精品解析：湖南常德市临澧县第一中学2026届高三下学期5月适应性考试数学试卷

临澧一中2026届高三数学适应性考试试卷 时量：120分钟总分：150分 2026.05.15 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知是等差数列的前n项和，若，则的公差为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 随机变量X的分布列为，.若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线C：的焦点为，点在上，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知，，在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（ ）（参考数据：，） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 7. 已知，，则（） A. B. C. D. 8. 已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某校有学生人，其中男生人，女生人.为调查学生的课外阅读情况，按性别比例分配，用分层随机抽样的方法抽取学生人，并统计样本中男生和女生一天的阅读时间（单位：分钟），绘制成如下两个频率分布直方图，则（ ） A. B. 样本中男生阅读时间的中位数低于分钟 C. 样本中阅读时间在分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多 D. 用样本估计总体，全校学生中阅读时间在分钟以上的约有人 10. 已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 11. 已知，，…，，…均为有限实数集，记中的最大元素为，，，若，则（ ） A. B. C. 中所有元素的平均数为191 D. 中所有元素的和为3008 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 写出一个同时满足下列性质①②③的函数______. ①定义域为； ②； ③. 13. 已知角终边经过点，则__________． 14. 在梯形ABCD中，，，E为CD上一点，，将△AED沿AE所在直线翻折成△AED＇（如图所示）.AD＇上一点M满足，在翻折过程中，二面角的正弦值的最大值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求证：； （2）若，的面积为，求. 16. 如图，在三棱柱中，，.过点，C的平面与直线AB垂直. （1）作出截此三棱柱所得的截面，请写出作图过程并说明理由； （2）已知，求与平面所成角的正弦值. 17. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 18. 已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． （1）求和的值； （2），为上两点，的重心在直线上． ①证明：直线的斜率为定值； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动． 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证： （3）当时，设，且满足，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中2026届高三数学适应性考试试卷 时量：120分钟总分：150分 2026.05.15 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 已知是等差数列的前n项和，若，则的公差为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，解方程即可得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得 所以的公差为1. 3. 随机变量X的分布列为，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为随机变量X的分布列为，， 所以，即，又因为， 所以，解得. 4. 已知抛物线C：的焦点为，点在上，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】 抛物线C：的焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，到准线的距离， 所以． 5. 已知，，在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】在上的投影向量为 即​ 因为，所以 代入等式得 6. 某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（ ）（参考数据：，） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，又， 两式相除可得，两边取对数可得， 所以，所以. 7. 已知，，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为 所以 所以 所以 即 又，所以 即 由得 8. 已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示：若是定点，则直线与圆相切时，最大， 此时，又， 所以最小时，最大， 又P为椭圆E：（）上的动点， 所以最小时，点为椭圆的短轴的端点， 又因为的最大值为，所以的最大值为， 所以，所以， 所以E的离心率为 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某校有学生人，其中男生人，女生人.为调查学生的课外阅读情况，按性别比例分配，用分层随机抽样的方法抽取学生人，并统计样本中男生和女生一天的阅读时间（单位：分钟），绘制成如下两个频率分布直方图，则（ ） A. B. 样本中男生阅读时间的中位数低于分钟 C. 样本中阅读时间在分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多 D. 用样本估计总体，全校学生中阅读时间在分钟以上的约有人 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分层抽样的比例确定男生女生的样本数，然后利用频率分布直方图的性质即可判断. 【详解】对于A，由于频率分布直方图中，所有矩形的面积为，即，解得，故A正确； 对于B，男生前两组的频率为，前三组的频率为， 因此，男生阅读时间的中位数位于第三组，设中位数为，则有，解得， 即男生阅读时间的中位数为分钟，高于分钟，故B错误； 对于C，由于总人数人，其中男生人，女生人，抽样人按比例分配，其中男生人，女生人， 男生阅读时间在分钟以下的人数为人，女生阅读时间在分钟以下的人数为人， 因此阅读时间在分钟以下的人数中，男生人数比女生人数多，故C正确； 对于D，男生阅读时间在分钟以上的人数为人， 女生阅读时间在分钟以上的人数为人，因此样本中阅读时间在分钟以上的人数为人， 全校估计阅读时间在分钟以上的人数为人，故D正确. 10. 已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过条件推导函数的性质，逐个分析选项即可. 【详解】由关于对称，得， 已知​，将第二个式子换元，代入化简得， 因为，则，将用替换，可得， 将用替换，得， 即，故周期为. 又因为，则，即是偶函数. 由和，得， 且，故是偶函数. 选项A，，，由， 得，A正确； 选项B，对任意，，故，B正确； 选项C，推导得，是偶函数不是奇函数，C错误； 选项D，求和分组方式为为一组，为下一组，以此类推，直至，每组和为，共组，总和为，即，D正确. 11. 已知，，…，，…均为有限实数集，记中的最大元素为，，，若，则（ ） A. B. C. 中所有元素的平均数为191 D. 中所有元素的和为3008 【答案】ACD 【解析】 【分析】抓住集合构造的递推规律：最大元素，直接得到的等比通项；集合元素个数，结合元素和的递推关系，推导出的通项，再逐一验证选项即可. 【详解】选项A，已知，最大元素， 根据定义， 则，A正确； 选项B，由的构造，的最大元素是，则的最大元素是， 因此，即是首项为，公比为2的等比数列：. 当时， ，B错误； 设为所有元素之和，则 ，因为， 所以 .一般地，，其中是的元素个数. 由构造可知，(即每次新增元素与原集合无重复)，因为 ，故. 结合，递推得：， 等式两边同除以得.令 ，则， 累加法求， 则. 选项C，当时，均值为 ，C正确； 选项D，当时， ，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 写出一个同时满足下列性质①②③的函数______. ①定义域为； ②； ③. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意知图象关于点对称，再结合正比例函数构造即可； 【详解】由③得函数图象关于点对称， ，则可取，符合①②③. .（答案不唯一） 13. 已知角终边经过点，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角函数的定义和正切的二倍角公式求解即可. 【详解】因为的终边经过点，所以， 所以，解得或， 又，所以，， 所以，， 故答案为：2 14. 在梯形ABCD中，，，E为CD上一点，，将△AED沿AE所在直线翻折成△AED＇（如图所示）.AD＇上一点M满足，在翻折过程中，二面角的正弦值的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】过作于，利用已知可得，过作于，进而可得，过作于，为二面角的平面角，计算可求得最大值. 【详解】过作于，因为，， 所以四边形是矩形，所以， 所以，所以， 又因为，，，所以， 又因为，所以， 所以，过作于， 则， 所以，过作于， 因为，又，平面， 所以平面，所以为二面角的平面角， 因为，又，所以， 又因为，所以， 由正弦定理可得，所以. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求证：； （2）若，的面积为，求. 【答案】（1）证明：因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，即； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦公式证明即可； （2）利用同角三角函数的基本关系，三角形面积公式等建立方程，求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以，，，， 所以， 又，所以， 又，所以， 所以，. 16. 如图，在三棱柱中，，.过点，C的平面与直线AB垂直. （1）作出截此三棱柱所得的截面，请写出作图过程并说明理由； （2）已知，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点为，连接，，则平面为平面. 因为，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，平面为平面 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，平面为平面，通过线线垂直证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再去求线面夹角正弦值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在三棱柱中，， 因为，所以， 在中，因为，所以， 由（1）得，所以， 所以，所以， 所以，，两两互相垂直. 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴如图建立空间直角坐标系，则，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则所以取，则. ， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 【答案】（1） （2），， 0 1 2 3 （3）会得到推广，因为. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解； （2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差； （3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论. 【小问1详解】 设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则. 【小问2详解】 由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， ， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 【小问3详解】随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广. 18. 已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． （1）求和的值； （2），为上两点，的重心在直线上． ①证明：直线的斜率为定值； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动． 【答案】（1）， （2） ①方法一： 设，， 则的重心为， 由题意知，，则． 所以直线的斜率，为定值． 方法二： 因为直线的斜率不为零， 所以设直线的方程为，显然． 设，． 联立，整理得． 所以. 已知， 所以的重心的纵坐标， 所以，解得． 因此，直线的斜率，为定值． ②因为直线的斜率不为零， 所以设直线的方程为．设，． 联立，整理得． 所以. 设为的中点，则： ，， 即． 直线与轴交点，，则中点． 由于，所以． 所以． 直线的斜率：， 直线的方程：，整理得. 法一： 令，代入方程，解得， 因此，直线经过定点． 因为，于， 所以在以为直径的定圆上． 法二： 由于，， 所以的方程为，即， 联立，得 即． 令，则，， 令，则，， 令，则，， 求得经过，，的圆方程为， 代入的坐标符合，所以在定圆上． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义结合求出，进而得到抛物线方程，将点代入抛物线方程即可求出. （2）①方法一：利用作差法及重心坐标公式证明即可.方法二：设出直线方程及交点坐标，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合重心坐标公式证明即可.②结合①设出直线方程及交点坐标，与抛物线方程联立，结合韦达定理求出点坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，即可求出直线方程. 方法一：求出直线方程恒过定点，结合集合关系即可证出在以为直径的定圆上运动.方法二：求出的方程，与直线方程联立，得到点坐标，取特殊点求出圆的方程，再将点坐标代入验证即可. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为． 根据抛物线定义，，所以． 因此，抛物线的方程为． 将代入抛物线方程：，又，故． 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证： （3）当时，设，且满足，求证：. 【答案】（1）在为增函数；在为减函数； （2）由，解得， 又因为，则， 所以切线方程为， 设，则， 令，解得， 当时，，当时，， 可知在为增函数，在为减函数， 故，所以； （3）由（1）可知， ①若，则， 不符合题意； 所以， ②若，则， ③若，，又因为在为减函数， 所以，所以， 综上所述， 又因为，由， 所以， 即，即， 设， 所以， 方法一：设，所以， 因为在为单调递增， 当时，，，， 所以存在，使得 ，即， 又因为，，即在为减函数； 又因为，，即在为增函数； 所以， 又因为，则有， 又因为， ， 所以 ，即在为增函数， 又因为，所以，即. 方法二： 设，因为在单调递增， 又因为所以 所以 ，即在为增函数， 又因为，所以，即. 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用导数求函数单调区间； （2）求出切线方程，构造函数，利用导数求最值，即可得证； （3）分类讨论证明，结合条件不等式可转化为，构造函数，求导后，利用不同方法证明在为增函数，即可得证. 【小问1详解】 ， 由， 当时，，即在为增函数； 当时，，即在为减函数. 所以的递增区间为，递减区间为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $