第1章 一元二次方程 单元自测 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 《一元二次方程》单元自测卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，覆盖概念辨析、解法应用及实际问题建模，适配初中数学单元复习，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|一元二次方程定义、配方、根与系数关系|第8题创新“倍方程”概念，考查逻辑推理| |填空题|8/16|根与系数关系、实际问题列方程、参数取值|第16题结合直角三角形边长，体现几何直观| |解答题|11/68|解方程、根的判别式、实际应用（停车场/利润）、几何综合（正方形动点）|26题以合肥长鑫存储为素材，27题动点问题分层设问，培养模型意识与空间观念|

第1章《一元二次方程》单元自测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 3．若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 4．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D． 5．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 6．关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 7．若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（   ） A．必有两个不相等的实数根 B．当时，有两个相等的实数根 C．当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D．当a，b同号时，方程有两个异号实数根 8．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（     ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．请写出一个两实数根之积为6的一元二次方程__________． 10．已知，是一元二次方程的两个根，则________． 11．某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，设该校八年级有x个班级，依题意可列方程为：__________________________________． 12．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 13．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 14．关于的方程的根是均为常数，，则关于的方程的根是__________． 15．若关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 16．在一个直角三角形中，有一条直角边为6，这个直角三角形的最长边或最短边是方程其中一个解，那么这个直角三角形的面积是____________． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．解方程：． 18．解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：， 所以或， 所以，． (1)你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； (2)请选择合适的方法解原方程． 19．已知关于的一元二次方程的常数项为． (1)求的值； (2)求此时一元二次方程的根． 20．关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 21．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 22．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)记该方程的两个实数根为和，若，求的值． 23．古希腊数学家丢番图（公元年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《原本》中，形如关于的方程图解法是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． (1)若，，求图中线段的长，并验证的长是方程的一个根． (2)小利同学在探究中发现：当，存在某种数量关系时，用该图解法解得方程的解是的倍，请你求出，间的这个数量关系． 24．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 25．育高农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地． (1)如图1，如果长方形菜地的一边借助围墙，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一段篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． 26．综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； (3)任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 27．如图，在边长为的正方形中，现有一动点P，从点A出发，以秒的速度，沿正方形的边经到达点D．设运动时间为t秒． (1)当点P运动3.5秒时，点P到达什么位置？ (2)连结始点A，动点P，终点D形成，当t为多少时，的面积为6？ (3)当点P运动多少秒时，点P到点A的距离为？ (4)如图，另有一动点Q，以秒的速度从点B出发，沿射线运动，点P，Q分别从点A，B同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止．当t为多少时，为等腰三角形？（请直接写出t的值） 参考答案 一、选择题。 1．A 解：选项A：，是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为， 满足一元二次方程的所有条件，正确； 选项B：含有两个未知数，不满足定义，错误； 选项C：分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，错误； 选项D：未知数的最高次数为，不满足定义，错误. 2．D 解：由可得， 则常数项为，D选项符合题意． 3．A 对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 4．A 解：∵ 一元二次方程为 ，其中 ，，， ∴，， ∴． 5．C 解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 6．A 解：∵方程是一元二次方程， ∴，，， 计算判别式得： ， ∵， ∴恒成立， ∴方程有两个不相等的实数根． 7．A 解：∵一元二次方程的各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故A错误，符合题意；B正确，不符合题意； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故C正确，不符合题意； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为， ∴方程有两个异号实数根，故D正确，不符合题意， 故选：A． 8．C 解：①解方程， 因式分解得， 解得， ，满足2倍方程定义，①正确； ②方程的两根为， ∵方程是3倍方程， 故分两种情况讨论： 当时，，解得， 当时，，解得， 或，故②错误； ③若，则方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 由求根公式得， 即， ∴，满足2倍方程定义，故③正确； ④设方程的两根为， 由根与系数的关系得：，， 则，， 将代入得：， 两边同乘整理得：，故④正确． 二、填空题。 9．（答案不唯一） 解：对于一元二次方程，设两实数根为， 由根与系数的关系得， 由题意得，因此 ，且方程要有两个实数根，需满足， 令，，取，计算得 ，符合要求， 因此符合题意的方程可以为（答案不唯一）． 10． 解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 11． 解：由题意，可列方程为. 12．5 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 13． 解：由根与系数的关系，得，， 则， 所以，即， 解得或. 又因为方程有两个实数根，所以判别式，即. 当时，不成立，舍去； 当时，成立. 故. 故答案为：． 14．， 解：原方程的根为，， 展开得， 由根与系数的关系，根之和为， 又根之和为，所以，解得． 新方程为， 代入得． 令，则方程化为， 由原方程知且， 所以或， 即或， 解得或． 故答案为：， 15．且 解：将原方程整理为一般形式得 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：， 的取值范围是且． 16．或 解：由方程，可整理得， 解得，， ∴当为这个直角三角形的最短边时，这个直角三角形的面积是； 当为这个直角三角形的最长边时，则另一条直角边为，这个直角三角形的面积是； ∴这个直角三角形的面积是或． 三、解答题 17．解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 18．（1）解：将代入得，左边，右边， ∵左边右边， ∴不是原方程的解； （2）解：， ， 或， ∴，． 19．（1）解：关于的一元二次方程的常数项为， 可得：， 由，可得：， 解方程， 分解因式可得：， 解得：，， ； （2）解：当时， 可得方程为， 分解因式得：， 解得：，． 20．（1）原方程有两个实数根，理由如下： ∵ ∴原方程有两个实数根； （2）∵， ∴， 解得：，， ∵方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 21．解：设停车场内车道的宽度为， 由题意可得：， 整理可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴停车场内车道的宽度为． 22．（1）解：由题意得， 解得． （2）解：由题意得，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 23．（1）解：若，，则，， ， ； 证明：当时，， 的长是方程的一个根． （2）解：由题意得，， ， ， 在中，由勾股定理得，， 即， 整理得， ， ，， ． 24．(1)证明：∵， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）解：对于一元二次方程， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 即，的长分别为，1． 分两种情况讨论： ①若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为2，2，1，满足三角形三边关系，符合题意． ②若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为1，1，2， 由于，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去． 综上所述，． 25．（1）解：设，则， ∵菜地面积为， ∴， 整理得， 解得，， ∵墙的长为， ∴， ∴不符合题意， ∴的长为； （2）解：设，则， ∵菜地面积为， ∴， 整理得， 解得，， ∵由墙和一段篱笆构成， ∴， ∴不符合题意， ∴的长为． 26．（1）解：设日平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为； （2）解：设每套模组降价元， 则单套利润：（元）， 根据利润目标列方程：， 解得（舍去），（降价元，销量最大）， 下调后售价：（元）， 则为售空库存，下调后每套售价为元； （3）解：不妨假设能获利元， 则列方程：， 解得，即降价（元）， 答：能获利元，每套应降价元． 27．（1）解：已知正方形边长为， ∴全长，全长，全长， 点P运动路程：， 全长，剩余路程：， 全长，，因此点P位于边上，距离B点处； （2）解：分三种位置讨论： 如图，当P在上时， 可知，，为直角三角形， ∴， 解得； 如图，当P在上时， 以为底，高恒等于正方形边长， 面积：； 如图，当P在上时， 可知，以为底，高为， ∴， 解得， 综上，秒或秒； （3）解：分三种位置讨论： 如图，当P在上时， ，无解； 如图，当P在上时，连接， 可知，为直角三角形， 由勾股定理：，即， 解得（负值舍去）； 如图，当P在上时，连接， 可知，， 由勾股定理： 解得（负值舍去）； 综上，秒或秒； （4）解：∵Q速度， ∴， 分P的位置讨论： 如图，当P在上时， 根据勾股定理可知，， 若即，则，解得， 若即，则，解得或（舍去）， 若即，则，解得（舍去）或（舍去）； 如图，当P在上时， 由图可知，当时P、Q重合，，，不存在t使为等腰三角形； 如图，当P在上时， 由勾股定理得，，， 由图可知，， 若即，则， 解得或（舍去）； 综上，秒或秒或秒． 学科网（北京）股份有限公司 $