第四单元 加法模型和乘法模型（单元解读讲义）数学人教版四年级上册（新教材）

本讲义聚焦加法模型“总量=分量+分量”及其逆运算和乘法模型“单价×数量=总价”“速度×时间=路程”及其变形公式，基于已学的加法乘法意义和整数运算，为后续相遇问题、分数百分数问题等奠定模型基础，是从计算走向数量关系建模的关键学习支架。 该资料以真实情境（购物、行程等）引导学生经历“具体情境→数量关系→数学模型”抽象过程，发展模型意识。通过购物方案的列举法与逆向法策略优化、行程问题线段图直观分析等，培养应用意识和几何直观。课中助力教师系统教学，课后帮助学生巩固模型运用，查漏补缺。

第四单元 加法模型和乘法模型 单元解读 一、链接课标 本单元是学生认识了加法和乘法的意义、掌握了整数加减法和乘法计算基础上，从具体计算走向数量关系建模的关键单元。学生将认识加法模型"总量=分量+分量"及其逆运算"分量=总量-分量"，认识乘法模型"单价×数量=总价""速度×时间=路程"及其变形公式，并运用这些模型解决购物方案、促销比较、行程问题等实际问题。其教学内容与《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标》）的相关要求紧密相连，旨在通过一系列的数学活动，培养学生的核心素养。 本单元的学习过程，是学生数学核心素养发展的重要载体，具体体现在以下几个方面： 模型意识： 模型的建立：学生将从图书借阅、购物、行程等具体情境中，抽象出"总量=分量+分量""单价×数量=总价""速度×时间=路程"等基本数量关系模型，经历"具体情境→数量关系→数学模型"的完整抽象过程，初步形成对数学模型普适性的认识。 模型的迁移：学生将发现加法模型和乘法模型可以解释生活中大量的数量关系——总分结构用加法模型，每份×份数结构用乘法模型；单价数量总价与速度时间路程是同构的乘法模型，可类比迁移。 应用意识： 生活联系：本单元以图书借阅、买书方案、超市购物、苹果促销、汽车里程表等真实情境为载体，让学生感受数量关系模型在生活中的广泛应用，能自觉运用模型分析和解决实际问题。 策略优化：在购物方案问题中，学生将比较列举法和逆向法的优劣，学会根据问题特点选择最优策略，培养决策意识和优化思想。 推理意识： 归纳推理：学生需要从"上午人数+下午人数=全天人数""教师人数+学生人数=总人数"等具体等式中，归纳出加法模型的一般形式；从18×3=54、9×4=36、2×6=12等具体算式中，归纳出"单价×数量=总价"的数量关系。 演绎推理：学生将根据乘除法的互逆关系，由"单价×数量=总价"推导出"单价=总价÷数量""数量=总价÷单价"，由"速度×时间=路程"推导出"速度=路程÷时间""时间=路程÷速度"，这是一种基于逆运算的演绎推理；在促销问题中，"12×4-9×4=（12-9）×4"两种算法的沟通，渗透了乘法分配律的推理。 运算能力： 算式的灵活运用：学生将在解决实际问题的过程中，灵活运用加减法和乘除法计算，理解三个量中已知两个就能求出第三个的原理，养成认真审题、仔细计算、自觉验算的良好习惯。 几何直观： 线段图与示意图的运用：在解决行程问题和和差问题时，学生将借助线段图、示意图直观分析数量关系，如火车过桥问题中"路程=桥长+车长"的图示分析，将抽象的数量关系转化为直观的图形表示。 本单元的内容在新课标中的要求： 内容要求："在具体情境中，认识常见数量关系：总量=分量+分量；能利用这些关系解决简单的实际问题。在具体情境中，认识常见数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，能利用这些关系解决简单的实际问题，形成初步的模型意识和应用意识。" 学业要求："能在具体情境中，用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义；能从实际问题中抽象出数量关系，会选择合适的策略解决问题，能表达解决问题的过程。" 教学要求："通过创设真实的问题情境，引导学生经历"提取信息—分析数量关系—建立模型—解释应用"的问题解决全过程，发展模型意识、应用意识和推理意识，感受数学与现实生活的密切联系。" 二、单元目标 知识技能 1.结合具体情境理解加法的意义，认识"总量"和"分量"，掌握加法模型"总量=分量+分量"，理解总量可以由两个或多个分量组成，无论多少个分量，总量=所有分量的和。 2.理解加减法之间的互逆关系，掌握"分量=总量-分量"的推导过程，能灵活运用加法模型及其逆运算解决简单的实际问题。 3.掌握解决购物方案问题的方法，能用列举法（有序列举所有选法，分别计算判断）和逆向法（先求总价再减去不需要的商品价格）解决"从几件商品中选购几件且不超过预算"的问题，并能根据数据特点选择最优策略。 4.结合购物情境理解单价、数量、总价的含义，掌握乘法模型"总价=单价×数量"，能根据乘除法互逆关系推导出"单价=总价÷数量""数量=总价÷单价"，能运用三个公式解决购物实际问题。 5.理解"原价""现价""节省的钱"的含义，能用两种策略（先算总价再相减、先算单价差再乘数量）解决促销中"节省了多少钱"的问题，并理解两种方法的联系与区别。 6.理解速度、时间、路程的含义，掌握速度的复合单位表示法（如80米/分读作80米每分），掌握乘法模型"路程=速度×时间"及其变形公式，能灵活运用三量关系解决行程问题。 7.理解里程表读数的含义，掌握"路程差÷时间差=速度"的解题方法，能运用"提取信息—分析数量关系—建立模型—解释应用"的完整过程解决行程实际问题。 数学素养 1.通过从具体情境中抽象出数量关系的过程，经历数学模型的建立过程，发展模型意识，感受数学模型的普适性和简洁性。 2.通过解决购物方案、促销比较、购票选择等问题，培养有序思考、策略比较和优化意识，发展分析问题和解决问题的能力。 3.通过乘除法互逆关系的推导和两种算法的沟通，发展推理能力和运算能力，体会数学的严谨性与逻辑性。 4.通过线段图、示意图分析行程问题，发展几何直观，将抽象的数量关系转化为直观的图形表示。 5.感受数量关系模型与生活的密切联系，养成认真审题、仔细计算、自觉验算的良好习惯，增强应用意识。 三、单元内容分析 本单元属于"数与代数"领域中的"数量关系"主题，是新教材新增的核心内容，是学生从"学会计算"走向"运用数量关系解决实际问题"的关键单元。它系统呈现了加法模型和乘法模型两大基本数量关系模型，为后续学习更复杂的实际问题（相遇问题、工程问题、分数百分数问题）奠定模型基础。 本单元的相关知识链如下表： 已学内容 本单元主要内容 后续相关内容 1. 加法和乘法的意义，加减法互逆、乘除法互逆的关系； 2. 整数加减法和乘法的计算； 3. 解决简单加减法和乘法实际问题的经验。 1. 加法模型：总量=分量+分量，分量=总量-分量，模型的建立与逆运用。 2. 乘法模型（购物）：总价=单价×数量，单价=总价÷数量，数量=总价÷单价，促销问题两种策略。 3. 乘法模型（行程）：路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度，速度的复合单位，里程表问题。 4. 模型应用：购物方案选择（列举法与逆向法）、购票方案比较等实际问题。 1. 相遇问题和追及问题； 2. 运算律（乘法分配律与两种算法的沟通）； 3. 分数、百分数实际问题； 4. 方程与代数建模。 本单元主要包含以下部分的内容，详细结构如下： 第1课时：加法模型的认识——总量与分量，总量=分量+分量（1课时） 第2课时：加法模型的应用——购物方案问题，列举法与逆向法（1课时） 第3课时：乘法模型：单价、数量、总价的数量关系（1课时） 第4课时：单价、数量、总价的数量关系的应用——促销问题两种策略（1课时） 第5课时：乘法模型：速度、时间、路程的数量关系（1课时） 第6课时：速度、时间、路程的数量关系的应用——里程表问题（1课时） 四：学情分析 深入了解四年级学生的已有知识基础和认知特点，是设计有效教学策略的前提。 1. 学生优势 扎实的运算基础：学生已经掌握了整数加减法和乘法的计算方法，理解了加减法互逆、乘除法互逆的关系。这是理解加法模型逆运算和推导乘法模型变形公式的直接基础。 丰富的解决问题经验：学生在前面的学习中已经解决了大量的加减法和乘法实际问题，对"求总数用加法""求几个几用乘法"有感性认识。本单元将这些零散的经验上升为系统的数量关系模型。 一定的生活经验：学生有购物、乘车、观察汽车仪表盘等生活经验，对单价、速度等概念有初步感知，为理解数量关系的实际意义提供了情境基础。 初步的抽象概括能力：四年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，已经具备一定的观察、比较和归纳能力，能够在教师引导下从具体算式中抽象出一般数量关系。 2. 学习挑战与难点 "总量""分量"概念的理解：学生容易理解具体情境中的数量（如上午人数、下午人数），但将其抽象为"分量"，将总数抽象为"总量"需要一定的概括能力。特别是"总量可以由多个分量组成""同一总量可按不同标准分解为不同分量"（如全天人数按时间分或按身份分），是理解的难点。 逆向思维的建立："分量=总量-分量"的逆运用需要逆向思维。在购物方案问题中，逆向法（先求4本书总价130元，再减去不买的那本）比列举法更抽象，部分学生难以理解"去掉一本"与"选购三本"的等价性。 复合单位的理解与运用：速度单位"80米/分""800千米/时"是学生首次接触的复合单位，其含义（每分钟行80米）和读写方法（80米每分）容易出错。需要帮助学生理解复合单位中"/"表示"每"的含义。 三个公式的灵活选择：已知两个量求第三个量时，学生需要判断用哪个公式。部分学生习惯死记硬背公式，缺乏根据问题分析数量关系的能力，在变式问题（如火车过桥"路程=桥长+车长"、中途休息的行驶时间）中容易出错。 里程表问题的理解：里程表显示的是累计里程数而非本次行驶路程，学生需要理解"本次路程=到达读数-出发读数"，这种"读数差"的转化是新的挑战。 需通过情境创设、线段图分析、对比辨析、策略比较、完整的问题解决流程训练等方式帮助学生突破难点。 五：教学策略 针对本单元的教学内容和学生的认知特点，建议采用以下教学策略，以提高教学效率和质量。 策略一：创设真实情境，经历模型抽象过程 做法：从图书借阅统计表、购物小票、汽车仪表盘等真实素材入手，让学生先解决具体问题（如"上午来了多少人"），再观察多个问题中共同的数量关系，引导比较归纳："这些问题都是把几个部分合起来求总数"，从而抽象出加法模型"总量=分量+分量"。乘法模型同样从铅笔、校服、汽车行驶等具体算式归纳。 目的：让学生经历"具体情境→数量关系→数学模型"的完整抽象过程，理解模型不是教师直接告知的结论，而是从大量同类问题中提炼出来的规律，发展模型意识。 策略二：突出结构关系，促进模型迁移 做法：将加法模型和乘法模型进行结构化对比——加法模型是"分量+分量=总量"的合并结构，乘法模型是"每份×份数=总量"的份总结构。将"单价×数量=总价"与"速度×时间=路程"进行类比：单价和速度都表示"每份的量"，数量和时间都表示"份数"，总价和路程都是"总量"，引导学生发现两个乘法模型是同构的，可类比学习。 目的：通过结构化的模型对比，帮助学生建立清晰的模型体系，理解模型之间的联系与区别，实现从学习一个模型到掌握一类模型的迁移。 策略三：强调有序列举与策略优化 做法：在购物方案问题（第2课时）中，引导学生先列举4种选法（不重复、不遗漏），分别计算判断；再引导逆向思考"先求4本书总价，再减去不买的那本"，最后组织两种方法的对比讨论：列举法直观但计算量大，逆向法快捷但需要理解逆向思维。让学生根据数据特点灵活选择。 目的：通过有序列举培养有序思考的习惯，通过策略比较培养优化意识，让学生体会"同一问题可以有多种解法，要根据实际情况选择最优策略"，发展思维的灵活性。 策略四：重视两种算法的沟通，渗透运算律 做法：在促销问题（第4课时）中，引导学生用两种方法求节省的钱：方法一"12×4-9×4"（先分别求总价再相减），方法二"（12-9）×4"（先求单价差再乘数量）。通过对比发现"12×4-9×4=（12-9）×4"，让学生直观感受两种方法的等价性，为后续学习乘法分配律积累感性经验。 目的：通过两种算法的沟通，让学生理解算式变形的合理性，渗透乘法分配律，培养推理意识，同时体会"先算差再乘"的简便性。 策略五：借助直观手段，突破行程问题难点 做法：在行程问题教学中，充分利用线段图和示意图——火车过桥问题画出"桥长+车长"的示意图，帮助学生理解"路程=桥长+车长"；里程表问题画出发和到达的读数对比图，理解"本次路程=到达读数-出发读数"；中途休息问题画出时间轴，区分总时间与行驶时间。 目的：通过直观图示将抽象的数量关系可视化，帮助学生理解变式问题中数量关系的转化，发展几何直观，培养分析问题的能力。 策略六：落实完整的问题解决流程 做法：每节课坚持"提取信息—分析数量关系—建立模型（列式解答）—解释应用（回顾反思）"的四步流程。在回顾反思环节，引导学生检验结果的合理性（如里程表问题中用计算结果反推到达读数是否一致）、总结解题方法、提炼数量关系式。 目的：让学生形成规范的问题解决习惯，不仅会解题，更会思考"为什么这样解""结果合理吗""还有别的方法吗"，发展元认知能力和反思意识。 策略七：设计分层练习，巩固模型运用 做法：练习设计应遵循"由易到难、由浅入深"的原则。 基础题：根据数量关系填空（识别单价、数量、总价，速度、时间、路程），直接运用公式解答一步计算问题。 提高题：填写数量关系再列式解答，如花店表格填空、购物小票补充信息，旨在巩固三量关系。 变式题：促销节省问题、购票方案比较、和差问题（四、五年级人数）等，旨在培养灵活运用模型的能力。 拓展题：火车过桥、中途休息的行程问题、先付后找（120-4）÷4求单价、赚多少钱的利润问题等，旨在发展综合分析能力。 目的：通过多样化的练习，使学生在不同层次上巩固和运用数量关系模型，提高分析问题和解决问题的能力。 六：课时安排 主题 重点内容 活动示例 第1课时 加法模型的认识 1. 认识总量和分量，理解总量=分量+分量。2. 总量可由两个或多个分量组成。 3. 理解加减法互逆关系，掌握分量=总量-分量。 1. 情境引入：图书借阅统计表，提出加法问题。 2. 解决问题：上午人数、下午人数、全天人数。 3. 归纳模型：总量=分量+分量（按时间分、按身份分多种形式）。 4. 逆推探究：已知总量和上午人数，求下午人数。 5. 练习：课后社团问题、填分量总量关系、编题并解答。 第2课时 加法模型的应用 1. 运用加法模型解决购物方案选择问题。 2. 掌握列举法：有序列举4种选法，分别计算判断。 3. 掌握逆向法：先求总价130元，再减去不买的那本书价格。 4. 比较两种方法的优劣，选择最优策略。 1. 复习引入：数量关系填空，航模社团男生人数。 2. 情境探究：100元买3本不同的书（4本书价格已知）。 3. 方法一（列举法）：4种选法逐一计算，2种可行。 4. 方法二（逆向法）：总价130元减去每本书价格，2种可行。 5. 回顾反思：两种方法对比（直观vs快捷）。 6. 练习：果园收成、研学乘车、超市购物120元买3种。 第3课时 乘法模型：单价、数量、总价的数量关系 1. 理解单价、数量、总价的含义。 2. 掌握总价=单价×数量的乘法模型。 3. 根据乘除法互逆关系推导：单价=总价÷数量，数量=总价÷单价。 4. 能运用三个公式解决购物实际问题。 1. 情境引入：铅笔2元买5支，列式2×5=10。 2. 认识三量：购物小票中找单价、数量、总价。 3. 归纳模型：从18×3=54、9×4=36、2×6=12归纳总价=单价×数量。 4. 推导变形：根据乘除法互逆推导单价和数量的公式。 5. 练习：校服问题、粉笔问题、花店表格、购物小票、找零求单价、利润问题。 第4课时 单价、数量、总价的数量关系的应用 1. 理解原价、现价、节省的钱的含义。 2. 掌握促销问题两种策略：先算总价再相减（12×4-9×4）、先算单价差再乘数量（（12-9）×4）。 3. 理解两种方法的联系与区别。 4. 灵活运用公式解决稍复杂的购物问题。 1. 复习引入：填一填（单价、数量、总价的识别），景德镇瓷器计算。 2. 情境探究：苹果促销（原价12元/千克，现价9元/千克，买4kg，节省多少钱）。 3. 方法一：先分别算总价再相减。 4. 方法二：先算单价差再乘数量。 5. 回顾反思：两种方法都用了总价=单价×数量，12×4-9×4=（12-9）×4。 6. 练习：大米原价、篮球足球总价、公园购票方案、月饼促销、游乐园两种方案比较。 第5课时 乘法模型：速度、时间、路程的数量关系 1. 理解速度、时间、路程的含义。 2. 掌握速度的复合单位表示法（80米/分读作80米每分）。 3. 掌握路程=速度×时间及变形公式：速度=路程÷时间，时间=路程÷速度。 4. 能类比单价数量总价模型迁移学习。 1. 情境引入：80×3=240千米，比较谁走得快。 2. 认识三量：路程、速度、时间的含义，速度的复合单位。 3. 归纳模型：路程=速度×时间。 4. 探究三量关系：已知路程和时间求速度（675÷9=75米/分），已知路程和速度求时间（480÷60=8分钟）。 5. 练习：步行问题、蜜蜂飞行、填空题、比谁走得快（两种方法）、跑步问题、剩余路程、火车过桥。 第6课时 速度、时间、路程的数量关系的应用 1. 理解里程表读数的含义（累计里程）。 2. 掌握本次路程=到达读数-出发读数，路程差÷时间差=速度。 3. 经历提取信息—分析数量关系—建立模型—解释应用的完整过程。 4. 能区分总时间与行驶时间等变式问题。 1. 复习引入：数量关系填空，泰山路程、高铁时间。 2. 情境探究：李叔叔开车里程表问题（8:30出发11:30到达，读数2792-2604）。 3. 提取信息：认识里程表，到达读数-出发读数=本次路程。 4. 分析解答：速度=路程÷时间。 5. 回顾反思：用到达读数反推验证结果。 6. 练习：乙丙路程、货车速度、甲乙距离、王庄乡往返、中途休息的行驶时间问题。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $