根号内的表达式化为完全平方的形式，化简后根据a的值确定绝对值，从而求解． 【解答】解：∵，1﹣2a+a2＝（a﹣1）2， ∴． 当a＝99时，a﹣1＝98＞0， ∴|a﹣1|＝a﹣1． ∴y＝a+（a﹣1）＝2a﹣1． ∴y＝2×99﹣1＝198﹣1＝197． 故答案为：197． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 24．（2024秋•杨浦区校级月考）若，则m3﹣3m2﹣2020m+2021的值是 　﹣1　 ． 【分析】先分母有理化得出，求出m2﹣2m＝2022，将原式变形为m（m2﹣2m）﹣m2﹣2020m+2021再将m2﹣2m＝2022代入求值即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴（m﹣1）2＝2023， ∴m2﹣2m+1＝2023， ∴m2﹣2m＝2022， ∴m3﹣3m2﹣2020m+2021 ＝m（m2﹣2m）﹣m2﹣2020m+2021 ＝2022m﹣m2﹣2020m+2021 ＝﹣m2+2m+2021 ＝﹣（m2﹣2m）+2021 ＝﹣2022+2021 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是进行分母有理化． 25．（2025秋•宝山区校级月考）定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 　7　 ． 【分析】在等式1的两边乘（）可得结论． 【解答】解：∵1， ∴（）（）， ∴18﹣x﹣（11﹣x）＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26．（2022秋•虹口区校级月考）已知3，则的值为 　2　 ． 【分析】根据已知可得（5）（3）＝0，从而可得5，进而可得a＝25b，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：∵3， ∴（）2315（）2， ∴（）2﹣215（）2＝0， ∴（5）（3）＝0， ∵30， ∴50， ∴5， ∴a＝25b， ∴ ＝2． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 27．（2025秋•浦东新区校级期中）已知a、b满足0，求的值． 【分析】先根据二次根式的非负性得出，解之求得a、b的值，再代入计算可得． 【解答】解：∵0， ∴， 解得：， 则原式 ． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性和二次根式混合运算顺序与运算法则． 28．（2025秋•闵行区校级期中）已知，求代数式的值． 【分析】利用分母有理化求出，根据完全平方公式把所求代数式的被开方数因式分解，再根据二次根式的性质计算即可． 【解答】解：a＝2， 则2， ∴a2（2）＝﹣2， 则|a|＝2． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的性质是解题的关键． 29．（2025秋•静安区校级期中）已知，求代数式的值． 【分析】利用二次根式的化简，完全平方公式，因式分解解答即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴x2﹣8x+15＝2， ∴． 【点评】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，因式分解，熟练掌握完全平方公式． 30．（2025秋•虹口区月考）已知，求的值． 【分析】先根据二次根式有意义的条件求得x＝2，易得y＝8，再运用二次根式的混合运算法则化简原式，最后将x＝2、y＝8代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴， 解得：x＝2， ∴y＝8， 原式 ． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 31．（2025秋•长宁区校级月考）已知y，求的值． 【分析】先求出x、y的值，再把没有部分的分子和分母分解因式，同时求出括号内的值，进行约分，最后合并同类根式，代入求出即可． 【解答】解：∵y， ∴x0且x≥0， 解得：x， 代入得：y＝8， ∴ 2• 2 2 ． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力，题目比较好，难度适中． 32．（2025秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值：（b25b），其中a＝2，b＝3． 【分析】先根据二次根式的性质及运算法则化简，再将a＝2，b＝3代入求值即可． 【解答】解： ， 当a＝2，b＝3时， 原式 ． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，掌握其性质是解题的关键． 【考点3】二次根式应用（第33–39题） 方法总结： · 几何问题：利用面积、周长公式列式，化简根式。 · 物理问题：套用公式（如自由落体、动能），代入计算。 · 实际建模：根据题意建立根式方程，求解并检验。 · 结果需根据实际意义取舍（如边长取正）。 33．（2025秋•闵行区校级月考）如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B． C．223 D．225 【分析】先表示出三个正方形的面积，然后用一个长为（），宽为2的矩形的面积减去两个正方形的面积可得到图中阴影部分的面积． 【解答】解：三个正方形的边长分别为，，2， 图中阴影部分的面积＝（）×2﹣2﹣3 ＝225． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 34．（2024秋•长宁区校级期中）如果一个三角形的三边长分别为1、k、4．则化简|2k﹣5|的结果是（　　） A．3k﹣11 B．k+1 C．1 D．11﹣3k 【分析】由于三角形的三边长分别为1、k、4，根据三角形的三边关系，1+4＞k，即k＜5，4﹣1＜k，所以k＞3，根据k的取值范围，再对代数式进行化简． 【解答】解：∵三角形的三边长分别为1、k、4， ∴， 解得，3＜k＜5， 所以，2k﹣5＞0，k﹣6＜0， ∴|2k﹣5|2k﹣52k﹣5﹣[﹣（k﹣6）]＝3k﹣11． 故选：A． 【点评】化简，要根据二次根式的性质，先将化为|a|，然后根据a的符号，去绝对值符号进行化简． 35．（2025秋•黄浦区校级期末）不等式的解集为　　 ． 【分析】先移项合并同类项，再根据不等式的基本性质判断不等号方向，系数化为1后进行分母有理化即可得到解集． 【解答】解：原不等式移项，得． 合并同类项，得． ∵， ∴． ∴． 即． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 36．（2025秋•宝山区校级月考）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a、b、c，若a＝10，b＝12，c＝14，则△ABC的面积为　　 ． 【分析】根据a、b、c的值求得，然后将其代入三角形的面积求解即可． 【解答】解：∵a＝10，b＝12，c＝14， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意、理解材料中提供的公式是解题的关键． 37．（2025秋•闵行区校级期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t（单位：s）和下落高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）物体从20m的高空落到地面的时间为　2　 s． （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为0.05kg的鸡蛋经过6s落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【分析】（1）根据公式，代入计算即可； （2）先根据公式，求得高度，再根据公式E＝10×物体质量（kg）×高度（m），计算能量即可． 【解答】解：（1）根据公式，代入计算可得： ． 故答案为：2； （2）根据公式，求得高度为： h＝5t2＝180（m）， ∴E＝10×0.05×180＝90（J），而， ∴， 故，会对无防护人体造成伤害． 【点评】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． 38．（2025秋•闵行区校级月考）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为5：3． （1）围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ （2）围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 【分析】（1）根据算术平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【解答】解：（1）∵“混天绫”围成一个面积为400 平方分米的正方形， ∴正方形的边长为20分米， ∴“混天绫”的总长度20×4＝80分米． 答：成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是80分米． （2）能，理由如下： 设长方形的长为5x分米，宽为3x分米， 依题意得 5x•3x＝285， 解得或， ∵x＞0， ∴， ∴长方形的长为分米，宽为分米， ∴长方形的周长为， ∵， ∴， ∴围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”不需要继续伸长． 【点评】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． 39．（2024秋•徐汇区校级月考）二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是cm，宽是cm，那么圆的半径应是多少？ 【分析】先求出长方形的面积，然后根据圆形和长方形的面积相等，利用圆的面积公式求出圆的半径． 【解答】解：S长方形•70π， S圆＝πR2＝70π， ∴R， 即圆的半径为cm． 【点评】本题考查了二次根式的应用，解答本题的关键是掌握长方形和圆的面积公式，由圆的面积求出圆的半径． 【考点4】创新及压轴题（第40–43题） 方法总结： · 观察规律（如数字序列、根式嵌套），归纳一般结论。 · 构造对偶式或配方法化简复合根式。 · 整体变形：将已知条件平方或移项，构造整体代入。 · 结合几何图形拼割，利用面积不变性列式。 40．（2025秋•长宁区校级月考）小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算： ①；②；③；④． 小明身边没有计算器，而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： ； ； ． （1）观察上述解法，直接写出结果： 　10000　 ； （2）试用小明的方法求解出的结果； （3）根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 【分析】（1）观察上述解法，直接写出结果， 10000； （2）由所给的规律，可知，即可求解； （3）根据拼割前后两个图形的面积不变，可得正方形的边长，再由（1）的规律求解即可． 【解答】解：（1）观察上述解法，直接写出结果， 10000， 故答案为：10000； （2）50， 故答案为：50； （3）根据题意可知，拼割前后两个图形的面积不变， ∴正方形的边长757， ∴大正方形的边长为757． 【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的等式，探索出一般规律，并灵活应用规律解决问题是解题的关键． 41．（2025秋•金山区校级月考）著名数学教育家G•波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如： ． 解决问题： （1）根据上述思路，试将予以化简； （2）根据上述思路，化简并求出的值； （3）当1≤x≤2时，化简． 【分析】（1）根据题意，，计算求解即可； （2）根据题意，将原式化简为，计算求解即可； （3）根据题意，将原式化简为，根据1≤x≤2，计算求解即可． 【解答】解：（1）原式 ． ； （2）原式 ． ＝9； （3）原式 ＝2． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，绝对值，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 42．（2025秋•长宁区校级月考）问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 小明是这样分析与解答的： ∵ ∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1）　　 ； （2）计算：； （3）若，求a3﹣3a2+2a的值． 【分析】（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）先求出，变形求出a2﹣2a＝1，然后将a3﹣3a2+2a变形求值即可． 【解答】解：（1）由题意， ； 故答案为：； （2）原式 ＝22； （3）由题意，∵， ∴． ∴（a﹣1）2＝2， ∴a2﹣2a+1＝2， ∴a2﹣2a＝1， ∴a3﹣3a2+2a ＝a（a2﹣3a+2） ＝a（a2﹣2a﹣a+2） ＝a（1﹣a+2） ＝a（3﹣a） ＝﹣a2+3a ＝﹣（a2﹣2a）+a ＝﹣1+a ． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 43．（2025秋•金山区校级月考）请阅读下列材料． 问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值． 解：根据，得（x﹣2）2＝5， ∴x2﹣4x+4＝5． ∴x2﹣4x＝1． ∴x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6． 总结：把已知条件适当变形，再整体代入可快速地解决问题． 应用： （1）已知，求代数式x2+4x﹣10的值； （2）已知，求代数式x3﹣x2﹣26x+5的值． 【分析】（1）先将原式配方变形后，将x+2的值代入计算即可求出值； （2）把所求的式子变形为（x﹣1）（x2﹣26）﹣21，然后再把x﹣1和x2的值代入进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵， ∴， 原式＝（x2+4x+4）﹣14 ＝（x+2）2﹣14 ＝5﹣14 ＝﹣9； （2）原式＝x3﹣x2﹣26x+26﹣26+5 ＝x2（x﹣1）﹣26（x﹣1）﹣21 ＝（x﹣1）（x2﹣26）﹣21， ∵， ∴，， ∴原式 ＝6×1﹣21 ＝﹣15． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值、求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则． 随堂检测 · 精选练习 练习1：二次根式混合计算（化简+运算）练习2：二次根式化简求值（先化简再代入） 练习3：二次根式化简求值（含字母参数） 【练习1】（2025秋•长宁区校级期中）计算： （1）； （2）（a＞0，b＞0）； （3）． 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各部分，再计算乘法，最后计算加减； （2）先利用二次根式的性质化简各部分，再计算乘除； （3）前面用分配律计算，后面用平方差公式计算，再利用二次根式的性质化简，最后得出结果． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【练习2】（2025秋•金山区期中）先化简，再求值：，其中a＝3，． 【分析】把分子变形后再约分即可得到答案． 【解答】解： （） ＝0； ∴当a＝3时，原式＝0． 【点评】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 【练习3】（2025秋•长宁区期中）先化简，再求值：，其中． 【分析】先去括号，然后化简每一个二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，得到化简结果，最后把x、y的值代入计算即可． 【解答】解：原式 ， 当时，原式． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确计算是解答本题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：二次根式乘除判断作业2：对偶式求值作业3：面积与根式应用 作业4：新定义 max 函数作业5：完全平方式求参数作业6：整体代入求值 作业7：分母有理化化简作业8：复合根式求值作业9：混合运算（含分母有理化） 作业10：分式化简求值作业11：根式性质化简作业12：矩形面积与根式 作业13：整体代入（二次）作业14：物理应用（自由落体） 💡 复习建议 夯实基础：熟记二次根式的性质与运算法则，尤其是 =|| 和分母有理化技巧。 强化计算：每天练习 3–5 道混合运算题，注重运算顺序和化简规范。 巧用对偶式：遇到含两个根号的和差问题，优先考虑构造对偶式消去根号。 整体意识：化简求值题中，先观察已知条件与所求式的结构，尝试整体代入。 实际应用：结合几何、物理背景，培养从实际问题中抽象出根式模型的能力。 【作业1】（2025秋•奉贤区期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】通过直接计算每个选项，判断其正确性即可． 【解答】解：A：， ∴A错误，不符合题意； B：， ∴B错误，不符合题意； C：，，2×3＝6， ∴C正确，符合题意； D：， ∴D错误，不符合题意； 故选C． 【点评】本题考查二次根式的乘除运算，掌握知识点是解题的关键． 【作业2】（2025春•武昌区校级期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 【分析】设a，b，则a+b＝10，a2+b2＝64，利用完全平方公式得到ab＝18，所以（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝28，然后利用平方根的定义求出a﹣b即可． 【解答】解：设a，b，则a+b＝10，a2+b2＝49﹣x2+15+x2＝64， ∴（a+b）2＝100， 即a2+b2+2ab＝100， ∴64+2ab＝100， ∴ab＝18， ∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝102﹣4×18＝28， ∴a﹣b＝±2， 当a﹣b＝2，解得a＝5，b＝5，此时a，b无解， ∴的值为﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．灵活运用换元法和完全平方公式是解决问题的关键． 【作业3】（2025秋•崇明区期中）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　）cm2． A． B． C． D． 【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2， ∴它们的边长分别为4cm， 2cm， ∴AB＝4cm，BC＝（24）cm， ∴空白部分的面积＝（24）×4﹣12﹣16， ＝816﹣12﹣16， ＝（﹣12+8）cm2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长． 【作业4】（2024秋•嘉定区校级期中）已知max表示取三个数中最大的那个数，例如：当x＝9时，max81．当max时，则x的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用已知分别分析得出符合题意的答案． 【解答】解：当max时， ①，解得：x，此时x＞x2，符合题意； ②x2，解得：x；此时x＞x2，不合题意； ③x，x＞x2，不合题意； 故只有x时，max． 故选：C． 【点评】此题主要考查了新定义，正确理解题意分类讨论是解题关键． 【作业5】（2025秋•青浦区校级月考）若，且a、m、n均为正整数，则a的值是　12或28　 ． 【分析】先利用完全平方公式将展开，再等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解． 【解答】解：∵， ∴a＝m2+3n2，2mn＝6， ∴mn＝3， ∵a、m、n均为正整数， ∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3， 当m＝3，n＝1时，a＝m2+3n2＝32+3×12＝9+3＝12， 当m＝1，n＝3时，a＝m2+3n2＝12+3×32＝1+3×9＝1+27＝28， 综上可知，a的值为12或28， 故答案为：12或28． 【点评】本题考查完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用是解答的关键． 【作业6】（2024秋•静安区校级期中）当时，多项式4x3﹣2025x﹣2022的值为 　﹣1　 ． 【分析】根据已知条件，得到（2x﹣1）2＝2022，进而得到4x2﹣4x﹣2021＝0，将多项式转化为x（4x2﹣4x﹣2021）+（4x2﹣4x+1）﹣2023，再代值计算即可． 【解答】解：∵， ∴（2x﹣1）2＝2022， ∴4x2﹣4x﹣2021＝0， ∴4x3﹣2025x﹣2022＝x（4x2﹣4x﹣2021）+（4x2﹣4x+1）﹣2023 ＝（2x﹣1）2﹣2023 ＝2022﹣2023 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 【作业7】（2025春•石棉县期中）当x2时，则代数式x2+4x+6的值为 　2021　 ． 【分析】先根据分母有理化对x进行化简，然后代入原式即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：x2 2， ∴x+2， ∴（x+2）2＝2019， ∴x2+4x+4＝2019， 即x2+4x＝2015， 原式＝2015+6 ＝2021， 故答案为：2021． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是正确得出x2+4x＝2015，本题属于中等题型． 【作业8】（2023秋•金山区期中）如果，则　6　 ． 【分析】利用分母有理化求出，利用完全平方公式、二次根式的性质ab原式化简，代入计算即可． 【解答】解：∵a2， ∴2， ∴a， 则原式aa＝24﹣（2）6， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键． 【作业9】（2025秋•浦东新区校级期末）计算： （1）； （2）（a＞0）． 【分析】（1）先拆分根式除法并化简，再对分式分母有理化，最后去括号合并同类项，得出结果； （2）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 【作业10】（2025秋•普陀区校级期中）已知，，求的值． 【分析】先对分式进行化简，然后代入x、y的值进行计算即可． 【解答】解： ， 当，时，原式． 【点评】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握运算法则是关键． 【作业11】（2024秋•长宁区校级月考）化简： （1） 　2　 ； （2） 　2x﹣2　 ； （3）当ab＜0时， 　﹣2ab　 ； （4）当y＞0时， 　　 ． 【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得到x≥1，再根据二次根式的性质化简即可； （3）根据二次根式有意义的条件可得到a＜0，b＞0，再根据二次根式的性质化简即可； （4）根据二次根式的性质化简和最简二次根式的定义计算即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：2； （2）∵x﹣1≥0， ∴x≥1， ∴ ＝x﹣1+x﹣1 ＝2x﹣2， 故答案为：2x﹣2； （3）∵ab＜0，24a2b3≥0， ∴a＜0，b＞0， ∴， 故答案为：﹣2ab； （4）∵， ∴x＞0， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次根式的化简，牢记二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）、二次根式的乘除的运算法则和最简二次根式的定义是解题的关键． 【作业12】（2025秋•青浦区校级期中）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为2m，宽为2m，广场中间有两块大小相同的小长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为（23）m，宽为（23）m． （1）求广场的周长； （2）除绿地部分，广场其他部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为每平方米50元，求这个广场铺地砖的费用． 【分析】（1）根据矩形的周长公式列式，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据铺地砖的面积等于矩形广场的面积减两个绿地的面积列式，再利用二次根式的混合运算法则化简，再乘以50 元/平方米的价格，即可求出铺地砖的费用． 【解答】解：（1）∵矩形广场长为米，宽为米， ∴矩形广场的周长为2×（22）＝2×（1214）＝（2428）（米）． （2）由题意可知，铺地砖的面积为： （平方米）， ∵铺地砖的费用为50元/平方米， ∴这个广场铺地砖的费用为：元． 【点评】本题考查了二次根式的性质及混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【作业13】（2025秋•浦东新区校级期中）请阅读下列材料： 问题：已知x2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题： （1）已知x2，求代数式x2+4x﹣10的值； （2）已知x，求代数式x3+x2+1的值． 【分析】（1）根据完全平方公式求出x2+4x＝1，代入计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案． 【解答】解：（1）∵x2， ∴（x+2）2＝5， ∴x2+4x+4＝5， ∴x2+4x＝1， ∴x2+4x﹣10＝1﹣10＝﹣9； （2）∵x， ∴x2＝（）2， 则x3＝x•x22， ∴x3+x2+121． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的乘法法则是解题的关键． 【作业14】（2025秋•黄浦区期中）高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． （1）研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间t（单位：s）和高度h（单位：m）满足公式，其中g＝9.8m/s2．假设一个物体从49m的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） （2）物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过65焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能E（单位：焦）可以用物体质量m（单位：kg）和初始位置的高度h（单位：m）近似表示，公式为E＝mgh，其中g＝9.8m/s2．假设从高度为35m的空中落下一个质量为0.2kg的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）？请通过计算说明理由． 【分析】（1）根据题意列出算式，并运用二次根式的性质进行化简、计算，即可得解； （2）根据题意列出算式，并运用二次根式的性质进行化简、计算，即可得解． 【解答】解：（1）由题意得，当h＝49m时，， 答：从49m高空抛物到落地的时间t为s； （2）可能会对楼下的行人造成伤害．理由如下： 由题意得，E＝mgh＝0.2×9.8×35＝68.6（J）， ∵68.6＞65， ∴可能会对楼下的行人造成伤害． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $