湖南衡阳市第八中学2027届高三上学期入学考试数学试题

HUN202609 高三数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.答案A 命题透析本题考查向量的坐标表示与运算， 解析因为a与b同向，所以=4，且m<0,解得m=-2 2.答案C 命题透析本题考查集合间的关系。 解析若a+2=3,则a=1,集合A不满足互异性；若a+2=a2,解得a=2或a=-1,当a=-1时，集合A,B不 满足互异性，故a=2. 3.答案C 命题透析本题考查抛物线的几何性质， 解析抛物线的标准方程为)广=子，焦点在x轴上P=日，故准线方程为x=一G 4.答案D 命题透析本题考查等比数列的基本性质. 解析由题意知(3-4如)2=(2-2a)(4-60),整理得4r2-4a+1=0,解得a=2 5.答案B 命题透析本题考查三角函数的图象与性质， 解析由图可知)的最小正周期T=4×(2+1)=12,即2知=12，得w=石，则(x)=sim(石+9），又因为 八-1)=0，由“五点法”得石×(-1)+9=0，所以9=石 6.答案B 命题透析本题考查导数的应用 镜a四上aa可在-ao正壁 a+1 递增，在（行-a,+上单调递减，则fx)=日-0=d-na-1,设g(a)=a-lna-1,则g'(a)= 2a-。,得g(a)在(0，号)上单调递减，在（经，+a上单调递增，且g1)=0,1>受，可知当a>1时，g(o)> g(1)=0,可知a的最大值为1. 7.答案C 命题透析本题考查直线与直线、直线与圆的位置关系， 餐折设0小，由于点Q与八-1，关于直线y=对称做气得士，”告-6：，两式相乘 整理得m2+n2=4,由点Q在圆C上，有(m-4)2+n2=4,即m2+n2-8m+12=0,两式结合，得Q(2,0),进而 得直线1：y=√3x,不难知与圆C相离. 8.答案A 命题透析本题考查多面体与球的结构特征及相关计算. 解析设底面ABCD的外接圆圆心为Q,由于PA=PB=PC=PD,故Q是P在底面上的射影，由于AD=CD,AB= BC,可知Q在AC的中垂线上，即在BD上，故BD是圆Q的一条直径，所以AD⊥AB,由勾股定理可得BD=√3， 即底面ABCD外接圆的半径r=,四棱锥P-ABCD的高为A=VPB-QB=子设所求为R,不难知R>T> ,故球心0在P0的延长线上，则00=0P-P0=R-A=R-分，QB=r=,0B=R,由勾股定理可得 (R-+子=，解得R=1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案BC 命题透析本题考查复数的四则运算， 解折：牛得得二号2-i所以=2+i故A错误B正确：ll=V4=5故c正确=(2- i)2=4-1-4i=3-4i,故D错误， 10.答案ACD 命题透析本题考查二项式定理的应用， 解析对于A,令x=0,得ao=1,故A正确； 对于B,最大的二项式系数是C,故B错误； 对于C,将等号两边关于x求导，得16(1+2x)7=a1+2a2x+3a3x2+…+7a,x+8agx,再令x=-1,得a1- 2a2+…+7a1-8ag=-16,故C正确； 对于D,由于T,+1=C2x,令C2+Cg*22+2=2·Cg21,即Cg+4Cg2=4Cg1,解得r=3或r=6,故D 正确。 11.答案ACD 命题透析本题考查数列的递推关系、等比数列与数列求和的综合应用. 解析对于A,当t=1,=0时，an+1=(am-p)2,因为{an}是常数列，设an=c,代入有c=（c-p)2,即c2- 一2 (2p+)c+p2=0,由4=(2p+1)2-4p2=4p+1≥0，得p≥-4，此时2p+1>0,p2≥0，方程总有非负的实数 根，符合条件，故A正确， 对于B,当t=4,p=9=2时，a+1=4(an-2)2+2,a+1-2=4(am-2)2,设bn=an-2,则b1=a1-2=1,且 b.+1=4b>0,取对数可得log2b+1=2+2 logab,设cn=logab=log2(an-2),则G1=logb1=0,且cn+1=2cn+ 2,整理可得cn+1+2=2(cn+2),可知{cn+2}是以2为首项，2为公比的等比数列，故B错误. 对打6当=1p0g=1时心1s5所以安ad可 a 当1时分<子当2时女+女+女+女<分++a 'a az a3 1 对于D,当1=00p=-10,g=-50时，a120(a,+10)2-50,化简有a1=20c+a,>a,放a,单 1 调递增1=200。=1-1,1-1=1 a1a,(a.+20)a。0,+200d,a,a.+200依次令n=1,2,,200,累加可得2-1= a201 1 1 a+200+a,+200+…+ +a0+200<200×200=1,得am<1,则1>0m1>am>am>…>4,.再令n=1, 2,…,201,累加可得2-1= 1 1 -a0a1+200+a,+200+…+ +a+20>201×1+200=l,所以am>1,使得a,>1 1 1 的n的最小值为202，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.答案y=5x-2 命题透析本题考查导数的几何意义 解析y=2+3e,所以y =5,即切线斜率为5，又y =3,故所求的切线方程为y=5x-2. 13.答案-1 命题透析本题考查函数图象的对称性， 解析由1-2>0，可得x)的定义域为(-0,0)U(2,+0),根据定义域对称，可得b=1,所以x)=2-x), 而2-)=2+a-)h产2=(x-a-2)h2=(x-a-2)n1-2）,对比可得a=-a-2,则a=-1,故 8-1 14.答案(2，+∞) 命题透析本题考查双曲线与直线的位置关系 解析过F,作直线FM的垂线，垂足为N,设F2M与OP交于点H,根据△MHP∽△MNF,,可得NF,=4HP, 根据OH是△F2NF,的一条中位线，可得NF,=2OH,故可知OH=2HP,即P为OH的中点，由于HF=PF- —3 P=0F-0F,代入0P=D=0H,化简可得PF+30P=2①，分析点P的位置：由0H1H那，故 LOPF,>牙，即0P+PF<OF=c2②，由于P在第一象限，当①式成立时，②式显然成立，故只需分析①式， 由于OP,PF2的长度均随yp的增大而增大，故PF+3OP2=c2>(c-a)2+3a2,解得离心率e>2. 0 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查解三角形. 解析(1)设a=3k,b=7k,其中k>0. 代入条件，得9k2+c2=49k2+3hc,即c2-3kc-40k2=0, 解得C=8k(C=-5h舍去).…(3分) 由余弦定理得cosC=。+2-C_9K+49k-64。- (5分) 2ab 2×21k2 7 2油心+心=+c,得osB=+公=弓所以B= (7分) 2ac 3 由，56csA+inA=25,得2bsin(4+号）=25， 即bsin(A+B)=√3，所以bsin C=√3. (10分) 'sin B=sin C,所以c=simS-3 由正弦定理得6。 sin B 3 =2 (13分) 2 16.命题透析本题考查样本估计总体和相互独立事件的概率. 解析(1)该地全体高中学生的体测合格率的估计值为 1200×3+80×+600× 2 3 8 1200+800+600 …(4分)》 (2)由题意，X的所有可能取值为0,1,2,3 (5分) P(X=0)=(1-21-4(1-3)=4 …(7分) X=1)=2(1-41-号)+(1-21-号)+号(1-2）(1-)，…(9分) (x=2)=×1-)+2×号1-4)+子×号1-) …(11分) -4 (12分)》 X的分布列为 X 0 1 y 3 P 1 1 1 1 24 4 24 4 (13分) B()=0x名+1x好+2×号+3x-3 11 (15分) 17.命题透析本题考查线面平行的证明，平面与平面的夹角. 解析(1)延长DP,与EF交于点G,过点P作PH⊥DE,垂足为H,连接AH 根据重心的性质，知G为EF的中点，且PG=}DG 由于AB⊥BC,所以DE⊥EF,又因为PH⊥DE,所以PH∥EF,·(1分) 因为PHd平面BCFE,所以PH∥平面BCFE. …(2分) 因为PG=号DC,PH∥EF,所以HE=号DE,所以AB=E, 又AB∥DE,所以四边形ABEH是平行四边形，所以AH∥BE. (4分) 因为AH平面BCFE,所以AH∥平面BCFE.…(5分) 又因为AH∩PH=H,所以平面APH∥平面BCFE, 所以AP∥平面BCFE.… (7分) (2)以E为坐标原点，直线EF,ED分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系.…(8分) 由已知可得A(4,1,2),D(0,3,0),F(6,0,0),P(2,1,0), 则D=(4,-2,2),D=(6,-3,0),D2=(2,-2,0).… (9分) 设m=(x,y,z)是平面ADF的法向量， m·D=0,2x-y+z=0 则 得 气m·D=0,l2x-y=0, 取m=(1,2,0).…（11分) 设n=(a,b,c)是平面ADP的法向量， 5 rn·Di=0,T2a-b+c=0, 则 即 取n=(1,1,-1). …(13分)） n.D币=0，la-b=0, 所以cos(m,n)=mlln5x,E=5 则平面ADF与平面ADP夹角的余弦值为5， 5 ………………… (15分) 18.命题透析本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系. 解析(1)设C的半焦距为c(c>0), 由题可知，2c=2√2，c=2,则a2=b2+2,①…(1分) 又c过点(则品+证=1，② …(2分） 联立①②得a=3,b=1, 故C的方程为兮+少=l.…(4分) (2)(i)由kA=1,得直线OA的方程为y=x. y=x, 由 3+y=1 得号+=1→=子，由对称性，不妨取（停} …(5分） 由kos kow=-),得t=-号，直线OB的方程为y=-) 1 =- 9t, 91 由 27-2) …(7分)） 3 +y2=1, 因为点8到直线01的距离d-5酒.101- 2, 所以△01B的面积Sas=号·d:101=分×5x5-5 1 14 2-28 …(9分)》 (ⅱ)当直线AB的斜率存在时，设AB:y=x+t,A(x,y),B(x2,y2), 由 3 -+y2=1, 得(3k2+1)x2+6x+32-3=0, Ly=kx+t, 所以x1+x2= 6kt 312-3 3k2+1=32+ (10分) 故y2=(低+)(，+)=+（名，+）+x=32+ t2-3k2 (11分) 面。g苦号化简得盟到 4 (12分) 6 y=kx +l, 由 上_，得(m2+2)2+2hm2x+m22-m2n2=0, n1, 若直线AB与C'相切，则△=0，化简有2=m2k2+n2, (14分) 将F9代入得4m-9)+4-1=0, r4m2-9=0, 该等式对所有的k均成立，则 4n2-1=0, 解得m2=子2= 4 即直线伯总与结圆号+千-1相饥(16分) 1 44 当A6的斜率不存在时，AB:=或x=一号，也与椭圆号+千=1相切 9 1 44 综上所述，存在椭圆C满足题意，其方程为号+上 9 =1.…(17分） 1 44 19.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质. 解析(1)设h(x)=ef八x),则h'(x)=e[f(x)+f'(x)]=ef(x+1)≥0， 所以h(x)在R上单调递增，所以h(2)≤h(4),即ef(2)≤ef(4), 所以f八2)≤e2f八4).… (3分) (2)设h(x)=efx),则h'(x)=efx+1)=1·e+fx+1)=h(x+1), e e 由于/(x)≥0，所以1e[x,x+小，有(1+1)≥h(x+1),所以。(1+1)≥。(x+1), 即h()≥h(x+1)对任意1[x,x+1门成立.…(6分) 设p()=hA()-h(x+1),则当te[x,x+1时，p()=hr()-。(x+1)≥0， 在区间[x,x+1]内有p(x)≤p(x+1), 即a(x+)-h()≥是(x+I),a()≤(1-h(x+1), 所以f(x)≤(e-1)f八x+1),证毕.…(9分) (3)由于0≤f(x)<M,且f(x+1)=f(x)+f'(x), f(x)I=If(x+1)-f(x)I<M, 而g(x+1)-g(x)=f'(x+1)-f'(x)+a[fx+1)-f(x)], 由f'(x)=f(x+1)-f(x)及f'(x+1)-f'(x)=f"(x), 可得g(x+1)-g(x)=f"(x)+af'(x)=g'(x),即g(x)也满足g'(x)=g(x+1)-g(x.…(12分) 反证法：假设g(x)mm=m<0,则存在x使得g(x）=m,g'(xo）=0, 一7 由g'(x)=g(xo+1)-g(xo)知g(x0+1)=g(x）=m, 可见x。+1也是极小值点，g'(xo+1)=0,由g'(x+1)=g(x0+2)-g(x+1), 可得g(xo+2)=g(+1)=m,以此类推，g(x+n)=m(n=0,1,2,…). 设un=f(xo+n),由f'(x+n)=g(xo+n)-af(xo+n)得f'(x+n)=m-aun, u+1=f(xo+n+1)=f'(xo +n)+f(xo+n)=(1-a)u +m, 得41-及=(1-a(-侣）， 所以，=受+(4-受）1-a)-,令n一+，则u,→0<0，即6+)一<0， 这与0≤f(x)<M矛盾，故假设不成立，g(x)mn≥0.…（17分) 一8HUN202609 高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自已的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.若向量a=(-1,m)与b=(m,-4)同向，则m= A.-2 B.2 C.±2 2.已知集合A={1,3,a2|,B=|1,a+2},且BCA,则a= A.-1 B.1 C.2 D.0 3.抛物线x=4y2的准线方程为 A=名 B.y=-1 c= D.x=-1 4.若2-2a,3-4a,4-6a成等比数列，则a= A.0 B.1 c 5.已知函数八x)=si血(ax+p)w>0,lp<)的部分图象如图所示，则p= A-石 B. 6 c. D 数学第1页（共4页） 6.已知a>0,若当x>-a时，ln(a+x)≤ax恒成立，则a的最大值为 4.1 B.1 C.e D 2 7.已知圆C:(x-4)2+y2=4,点P(-1,√5)关于直线1：y=x的对称点Q在圆C上，则 A.1与圆C相交 B.l与圆C相切 C.1与圆C相离 D.以上都有可能 8.在四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PC=PD=AD=CD=1,AB=BC=V2,若该四棱锥的所有 顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为 A.1 B.③ 2 c号 D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9已知复数：-牛则 A.z=4-2i B.=2+i C.1zl=√5 D.z2=3+41 10.已知(1+2x)8=a0+a1x+a2x2+…+agx3,则 A.a0=1 B.最大的二项式系数为C? C.a1-2a2+…+7a7-8ag=-16 D.展开式中存在连续三项的系数成等差数列 11.在数列{an}中，an∈R,且an+1=t(an-p)+q,则下列选项正确的是 A.若1=1,9=0，且a,是常数列，则p的取值范周是[-子，+ B.若t=4,p=g=2,且a1=3,则{l0g2(a-2)}是等差数列 C.若1=1，p=0,9=1,且，=2，则以+L+1+…+1<3 D.若1=20p=-100,9=-50,且a,=2,则使得a,>1的n的最小值为202 数学第2页（共4页） 3/4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.曲线y=2lnx+3e-在x=1处的切线方程为 13.若曲线y=(x+a)n1-)关于直线x=b对称，则号= 4已知双曲线号-卡-1(a>0,>0)的左右焦点分别为R,(-6,0),（e,0,点P是 上一点且在第一象限内，O为坐标原点，过F2作直线l⊥OP,l交直线FP于点M.若存在 点P,使得F,M=4PM,则E的离心率的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2+c2=b2+ac (1)若号=号，求msC: (2)若√3 bcos A+bsin A=2V3,求c. 16.（15分) 某地有一中、二中、三中3所高中，一中有1200名学生，二中有800名学生，三中有600名 学生.当地教育部门为了解高中学生的身体素质，从这3所高中按人数比例抽取部分学生 进行体测，根据体测结果，一中、二中、三中学生的合格率依次为分号 (1)求该地全体高中学生的体测合格率的估计值； (2)用各高中的体测合格率代替该高中每名学生体测合格的概率，从这3所高中再各随机 抽取一人进行体测，设这3人中体测合格的人数为X,求X的分布列与数学期望. 数学第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在三棱台ABC-DEF中，CF⊥平面ABC,AB⊥BC,DE=3AB,P为△DEF的重心. (1)证明：AP∥平面BCFE; (2)若CF=2,DE=3,EF=6,求平面ADF与平面ADP夹角的余弦值. 18.(17分) 包知椭圆C:之 若=1(a>6>0)的焦距为2瓦，且C过点(3,2》 (1)求C的方程 (2)0为坐标原点，A,B是C上的两个动点，且总满足ka·k8=-(k表示斜率). （1)若koA=1,求△OAB的面积. 是香存在椭圆C:兰+1，使得直线B总与C相切？若存在，求C的方程 m 若不存在，请说明理由 19.（17分) 已知函数f(x)与其导数∫'(x)的定义域均为R,(x+1)=(x)+∫'(x),且对任意x∈R, 0≤f(x)<M恒成立，其中M为常数 (1)比较f(2)与c2(4)的大小； (2)证明：f(x)≤(e-1)f(x+1); (3)若Va∈(0,1)，函数g(x)=∫'(x)+a(x)总存在最小值，证明：g(x)mm≥0. 数学第4页（共4页）