精品解析：河北省雄安新区部分高中2027届高三上学期9月考试数学试题

河北省雄安新区部分高中2027届高三上学期9月考试数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的实部为（ ） A. B. C. D. 3. 某研究所研究耕种深度（单位：cm）与一种农作物每公顷产量（单位：t）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度/cm 3 4 6 7 每公顷产量/t 5 6 8 9 发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，据此计算样本点处的残差为（ ） A. B. C. 0.6 D. 0.8 4. 将英文单词“mommy”的字母组合，能得到不同字母排法的种数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 5. 已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 已知函数，对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（ ） A. 402 B. 404 C. 408 D. 412 8. 已知双曲线：的左焦点为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，直线与双曲线的左支相交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. 的外接圆的半径为 B. C. 的面积为 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，3，4，7，9，12，14，21的25%分位数为3 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若随机变量服从二项分布，，则 D. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占40%，乙厂产品占60%，甲厂产品的合格率是80%，乙厂产品的合格率是60%.在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为0.64 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的减区间为 B. 若函数有3个零点﹐则 C. D. 函数有3个零点，1，，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，的夹角为，，，则______. 13. 已知直线：，圆：，若圆被直线分成的两段圆弧弧长之比为3:1，则______. 14. 在四棱锥中，底面是正方形，是等边三角形，则直线与底面所成的角的正切值的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数的极小值点为. （1）求实数的值； （2）求函数的图象在点处的切线方程. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱的中点，是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知函数，若函数在区间上的所有零点从小到大依次为，设数列的前项和为. （1）求函数在区间上的值域； （2）求的最小值； （3）记，证明：. 18. 小王同学参加一个投篮测试，其规则是：有5次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至5次投篮机会用完；第5次投篮后，不论通过与否均结束测试.现假定小王同学每次投篮结果相互独立，命中率均为，记为小王同学测试结束时投篮的次数. （1）求的分布列及数学期望； （2）若在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮2次的概率大于，求的取值范围. 19. 已知椭圆：的右焦点为，长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，过焦点的直线与椭圆C相交于，两点，且点位于第一象限.直线和分别与直线相交于M，N两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）求的值； （3）若线段的中点为T，证明：是的角平分线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省雄安新区部分高中2027届高三上学期9月考试数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，，可得. 2. 复数的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得复数的实部为. 3. 某研究所研究耕种深度（单位：cm）与一种农作物每公顷产量（单位：t）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度/cm 3 4 6 7 每公顷产量/t 5 6 8 9 发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，据此计算样本点处的残差为（ ） A. B. C. 0.6 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【详解】由，， 因此，可得，因此经验回归方程为， 当时，，所以样本点处的残差为. 4. 将英文单词“mommy”的字母组合，能得到不同字母排法的种数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】A 【解析】 【详解】英文单词“mommy”共有5个字母，其中相同字母有3个“m”, 所以将字母组合，可得到不同字母排法的种数为：. 5. 已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：， 设点到抛物线的准线：的距离为， 则，等号在时成立， 所以的最小值为9. 6. 已知函数，对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知函数为奇函数且在上单调递增，根据函数性质可得对，恒成立，结合判别式运算求解即可. 【详解】当时，，有； 当时，，有； 且，可知函数为奇函数， 又因为函数在内单调递增，则函数在内单调递增， 可得函数在上单调递增， 不等式可化为， 可得，即对，恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 7. 已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（ ） A. 402 B. 404 C. 408 D. 412 【答案】C 【解析】 【分析】分析新数列前50项由共插入多少项，通过分组求和计算前50项和． 【详解】因为，，，，， ，，，，， 由题意前5项共插入项， 则数列的前50项的和 ． 8. 已知双曲线：的左焦点为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，直线与双曲线的左支相交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，表示出，，，，的长度，结合，利用余弦定理列式，可得的关系，进而可求双曲线的离心率. 【详解】如图， 记双曲线的右焦点为，为坐标原点.连，， 由且，可得，，. 设，又由，得， 所以，可得， 可得双曲线的离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. 的外接圆的半径为 B. C. 的面积为 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A选项，可得外接圆的半径为，故A选项错误； 对于B选项，由余弦定理，有， 即，即，解得（负值舍去），故B选项正确﹔ 对于C选项，由，得，可得的面积为，故C选项错误； 对于D选项，由，，可得，故D选项正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，3，4，7，9，12，14，21的25%分位数为3 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若随机变量服从二项分布，，则 D. 假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占40%，乙厂产品占60%，甲厂产品的合格率是80%，乙厂产品的合格率是60%.在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为0.64 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A选项，由8×25%=2，可得数据的25%分位数为，故A选项错误； 对于B选项，，故B选项正确； 对于C选项，由，，有，，可得，故C选项正确； 对于D选项，这个灯泡是合格品的概率为40%×80%+60%×60%=0.68，故D选项错误. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的减区间为 B. 若函数有3个零点﹐则 C. D. 函数有3个零点，1，，且 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用导数求函数单调区间；B选项，结合函数单调性处理零点个数问题；C选项，遇到与结构，直接代入化简，发掘倒数变换的对称性质；D选项，利用一隐性对称，快速得到两个非 1 零点满足. 【详解】对于A选项，由，令，有，可得函数的减区间为，故A选项正确； 对于B选项，由函数的减区间为，增区间为，， 又由，. 当时，；当时，，若函数有3个零点，有，故B选项错误； 对于C选项，由，有，故C选项正确﹔ 对于D选项，由，函数的减区间为，增区间为，. 当时，；当时，. 可得函数有3个零点，，1，，且. 又由及，有， 又由，有，可得，故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，的夹角为，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量的数量积以及模长运算即可求解. 【详解】由，有， 可得，有， 可得. 13. 已知直线：，圆：，若圆被直线分成的两段圆弧弧长之比为3:1，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】先根据弧长之比等于对应圆心角之比，可判断为等腰三角形，再根据圆心到直线的距离为半径的，建立关于的等量关系求解即可. 【详解】设直线与圆M交于A，B两点，圆心为，半径， 因为圆M被直线截得两段弧长之比为3:1，而弧长之比等于对应圆心角之比， 所以两段弧所对的圆心角之比为3:1，故较小弧所对的圆心角为. 设N为弦的中点，则，并且在等腰三角形中，平分圆心角， 所以， 在直角三角形中，， 这说明圆心到直线的距离为. 直线：可化为. 由点到直线的距离公式，得，解得或. 14. 在四棱锥中，底面是正方形，是等边三角形，则直线与底面所成的角的正切值的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】分为锐角、直角、钝角三种情况讨论;设,将线面角的正切值表达为的函数，求出最大值. 【详解】设. ①当二面角为直角时，取棱的中点为，连，，因为是等边三角形，可得，可得平面，可得是直线与平面所成的角.又由，.可得； ②当二面角为锐角时﹐如图，取棱的中点为，棱的中点为，连，，过点作.由，，可得平面，可得平面，可得是直线与平面所成的角.设，有，，有 . 又因为（当且仅当即时取等号），有，可得此时的最大值为1； ③当二面角为钝角时，如图，取棱的中点为，棱的中点为，连，，过点作.由，，可得平面，可得平面，可得是直线与平面所成的角.设，有，，有. 由①②③可知直线与底面所成的角的正切值的最大值为1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数的极小值点为. （1）求实数的值； （2）求函数的图象在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导数，然后根据极值点求出的值. （2）根据导数的定义计算即可. 【小问1详解】 由. 又由函数的极小值点为，有，可得. 有，令，可得或，令，得， 可得函数的增区间为，，减区间为， 可得函数的极小值点为，故有. 【小问2详解】 由，有，又由. 可得函数的图象在点处的切线方程为，整理为. 故函数的图象在点处的切线方程为. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱的中点，是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）以D为坐标原点，向量，，的方向分别为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系. ，，，，，. 所以，，. 又，. 可得，. 又由，，，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，再利用线面垂直的判定定理即可. （2）由（1）得平面的一个法向量为，再求出平面的一个法向量，求即可转换成平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，可得平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为，由，. 有， 取，，，可得平面的一个法向量为. 又由，，， 所以. 因为平面与平面的夹角为锐角， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知函数，若函数在区间上的所有零点从小到大依次为，设数列的前项和为. （1）求函数在区间上的值域； （2）求的最小值； （3）记，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明：由. 有. 有 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）先根据正弦的二倍角公式及两角和的正余弦公式将原式化简为，再利用正弦函数的性质求出在上的值域即可； （2）根据零点定义，令，得，进而可得数列是首项为，公差为的等差数列，从而求出通项公式为；再令，求出可能的取值，即可求出的最小值； （3）先化简可得，再利用裂项相消法求和，即可得出证明. 【小问1详解】 由 . 当时，则， 可得，可得， 故函数在区间上的值域为； 【小问2详解】 令，有，可得， 取，可得，又由，可得， 当时，，可得数列是首项为，公差为的等差数列， 可得， 令，可得，又由，可得或2或3或4， 可得的最小值为； 【小问3详解】 略 18. 小王同学参加一个投篮测试，其规则是：有5次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至5次投篮机会用完；第5次投篮后，不论通过与否均结束测试.现假定小王同学每次投篮结果相互独立，命中率均为，记为小王同学测试结束时投篮的次数. （1）求的分布列及数学期望； （2）若在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮2次的概率大于，求的取值范围. 【答案】（1）分布列为： 2 3 4 5 数学期望 （2） 【解析】 【分析】（1）对离散型随机变量，先理清每个取值对应的实际投篮事件，排除提前终止的矛盾情形，再计算对应概率；代表前四次从未出现连续两中，可用对立事件快速求概率； （2）先算出可以通关的总概率,再利用条件概率，；分式不等式注意分母范围，正数分母取倒数要反转不等号，再因式分解求解参数范围. 【小问1详解】 的所有可能取值为：2，3，4，5. 有. . . . 可得的分布列为： 2 3 4 5 可得. 【小问2详解】 设事件：小王同学通过测试，事件：小王同学恰好投篮次. 因为投篮5次通过的概率为. 则. . 则在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮次的概率为. 又由，可化为，可化为，又由，解得. 故的取值范围为. 19. 已知椭圆：的右焦点为，长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，过焦点的直线与椭圆C相交于，两点，且点位于第一象限.直线和分别与直线相交于M，N两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）求的值； （3）若线段的中点为T，证明：是的角平分线. 【答案】（1） （2） （3）证明：由，，可得. 由直线的方程为，点到直线的距离为. 又由，有，，有. 有 . 又由，有，可得. 可得，又由轴，故是的角平分线. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义和标准方程计算即可. （2）先设出直线的方程为，然后联立直线与椭圆方程组，结合韦达定理计算即可. （3）先列出点到直线的距离表达式，然后证明即可. 【小问1详解】 设，由题意有， 可得，. 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设P，Q两点的坐标分别为，，直线的方程为. 联立方程，消去后整理为. 可得，. 直线的方程为，令，可得， 可得点的坐标为， 同理可得点的坐标为. 由，. 有 . 所以的值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $