第27章 二次函数（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

该初中数学二次函数单元复习讲义通过全章题型归纳构建知识体系，按“夯实基础-进阶拔高-创新思辨”分层梳理28类题型，从定义判断、开口方向等基础性质到待定系数法、对称变换等综合应用，再到动点几何、实际建模等创新问题，呈现完整知识脉络与重难点分布。 讲义亮点是分层练习设计与素养导向，基础题型如“求抛物线顶点坐标”巩固抽象能力，拔高题型如“由图象判断系数符号”培养推理意识，创新题型如“动点构成三角形面积最值”发展几何直观，“实际应用与二次函数”强化模型观念，助力不同学生提升，支持教师精准分层教学。

第27章 二次函数（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 根据定义判断二次函数】 2 【题型2 由解析式判断开口方向】 3 【题型3 求抛物线的对称轴】 5 【题型4 求抛物线的顶点坐标】 6 【题型5 求抛物线与坐标轴交点】 8 【题型6 判断函数值的增减趋势】 10 【题型7 由顶点式求最值】 12 【题型8 抛物线平移后的解析式】 14 【进阶拔高】 16 【题型9 待定系数法求解析式】 16 【题型10 一般式与顶点式互化】 18 【题型11 根据平移规律求新解析式】 21 【题型12 求抛物线关于某直线对称的解析式】 25 【题型13 由图象判断系数符号】 28 【题型14 二次函数与一元二次方程根的判定】 34 【题型15 利用图象求不等式的解集】 37 【题型16 给定范围求函数的最值】 40 【题型17 抛物线与直线交点坐标求解】 42 【题型18 根据图象信息确定解析式再求值】 49 【创新思辨】 56 【题型19 动点构成三角形面积最值】 56 【题型20 动点构成等腰三角形存在性】 64 【题型21 动点构成四边形存在性】 72 【题型22 二次函数与几何图形综合建模】 84 【题型23 实际应用与二次函数】 93 【题型24 含参数的二次函数分类讨论】 99 【题型25 新定义运算结合二次函数】 103 【题型26 双抛物线公共点问题探究】 111 【题型27 二次函数与不等式恒成立综合】 123 【题型28 翻折与旋转后图象性质综合】 128 【夯实基础】 【题型1 根据定义判断二次函数】 【例1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的函数是二次函数，二次函数要求二次项系数不为0， ∴， 解得． 【变式1-1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数，即可判断． 【详解】解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 【变式1-2】（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 【变式1-3】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解： 是二次函数， ． 二次函数的图象与坐标系横轴有交点， 一元二次方程 有实数根， 根的判别式 ． 将 代入得， ， 解不等式得 ． 综上， 的取值范围是 且． 【题型2 由解析式判断开口方向】 【例2】（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向； 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 【变式2-1】（24-25九年级上·广东广州·期末）已知二次函数开口向下，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的概念及性质，熟练掌握其二次函数的概念及性质是解决此题的关键．由二次函数开口向下，可得且，解方程即可得答案． 【详解】解：二次函数开口向下， 且， 解得：， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·山西运城·期末）开口向下的抛物线经过点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的图像性质、能结合等式分析参数取值是解题的关键．根据抛物线开口向下可判断A；根据抛物线过点得出关于、的等式可判断B；把代入解析式可判断C；根据抛物线经过点可判断D． 【详解】解：A．∵抛物线开口向下， ∴，故A不正确； B．∵抛物线经过点， ∴，即， 化简得，故B不正确； C．当时，，故C正确； D．∵抛物线经过点， ∴方程有实数根， ∴，与矛盾，故D不正确；． 故选：C． 【变式2-3】（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 【题型3 求抛物线的对称轴】 【例3】（25-26九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是__________． 【答案】轴（或直线） 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线是关键．根据解析式即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是y轴． 故答案为：y轴（或直线）． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）抛物线的对称轴是______． 【答案】轴 【分析】本题考查了抛物线的对称轴，根据对称轴公式解答即可，掌握对称轴公式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为：轴． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海普陀·期末）下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的对称轴，掌握抛物线的对称轴为是解题的关键． 逐项验证时的坐标和对称轴即可． 【详解】解：选项A：经过，对称轴为直线，不符合题意； 选项B：经过，对称轴为直线，不符合题意； 选项C：经过，对称轴为直线，符合题意； 选项D：经过，对称轴为直线，不符合题意； 故选C． 【变式3-3】（2026·安徽阜阳·一模）已知二次函数的图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 3 4 5 … … … 关于它的图象，下列判断不正确的是（） A． B．对称轴是直线 C．一定经过点 D．在对称轴右侧部分的图象是下降的 【答案】C 【分析】利用表格中纵坐标相等的点确定对称轴，再用待定系数法求出二次函数解析式，再逐一判断选项即可． 【详解】解：∵点和点纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴为直线，故B选项正确，不符合题意． 设抛物线解析式为，将和代入得 解得， ∴抛物线解析式为． ∵，故A选项正确，不符合题意． ∵，抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧部分的图象是下降的，故D选项正确，不符合题意． 将代入解析式，得， ∴抛物线不经过点，故C选项错误，符合题意． 【题型4 求抛物线的顶点坐标】 【例4】（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：C． 【变式4-1】（25-26九年级下·湖北黄石·阶段检测）写出一个开口向下，顶点坐标为的二次函数解析式，其顶点式可以表示为__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由二次函数的顶点式为，其中 为顶点坐标． ∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴二次函数的解析式为， ∵开口向下， ∴， 二次函数的解析式为（答案不唯一）． 【变式4-2】（2026·吉林长春·模拟预测）将抛物线平移到抛物线的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为________． 【答案】5 【分析】本题先将原抛物线整理为顶点式，得到原抛物线顶点坐标，再得到平移后抛物线的顶点坐标，利用两点间距离公式即可求出顶点平移的最短距离． 【详解】解：原抛物线化为顶点式：， 故顶点坐标为， 平移后抛物线的顶点坐标为：， 由两点间距离公式得：， 所以抛物线顶点平移的最短距离为5． 【变式4-3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）若抛物线的顶点不在坐标轴上，且在轴的左侧是下降的，那么下列对其顶点的描述中正确的是（    ） A．其顶点一定不在第一、二象限 B．其顶点一定不在第二、三象限 C．其顶点一定不在第三、四象限 D．其顶点一定不在第一、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向及增减性，可知对称轴在轴右侧，即顶点横坐标是正数，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵当时，随的增大而减小， ∴对称轴， 又∵顶点不在坐标轴上， ∴对称轴，即顶点横坐标是正数， ∴顶点一定不在第二象限或第三象限， 故选：． 【题型5 求抛物线与坐标轴交点】 【例5】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）已知二次函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称． 【详解】解：设另一个交点的横坐标为 ， ∵抛物线对称轴是直线 ，与x轴的一个交点为 ，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴另一个交点坐标为 ． 故答案为： ． 【变式5-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）对于二次函数的图象，则下列结论不正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．与轴有两个交点 C．函数有最小值2 D．当时，随增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：∵二次函数 是顶点形式，顶点为 ，∴A正确； 令，得，即，无实数解，∴与x轴无交点，B错误； ∵，开口向上，∴函数有最小值2，C正确； 对称轴为直线，当时，y 随x增大而减小，∵在对称轴左边，∴D正确； 故选：B． 【变式5-2】（2026·陕西榆林·一模）已知二次函数（为常数）的对称轴为，下列说法中正确的是（   ） A．图象与轴的交点可能在轴负半轴上 B．该二次函数的最小值为 C．图象与轴有一个交点 D．若点，在该函数图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，灵活运用二次函数的对称轴公式、顶点坐标公式、与坐标轴的交点判定方法以及函数的增减性是解题的关键．根据二次函数对称轴公式，先由对称轴为求出参数的值，确定函数解析式；再分别分析函数与轴、轴的交点情况、函数的最小值，以及抛物线上点到对称轴的距离与函数值大小的关系，从而对各选项进行判断． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ， ， 令，， 图象与轴的交点在轴正半轴上，错误； 函数开口向上，当时，，错误； ，， 图象与轴没有交点，错误； 开口向上的抛物线，离对称轴越远，函数值越大， 对称轴为： 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ， ，正确． 故选：． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数，当时，该函数图象与轴有且只有一个交点，则的取值范围是________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象与坐标轴的交点个数，找到临界点和数形结合是解题的关键． 根据题意可知有两种情况，第一种当顶点在x轴上时，满足与轴只有一个交点；第二种，根据二次函数图象的平移规律，将图象向下平移，在时的临界点为，，代入求出c的值，再利用数形结合即可求解． 【详解】解：因为该二次函数，即该函数图像的对称轴为， 如图，当二次函数的顶点在x轴上时，图象与轴只有一个交点，即过， 则，解得； 当，时，，解得， 当，时，，解得， 结合图象和二次函数图形的平移规律可得，当时，二次函数的图象在时，与轴只有一个交点； 故答案为：或． 【题型6 判断函数值的增减趋势】 【例6】（25-26九年级上·山西忻州·期末）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定，先求对称轴，再根据开口方向判断增减区间． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故选：B． 【变式6-1】（25-26九年级上·北京丰台·期末）已知二次函数的图象经过原点，且当时，y随x的增大而减小，写出一个符合题意的二次函数的解析式______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由图象经过原点可得；由当时，y随x的增大而减小，可知抛物线开口向下且对称轴不在y轴右侧，进而可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴可设二次函数解析式为：， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，且对称轴不在y轴右侧， ∴可令，对称轴为轴， 此时二次函数解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-2】（25-26九年级上·江西宜春·期末）抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， 且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随增大而增大， ∵当时，随增大而增大， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．根据题意可得二次函数开口向上，对称轴为直线，当时随增大而增大，说明对称轴在直线左侧或重合，即． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型7 由顶点式求最值】 【例7】（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 【变式7-1】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）二次函数的开口方向及最值分别为（   ） A．向下，最大值2 B．向上，最小值 C．向下，最大值4 D．向上，最小值 【答案】D 【详解】解：对二次函数配方得， ∵ 二次项系数， ∴ 二次函数开口向上，函数存在最小值， ∵ 的顶点坐标为， ∴ 取得最小值， 综上，该二次函数开口向上，最小值为． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）抛物线的顶点坐标为，则的最大值为____． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和最值，由顶点坐标可得抛物线的顶点式，从而表示出和关于的表达式，代入得到关于的二次函数，求其最大值即可． 【详解】解：的顶点坐标为， 抛物线的解析式为， 展开得， ，． 则． 此为关于的二次函数，开口向下，当时取得最大值， 最大值为； 故答案为：3． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 【题型8 抛物线平移后的解析式】 【例8】（25-26八年级下·重庆·期末）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 【变式8-1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线平移规律得到平移后的解析式，代入已知点坐标列方程求解的值即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位后，所得解析式为， 将代入解析式，得，解得． 【变式8-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知抛物线与x轴没有交点，将该抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的抛物线的顶点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据抛物线与x轴无交点求出a的取值范围，再求出原抛物线顶点坐标，根据平移规律得到平移后顶点坐标，通过判断坐标符号确定顶点所在象限． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴， 解得：， 原抛物线顶点横坐标为，纵坐标为， 即原顶点坐标为， 根据平移规律，得平移后顶点坐标为， ∵， ∴，则， 又，则， ∴平移后顶点的横纵坐标均为负数，因此顶点在第三象限． 【变式8-3】（2026·上海黄浦·二模）已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 【答案】3 【分析】根据题意得出原点在平移后的抛物线上，将代入平移后的抛物线解析式求解即可； 【详解】解：， 原抛物线判别式， 令得， 则原抛物线与轴交点为， 左右平移不改变抛物线的判别式，因此平移后抛物线始终与轴有2个交点，且一定与轴有1个交点， ∵平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，平移后的抛物线与轴恒有两个不同交点，与轴恒有一个交点，要使总共只有两个公共点，则必然是其中一个轴交点与轴交点重合于原点， 即原点在平移后的抛物线上， 抛物线向右平移个单位，平移后解析式为：， 将代入得：， 解得：（舍去）， 因此的值为． 【进阶拔高】 【题型9 待定系数法求解析式】 【例9】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】设出二次函数的一般式，然后将三个已知点的坐标分别代入一般式，得到关于、、的三元一次方程组，再解方程组求出、、的值，最后确定二次函数的表达式． 【详解】解：由题知，设这个二次函数的表达式为， 将，，代入，得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． 【变式9-1】（25-26九年级上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求该抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出顶点纵坐标，根据抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴； （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度， ∴，解得或． 【变式9-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式． (2)请判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)该二次函数的解析式为 (2)点在该二次函数的图象上 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）将点，的坐标代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）将代入二次函数解析式中求出y值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴点在该二次函数的图象上． 【变式9-3】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，，过点P作轴交于H，先求得直线的表达式为，设，则，，可得，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：如图，连接，，过点P作轴交于H， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解 得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，此时， ∴当面积最大时，点的坐标为． 【题型10 一般式与顶点式互化】 【例10】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点是抛物线的顶点，则b的值可能为（   ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】先对抛物线解析式配方，得到顶点纵坐标关于的表达式，再根据求出的取值范围，最后结合选项判断即可． 【详解】解： ， ∴顶点纵坐标， 当时，；当时，， ∵是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴， 结合选项，只有符合范围． 【变式10-1】（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 【变式10-2】（2026·上海·模拟预测）若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 【答案】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标，将顶点坐标代入直线方程得到关于的一元二次方程，求解后根据第二象限点的坐标特征筛选出符合条件的的值即可； 【详解】解：， 顶点坐标为， 抛物线顶点在直线上， ， 整理得， 则， ， 解得：，， 顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 当时，顶点横坐标为，不符合要求，舍去； 当时，顶点横坐标为，纵坐标为，符合要求； 故的值为． 【变式10-3】（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 【题型11 根据平移规律求新解析式】 【例11】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，抛物线与直线在第一象限交于点，将抛物线沿着轴向右平移得到抛物线，抛物线与直线在第一象限交于点和点，将抛物线沿着轴向右平移得到抛物线，抛物线与直线在第一象限交于点和点，按照此规律依次平移得到交点，，…，，则点的纵坐标为________． 【答案】 【分析】联立与的方程，求解第一象限交点得到的坐标．设为向右平移a个单位得到的抛物线，写出的解析式，因为在上，所以代入坐标求出，再联立与的方程，求解第一象限的另一个交点得到的坐标．同理得到的坐标．观察的纵坐标规律，归纳推导的纵坐标表达式． 【详解】解：联立抛物线和直线，得方程， 解得或， 第一象限交点坐标为，纵坐标为． 设抛物线向右平移个单位，解析式为， 过，代入得， 因为平移后，得，即． 联立得，解得和， 第一象限新交点坐标为，纵坐标为． 同理可得坐标为，纵坐标为， 归纳可得： 交点在直线上，横坐标和纵坐标相等，规律为， 因此点的纵坐标为． 【变式11-1】（2026·宁夏银川·二模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据平移方式“左加右减”可得出抛物线的解析式，再根据点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点代入两个解析式求值即可． 【详解】解：依题意得抛物线为：， ∵为“平衡点”， ∴既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上， ， 解得或， ， ． 【变式11-2】（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线的图象与轴正半轴、轴正半轴围成的封闭图形内（不包含边界）有5个整点，平移该抛物线使得抛物线与轴正半轴、轴正半轴围成的封闭图形内（不包含边界）只有2个整点，则平移后的抛物线的顶点坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整点的定义并结合封闭图形区域逐一判断即可． 【详解】解：选项A，如图1，满足条件的整点个数为1个，故选项A不符合题意； 选项B，如图2，满足条件的整点个数为3个，故选项B不符合题意； 选项C，如图3，满足条件的整点个数为2个，故选项C符合题意； 选项D，如图4，满足条件的整点个数为4个，故选项D不符合题意． 【变式11-3】（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，将图形M平移得到图形N，图形M上的点平移后的对应点为，若图形N与图形M有且只有一个公共点，则称点为图形M的“临界平移点”．的三个顶点的坐标分别为，，，点为的“临界平移点”，当时，c的取值范围是______；若点H在二次函数的图象上，则c的值为______． 【答案】 【分析】先确定在竖直方向平移后的位置，再根据“临界平移点”的定义和图形确定c的取值范围即可； 先把点H的坐标代入函数解析式，进而确定的平移规律，然后分情况讨论即可． 【详解】解：当时， 向下平移 2 个单位，平移后的位置如图1所示，所以在水平方向上平移时，只有在上才满足有且只有一个公共点， 所以 ，即 ； 当点H在上时， 把代入，得点H的坐标为， 显然，当时， H不存在． 所以时，在竖直方向上只能向上平移，在水平方向上可能向左或向右平移． ①时，向右上方平移，易知当点B落在上时（如图2），点H为“临界平移点”． 设直线的解析式为，把，代入，得   解得 所以直线的解析式为． 由平移可知点的坐标为，代入解析式得 ，解得（不合题意，舍去）； ②时，向左上方平移，此时存在两种可能性：一种是先从上方离开，当点恰好落到上时（如图3），点H为“临界平移点”；另一种是先从左侧离开，当点恰好落到上时（如图4），点H为“临界平移点”； 当点恰好落到上时，满足，解得（不合题意，舍去），． 当点恰好落到上时，满足，则，显然点不在线段上，此时已经从上方离开了，故不合题意，舍去． 综上可知c的值为为或． 【点睛】本题考查了图形在平面直角坐标系中的平移规律、一次函数、二次函数、一元二次方程的解法．能准确理解新定义，熟练运用数形结合和分类讨论思想分析问题是解决问题的关键． 【题型12 求抛物线关于某直线对称的解析式】 【例12】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）将抛物线关于直线对称后所得到的新抛物线的解析式为__________． 【答案】 【分析】求出新抛物线的顶点坐标为，可知相当于把抛物线向右平移了2个单位长度，然后根据二次函数图象的平移规律得出答案． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，点关于直线的对称点为， ∴所得到的新抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线关于直线对称后，相当于把抛物线向右平移了2个单位长度， ∴所得到的新抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握轴对称的性质和二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【变式12-1】（25-26九年级上·四川凉山·期末）将二次函数y＝－2(x－1)2 ＋3的图象关于原点作对称变换，则对称后得到的二次函数的解析式为____________． 【答案】y＝2(x＋1)2 －3 【分析】根据关于原点对称点的特点，可得答案． 【详解】解：y=−2(x−1)2+3的顶点坐标为(1，3)， 故变换后的抛物线为y=2(x+1)2−3， 故答案为y=2(x+1)2−3 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线关于原点对称变换后只是开口方向改变，顶点关于原点对称，而开口大小并没有改变． 【变式12-2】（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 【变式12-3】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，将抛物线：沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线，若抛物线的顶点为A，点P是抛物线上一点，则的面积的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式以及解直角三角形，根据平移的性质得出平移后的抛物线的解析式以及求得点的坐标是解答本题的关键． 首先求得平移后的解析式，进而求得顶点的坐标，先根据点P所在的直线与抛物线只有一个交点求出点P所在直线的解析式，进而求出点的坐标，然后根据三角形面积公式得到结果． 【详解】解：， ∴顶点为， 将抛物线沿x轴对称后的抛物线的顶点为， 沿x轴对称后的抛物线的解析式为， 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线 ， 设直线为，则， ∴， 直线为， 要使的面积最小，则点在平行于直线的直线上，且与抛物线只有一个交点， 设平行于直线，且与抛物线只有一个交点的直线为， 解， 整理得， ， ， ， ， 解，得， ， ． 故答案为：． 【题型13 由图象判断系数符号】 【例13】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 【变式13-1】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象的判断．结合抛物线的开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、c的符号，根据对称轴即可判断a、b的关系，此时即可判断①；根据当时，二次函数值取最大值，即可判断③；联立一次函数和二次函数，即可求出交点D的横坐标，根据该横坐标小于3即可判断④；根据对称性可知与时的函数值相等，再结合时函数值的符号，即可判断②． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴正半轴交于点， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，①正确； 当时， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数值取最大值， ∴，即， ∴，③正确； 对于直线，当时， 即直线与x轴交于点， 联立：，即， 解得：，即， ∵结合图象有：，， ∴，解得： ，④正确； 对于抛物线，当时，结合图象有函数值， ∵抛物线对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∴当时，，②错误， 正确的有①③④． 【变式13-2】 （2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 【变式13-3】（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 【题型14 二次函数与一元二次方程根的判定】 【例14】（2021·广东·中考真题）若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设与交点为，根据题意关于y轴对称和二次函数的对称性，可找到的值（只需满足互为相反数且满足即可）即可写出一个符合条件的方程 【详解】设与交点为， 根据题意 则 的对称轴为 故设 则方程为： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，熟悉二次函数的性质和找到两根的对称性类比二次函数的对称性是解题的关键 【变式14-1】（2019·湖北武汉·中考真题）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________ 【答案】，. 【分析】由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元二次方程组进行求解即可得. 【详解】依题意，得：， 解得：， 所以，关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx为：， 即：， 化为：， 解得：，， 故答案为，. 【点睛】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键. 【变式14-2】（2025·安徽池州·二模）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：由表格数据可得： ∵函数的对称轴为直线， 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 【变式14-3】（2025·四川成都·模拟预测）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … … t m 2 2 n … 当时，与其对应的函数值．有以下结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③；④，其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据表格数据推出，，判断①，求出对称轴，结合表格数据推出和2是关于x的方程的两个根，判断②，根据时，与其对应的函数值，求出的范围判断③，求出，进而求出的范围，判断④. 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， ∴ ∴，①正确； ∵和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，则时，， ∴和2是关于x的方程的两个根；故②错误； ∵， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 当时，，则， ∴， 当时，，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④错误. 【题型15 利用图象求不等式的解集】 【例15】（2023·四川绵阳·一模）二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得中x的取值范围就是二次函数图像在一次函数图像下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：若，则， 有图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，即， ∴当或时，， 则当或时，， 故选：B． 【变式15-1】（2022·湖南邵阳·三模）如图，抛物线的对称轴是，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为___________． 【答案】﹣3＜x＜5 【分析】先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标（5，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集． 【详解】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0）， 根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝1对称，即 抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣3，0）关于直线x＝1对称， ∴另一个交点的坐标为（5，0）， ∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方， ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜5． 故答案为﹣3＜x＜5． 【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法． 【变式15-2】如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 【变式15-3】（2025·江苏南京·模拟预测）二次函数的图象如图所示．下列结论： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④不等式的解集是． 其中所有正确结论的序号是 __________． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据二次函数与x轴交于，得到对称轴为直线，进而由对称轴公式即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据二次函数开口向上，得到，由函数图象可知，二次函数与直线有两个不同的交点，即可判断③；由函数图象可知，当时，，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数与x轴交于， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，即，故①正确； ∵当时，， ∴，故②错误； ∵二次函数开口向上， ∴， 由函数图象可知，二次函数与直线有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴当时，有， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 【题型16 给定范围求函数的最值】 【例16】（2025·宁夏吴忠·模拟预测）当时，二次函数的最大值为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，利用二次函数的增减性计算得到最大值． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，对应的函数值越大， ， 到对称轴的距离最远， 当时，， 即当时，二次函数的最大值为． 【变式16-1】（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 【答案】D 【分析】先对二次函数配方得到对称轴，再根据给定区间的增减性确定开口方向，最后根据最值条件确定k的取值范围，选出符合条件的选项． 【详解】解：对二次函数配方得：， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵当时，随的增大而增大，且，说明对称轴左侧随增大而增大， ∴抛物线开口向下，即． 当时，代入得， 关于对称轴的对称点为， 即时． ∵开口向下时，点离对称轴越远函数值越小，且时，函数最大值为，最小值为， ∴， 观察选项，只有在范围内． 【变式16-2】（2026·广东江门·二模）已知二次函数（为常数），若当时，函数有最小值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数在给定区间上的最值问题，关键在于掌握二次函数的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系，灵活运用二次函数的性质判断最值点．根据二次函数的解析式，先确定其开口方向与对称轴，再比较区间端点到对称轴的距离，判断出最小值对应的自变量取值，进而求出常数的值． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ， 二次函数图像开口向下，在处取得最大值， ，， 函数在处取得最小值， 即， 解得：． 故选：． 【变式16-3】（2026·山东聊城·一模）已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值为4， ∴当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得或 （舍去）； 综上：. 【题型17 抛物线与直线交点坐标求解】 【例17】（2026·江苏南京·一模）已知二次函数图象的顶点在一次函数的图象上． (1)当时，点的坐标是___________； (2)用含的代数式表示； (3)若两个函数图象的另一个交点在点的左侧，则的取值范围是____________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由顶点坐标公式得出顶点坐标为，再代入一次函数解析式即可得出a的值，则可求出顶点坐标． （2）由顶点坐标公式得出顶点坐标为，再代入一次函数解析式即可得出用含的代数式表示． （3）联立两个函数方程，则，利用韦达定理求，，结合得出，，然后根据两个函数图象的另一个交点在顶点的左侧，得出关于b的不等式求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的顶点A的坐标为， 把代入， 则 ∵二次函数图象的顶点在一次函数的图象上． ∴， 解得， ∴顶点A坐标为：． （2）解：∵二次函数的顶点A的坐标为，且在一次函数的图象上， ∴， ∴． （3）解：联立两个函数方程， 则， 由已知条件可知，则另一个根为， ∴ ，， 由（2）可知，且，即． 把代入得， 把代入中， 则， ∵两个函数图象的另一个交点在点的左侧， ∴， ∴， 解得． 【变式17-1】（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，记点M与点N之间的距离为m，当M与N重合时，． ①若，求t的值； ②若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】（1）待定系数求解； （2）①联立解析式求解； ②表示出的表达式，然后分情况讨论，利用二次函数的性质确定最值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点O， ∴； 将代入得， ， ∴； （2）解：①根据题意得，联立， 整理得， 解得或， 即或； ②由①可得直线和抛物线的交点横坐标分别为或， ， 当时，随的增大而减小， ∴当时，取最大值，此时， ∴， ∴； 当时，， ∴当时，取最大值，此时， ∴， ∴； 又∵， ∴． 【变式17-2】（2026·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点． (1)设二次函数图象的顶点的纵坐标为t，求t的最大值； (2)已知：A为抛物线的顶点． ①当时，求k的值， ②若，当二次函数值小于正比例函数值时，求x的取值范围． 【答案】(1)t的最大值为-4； (2)①；②x的取值范围是． 【分析】（1）先推导出二次函数，得到，即可解答； （2）①推导出，代入正比例函数，求出，则或（不符合题意，舍去），即可解答； ②推导出A、B关于原点O对称，得到也在抛物线上，求出，得到，推导出二次函数为，正比例函数为，再根据当二次函数值小于正比例函数值时，，求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵二次函数，顶点的纵坐标为t， ∴， ∵在函数中，二次项系数，抛物线开口向下，顶点为， ∴当时，取得最大值为； （2）解：①∵二次函数的顶点为， ∴将代入正比例函数，得 ， 解得， ∴或（不符合题意，舍去）； ②∵， ∴A、B关于原点O对称， ∵， ∴也在抛物线上， ∴， 解得， ∴或， 将代入，得 ∴正比例函数的解析式为， 将代入，得（不符合题意，舍去）， ∴二次函数的解析式为，正比例函数的解析式为， 当二次函数值小于正比例函数值时， ， 解得， ∴x的取值范围是． 【变式17-3】（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 【题型18 根据图象信息确定解析式再求值】 【例18】（24-25九年级下·江苏苏州·阶段检测）在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是______． 【答案】 【分析】在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解， 本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息． 【详解】解：在中，，，则， 当时，，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴抛物线经过点， ∵抛物线顶点为：， 设抛物线解析式为：， 将代入，得：，解得：， ∴， 当时，，（舍）或， ∴， 故答案为：． 【变式18-1】（2026·河南郑州·模拟预测）如图1，矩形中，点沿从点运动到点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，设点的运动路程为，的面积为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设，，点P的运动路程，则，过Q作交于F，交于E，根据矩形的性质得到，，证明四边形是矩形，得到，根据旋转的性质得到，，进而证明，得到，即，求出的函数解析式，根据函数图象得到、，进而得到，求解即可． 【详解】解：设，，点P的运动路程，则， 过Q作交于F，交于E， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为 ∵二次函数顶点横坐标， ∴， 即， 由函数图象可知，当时，， ∴， 即， 解得（负值舍去）， 即的长为3． 【变式18-2】（2026·浙江杭州·二模）如图，，是边上的一动点，并以的速度沿的方向运动，为内的一点，连接，设点运动时间为，，图是关于的函数的部分图象，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C．图象过点 D．图象过点 【答案】D 【分析】分别求出两段抛物线的解析式，再逐一判断即可求解． 【详解】解：如图，分别为点运动时所处的位置，由图可知点在上，点在上，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由图可知，当点运动在图对应的点为，点为第一段抛物线的顶点， ∴， 设第一段抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴第一段抛物线的解析式为， 当时，， ∴，故选项错误； ∵，， ∴， ∴， 由图可知，当点运动在图对应的点为，点为第二段抛物线的顶点， ∴， 同理可得第二段抛物线的解析式为， 由，解得， ∴， ∴，故选项错误； 把代入，得， ∴图象过点，故选项错误； 把代入，得， ∴图象过点，故选项正确． 【变式18-3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图①，四边形是菱形，，动点E从点A出发以的速度沿着边运动，到达点D停止运动，另一动点F同时从点A出发，以的速度沿着边向点D运动，到达点D停止运动，设点E运动时间为，的面积为，y关于x的函数图象大致如图②所示，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据拐点得到各个自变量范围内的函数解析式是解决本题的关键． 易得点E运动的路程为，点F运动的路程为．当点E在线段上，点F在线段上时，过点F作于点P，求得的长度，然后根据面积公式可得与关系式；当点E在线段上，点F在线段上时，过点B作于点Q，则为中边上的高，求得的长度，根据面积公式可得与之间的关系式；当点E在线段上，点F在线段上时，过点E作于点，利用三角形的面积公式可得与的关系式，然后根据各个函数解析式结合函数图象判断可得各个自变量的范围，进而求解即可． 【详解】解：点E的速度是，点F的速度为，运动时间为， 点E运动的路程为，点F运动的路程为． 当点E在线段上，点F在线段上时， 如图，过点F作于点P， ． ， ． ． ． ． ， ∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象， 由题中的函数图象可得，当时符合， ∴当时，点E在点B上， ∴， 当点E在线段上，点F在线段上时， 如图，过点B作于点Q，则为中边上的高． ． ， ． ， ． ． ， 此段函数图象为随的增大而增大的正比例函数图象， 由题中的函数图象可得，当时符合， ③当点E在线段上，点F在线段上时， 如图，过点E作于点， ． 四边形是菱形， ． ， ． ． 由题意得：． ． ． ， ∴此段函数图象为开口向下的二次函数图象， 由题中的函数图象可得，当时符合， ∴当时， ， ∴a的值为． 故选：B． 【创新思辨】 【题型19 动点构成三角形面积最值】 【例19】（2023·山东济宁·一模）如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法： ①： ②抛物线的对称轴为； ③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，； ④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，的面积最大． 其中，所有正确的说法是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】利用待定系数法即可求得，即可判断①；求得A、B的坐标，利用抛物线的对称性求得对称轴，即可判断②；利用抛物线的对称性、两点之间线段最短，点P为直线与抛物线对称轴的交点时，点P，B，C构成的三角形的周长取最小值，求得直线的解析式，进一步求得n的值，即可判断③；作轴，交与点Q，表示出Q点的坐标，然后根据得出，根据二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 解得，故①说法正确； 令，则， 解得或1， ∴抛物线抛物线与x轴的交点为，， ∴抛物线的对称轴为，故②说法正确； 连接，交对称轴为P，此时，， ∵是定值， ∴此时点P，B，C构成的三角形的周长最小， ∵，， ∴直线为， 当时，， ∴， ∴n=2，故③说法错误； 作轴，交与点Q， ∵点在抛物线上， ∴， 把代入直线的解析式得， ∴， ∴， ∴时，的面积最大，故④说法正确． 综上，正确的有①②④． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，三角形的面积，根据题意求得A、B的坐标和对称轴是解题的关键． 【变式19-1】（2022·广东佛山·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B坐标为，点D从点C沿边运动到点B，以为边作正方形，连接，在D运动过程中面积的最小值是 ___________． 【答案】 【分析】由勾股定理可求正方形的面积，可求面积，由二次函数的性质可求解． 【详解】解：∵顶点B坐标为， ∴， ∴， ∴正方形的面积， ∴面积， ∴当时，△BEF面积的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，二次函数的性质，利用参数表示面积是解题的关键． 【变式19-2】（2025·宁夏中卫·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； (3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)存在，点 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点B关于抛物线的对称点为点A，则交抛物线对称轴于点D，则此时，的值最小，进而求解； （3）过点P作轴交于点H，由题意可设点，则点，由铅垂法可得，然后问题可求解． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 则点A、C的坐标分别为：、， 将A，C的坐标代入抛物线得：，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：点B关于抛物线的对称点为点A，则交抛物线对称轴于点D，则此时，的值最小； 如图1，为最小； 设直线的表达式为：，将点A、C的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为，抛物线的对称轴为直线， 当时，，即点D的坐标为； （3）解：的面积存在最大值；理由如下： 过点P作轴交于点H，如图2， 由（2）可得直线的表达式为， 设点，则点， ∴，的水平宽为3， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点． 【变式19-3】（2024·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线上一点，在直线下方的抛物线上有一动点P．连接，求的面积最大值与此时点P的横坐标； (3)如图2，若点M是抛物线对称轴上的一个动点，且在点C的上方，将点C绕点M逆时针旋转得到对应点H，直线交抛物线于点N（点N与点D不重合）．随着点M的运动，判断点N的坐标是否可求？如能，直接写出点N的坐标、如不能，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先根据顶点为设抛物线的解析式为，再代入，求出，再整理解析式，即可作答． （2）运用待定系数法求直线的解析式为，设，，构建面积的二次函数，得出，结合二次函数的性质，即可作答． （3）先根据题意补全图形，再结合旋转性质以及角的等量代换，得证，运用待定系数法求直线的解析式为，再与构建方程，运用因式分解法，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为 ∴设抛物线的解析式为， ∵与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点， ∴把代入， 得出， 解得， ∴； （2）解：过点P作轴交于点H，如图 设直线的解析式为， 把，代入， 得出， 解得， ∴直线的解析式为； ∵点P在抛物线上， ∴设， ∵点H在直线上 ∴ ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴有最大值， 当时，则（最大值）， 此时点P的横坐标为； （3）解：能求出点N的坐标，过程如下： 设点N的坐标为 依题意，点M是抛物线对称轴上的一个动点，且在点C的上方，将点C绕点M逆时针旋转得到对应点H，直线交抛物线于点N（点N与点D不重合） 则过点M作轴的平行线，交轴于一点Q，过点H作轴的平行线交直线于一点F，如图： ∴，， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点H的坐标为， 即， 设直线的解析式为 ∵， ∴把，代入， 得 解得 ∴直线的解析式为， 依题意，得出， 即， ∴， 解得（舍去，因为点N不与点D重合）， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，面积问题、求二次函数、一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，因式分解法解一元二次方程，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型20 动点构成等腰三角形存在性】 【例20】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（在的左侧），与轴交于点 (1)求，，坐标； (2)将该抛物线在坐标系内平移后经过点，平移后的抛物线上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与全等．若存在，求出平移后抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）分别令和求解即可； （2）先设平移后的抛物线表达式为，由于平移后的抛物线经过点，则，然后分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时， 解得， 当时， ∴； （2）解：存在， 设平移后的抛物线表达式为， ∵平移后的抛物线经过点， ∴， 当时，则或 当时，则 ∴，解得 ∴平移后的抛物线表达式为； 当时，则 ∴，解得， ∴平移后的抛物线表达式为，与原抛物线重合，不符合题意； 当时，若点在轴上方，则，， ∴由平移可得，， 代入，则， ∴，解得 ∴平移后的抛物线表达式为； 若点在轴下方，则与关于轴对称， ∴， 代入，则 ∴，解得 ∴平移后的抛物线表达式为，与原抛物线重合，不符合题意； 综上：平移后的抛物线表达式为或． 【变式20-1】（2025·青海西宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式；抛物线的解析式 (2)存在，点M坐标为或或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，再分类讨论即可； 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点，分别代入得： ， 解得： 直线的解析式为； ∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ， 当时， ∴， 解得：， ∴或； 当时， ∴， 解得：， ∴， 综上：点M坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数和二次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，二次函数的图象与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式20-2】（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)有最大值，此时； (3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的最值问题，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）求出解析式为，设，则，则，然后利用二次函数的性质即可求解； （）设，则有，，，分当时，当时，当时三种情况，再通过解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， 设解析式为且过，， ∴，解得：， ∴解析式为， ∵是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴， ∴设，则， ∴， ∴当时，有最大值， 此时； （3）解：存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由， 如图， ∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵，， ∴，，， 当时， ∴， 解得， ∴， 当时， ∴， 解得， ∴或； 当时， ∴， 解得， ∴； 综上：点的坐标为或或或． 【变式20-3】（2023·山东聊城·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，最大值为； (3)解：不存在．理由如下： ∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴M点纵坐标为， ∴， 解得或， 当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 点的坐标为，点的坐标为， 此时，，， ，则不是以为腰的等腰直角三角形， ∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形． 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质等知识点． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，且，求得，，，利用三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （3）当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于直线， 令，则， ∴， 设，且， ∴，， ∴， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴时，的值随的增大而增大， ∴当，有最大值，最大值为； （3）略 【题型21 动点构成四边形存在性】 【例21】（2023·安徽滁州·二模）如图，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴与轴交于点，且．    (1)求抛物线的表达式； (2)矩形的边在轴负半轴上，边在第二象限，，，将矩形沿轴正方向平移得到矩形，直线与直线分别交抛物线于点、，在平移过程中，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出平移距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)存在，平移距离为或或 【分析】（1）根据利用待定系数法得到二次函数的解析式即可解答； （2）根据平移规律得到，，，，再利用平行四边形的性质得到的值即可解答． 【详解】（1）解：∵当时，， 解得或， ，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ，， ，，， 设将矩形沿轴正方向平移个单位得到矩形， ∴，，，， 直线与直线分别交抛物线于点、， ∴，， 当为平行四边形的对角线时，， 解得或； 当为平行四边形的对角线时，此时不成立； 当为平行四边形的对角线时，， 解得； 综上所述：的值为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【变式21-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上， ，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【变式21-2】（2026·湖北武汉·一模）如图，抛物线与轴交于和两点，在点左边，与轴交于点． (1)直接写出，，三点坐标； (2)如图，为中点，在抛物线上找一点，使，求出点坐标； (3)如图，将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位，为新抛物线对称轴右侧上一点，直线与新抛物线交于唯一公共点，与轴交于，是否存在以为对角线的菱形，使点在轴上，点在延长线上，若存在，求菱形的面积，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)存在，． 【分析】（）由抛物线得，当时，，当时，，解得，，从而得出，，三点坐标； （）分当点在上方时，当点在下方时，两种情况求解即可； （）由点和及抛物线均向下平移个单位，则平移后抛物线解析式为，设，则，则直线解析式为，与抛物线联立得，又直线与新抛物线交于唯一公共点，则， 解得，则解析式为，当时，，所以，设，因为四边形是菱形，所以，则，解得，故，由，，设，根据菱形性质求出，同理可得直线解析式为，解得，所以，，最后通过求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线得， 当时，， 当时，， 解得，， ∴，，； （2）解：当点在上方时，在上取点，使，过作，交抛物线于点，交轴于点，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 当点在下方时，在上取点，使，过作，交抛物线于点，交轴于点，作点关于轴对称点，连接，交抛物线于点，如图， 由得直线解析式为，， 当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 综上可得或； （3）解：∵点和及抛物线均向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 设，则，设直线解析式为， 把代入得， ∴直线解析式为， ∴与抛物线联立得， ∴， ∵直线与新抛物线交于唯一公共点， ∴，整理得， 解得， ∴解析式为，当时，， ∴， 设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，整理得， 解得， ∴， 由，， 设， ∴，，解得，， ∴， ∵将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位， ∴，， 同理可得直线解析式为， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 【变式21-3】（2022·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为； (3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或或． 【分析】（1）把，代入，可得，，即可得二次函数的表达式； （2）设，作轴于点，则，，利用割补法，可得，即可得面积的最大值； （3）由待定系数法，可得直线的解析式为，设，由轴，可得，根据题意进行分类讨论，结合正方形的性质，即可得点坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，， ∴， 解得， ∴． （2）解：在中，令，得， ∴， 设， ∵点在直线上方，，， ∴，， 作轴于点，则，， 用割补法求面积： ∵的面积等于梯形的面积加的面积减去的面积， 梯形的面积， 的面积， 的面积， ∴面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． （3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，点在上方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形是正方形，点在下方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为或或． 【题型22 二次函数与几何图形综合建模】 【例22】（2026·河南平顶山·三模）综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 问题背景 在一次数学活动课上，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计） 实践活动 方案一：如图，甲活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形 方案二：如图，乙活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形 问题解决： (1)在方案一中： ①求制作无盖纸盒的底面边的长； ②请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式，并求出单个无盖纸盒体积的最大值； (2)在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式． (3)将（2）中的y与x的几组对应值列表： 1 3 5 6 7 8 10 15 19 1444 3468 4500 4704 4732 4608 4000 1500 76 如图，在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接． (4)若利用两个方案制作的两种无盖纸盒的高度相等，请结合图象比较两种纸盒体积的大小． 【答案】(1)①；②，单个无盖纸盒体积的最大值为 (2) (3)描点、画函数图象如解图所示． (4)方案一的纸盒体积更大 【分析】（1）根据题意用含x的式子表示长；②根据题意列出制作的每个无盖纸盒的体积与的二次函数关系式，根据二次函数的性质进行解答即可； （2）利用长方体的体积公式表示出图中纸盒的体积； （3）利用描点连线画出函数的图象 （4）根据函数的图象解答即可． 【详解】（1）解：①根据题意，得 答：边的长为． ②根据题意，得． ∵，， ∴当时，y有最大值，即单个无盖纸盒体积的最大值为． （2）解：根据题意，得． （3）略 （4）画出方案一的函数图象，如解图所示． 由图象可知，当时，方案二的纸盒体积更大；当时，两个方案的纸盒体积一样大；当时，方案一的纸盒体积更大． 【变式22-1】（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 【变式22-2】（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】(1)， (2)米 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 【变式22-3】（2026·江苏南京·三模）如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是的中点且，．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为，已知山顶F到点A的水平距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)一个人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且． ①请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由； ②下列结论中，正确的有 ． （a）在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等； （b）在拱桥的段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近； （d）人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近． 【答案】(1) (2)解：①人眼在点Q处能直接看到山顶F.理由如下： 如图，连接， ∵点P到点A的水平距离为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵山高为，山顶F到点A的水平距离为． ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴ ， ∴人眼在点Q处能直接看到山顶F. ②（a） 【分析】（1）如图，以为轴，为轴，建立坐标系，设抛物线为，再利用待定系数法求解即可； （2）①连接，求解，，，求解直线为，计算，进一步结合配方法可得答案； ②（a）如图，连接，过作于，求解，如图，若存在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等，即，设，则，可得，可得（a）符合题意；（b）不符合题意；当在段，可得 ，计算，，时的值，可得（c）（d）都不符合题意. 【详解】（1）解：如图，以为轴，为轴，建立坐标系， ∵，， ∴，，， 设抛物线为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：. （2）解：①略 ②（a）如图，连接，过作于， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 如图，若存在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等，即， 设，则，即， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（与重合）， ∴（a）符合题意； （b）由（a）可得在拱桥的段不存在一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）（d）当在段， ∵，， ∴ 当时， ， 当时， ， 当时， ； ∴（c）（d）都不符合题意. 【题型23 实际应用与二次函数】 【例23】（2026·山西长治·三模）【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 【答案】(1) 一次， (2) 日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒 (3) 45 【分析】（1）根据表格可得，当销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据题意得，，根据二次函数的性质求出w的最大值及对应的销售单价； （3）根据题意得，求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，当每盒销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数； 设一次函数关系式为． 将，代入，得 可得 解得 所以，与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 即． 关于的二次函数开口向下，对称轴为． 所以，当时，可以取得最大值，最大值为． 所以，日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒． （3）解：由题意得， 整理得 解得， ∴此时销售单价为45元/盒时更惠民． 【变式23-1】（2026·江苏徐州·模拟预测）我市文广旅局以“春启汉韵知行徐州”为主题，推出多条精品研学线路，诚邀师生在行走中研学彭城，在体验中读懂徐州．某校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“淮海印记——红色精神接力”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 某A型客车租车费用为2500元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供10辆A型客车； 学校参加研学活动教师30人，学生有500人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 【答案】(1)A型客车每辆载客量为人，B型客车每辆载客量为人； (2)本次研学活动学校的最少租车费用是元． 【分析】（1）设A型客车每辆载客量为人，则B型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出的取值范围，再列出关于的函数关系式，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为人， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（人）． ∴A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租用A型客车辆，则租用B型客车辆， 根据题意得， 解得， 设本次研学活动学校的租车总费用为元， 则， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴二次函数的图象为开口向下的抛物线， 又∵， ∴时，随着的增大而增大，时，随着的增大而减小， 又∵m取正整数， ∴的可能取值为，，，，， ∵，，， ∴当时，取得最小值，最小值为（元）， ∴本次研学活动学校的最少租车费用是元． 【变式23-2】（2026·河南三门峡·三模）项目式学习 【项目主题】设计减速带之间的距离． 【项目背景】在校园、景区的道路中间，常常设置一些用于限制汽车速度的减速带，但是相邻减速带之间的距离不宜过大，也不宜过小，那么减速带之间的距离应该设置为多少较合适？数学兴趣小组以此为主题开展项目式学习． 【研究步骤】 ①査阅资料 数学兴趣小组查阅资料获知，在限速的情况下，汽车从一个减速带到另一个减速带之间需要经历先加速、再减速两个阶段，其中第一阶段汽车速度从（前一减速带）加速到，第二阶段从减速到（后一减速带），两个减速带之间的距离就是这两个阶段汽车行驶的路程之和． ②建立模型 经过物理老师的帮助，该兴趣小组确定了汽车在加速阶段行驶的路程，速度，其中v0为初始速度，a为加速度，t为行驶时间，在加速阶段． ③测量数据 数学兴趣小组利用秒表分别测量汽车加速过程中，速度达到所用的时间，并进行多次试验取平均值，得到表1信息： 表1 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 10 20 30 40 ④整理数据 数学兴趣小组进一步把速度的单位进行转换，得到表2信息： 表2 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 【解决问题】请你根据以上信息回答下列问题： (1)请你根据表2信息，求第一阶段v与t的函数关系式、s与t的函数关系式． (2)若第二阶段汽车行驶路程是第一阶段汽车行驶路程的，请计算相邻两个减速带之间的距离（结果精确到）． 【答案】(1)第一阶段与的函数关系式为，与的函数关系式为 (2)相邻两个减速带之间的距离约为 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）根据表中数据得到速度为时，，再代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，知第一阶段v与t的函数关系式为，s与t的函数关系式为． 将代入， 得， 解得． ∴第一阶段与的函数关系式为， 与的函数关系式为． （2）解：由题意，知当时，， 此时，即第一阶段汽车行驶的路程为． ∴第二阶段汽车行驶的路程为．． ∴相邻两个减速带之间的距离约为． 【变式23-3】（2026·广东深圳·三模）【问题背景】为落实2026年深圳峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的 ，每台需带宽2单位）和普通设备（占 ，每台需带宽1单位）．每个通信基站带宽容量为600单位．会议通信保障中心的目标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量． 【模型构建】在会议开始前40分钟启动通信保障，现场总设备数y（台）与保障时间x（分钟）满足： ． 【模型应用】 (1)第______分钟，现场总设备数达到1400台． (2)请求出第 分钟时的现场总带宽需求 的表达式． (3)为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由． (4)通信中心考虑优化方案：媒体设备区必须保证 带宽供应，普通设备区可接受“弹性保障”（当带宽不足时，可降速至0.5单位/台）．若普通设备区降速策略生效的阈值为：当 （总带宽容量）时启动．请通过计算说明采用此策略后，所需基站数能否减少． 【答案】(1) (2) (3)解：至少需要部署4个基站，理由如下： ， ∵，函数图象开口向下，对称轴为， ∴当时，p随x增大而增大， 当时p取得最大值： ， 单个基站带宽容量为单位，所需基站总数为，基站数量为正整数，向上取整得到至少需要部署4个基站； (4)解：假设部署3个基站，总带宽容量为单位： 弹性策略启动阈值为，即当原始总带宽需求时，普通设备单台带宽降为单位， 此时调整后的总带宽需求为： ， 当时y取得最大值， 代入得调整后最大带宽需求，满足验证阈值触发区间； 令原始， 即， 解得， 对应x的取值范围约为，该区间内调整后的带宽需求始终小于，所有时刻带宽需求均可被3个基站覆盖， ∴采用该策略后，所需基站数可以从4减少到3，能够实现基站数减少． 【分析】（1）将给定的总设备数代入已知的设备数和时间的关系式，得到一元二次方程，求解后结合x的取值范围舍去超出定义域的解，得到符合要求的时间； （2）根据两类设备的占比和单台带宽需求，先推导出总带宽p和总设备数y的函数关系式，再将y关于x的表达式代入，展开整理得到p关于x的最终表达式，标注对应的x的取值范围； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴位置，找到p的最大值，用最大总带宽除以单个基站的容量，向上取整得到最少需要部署的基站数量； （4）先假设部署比原方案少1个的基站，计算该配置下的总容量和弹性策略触发阈值，推导弹性策略生效后的总带宽需求表达式，计算调整后的最大带宽需求，验证其是否小于该配置的总容量，确认所有时刻的带宽需求都可以被覆盖，即可判断基站数是否可以减少． 【详解】（1）解：将代入总设备数关系式： 整理得： 解得， ∵， ∴； （2）解：∵媒体设备占总设备数，单台带宽2单位，普通设备占总设备数，单台带宽1单位， ∴， 代入， ； （3）解：略； （4）解：略． 【题型24 含参数的二次函数分类讨论】 【例24】（2025·吉林长春·模拟预测）二次函数，为常数，且，若对于任意的满足，函数值的最小值为，则的值是______． 【答案】 【分析】根据开口向上的二次函数的增减性，按对称轴与给定区间的位置关系分情况讨论，计算不同情况下的最小值，结合已知条件筛选出符合要求的的值即可． 【详解】解：由二次函数可得，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点的纵坐标为， ∵，的取值范围是， ∴分情况讨论： 若，解得，与已知条件矛盾，舍去此情况； 若，解不等式得， 又，则， 此时函数最小值为顶点纵坐标，不符合最小值为的条件，舍去此情况； 若，解得，符合的要求， 此时整个区间都在对称轴左侧，开口向上的二次函数在对称轴左侧随增大而减小， 因此最小值在处取得， 将代入函数得， 整理得， ∴或， 解得或， 因为，舍去， ∴． 【变式24-1】（2026·安徽淮南·一模）已知抛物线经过点，． （1）抛物线顶点的纵坐标为___________； （2）当时，都有，则的取值范围是___________． 【答案】 或 【分析】（1）将一般式化为顶点式即可； （2）分为和两种情况讨论，当时，由图象可知，抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小，结合题意可得，从而得出的取值范围；当时，使用同样的方法计算即可． 【详解】解：（1）， ∴抛物线顶点的纵坐标为； （2）①当时，抛物线开口向上， 由（1）可知，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离直线越近，其纵坐标越小， ∵当，都有， ∴对于，都成立， ∴， ∵， ∴，即； ②当时，抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离直线越近，其纵坐标越大， ∵当时，都有， ∴对于，都成立， ∴， ∴，解得； 综上所述，的取值范围为或． 【变式24-2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）点，都在二次函数的图象上.若，则的取值范围为__________. 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的增减性和对称性，正确理解二次函数的增减性和对称性是解答本题的关键．当时，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，根据二次函数的增减性，的取值范围；当时，抛物线开口向下，A，B两点在对称轴的两侧，根据来比较它们与对称轴的距离大小，即得答案． 【详解】二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大，若，则若，解得； 当时，抛物线开口向下，，所以点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧，由离对称轴越近函数值越大，得：点B离对称轴更近，所以，解得，故m的取值范围为； 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：或． 【变式24-3】（2026·山东烟台·二模）当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【答案】或 【分析】二次函数开口向上，对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，根据差为计算，舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵ 中， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又∵ ， ∴ ，分情况讨论： ①当对称轴在区间的右侧，即时，得，此时函数在上，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最大值；当时，取得最小值， 由题意得 ， 解得 ，不符合，故舍去； ②当，即时，此时最小值在对称轴处， ∴的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， 又∵， ∴当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； ③当，即时， 同理，此时的最小值为， ∵， ∴  当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； 综上，的值为或． 【题型25 新定义运算结合二次函数】 【例25】（2026·广东揭阳·一模）新定义：若存在常数，使得点满足，，则称点为“偶点”．如若是“偶点”，则；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查新定义问题，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是根据新定义推导出“偶点”在直线上，将原问题转化为直线与给定区间上的抛物线存在交点，进而求解的取值范围． 【详解】解：根据“偶点”定义，点满足 ， ，且， 将两式相减得：， 变形得：， 整理得：， ， ，即， 因此所有“偶点”都在直线上， ∴，解得， 抛物线上至少存在一个“偶点”， 即直线与抛物线在范围内至少有一个交点， 联立方程得：， 整理得： ，其中， 是关于的二次函数，开口向上，对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，的最小值为，最大值为， ∵， 因此的取值范围为． 【变式25-1】（25-26九年级下·广西玉林·期中）新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 (1)若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______； 【思考与探究】 (2)设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求的值； ②如图，在①的条件下，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，为抛物线上任意一点，当 时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①，；②或 【分析】（）根据伴随抛物线的定义解答即可求解； （）①求出抛物线的顶点坐标，再根据伴随抛物线的定义解答即可求解；②先求出点的坐标，设，过点作于点，则，，由正切的定义得 ，求出的值即可求解； 本题考查了二次函数的新定义，二次函数的几何应用，正切的定义，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点和 在抛物线上， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得，， ∴，； ②由①得，函数的图象为抛物线， 令，即， 解得或， ∴，， 把代入，得， ∴， 当时，， 解得或， ∵轴， ∴， 设， 如图，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴ 或， 解得或， ∴或． 【变式25-2】（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． (1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． (2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，即可求解； （2）①由点的坐标得，直线的表达式为，可得，四边形是矩形，由解得，进而可得，，由于是的中点，从而求出点坐标； ②抛物线为“优雅”抛物线，求出，由于，可得，结合，求出，联立与，求得坐标，进而求出的解析式． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为， 即， ； （2）解：①如图：由（1）知，点 ，设， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ②， ， ， ， ， ， ， ，， 解方程组，得，， 将代入得：， 解得 ， 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、图象的平移、一次函数的图象和性质、平行四边形的性质等，利用新定义确定函数表达式是解题的关键. 【变式25-3】（2025·辽宁营口·模拟预测）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)函数的“最优纵横值”为_____； (2)若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值； (3)抛物线图象的顶点在直线上． ①当，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值． ②抛物线上，两点的“纵横值”分别为m，n且，直接写出的取值范围．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】本题主要考查二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确理解“纵横值”和“最优纵横值”的定义是解题的关键． （1）计算得 利用反比例函数图象上点的坐标特征可得结论； （2）根据对称轴求得则 所以 ，由最优纵横值为，即可得出 解得 （3）①由题意可知则，由当 时，二次函数的最优纵横值为，分两种情况讨论得到关于的方程，解方程即可 ②根据题意得出，，然后建立不等式，利用二次函数的性质确定，再由①中即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 时，的最大值是， 故答案为：； （2）解：∵二次函数 的顶点在直线上， ， ， ， ， ∵最优纵横值为， ， ； （3）①解：当时，二次函数的顶点在直线上， ， ， ， ∵当 时，二次函数的最优纵横值为， 当 即时，则时，有最大值为， 解得或 (舍去)， 当 即时，则时，有最大值为， ， 解得或 (舍去)， 故的值为或； ②∵抛物线上，两点的“纵横值”分别为m，n， ∴ ， ∵， ∴， 整理得：， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 【题型26 双抛物线公共点问题探究】 【例26】（2025·安徽亳州·二模）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论错误的是（   ） A．无论取何值，总是负数 B．抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 C．当时，随着的增大，的值先增大后减小 D．若依次连接、、、，则四边形为正方形 【答案】C 【分析】根据非负数的相反数或者直接由图像即可判断A；②先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断B；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断C；分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行即可判断D． 【详解】解：记抛物线与分别为抛物线和抛物线， A、， ， ， 无论取何值，总是负数， 故A正确，不符合题意； B、∵抛物线与交于点， ， 即， 解得， 抛物线， 抛物线的顶点，抛物线的顶点为， ∵将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为， ∴将抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线， 故B正确，不符合题意； C、 ， 将代入抛物线， 解得， ， 将代入抛物线， 解得， ， ，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方， ， 当，随着的增大，的值减小， 故C不正确，符合题意； D、设与轴交于点， ， ， 由C可知 ，， ，， 当时，， 即， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ∵，，，， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， 故D正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识． 【变式26-1】（2026·广东深圳·二模）【定义感知】如图1，对于抛物线，以轴上的点为中心，将抛物线绕点旋转得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线关于点的“共轭抛物线”，点为“共轭中心”． 【理解应用】 已知顶点为的抛物线与轴交于点，． (1)如图2，当时，求抛物线关于共轭中心的共轭抛物线的表达式； (2)如图3，当时，若抛物线关于共轭中心的共轭抛物线恰好经过抛物线的顶点，求的值； (3)【拓展延伸】过点作轴垂线，分别交抛物线和它关于共轭中心的共轭抛物线于点，，记的长为，与的函数关系图象为．当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据解析式可得抛物线顶点为．根据“共轭抛物线”的定义可得共轭抛物线的顶点为，开口大小与抛物线相同且方向相反，即可求解； （2）同（1）得出抛物线表达式为：．将点代入，根据，得出 （3）由（2）可知，抛物线，抛物线，分三种情况讨论，①当时，点在的左侧，②当时，点在之间，③当时，点在的右侧，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， 抛物线顶点为． 共轭中心为， 共轭抛物线的顶点为， 开口大小与抛物线相同且方向相反， 抛物线表达式为：； （2）解：抛物线， 抛物线顶点为． 共轭中心为， 共轭抛物线的顶点为， 开口大小与抛物线相同且方向相反， 抛物线表达式为：． 抛物线经过点， 解得：．    （3）解：令得：， ∴， 由（2）可知，抛物线，抛物线， ①当时，点在的左侧， 点在点上方， ． ②当时，点在之间， 点在点上方，． ③当时，点在的右侧， 点在点上方，． 综上，与的函数关系图象如下图所示， ∴当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，， 当或时，， 解得：，， 当时，， 解得： ． 方法二：由定义可知抛物线与共轭抛物线关于点成中心对称， ， 与的函数关系图象如下图所示， 当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，， ， ∴ 解得：． 【变式26-2】（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B，抛物线和圆C在点A，B之间的部分分别记为，．M，N分别是，上的两个动点（M，N均不与A，B重合）．给出下面四个结论，错误的有（     ） ①当轴时，长的最大值为； ②若点Q在x轴上，则在第一象限内存在点M，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与性质，圆与函数的综合，等边三角形的性质与判定；当与轴重合时，的长取最大值，计算此时的的长即可判断①；，即可判断②；以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形，即可判断③；设，表示出在上，利用建立方程，求出，最后根据的取值范围，即可判断④． 【详解】解：①当与轴重合时，的长取最大值， ∵将代入，得，解得：， ∴， ∴， ∴当与轴重合时，，， ∴当与轴重合时，即为最大值， ∴①正确； ②如图1所示，对于轴上的任意一点， ∵轴， ∴， ∵四边形的名称为， ∴点在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点，都可以画出, 显然， ∴②错误； ③如图2所示，以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形， ∴③正确； ④点分别是，上的点，设， ∵、，、在点、点之间，均不与重合， ∴， ∵为中点， ∴在上， ∴，即， （负值舍去）或， ∵， ∴， ∵，这与是矛盾的， ∴不存在以为中点的线段， ∴④错误； 综上：①③正确，②④错误． 【变式26-3】（2026·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（）与y轴交于点，顶点为，将该抛物线沿射线方向平移得抛物线，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若抛物线与x轴交于B、C两点，且，则点Q的坐标为_________； (3)点E是抛物线对称轴右侧图像上一点，点F在抛物线上，若四边形是面积为6的平行四边形，求点Q的坐标； (4)如图2，抛物线与抛物线交于点M，连接、，若，则点Q的横坐标为_________． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由题意可得且，得到，再将点代入，求出即可； （2）设抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得抛物线，得到抛物线的解析式为，设，求出，根据，利用，即可解答； （3）求出直线的解析式为，根据四边形是面积为6的平行四边形，可得，如图，设直线交轴于点，过点作直线的垂线，交直线于点，设直线与轴交点为，求出，易证是等腰直角三角形，得到，求出，进而得到，直线的解析式为，联立，求出，根据点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，同理（2）得到抛物线的解析式为，即可求解； （4）由（3）知直线的解析式为，设，联立，求出，易得是直角三角形，由，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得且， 则， ∴， 将点代入，则， ∴， ∴抛物线对应的函数表达式为； （2）解：∵点，点，且，将抛物线沿射线方向平移得到抛物线， ∴设抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线， ∵抛物线：， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于B、C两点， 令，设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标； （3）解：设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， ∵四边形是面积为6的平行四边形， ∴， 如图，设直线交轴于点，过点作直线的垂线，交直线于点，设直线与轴交点为， ∴， ∴， 令，解得，则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∵点E是抛物线对称轴右侧图像上一点， ∴， ∵点，点，且， ∴点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∵， ∴点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴，即， 同理（2）设抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 将代入，则， ∴， 解得或， ∴抛物线的解析式为或， ∴点Q的坐标为或； （4）解：由（3）知直线的解析式为， 设， ∴抛物线的解析式为， 联立，则， 整理得，即， 解得或（与点重合，舍去）， 当时，， ∴， ∵，即， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得（点，点重合，舍去），或或（舍去）， ∴点Q的横坐标为． 【题型27 二次函数与不等式恒成立综合】 【例27】（2020·广东东莞·二模）对于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣2，当0≤x≤2时，不等式x2﹣2mx+m2+m﹣2＞x恒成立，则m的取值范围是_____． 【答案】m＜﹣2或m＞3 【分析】将x2﹣2mx+m2+m﹣2＞x变形为[x﹣（m+2）][x﹣（m﹣1）]＞0，根据当0≤x≤2时，不等式x2﹣2mx+m2+m﹣2＞x恒成立，得到关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】x2﹣2mx+m2+m﹣2＞x， 则x2﹣（2m+1）x+（m+2）（m﹣1）＞0， [x﹣（m+2）][x﹣（m﹣1）]＞0， 0≤x≤2时， m﹣1＞2或者m+2＜0， 解得：m＜﹣2或m＞3 故答案：m＜﹣2或m＞3． 【点睛】本题主要考查了二次函数和不等式，关键是对不等式变形，理解恒成立的含义． 【变式27-1】（2026·福建三明·一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线图象上的三点，若时，满足恒成立，则的整数部分数值为_____． 【答案】 【分析】通过代入三点横坐标求出抛物线对应纵坐标，根据函数值的大小关系列不等式解出的取值范围，结合时不等式恒成立的条件确定的取值范围，进而得出的整数部分即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵点在抛物线上， ∴， ， ， 由得 ， 化简得， ∵，两边除以，不等号方向改变，得， 解得， 由得 ， 化简得， ∵，两边除以，不等号方向改变，得，解得， ∴， ∵时不等式恒成立， ∴的整数部分为． 【变式27-2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质得到，即得，又根据二次函数的性质可得当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为，得到，由即可得到，画出函数图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，当时，随增大而减小， 又∵当时，二次函数随增大而减小， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴在中， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴当，时， ， ∵恒成立， ∴， 画出函数和的图象如图所示， 由图象可得，当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式27-3】（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，且对于任意的值，不等式恒成立，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、不等式恒成立问题、一元二次方程与二次函数的关系以及利用配方法求二次函数的顶点式．由二次函数经过点和不等式恒成立，推导出函数必过点，从而求得，再结合不等式恒成立条件，利用判别式求得，． 【详解】函数过点， ． 又对于任意，有，当时，且， ，即函数过点， ， 联立方程， 相减得， ， 把代入得，即． 设恒成立， 要使恒成立，须有， 判别式，即， ， 设， 代入和得，需恒成立， 要使恒成立，须有二次项系数，即， 判别式， 即，化简得， 即，两边乘以得， 即， ， 即， ，代入得， ． 故答案选：． 【题型28 翻折与旋转后图象性质综合】 【例28】（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形，，是图形上两点，若对于，，都有，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】先求出翻折后图形G的分段解析式，计算对应的，再根据所在区间的位置分情况讨论，求出区间内的最大值，当时，一定成立；当时，不一定成立；当时，可使一定成立；当时，一定成立；综合四种情况即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形， ∴当时，图形的解析式为；当时，图形的解析式为，即图形的解析式为，其图像如图1所示： ∵二次函数， ∴二次函数关于直线对称， 下面我们来结合图象对的范围进行分类讨论： ∵， ∴当，即时，此时，都在二次函数的图象上，如图1所示， ∴将代入，得：， ∵当时，；当时，； ∴当时，，一定小于与中的较大值， ∵当时，；， 即当时，；， ∴当时，，即符合题意； 当，即时，此时，，点在二次函数的图象上，如图2所示， 此时，当时，取最大值为， 而当，，即此时对于，，不都有， ∴不符合题意； 当，即时，此时点在图象上， ∵， ∴点在二次函数的图象上，如图3所示， 此时，， 若对于，，都有，即， ∴，解得：或（舍去）， ∵， ∴符合题意； 当，即时，此时点，都在图象上，如图4所示： 此时在图象上随着的增大而增大， ∵， ∴， ∴符合题意； 综上：或． 【变式28-1】（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…，如此进行下去，直至得． （1）请写出抛物线的解析式：________； （2）若在第10段抛物线上，则______． 【答案】 1 【分析】（1）根据图象的旋转变化规律可得出旋转后函数的解析式， （2）利用已知得出图象与轴交坐标变化规律，进而求出的值． 【详解】解：（1）一段抛物线： ，记为，它与轴交于点，； 的图象过，两点， ∵将绕点旋转得， 抛物线的解析式二次项系数为：，且过点，， 同理得：抛物线的解析式二次项系数为：1，且过点，，抛物线的解析式二次项系数为：，且过点，， 抛物线的解析式为； 故答案为：； （2）一段抛物线：， 图象与轴交点坐标为：，， 将绕点旋转得，交轴于点，， 将绕点旋转得，交轴于，， 如此进行下去，直至得． 的与轴的交点坐标为，，且图象在轴上方， 的解析式为：， 把代入得，． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了坐标与旋转规律问题和求二次函数的解析式，根据已知得出二次函数旋转后的解析式是解题关键． 【变式28-2】（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴正半轴、y轴分别交于B、C两点，顶点为D． (1)求点B和点D的坐标； (2)如图，T为y轴正半轴上一点，将抛物线绕点T旋转，得到新的抛物线，其中B、D旋转后的对应点分别记为、，当四边形的面积为28时，求抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，定义：为较小函数，即，为较大函数，即． ①直接写出的最大值和的最小值； ②在的图象上有、两点，当，时，总有，直接写出m的取值范围； ③较大函数与组成新的图形W，直线与图形W只有三个交点时，交点从左向右依次为E、F、G，当F为线段的三等分点时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2) (3) 的最大值为5，的最小值为； ； 或 【分析】本题是二次函数的综合应用，主要考查了二次函数的性质与图象，二次函数与方程、不等式的关系掌握这些关系是解答关键． （1）把化为顶点式即可求得点D的坐标，令即可求得点B的坐标； （2）设，由题意可得，，根据平行四边形的面积为28利用割补法可求得，即可求得抛物线的表达式； （3）根据图象即可求得和的函数解析式，利用图象即可得的最大值和的最小值； 由图象可得时，的最小值为5，根据的函数解析式可得与轴的交点的坐标为，则轴，连接并延长交于点，可求得，由总有，则，据此即可得结论； 设，则，可得或，结合点在抛物线的图象上，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点D的坐标为， 令，则， 解得，， ∵点B在x轴正半轴， ∴点B的坐标为． （2）解：设，如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， 由题意得，，，四边形为平行四边形， ∴ ， ∴， 解得， ∴，， 设， 把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式． （3）解：如图，设两条抛物线相交于点，， 由，解得或， 则点，， ∵， ， ∴，， 则函数图象如下图， 则函数图象如下图， ∴的最大值为5，的最小值为． 如图，设抛物线交轴于点， ∵抛物线交轴于点， ∴， ∵， ∴轴， 连接并延长交于点，则点的纵坐标为5， 当时，， 解得，， ∴， ∴由题意得，， ∴． 由题意可得新的图形W如图， 设，则， ∵F为线段的三等分点， ∴或， ∴或 ∵点在抛物线的图象上， ∴，或， 解得，（舍去），或，（舍去）， 当时，， 当时，， ∴或． 【变式28-3】（2026·江苏扬州·三模）在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．某学校数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下： (1)如图1所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式为 ． (2)如图2所示，抛物线与直线交于、两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交直线于点． ①请判断点 翻折后的图象上（填“在”或“不在”）； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． (3)如图3所示，将抛物线绕点逆时针旋转得到新的抛物线．直线l：与抛物线交于点、，点在点的下方，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①在；② (3) 【分析】（1）把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，可得抛物线的顶点坐标是，根据平移的方向和距离得到平移后抛物线的顶点坐标为，即可得到平移后新抛物线的解析式； （2）①设点的坐标是，找到点关于直线的对称点，点的对称点在抛物线上，则点就在抛物线翻折后的图象上； ②过点作轴，交直线于点，连接，设点的坐标是，可得：点的坐标是，从而可得，根据等腰直角三角形斜边与直角边之间的关系可知，根据二次函数的性质即可求出的最大值； （3）设点绕点逆时针旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴，可证，根据全等三角形的性质可得点的坐标是，把点的坐标代入抛物线，可得：，解方程组，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：整理抛物线的解析式， 可得：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的解析式为； （2）①解：如下图所示，设点的坐标是， 解方程， 可得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 轴于点， ，， 过点作于点，交轴于点 当时，可得：， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ， ， ， ， ， ， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标是， 点与点重合， 点关于直线的对称点在抛物线上， 点在抛物线翻折后的图象上； ②解：如下图所示，过点作轴，交直线于点，连接， 设点的坐标是， ， 点关于直线对称， ，， ， 点的纵坐标是， 解方程， 整理可得：， 点的坐标是， ， ， 整理可得： 的最大值为； （3）解：如下图所示，设点绕点逆时针旋转后得到点， 则， ， 过点作轴于点，过点作轴， ， ， ， 由旋转可知， 在和中，， ， ，， 设点的坐标是， ，， ，， ， 点的坐标是， 把点的坐标代入抛物线， 可得：， 整理可得：， 解方程组， 整理可得：， 解得：，， 点在点的下方， 点的纵坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 二次函数（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 根据定义判断二次函数】 2 【题型2 由解析式判断开口方向】 2 【题型3 求抛物线的对称轴】 2 【题型4 求抛物线的顶点坐标】 3 【题型5 求抛物线与坐标轴交点】 3 【题型6 判断函数值的增减趋势】 4 【题型7 由顶点式求最值】 4 【题型8 抛物线平移后的解析式】 5 【进阶拔高】 5 【题型9 待定系数法求解析式】 5 【题型10 一般式与顶点式互化】 6 【题型11 根据平移规律求新解析式】 6 【题型12 求抛物线关于某直线对称的解析式】 7 【题型13 由图象判断系数符号】 8 【题型14 二次函数与一元二次方程根的判定】 10 【题型15 利用图象求不等式的解集】 11 【题型16 给定范围求函数的最值】 12 【题型17 抛物线与直线交点坐标求解】 12 【题型18 根据图象信息确定解析式再求值】 13 【创新思辨】 15 【题型19 动点构成三角形面积最值】 15 【题型20 动点构成等腰三角形存在性】 17 【题型21 动点构成四边形存在性】 18 【题型22 二次函数与几何图形综合建模】 20 【题型23 实际应用与二次函数】 23 【题型24 含参数的二次函数分类讨论】 26 【题型25 新定义运算结合二次函数】 26 【题型26 双抛物线公共点问题探究】 28 【题型27 二次函数与不等式恒成立综合】 30 【题型28 翻折与旋转后图象性质综合】 31 【夯实基础】 【题型1 根据定义判断二次函数】 【例1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 【变式1-3】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 【题型2 由解析式判断开口方向】 【例2】（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【变式2-1】（24-25九年级上·广东广州·期末）已知二次函数开口向下，则___________． 【变式2-2】（25-26九年级上·山西运城·期末）开口向下的抛物线经过点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D． 【变式2-3】（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【题型3 求抛物线的对称轴】 【例3】（25-26九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是__________． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）抛物线的对称轴是______． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海普陀·期末）下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·安徽阜阳·一模）已知二次函数的图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 3 4 5 … … … 关于它的图象，下列判断不正确的是（） A． B．对称轴是直线 C．一定经过点 D．在对称轴右侧部分的图象是下降的 【题型4 求抛物线的顶点坐标】 【例4】（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级下·湖北黄石·阶段检测）写出一个开口向下，顶点坐标为的二次函数解析式，其顶点式可以表示为__________． 【变式4-2】（2026·吉林长春·模拟预测）将抛物线平移到抛物线的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为________． 【变式4-3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）若抛物线的顶点不在坐标轴上，且在轴的左侧是下降的，那么下列对其顶点的描述中正确的是（    ） A．其顶点一定不在第一、二象限 B．其顶点一定不在第二、三象限 C．其顶点一定不在第三、四象限 D．其顶点一定不在第一、四象限 【题型5 求抛物线与坐标轴交点】 【例5】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）已知二次函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为________ 【变式5-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）对于二次函数的图象，则下列结论不正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．与轴有两个交点 C．函数有最小值2 D．当时，随增大而减小 【变式5-2】（2026·陕西榆林·一模）已知二次函数（为常数）的对称轴为，下列说法中正确的是（   ） A．图象与轴的交点可能在轴负半轴上 B．该二次函数的最小值为 C．图象与轴有一个交点 D．若点，在该函数图象上，则 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数，当时，该函数图象与轴有且只有一个交点，则的取值范围是________． 【题型6 判断函数值的增减趋势】 【例6】（25-26九年级上·山西忻州·期末）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【变式6-1】（25-26九年级上·北京丰台·期末）已知二次函数的图象经过原点，且当时，y随x的增大而减小，写出一个符合题意的二次函数的解析式______． 【变式6-2】（25-26九年级上·江西宜春·期末）抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【变式6-3】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_______． 【题型7 由顶点式求最值】 【例7】（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 【变式7-1】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）二次函数的开口方向及最值分别为（   ） A．向下，最大值2 B．向上，最小值 C．向下，最大值4 D．向上，最小值 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）抛物线的顶点坐标为，则的最大值为____． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【题型8 抛物线平移后的解析式】 【例8】（25-26八年级下·重庆·期末）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【变式8-1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知抛物线与x轴没有交点，将该抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的抛物线的顶点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式8-3】（2026·上海黄浦·二模）已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 【进阶拔高】 【题型9 待定系数法求解析式】 【例9】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【变式9-1】（25-26九年级上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求该抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，求a的值． 【变式9-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式． (2)请判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 【变式9-3】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【题型10 一般式与顶点式互化】 【例10】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点是抛物线的顶点，则b的值可能为（   ） A．2 B．1 C． D．3 【变式10-1】（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【变式10-2】（2026·上海·模拟预测）若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 【变式10-3】（2026·福建福州·模拟预测）若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【题型11 根据平移规律求新解析式】 【例11】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，抛物线与直线在第一象限交于点，将抛物线沿着轴向右平移得到抛物线，抛物线与直线在第一象限交于点和点，将抛物线沿着轴向右平移得到抛物线，抛物线与直线在第一象限交于点和点，按照此规律依次平移得到交点，，…，，则点的纵坐标为________． 【变式11-1】（2026·宁夏银川·二模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______． 【变式11-2】（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线的图象与轴正半轴、轴正半轴围成的封闭图形内（不包含边界）有5个整点，平移该抛物线使得抛物线与轴正半轴、轴正半轴围成的封闭图形内（不包含边界）只有2个整点，则平移后的抛物线的顶点坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，将图形M平移得到图形N，图形M上的点平移后的对应点为，若图形N与图形M有且只有一个公共点，则称点为图形M的“临界平移点”．的三个顶点的坐标分别为，，，点为的“临界平移点”，当时，c的取值范围是______；若点H在二次函数的图象上，则c的值为______． 【题型12 求抛物线关于某直线对称的解析式】 【例12】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）将抛物线关于直线对称后所得到的新抛物线的解析式为__________． 【变式12-1】（25-26九年级上·四川凉山·期末）将二次函数y＝－2(x－1)2 ＋3的图象关于原点作对称变换，则对称后得到的二次函数的解析式为____________． 【变式12-2】（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【变式12-3】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，将抛物线：沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线，若抛物线的顶点为A，点P是抛物线上一点，则的面积的最小值为______． 【题型13 由图象判断系数符号】 【例13】（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式13-1】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式13-2】 （2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【题型14 二次函数与一元二次方程根的判定】 【例14】（2021·广东·中考真题）若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为_____． 【变式14-1】（2019·湖北武汉·中考真题）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________ 【变式14-2】（2025·安徽池州·二模）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式14-3】（2025·四川成都·模拟预测）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … … t m 2 2 n … 当时，与其对应的函数值．有以下结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③；④，其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型15 利用图象求不等式的解集】 【例15】（2023·四川绵阳·一模）二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式15-1】（2022·湖南邵阳·三模）如图，抛物线的对称轴是，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为___________． 【变式15-2】如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【变式15-3】（2025·江苏南京·模拟预测）二次函数的图象如图所示．下列结论： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④不等式的解集是． 其中所有正确结论的序号是 __________． 【题型16 给定范围求函数的最值】 【例16】（2025·宁夏吴忠·模拟预测）当时，二次函数的最大值为________． 【变式16-1】（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 【变式16-2】（2026·广东江门·二模）已知二次函数（为常数），若当时，函数有最小值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【变式16-3】（2026·山东聊城·一模）已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 【题型17 抛物线与直线交点坐标求解】 【例17】（2026·江苏南京·一模）已知二次函数图象的顶点在一次函数的图象上． (1)当时，点的坐标是___________； (2)用含的代数式表示； (3)若两个函数图象的另一个交点在点的左侧，则的取值范围是____________． 【变式17-1】（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，记点M与点N之间的距离为m，当M与N重合时，． ①若，求t的值； ②若对于，都有，求a的取值范围． 【变式17-2】（2026·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点． (1)设二次函数图象的顶点的纵坐标为t，求t的最大值； (2)已知：A为抛物线的顶点． ①当时，求k的值， ②若，当二次函数值小于正比例函数值时，求x的取值范围． 【变式17-3】（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【题型18 根据图象信息确定解析式再求值】 【例18】（24-25九年级下·江苏苏州·阶段检测）在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是______． 【变式18-1】（2026·河南郑州·模拟预测）如图1，矩形中，点沿从点运动到点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，设点的运动路程为，的面积为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 【变式18-2】（2026·浙江杭州·二模）如图，，是边上的一动点，并以的速度沿的方向运动，为内的一点，连接，设点运动时间为，，图是关于的函数的部分图象，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C．图象过点 D．图象过点 【变式18-3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图①，四边形是菱形，，动点E从点A出发以的速度沿着边运动，到达点D停止运动，另一动点F同时从点A出发，以的速度沿着边向点D运动，到达点D停止运动，设点E运动时间为，的面积为，y关于x的函数图象大致如图②所示，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【创新思辨】 【题型19 动点构成三角形面积最值】 【例19】（2023·山东济宁·一模）如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法： ①： ②抛物线的对称轴为； ③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，； ④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，的面积最大． 其中，所有正确的说法是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③ 【变式19-1】（2022·广东佛山·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B坐标为，点D从点C沿边运动到点B，以为边作正方形，连接，在D运动过程中面积的最小值是 ___________． 【变式19-2】（2025·宁夏中卫·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； (3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式19-3】（2024·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线上一点，在直线下方的抛物线上有一动点P．连接，求的面积最大值与此时点P的横坐标； (3)如图2，若点M是抛物线对称轴上的一个动点，且在点C的上方，将点C绕点M逆时针旋转得到对应点H，直线交抛物线于点N（点N与点D不重合）．随着点M的运动，判断点N的坐标是否可求？如能，直接写出点N的坐标、如不能，说明理由． 【题型20 动点构成等腰三角形存在性】 【例20】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（在的左侧），与轴交于点 (1)求，，坐标； (2)将该抛物线在坐标系内平移后经过点，平移后的抛物线上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与全等．若存在，求出平移后抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【变式20-1】（2025·青海西宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式20-2】（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式20-3】（2023·山东聊城·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标． 【题型21 动点构成四边形存在性】 【例21】（2023·安徽滁州·二模）如图，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴与轴交于点，且．    (1)求抛物线的表达式； (2)矩形的边在轴负半轴上，边在第二象限，，，将矩形沿轴正方向平移得到矩形，直线与直线分别交抛物线于点、，在平移过程中，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出平移距离；若不存在，请说明理由． 【变式21-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【变式21-2】（2026·湖北武汉·一模）如图，抛物线与轴交于和两点，在点左边，与轴交于点． (1)直接写出，，三点坐标； (2)如图，为中点，在抛物线上找一点，使，求出点坐标； (3)如图，将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位，为新抛物线对称轴右侧上一点，直线与新抛物线交于唯一公共点，与轴交于，是否存在以为对角线的菱形，使点在轴上，点在延长线上，若存在，求菱形的面积，若不存在，请说明理由． 【变式21-3】（2022·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【题型22 二次函数与几何图形综合建模】 【例22】（2026·河南平顶山·三模）综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 问题背景 在一次数学活动课上，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计） 实践活动 方案一：如图，甲活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形 方案二：如图，乙活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形 问题解决： (1)在方案一中： ①求制作无盖纸盒的底面边的长； ②请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式，并求出单个无盖纸盒体积的最大值； (2)在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式． (3)将（2）中的y与x的几组对应值列表： 1 3 5 6 7 8 10 15 19 1444 3468 4500 4704 4732 4608 4000 1500 76 如图，在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接． (4)若利用两个方案制作的两种无盖纸盒的高度相等，请结合图象比较两种纸盒体积的大小． 【变式22-1】（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【变式22-2】（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【变式22-3】（2026·江苏南京·三模）如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是的中点且，．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为，已知山顶F到点A的水平距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)一个人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且． ①请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由； ②下列结论中，正确的有 ． （a）在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等； （b）在拱桥的段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近； （d）人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近． 【题型23 实际应用与二次函数】 【例23】（2026·山西长治·三模）【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 【变式23-1】（2026·江苏徐州·模拟预测）我市文广旅局以“春启汉韵知行徐州”为主题，推出多条精品研学线路，诚邀师生在行走中研学彭城，在体验中读懂徐州．某校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“淮海印记——红色精神接力”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 某A型客车租车费用为2500元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供10辆A型客车； 学校参加研学活动教师30人，学生有500人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 【变式23-2】（2026·河南三门峡·三模）项目式学习 【项目主题】设计减速带之间的距离． 【项目背景】在校园、景区的道路中间，常常设置一些用于限制汽车速度的减速带，但是相邻减速带之间的距离不宜过大，也不宜过小，那么减速带之间的距离应该设置为多少较合适？数学兴趣小组以此为主题开展项目式学习． 【研究步骤】 ①査阅资料 数学兴趣小组查阅资料获知，在限速的情况下，汽车从一个减速带到另一个减速带之间需要经历先加速、再减速两个阶段，其中第一阶段汽车速度从（前一减速带）加速到，第二阶段从减速到（后一减速带），两个减速带之间的距离就是这两个阶段汽车行驶的路程之和． ②建立模型 经过物理老师的帮助，该兴趣小组确定了汽车在加速阶段行驶的路程，速度，其中v0为初始速度，a为加速度，t为行驶时间，在加速阶段． ③测量数据 数学兴趣小组利用秒表分别测量汽车加速过程中，速度达到所用的时间，并进行多次试验取平均值，得到表1信息： 表1 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 10 20 30 40 ④整理数据 数学兴趣小组进一步把速度的单位进行转换，得到表2信息： 表2 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 【解决问题】请你根据以上信息回答下列问题： (1)请你根据表2信息，求第一阶段v与t的函数关系式、s与t的函数关系式． (2)若第二阶段汽车行驶路程是第一阶段汽车行驶路程的，请计算相邻两个减速带之间的距离（结果精确到）． 【变式23-3】（2026·广东深圳·三模）【问题背景】为落实2026年深圳峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的 ，每台需带宽2单位）和普通设备（占 ，每台需带宽1单位）．每个通信基站带宽容量为600单位．会议通信保障中心的目标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量． 【模型构建】在会议开始前40分钟启动通信保障，现场总设备数y（台）与保障时间x（分钟）满足： ． 【模型应用】 (1)第______分钟，现场总设备数达到1400台． (2)请求出第 分钟时的现场总带宽需求 的表达式． (3)为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由． (4)通信中心考虑优化方案：媒体设备区必须保证 带宽供应，普通设备区可接受“弹性保障”（当带宽不足时，可降速至0.5单位/台）．若普通设备区降速策略生效的阈值为：当 （总带宽容量）时启动．请通过计算说明采用此策略后，所需基站数能否减少． 【题型24 含参数的二次函数分类讨论】 【例24】（2025·吉林长春·模拟预测）二次函数，为常数，且，若对于任意的满足，函数值的最小值为，则的值是______． 【变式24-1】（2026·安徽淮南·一模）已知抛物线经过点，． （1）抛物线顶点的纵坐标为___________； （2）当时，都有，则的取值范围是___________． 【变式24-2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）点，都在二次函数的图象上.若，则的取值范围为__________. 【变式24-3】（2026·山东烟台·二模）当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【题型25 新定义运算结合二次函数】 【例25】（2026·广东揭阳·一模）新定义：若存在常数，使得点满足，，则称点为“偶点”．如若是“偶点”，则；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则的取值范围为_______． 【变式25-1】（25-26九年级下·广西玉林·期中）新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 (1)若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______； 【思考与探究】 (2)设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求的值； ②如图，在①的条件下，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，为抛物线上任意一点，当 时，求点的坐标． 【变式25-2】（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． (1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． (2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 【变式25-3】（2025·辽宁营口·模拟预测）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)函数的“最优纵横值”为_____； (2)若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值； (3)抛物线图象的顶点在直线上． ①当，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值． ②抛物线上，两点的“纵横值”分别为m，n且，直接写出的取值范围．（用含的代数式表示） 【题型26 双抛物线公共点问题探究】 【例26】（2025·安徽亳州·二模）如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，交抛物线于点，．则以下结论错误的是（   ） A．无论取何值，总是负数 B．抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 C．当时，随着的增大，的值先增大后减小 D．若依次连接、、、，则四边形为正方形 【变式26-1】（2026·广东深圳·二模）【定义感知】如图1，对于抛物线，以轴上的点为中心，将抛物线绕点旋转得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线关于点的“共轭抛物线”，点为“共轭中心”． 【理解应用】 已知顶点为的抛物线与轴交于点，． (1)如图2，当时，求抛物线关于共轭中心的共轭抛物线的表达式； (2)如图3，当时，若抛物线关于共轭中心的共轭抛物线恰好经过抛物线的顶点，求的值； (3)【拓展延伸】过点作轴垂线，分别交抛物线和它关于共轭中心的共轭抛物线于点，，记的长为，与的函数关系图象为．当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，求此时的值． 【变式26-2】（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点B，抛物线和圆C在点A，B之间的部分分别记为，．M，N分别是，上的两个动点（M，N均不与A，B重合）．给出下面四个结论，错误的有（     ） ①当轴时，长的最大值为； ②若点Q在x轴上，则在第一象限内存在点M，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式26-3】（2026·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（）与y轴交于点，顶点为，将该抛物线沿射线方向平移得抛物线，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若抛物线与x轴交于B、C两点，且，则点Q的坐标为_________； (3)点E是抛物线对称轴右侧图像上一点，点F在抛物线上，若四边形是面积为6的平行四边形，求点Q的坐标； (4)如图2，抛物线与抛物线交于点M，连接、，若，则点Q的横坐标为_________． 【题型27 二次函数与不等式恒成立综合】 【例27】（2020·广东东莞·二模）对于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣2，当0≤x≤2时，不等式x2﹣2mx+m2+m﹣2＞x恒成立，则m的取值范围是_____． 【变式27-1】（2026·福建三明·一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线图象上的三点，若时，满足恒成立，则的整数部分数值为_____． 【变式27-2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是______． 【变式27-3】（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，且对于任意的值，不等式恒成立，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【题型28 翻折与旋转后图象性质综合】 【例28】（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形，，是图形上两点，若对于，，都有，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【变式28-1】（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…，如此进行下去，直至得． （1）请写出抛物线的解析式：________； （2）若在第10段抛物线上，则______． 【变式28-2】（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴正半轴、y轴分别交于B、C两点，顶点为D． (1)求点B和点D的坐标； (2)如图，T为y轴正半轴上一点，将抛物线绕点T旋转，得到新的抛物线，其中B、D旋转后的对应点分别记为、，当四边形的面积为28时，求抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，定义：为较小函数，即，为较大函数，即． ①直接写出的最大值和的最小值； ②在的图象上有、两点，当，时，总有，直接写出m的取值范围； ③较大函数与组成新的图形W，直线与图形W只有三个交点时，交点从左向右依次为E、F、G，当F为线段的三等分点时，直接写出t的值． 【变式28-3】（2026·江苏扬州·三模）在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．某学校数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下： (1)如图1所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式为 ． (2)如图2所示，抛物线与直线交于、两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交直线于点． ①请判断点 翻折后的图象上（填“在”或“不在”）； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． (3)如图3所示，将抛物线绕点逆时针旋转得到新的抛物线．直线l：与抛物线交于点、，点在点的下方，请直接写出点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $