2-3 有理数的乘方 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件涵盖乘方、有理数混合运算、科学计数法及近似数四大核心模块，从正方形面积、立方体体积等实际问题导入，引出相同因数乘法的简写，逐步过渡到混合运算顺序、大数的科学计数法表示及近似数的精确度，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以“问题情境—实例剖析—规律探究”为主线，通过乘方中(-a)^n与-a^n的辨析培养抽象能力和符号意识，混合运算中的分步计算和三行数规律探究发展运算能力和推理意识，科学计数法结合80亿人口等现实数据培养数据意识。小结清晰，助力学生构建知识体系，教师可高效落实核心素养，提升教学效果。

乘方 模块一： 乘方 　　问题：你能计算下列图形中正方形的面积和立方体的体积吗？ 边长为2的正方形的面积是2×2＝4； 棱长为2的立方体的体积是2×2×2＝8． 2×2 都是相同因数的乘法，有没有简写形式呢？ 2×2×2 记作： 2² 记作： 2³ 读作：2的平方或2的二次方 读作：2的立方或2的三次方 观察：下面的乘法算式有什么共同点呢？ (－2)×(－2)×(－2)×(－2) 读作：－2的四次方 记作：(－2)4 记作： 读作：的五次方 一般地，n个相同的因数a相乘， ，记作an，读作a的n次方. 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂. 幂 指数 底数 注意： 当an看作a的n次方的结果时，也可读作： a的n次幂 一个数可以看作这个数本身的1次方．例如，5就是51．指数1通常省略不写． 例如，在94中，底数是9，指数是4，94读作“9的4次方”，或“9的4次幂”． 幂 指数 底数 （1）(－a)n表示n个－a相乘，底数是－a，指数是n，读作“－a的n次方”． （2）－an表示n个a相乘的乘积的相反数，底数是a，指数是n，读作“a的n次方的相反数”． 你能区分(－a)n与－an吗？ 因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算． 例1：用乘方表示下列各式，并指出底数和指数． （1）(－3)×(－3)×(－3)×(－3)； （2） 解：（1）(－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝(－3)4， 底数是－3，指数是4． （2） 底数是，指数是6． 当底数是负数或分数时，底数要加括号． 例2：计算 (1) (－4)3； (2) (－2)4； (3) (2) (－2)4 =(－2)×(－2)×(－2)×(－2)=16； 解：(1) (－4)3 =(－4)×(－4)×(－4)=－64； 分析：乘方运算转化为乘法运算. (3) (－)3 =(－)×(－)×(－)=－ 1．下列可以表示的是（    ） A． B． C． D． D 2．下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 C 3．计算： (1)；(2)；(3)；(4). 解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； 4.下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 D 5.已知n为正整数，计算的结果是（    ） A．1 B． C．2 D．0 解：n为正整数， 为偶数，为奇数， D 有理数的乘方 乘方运算 乘方及相关概念 (－a)n 与－an的区别 乘方运算符号法则 乘方运算的方法 文字与符号语言 乘方的表示 模块二： 有理数混合运算 　有理数的混合运算： 　一个运算中，含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算，称为有理数的混合运算. 第三级运算 加减运算 乘方运算 第一级运算 乘除运算 第二级运算 观察：下面算式中含有哪几种运算? 说一说：前面的算式按怎样的顺序进行运算？ 有理数混合运算顺序 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左至右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 例1：计算 解 解 例1：计算 例2：观察下列三行数： －2， 4，－8， 16，－32， 64，…； ① 0， 6，－6， 18，－30， 66，…； ② －1， 2，－4， 8，－16， 32，…. ③ （1）第①行中的数可以看成按什么规律排列？ 分析：观察第①行中的数，发现各数均为2的倍数，联系数的乘方，从符号和绝对值两方面考虑，可以发现排列的规律. ( )1 第①行第10个数是多少呢？ 解：第①行中的数可以看成按如下规律排列： (1) 例2：观察下列三行数： －2， 4，－8， 16，－32， 64，…； ① 0， 6，－6， 18，－30， 66，…； ② －1， 2，－4， 8，－16， 32，…. ③ （2）第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ 解：（2）对比①②两行中位置对应的数，可以发现： 第②行中的数是第①行中相应的数加2，即 例2：观察下列三行数： －2， 4，－8， 16，－32， 64，…； ① 0， 6，－6， 18，－30， 66，…； ② －1， 2，－4， 8，－16， 32，…. ③ 解：（2）对比① ③两行中位置对应的数，可以发现： 第③行中的数是第①行中相应数的，即 （2）第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ 例2：观察下列三行数： －2， 4，－8， 16，－32， 64，…； ① 0， 6，－6， 18，－30， 66，…； ② －1， 2，－4， 8，－16， 32，…. ③ （3）取每行中的第10个数，计算这三个数的和. 解：（3）每行中第10个数的和是： 探究规律的妙招——由特殊到一般 求解规律探究问题时，一般要先从特殊情况入手，归纳出一般情况，再验证猜想，得出一般规律． 1．计算，得（     ） A．2 B．11 C． D． B 2．在数学课上，老师让甲、乙，丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（     ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 C 3．计算： (1) (2)． 解：（1）原式 ； （2）原式 4.计算： 进行分数的混合运算时，一般要把带分数转化为假分数，把除法转化为乘法． 解：原式 5.求的值，可令，则，因此，．参照以上推理，计算的值为（    ） A． B． C． D． C 有理数的混合运算 有理数混合运算 的运算顺序 运算符号与性质符号 转化思想 规律探究题 由特殊到一般 模块三： 科学计数法 在现实生活中，我们会遇到一些比较大的数。例如，太阳的半径约为696 000km；光的速度约为300 000 000m/s；2022年11月15日，联合国宣布世界人口达到8 000 000 000人；等等。读、写这样大的数有一定的因难。 　　回顾有理数的乘方运算． 观察 10 的乘方有什么特点？ 102＝ 103＝ 104＝ 105＝ 100， 1 000， 10 000， 100 000． 归纳： 100…00 n个0 10n＝ 　　把下列各数写成 10 的幂的形式． 100 000 10 000 1 000 ＝10×10×10×10×10 ＝105， ＝10×10×10×10 ＝104， ＝103， ＝102． ＝10×10×10 ＝10×10 100 归纳： 100…00 n个0 ＝10n 你有什么发现？ 读作：__________________________． 6.96 乘 10 的 5 次方（幂） 　　一般地，10 的 n 次幂等于 10⋯0（在 1 的后面有 n 个 0），所以可以利用 10 的乘方表示一些大数。 例如 　　：696 000＝___________， 6.96×105 像这样，把一个大于10的数表示成 a×10n（其中a大于或等于1且a小于10， n是正整数），使用的是科学记数法. 科学记数法 　　567 000 000＝56.7×10 000 000 ＝56.7×107． 　　567 000 000＝0.567×1 000 000 000 ＝0.567×109． 　　判断下列用科学记数法表示大数是否正确？ 　　不正确，不是科学记数法． 注意：a 是整数数位只有一位的数，即1≤a＜10． 　　像－567 000 000 这样的负数，如何用科学记数法表示呢？ 　　①先写出它的相反数的科学记数法表示形式： 　　567 000 000＝5.67×108． 　　② 再添加负号： 　　－567 000 000＝ －5.67×108． 例1：用科学记数法表示下列各数： 1 000 000，300 000 000，8 000 000 000，10 100 000. 解：1 000 000＝1×106； 300 000 000＝3×108 8 000 000 000＝8×109； 10 100 000＝1.01×107 思考：上面式子中，等号左边的整数的位数与右边10的指数有什么关系？ 用科学记数法表示一个n 位整数（n大于或等于2），其中10的指数是n－1. 57 000 000＝5.7×107， 八位数 1 000 000＝1×106， －123 000 000 000＝－1.23×1011． 七位数 7－1＝6 8－1＝7 十二位数 12－1＝11 用科学记数法表示一个n 位整数（n大于或等于2），其中10的指数是n－1. 例2：下列用科学记数法记出的数，原来各是什么数？ （1）1×107；（2）4×103；（3）8.5×106；（4）－3.96×104. 解：（1）1×107＝10 000 000； （2）4×103＝4 000； （3）8.5×106＝8 500 000； （4）－3.96×104 ＝－39 600. 数的还原 　　要将还原成整数，就是把a的小数点向右移动 n 位，即还原之后的整数有n＋1个数位．如果 a 中的位数不够，用“0”补足，注意符号． 1.用科学记数法表示下列各数： (1)280 000; （2）15 400 000； (3)－5 261.2 解：(1)280 000＝2.8×105； (2)15 400 000＝ 1.54×107； (3)－5 261.2＝－5.261 2×103 2.下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？ (1)3.14×105 ；(2)－3.125×103. 解：(1)3.14×105 ＝314 000；(2)－3.125×103＝－3 125 3.一个数据用科学记数法表示为3.34589×104，这个数的整数数位是________位． 5 4.在科学记数法a×10n中，n是正整数，a的取值范围是( ) A.1＜|a|＜10 B.1＜|a|≤10 C.1≤|a|＜10 D.1≤|a|≤10 C 5.一个正常人的平均心跳速率约为每分70次，一年大约跳多少次？用科学记数法表示这一结果，一个正常人一生心跳次数能达到1亿次吗？请说明理由. 解：∵1 年＝365天＝365×24×60 分， ∴一年心跳次数约为： 365×24×60×70＝3.679 2×107（次）； ∵心跳达到1亿次需要的时间是： 108÷（ 3.6792×107 ）≈2.7（年）， ∴一个正常人一生心跳次数能达到1亿次． 科学记数法 还原成原数 形式 n 的确定 ，其中 1≤|a|＜10，n 为正整数． n＝整数的位数－1 　　把 a 的小数点向右移动 n位，不足的位数用 0 补足． 模块四： 近似数 思考：有两则报道，你能发现它们有何区别吗？ （1）“会议秘书处宣布，参加今天会议的有 505 人．” （2）“约有五百人参加了今天的会议．” 确切地反映了实际人数，它是一个准确数． 只是接近实际人数，但与实际人数还有差别，它是一个近似数． 思考：有两则报道，你能发现它们有何区别吗？ （1）“会议秘书处宣布，参加今天会议的有 505 人．” （2）“约有五百人参加了今天的会议．” 　　判断下列各数，哪些是近似数，哪些是准确数． （1）小明到图书馆借了 3 本书； （　　 ） （2）月球与地球的平均距离约为 38.4 万千米；（　 　） （3）数学课本的定价为 12.60 元； （ 　　） （4）珠穆朗玛峰高出海平面约 8 848 米． （ 　　） 准确数 近似数 准确数 近似数 提示：判断一个数是准确数还是近似数，关键在于判断这个数在实际问题中是否可以准确得到． 近似数与准确数的接近程度，可以用________表示． 在前面的例子中，五百是精确到百位的近似数，它与准确数505的误差为5. 按四舍五入法对圆周率π取近似数时，有 π≈3（精确到个位）， π≈3.1（精确到 0.1，或叫做精确到十分位）， π≈3.14（精确到 0.01，或叫做精确到百分位）， π≈3.142（精确到________，或叫做精确到________）， π≈3.141 6（精确到________，或叫做精确到________）， …… 精确度 0.001 千分位 0.000 1 万分位 　　π≈3.14（精确到 0.01，或叫做精确到百分位）， 　　π≈3.142（精确到 0.001，或叫做精确到千分位）， 　　π≈3.141 6（精确到 0.000 1 ，或叫做精确到万分位）． 精确到 0.01 精确到百分位 精确到 0.001 精确到千分位 精确到 0.000 1 精确到万分位 例1：按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1) 0.015 8 (精确到0.001)； (2) 304.35(精确到个位)； (3) 1.804 (精确到0.1)； (4) 1.804 (精确到0.01). 解：(1) 0.015 8≈0.016 (2) 304.35≈304 (3) 1.804≈1.8 (4) 1.804≈1.80 1.8和1.80的精确度相同吗？表示近似数时，能简单地把1.80后面的0去掉吗？ 1.8和1.80的精确度不同,表示近似数时,不能简单地把1.80后面的0去掉. 取近似数的方法 1．取一个精确到某一位的近似数时，应是从这一位后面的左起第一个数字进行四舍五入． 2．取较大数的近似数时，先找到要求精确到某个数位上的数字，再看下一个数位上的数字，按四舍五入法求近似数． 例2：下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ （1）12.12； （2）0.756 1；（3）2.13万；（4）4.7×105 ． 解：（1）精确到0.01（或精确到百分位）； （2）精确到0.000 1（或精确到万分位）； （3）精确到百位； （4）精确到万位． 你能归纳出确定精确度的方法吗？ 确定精确度的方法 1．确定一个数的精确度数，只看最末尾的数字在哪个数位上，即可确定精确度． 2．在确定用科学记数法表示的数或有计数单位的数的精确度时，先把它还原成一般数，再看原数的最后一位在哪个数位上，即可确定精确度． 1.下列数据： ①某校七年级共有342名学生； ②月球与地球的距离约为38万千米； ③数学课本定价为9.37元； ④七年二班女生平均身高约为1.58米. 其中的数据是准确数的是________，是近似数的是________． ①③ ②④ 2.某种鲸的体重约为1.36×105千克．关于这个近似数，下列说法正确的是( ) A.精确到百分位 B.精确到个位 C.精确到十分位 D.精确到千位 D 3.用四舍五入法按括号里的要求，对下列各数取近似数： (1)2.561(精确到十分位);(2)239.52(精确到个位)； (3)1.9998(精确到0.001);(4)4.09×104(精确到千位). 解：(1)2.561≈2.6;　 (2)239.25 ≈240; (3)1.9998 ≈2.000; (4)4.09×104 ≈4.1×104 . 4.下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)2.8；(2)215；(3)3.62亿；(4)1.3×104. 解：(1)十分位；(2)个位；(3)百万位；(4)千位. 5.李明测得一根钢管的长度约为0.8 m. （1）试举例说明该近似数可能是由哪些数四舍五入得来的？ （2）按照李明测得的结果，你能求出钢管的准确 长度 x 应在什么范围吗？ 解：（1）如0.75，0.76，0.771 …… （2） 0.75≤x＜0.85 近似数 精确度的定义 近似数的定义 取近似数的方法 确定精确度的方法 $