贵州省黔东南州凯里市九年级数学单元作业（人教版九年级上册第26章 二次函数）

该初中数学二次函数单元测试作业设计系统梳理了二次函数的概念、三种表达式、图像性质、平移规律、与一元二次方程的联系及实际应用，通过不同题型与作业目标的对应，将知识点串联成网络，帮助学生构建完整的二次函数知识体系。 其亮点在于采用分层设问设计，如解答题第18-23题每道大题第(1)问基础、第(2)问中档，25题压轴分基础-中档-拔高小问，融入贵州乡土情境如喷泉高度、茶叶销售问题，培养学生的模型观念、运算能力和推理能力。这种设计让不同层次学生有效巩固知识，教师也能精准把握学情提升复习效率。

第 26 章 二次函数单元测试作业设计 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 第 26 章 二次函数单元测试作业设计 学段学科 初中 数学 适用年级 九年级上册（贵州 2024 新版教材） 教材版本 人教版 对应内容 第 26 章 二次函数 作业类型 单元作业 完成时长 总时长 120 分钟 设计者 孙大权 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析  课标要求：本作业对应的学科核心素养是运算能力、几何直观、模型观念、推理能力、应用意识，需达成：理解二次函数概念；掌握二次函数三种表达式（一般式、顶点式、交点式）的图像与性质；掌握图像平移规律；理解二次函数与一元二次方程的联系；会用二次函数解决实际问题，达到义务教育数与代数主题学业质量标准。  教材地位：第 26 章二次函数是初中函数模块收官章节，内容包含：二次函数概念；、、、、图像性质；配方法；抛物线平移；二次函数与一元二次方程；实际问题与二次函数；是贵州中考必考板块，承接整式、一元二次方程、一次函数，为高中函数学习奠基。本阶段尚未学习锐角三角函数，试卷规避三角函数类试题。  教学重难点：本作业聚焦的重难点：①二次函数三种表达式互化、配方法；②图像平移变换；③二次函数图像与系数的关系；④二次函数与一元二次方程的联系；⑤简单实际问题建模；⑥新定义阅读、基础二次函数几何综合。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已经学完整章二次函数，掌握一元二次方程、二次根式、统计；认识顶点式、一般式、交点式；会求简单抛物线对称轴、顶点；了解函数与方程关系； 现有困惑 混淆不同形式抛物线性质；平移变换容易搞反左右平移方向；配方法容易计算出错；忽略实际问题自变量取值范围；新定义题型提取条件存在障碍，复杂代几综合能力不足。 差异分析 贵州本地学生层次分化明显：基础学生掌握定义、简单计算；中等生能处理常规图像、简单应用题；少数优生可完成分类讨论、综合探究。试卷严格 7:2:1 难度配比， 3. 设计意图 本试卷为第 26 章二次函数全章综合检测卷，对标贵州省中考 25 题试卷结构，覆盖整章全部知识点，适度融入贵州乡土情境；大题普遍采用分层设问，第 18‑23 每道大题第 (1) 问基础、第 (2) 问中档；24 材料阅读难度中等以下；25 压轴设置基础‑中档‑拔高三小问；落实双减，兼顾不同层次学生，可用于全章结束后的单元限时检测。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 识别二次函数；掌握三种解析式图像、开口、对称轴、顶点；掌握平移规律；理解二次函数与一元二次方程关系；判别式判断交点 几何直观 选择填空正确率，概念辨析 能力运用 B 会配方法、待定系数法；能建立二次函数实际模型；限定区间求函数最值；判别式基础应用 运算能力、模型观念 解答题列式、完整步骤、计算结果 思维发展 C 读懂新定义材料；简单分类讨论；处理基础二次函数几何综合 推理能力 材料阅读、压轴推导思路 情感态度 D 体会二次函数在地方生活、工程中的用途，提升数学应用意识 应用意识 应用题答题完整度 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案 / 评价要点 1 选择题 识别二次函数定义 A 全章基础概念 C 2 选择题 基础图像性质 A 基础性质 B 3 选择题 抛物线上下平移 A 平移 C 4 选择题 顶点式读取对称轴 A 顶点式基础性质 B 5 选择题 抛物线综合平移变换 A 平移规律综合 B 6 选择题 判断二次函数增减性 A 增减性基础 B 7 选择题 求抛物线与 y 轴交点 A 坐标轴交点基础 A 8 选择题 利用对称轴比较抛物线上两点函数值 A 函数值大小比较 B 9 选择题 二次函数与一元二次方程根联系 A 函数与方程核心 B 10 选择题 由 x 轴交点写交点式 A 交点式基础 B 11 选择题 实际情景二次函数最值判断 A、B 实际最值基础 B 12 选择题 图像综合判断系数结论（中档） A、C 数形综合推理 C 13 填空题 喷泉实际求二次函数最大值（中档） A、B 实际应用求最值 3 14 填空题 已知顶点和一点求参数（中档） A、B 顶点式待定系数 -1 15 填空题 由交点个数求参数范围（中档） A、B 判别式应用 16 填空题 区间限定求参数（难题，分类讨论） B、C 区间最值分类讨论 或 17 解答题 计算题：解一元二次方程、二次根式化简【全基础】 B 中考基础计算，复习 26 章前知识 详见解析 18 解答题 配方法：(1) 基础配方变形；(2) 中档写图像性质 A、B 训练配方法 详见解析 19 解答题 待定系数法：(1) 基础求解析式；(2) 中档求交点坐标 A、B 待定系数法训练 详见解析 20 解答题 小球抛射实际应用：(1) 基础求顶点时间；(2) 中档求落地时间 B 实际问题建模 详见解析 21 解答题 动点直角三角形面积：(1) 基础写关系式；(2) 中档求面积最大值 B、C 几何简单建模 详见解析 22 解答题 统计：贵州乡土阅读调查：(1) 基础求总人数；(2) 中档求频率、估计人数 B 统计实际应用 详见解析 23 解答题 二次函数销售利润实际问题：(1) 基础列函数；(2) 中档求最大利润 B 二次函数销售利润模型 详见解析 24 解答题 材料阅读新定义：(1) 基础判断；(2) 中档求参数，整体中等以下 C 贵州中考新定义阅读 详见解析 25 解答题 二次函数压轴：(1) 基础求解析式；(2) 中档求面积最值；(3) 拔高角度存在性 B、C 代几综合分层区分 详见解析 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确，三种解析式性质掌握熟练 少量细节错误，平移、顶点偶尔出错 较多基础错误，分不清三种形式 20% 能力运用 方法恰当，过程完整规范；配方法、待定系数、建模全部完成 方法基本正确，少量计算失误，偶尔忽略取值范围 方法不当，缺少关键步骤 30% 思维发展 新定义完整作答，压轴三小问全部完成 新定义两小问完成，压轴完成前两小问 仅能完成各题第 (1) 基础小问 30% 情感态度 主动完成，主动反思错题；应用题重视实际意义 态度端正，整套试卷完成 被动只做基础部分 20% 六、试题详情 试卷说明：满分 150 分，考试时间 120 分钟；不能使用计算器 注意事项：1. 答题前，请将姓名、班级填写在答题卡指定位置；2. 全部答案在答题卡作答，试卷作答无效。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。每小题只有一个正确选项） 1.下列关系式，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2.关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点坐标 C. 有最小值 0 D. 对称轴为直线 3.将抛物线向上平移个单位，得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 4.抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 5.将抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 5 个单位，所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6.二次函数，当时，随增大而（ ） A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 无法确定 7.抛物线与轴交点坐标为（ ） A. B. C. D. 8.已知抛物线，对称轴为直线，点，在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 无法比较 9.若抛物线与轴的一个交点横坐标是，则一元二次方程的一个根是（） A. B. C. D. 10.抛物线与轴交于和，则该抛物线交点式可以写为（ ） A. B. C. D. 11.贵州某果园水果产量满足二次函数，根据实际情景，该函数（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C.一直增大 D.一直减小 12.某山地山体轮廓可看作二次函数图像一部分，对称轴，给出结论： ①；②；③；④。 正确结论的个数为（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 第12题图 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13.毕节百里杜鹃景区喷泉喷水高度满足，喷泉最大喷射高度为 米。 14.一条抛物线顶点坐标为，并且经过点，则该抛物线解析式中参数 。 15.若抛物线与轴有两个不同交点，则的取值范围是 。 16.已知二次函数，当时，函数最小值为，则 。 三、解答题（本大题 9 小题，共 98 分。） 17.（本题 12 分） (1) 解方程： (2) 计算： 18.（本题 10 分） 已知二次函数。 (1) 请用配方法把函数化成的形式； (2) 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 19.（本题 10 分；(1) 基础；(2) 中档） 抛物线经过点，。 (1) 求这条抛物线的函数解析式； (2) 求抛物线与轴的交点坐标。 20.（本题 10 分） 研学活动中抛出小球，小球飞行高度(米) 与飞行时间(秒) 满足：。 (1) 小球经过多少秒到达最高点； (2) 求小球落地时对应的时间。 21.（本题 10 分） 劳动实践基地，，，。点、同时从出发，沿、沿，速度均为，运动时间，面积为。 (1) 直接写出关于的函数关系式，并写出自变量取值范围； (2) 求运动过程中的最大面积。 第21题图 22.（本题 10 分） 为了解学生阅读贵州乡土文化读物情况，某校随机抽查部分学生，统计每周阅读时长。 阅读时长（小时） 人数 8 12 16 4 (1) 求本次抽查的学生总人数； (2) 求阅读时长这一组的频率，并估计全校 1500 名学生中每周阅读不少于 2 小时的人数。 23.（本题 10 分） 贵州某农产品商店销售本地茶叶，每件进价为 40 元，经过市场调研发现，销售单价（元）与月销售利润（元）满足二次函数关系。 (1) 直接写出该二次函数二次项系数、一次项系数； (2) 求销售该茶叶可以获得的最大月利润。 24.（本题 12 分，材料阅读新定义；(1) 基础；(2) 中档，整体难度中等以下） 定义：若两个抛物线顶点关于轴对称，则称两条抛物线为 “镜像抛物线”。 (1) 判断：抛物线与是否互为镜像抛物线，并直接写出结论； (2) 已知抛物线，若抛物线与互为镜像抛物线，求的值。 25.（本题 12 分） 如图，抛物线交轴于，，交轴于点，点是直线上方抛物线上的动点。 (1) 直接写出抛物线解析式和点的坐标； (2) 求面积的最大值； (3) 抛物线上是否存在点，使得，若存在，求横坐标；不存在说明理由。 第25题图 七、答案与解析 一、选择题（每题3分，共36分） 1.【答案】 【解析】二次函数定义：形如（为常数，）的函数。 A选项没有二次项，属于一次函数； B选项自变量在分母，不是整式； D选项没有写明，不一定是二次函数； C选项满足二次函数定义。 2.【答案】 【解析】，，抛物线开口向下；顶点坐标；函数有最大值0；对称轴是轴，直线。对照选项选B。 3.【答案】 【解析】抛物线上下平移口诀：上加下减常数项。 向上平移4个单位，得到。 4.【答案】 【解析】顶点式，对称轴为直线。 本题，对称轴直线。 5.【答案】 【解析】平移口诀：左加右减括号内，上加下减常数项。 向左平移2个单位，改写为；向下平移5个单位整体减去5，得到。 6.【答案】 【解析】，开口向上，对称轴直线； 当，也就是对称轴右侧，随着增大而增大。 7.【答案】 【解析】求抛物线与轴交点，令， 代入，，交点坐标。 8.【答案】 【解析】抛物线对称轴，开口向上。 抛物线上点距离对称轴越远，函数值越大。 点到对称轴距离： 点到对称轴距离： 距离，故 9.【答案】 【解析】二次函数图像与轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根。交点横坐标是，方程其中一个根就是。 10.【答案】 【解析】交点式公式： ，，代入得到。 11.【答案】 【解析】，二次项系数，抛物线开口向下，函数存在最大值。 12.【答案】 【解析】抛物线开口向下，；对称轴得到；交轴正半轴。 ①，正确； ②图像和轴两个交点，，正确； ③令，，正确； ④把代入，不成立，错误； 一共3个结论正确。 二、填空题（每题4分，共16分） 13.【答案】 【解析】 ，当，函数取得最大值。 14.【答案】 【解析】已知顶点，设顶点式。 把点代入： 对比一般式，。 15.【答案】 【解析】抛物线和轴有两个不同交点，等价一元二次方程判别式。 16.【答案】 【解析】 ，开口向上，对称轴，函数最小值。 令，，解得或者。 若，对称轴，区间全部在对称轴右侧，取得最小值，不符合题意，舍去。 若，对称轴落在区间，此时最小值为，符合条件，故。 三、解答题 17.（12分） (1)【答案】 【解析】 或 ，解得。 (2)【答案】 【解析】 18.（10分） 【答案】(1)；(2)开口向上；对称轴直线；顶点 【解析】 ，抛物线开口向上；对称轴直线；顶点坐标。 19.（10分） 【答案】(1)；(2)与轴交点、 【解析】 把、代入 将代入第二个式子： 解析式：。 令， ，交点坐标，。 20.（10分） 【答案】(1) 秒；(2) 秒 【解析】 ，当秒小球到达最高点。 小球落地： 时间，取正根：。 21.（10 分） 【解】 (1)（5 分，基础小问） (2)，当时，（5 分，中档小问） 22.（10分） 【答案】(1)人；(2)频率；估计人 【解析】 (1)总人数（人）。 (2)组频率： 不少于2小时总人数样本： 样本占比： 全校估计：（人） 答：该组频率为0.4，估计全校每周阅读不少于2小时的有750人。 23.（10分） 【答案】(1)二次项系数，一次项系数；(2)最大月利润元 【解析】 (1)，二次项系数，一次项系数。 (2) ，当，元。 答：销售该茶叶最大月利润900元。 24.（12分） 【答案】(1)互为镜像抛物线；(2)， 【解析】 (1)，顶点； ，顶点。 两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，两点关于轴对称，因此两条抛物线互为镜像抛物线。 (2)把化成顶点式： 顶点；镜像抛物线顶点关于轴对称，得到顶点。 抛物线顶点横坐标公式：，解得。 把、点代入解析式： 解得。 25.（12分） 【答案】(1)；；(2)面积最大值；(3)点横坐标 【解析】 (1)把，代入 两式相减：，得，代入求得。 解析式；令，，。 (2)，，求得直线解析式。 设横坐标， (3)由，求出直线解析式。 联立方程组： 消去： 对应点舍去，得到，即横坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $