专题 7：有趣的密铺（综合实践）（思维拓展）人教版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 7：有趣的密铺（综合实践） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：密铺的原理与图形判断 3 考点二：单一图形密铺的实际计算 4 考点三：组合图形密铺 6 考点四：密铺设计与拓展应用 7 第三部分 易错避坑指南 10 易错点 1：认为所有正多边形都能密铺 10 易错点 2：认为圆可以密铺 10 易错点 3：组合密铺角度和算错 10 易错点 4：铺地砖单位不统一 10 易错点 5：密铺个数等于边长倍数 10 第四部分 分层进阶专题精练 11 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 11 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 11 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 13 一、能力进阶篇解析 13 二、思维拓展篇解析 14 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版五年级上册综合实践《有趣的密铺》核心内容，以 “原理建构→判断应用→组合拓展→设计创新” 为主线，系统覆盖密铺原理与图形判断、单一图形密铺计算、组合图形密铺匹配、密铺设计与奥数拓展四大核心模块，渗透空间观念、推理思想、优化思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从密铺的含义入手，理解 “图形之间没有空隙、不重叠铺满平面” 的特征，掌握密铺的核心原理 —— 拼接点处所有角的度数和为 360°；能判断常见平面图形能否密铺，掌握正多边形密铺的条件；能运用角度匹配解决两种图形的组合密铺问题；延伸密铺计数、逆推边数、图案设计等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“图形与几何” 领域要求，与 2024 版最新人教版教材进度完全同步，体会数学的美学价值与实践应用价值。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 密铺原理与图形判断 密铺的定义与特征；密铺核心原理；正多边形密铺判断 角度判断法、内角计算法 认为所有图形都能密铺；忽略 “拼接点角度和为 360°” 核心条件 单一图形密铺计算 常见可密铺图形；铺地块数计算；实际铺地应用 面积计算法、边长匹配法 单位不统一；面积与边长关系混淆 组合图形密铺匹配 两种图形组合密铺；角度和计算；常见组合模式 角度匹配法、凑整法 组合角度和算错；图形个数不匹配 密铺设计与拓展 密铺图案设计；图形运动与密铺；密铺计数规律 设计构造法、归纳递推法 设计出现空隙或重叠；计数遗漏重复情况 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 角度判断法 判断图形能否密铺 ①算图形内角度数；②看能否整除 360°；③判断结论 算内角，除三百，能整除，可密铺 面积计算法 计算铺地块数 ①算地面总面积；②算单块砖面积；③除法得块数 先算总面积，除以单块面，得总块数 角度匹配法 组合图形密铺 ①算已知图形角度和；②求剩余角度；③除以另一个内角得个数 先算已知角，剩余除以单角，得所需个数 设计构造法 密铺图案设计 ①选可密铺图形；②定拼接方式；③验证角度和 选图形，拼一拼，角和三百六，密铺就成立 逆推边数法 已知密铺个数求边数 ①算单个内角；②用内角和公式逆推边数 三百六除以个数，得内角，再推边 三、数学思维提升 1. 空间观念 核心要点：想象图形拼接的过程，感知平面图形的位置关系与组合形态，建立密铺的空间表象，培养空间想象与几何直观能力。 专题示例：想象正六边形拼接时的顶点重合、边重合的状态，就是空间观念的体现。 2. 推理思想 核心要点：根据密铺的角度原理，推导哪些图形能密铺、组合密铺需要多少个图形，从核心规律推理具体结论，培养逻辑推理能力。 专题示例：根据拼接点角度和为 360°，推导出正五边形不能密铺，就是推理思想的应用。 3. 应用意识 核心要点：运用密铺的知识解决生活中铺地砖、贴瓷砖等实际问题，体会数学的实用价值，培养实践应用与问题解决能力。 专题示例：计算客厅铺地砖需要多少块，就是应用意识的典型体现。 4. 美学思想 核心要点：通过设计密铺图案，感受图形的排列美、规律美，体会数学与艺术的结合，培养审美意识与创新思维。 专题示例：用不同颜色的正六边形设计密铺图案，就是美学思想的体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：密铺的原理与图形判断 能力进阶（★★★）—— 正多边形密铺判断 题目：判断下面的正多边形哪些能密铺，哪些不能？并说明理由。 ① 正三角形 ② 正方形 ③ 正五边形 ④ 正六边形 解题步骤： ① 先计算每个正多边形的内角度数： 正三角形内角： 正方形内角： 正五边形内角： 正六边形内角： ② 根据密铺原理判断：拼接点处角度和为 360°，内角度数能整除 360° 的就能密铺。 ，，，都能整除；，不能整除。 ③ 结论：正三角形、正方形、正六边形能密铺；正五边形不能密铺。 【答案】①②④能密铺，③不能密铺。理由见解析。 【知识点睛】本题考查正多边形密铺的判断方法，对应教材核心重难点。 核心原理：密铺的本质是拼接点处所有内角的和恰好等于 360°，没有空隙也不重叠。 判断方法：正多边形的一个内角度数能整除 360°，这个正多边形就能单独密铺。 常见结论：任意三角形、任意四边形都能密铺；正多边形中只有正三角形、正方形、正六边形能单独密铺。 易错警示：认为边数越多越容易密铺，忽略角度和的核心条件。 思维拓展（★★★★）—— 逆推正多边形边数 题目：一种正多边形可以单独密铺，拼接点处恰好有 3 个这样的内角。这个正多边形是正几边形？ 解题步骤： ① 根据密铺原理，拼接点处角度和为 360°，3 个内角和为 360°，先算一个内角的度数： ② 设这个正多边形的边数为，根据正多边形内角公式： ③ 解方程求边数： 验证：正六边形内角 120°，3 个内角和 360°，符合密铺条件。 【答案】正六边形。 【知识点睛】本题是密铺原理的逆推奥数题型，考查内角公式与密铺原理的综合应用。 解题方法：先根据拼接个数求出单个内角的度数，再利用正多边形内角和公式逆推边数。 拓展结论：单独密铺时，拼接点处有 6 个正三角形、4 个正方形、3 个正六边形。 易错警示：直接用 360 除以边数，混淆内角和外角的计算。 考点二：单一图形密铺的实际计算 能力进阶（★★★）—— 铺地砖块数计算 题目：一间客厅长 6 米、宽 4.2 米，用边长 6 分米的正方形地砖密铺地面，一共需要多少块这样的地砖？ 解题步骤： ① 统一单位：6 米 = 60 分米，4.2 米 = 42 分米。 ② 方法一：面积法。先算客厅总面积和单块地砖面积： 客厅面积：（平方分米） 单块地砖面积：（平方分米） 需要块数：（块） ③ 验证：方法二：边长匹配法。 长方向块数：（块） 宽方向块数：（块） 总块数：（块），结果一致。 【答案】一共需要 70 块。 【知识点睛】本题考查密铺的实际应用，对应教材重难点。 解题方法：可以用总面积除以单块面积，也可以分别算长和宽方向的块数再相乘，边长刚好整除时两种方法结果一致。 易错警示：单位不统一，直接用米和分米计算；或者用周长计算块数。 思维拓展（★★★★）—— 正三角形密铺计数 题目：用边长为 1 分米的小正三角形密铺成一个边长为 5 分米的大正三角形，一共需要多少个小正三角形？ 解题步骤： ① 分析规律：边长为 1 的大正三角形需要 1 个小正三角形； 边长为 2 的大正三角形，每层分别有 1、3 个，共 4 个，即个； 边长为 3 的大正三角形，每层分别有 1、3、5 个，共 9 个，即个。 ② 总结规律：大正三角形边长是小正三角形的倍，需要的小正三角形总数是个。 ③ 边长为 5 分米，，总数：（个） 验证：逐层相加：个，符合规律。 【答案】一共需要 25 个小正三角形。 【知识点睛】本题是正三角形密铺的计数奥数题型，考查图形规律与归纳推理。 核心规律：正三角形密铺成大正三角形，总个数 = 边长倍数的平方；每层的个数是连续奇数。 拓展延伸：正方形密铺成大正方形，总个数也是边长倍数的平方。 易错警示：认为边长 5 倍，个数就是 5 个，忽略二维的面积倍数关系。 考点三：组合图形密铺 能力进阶（★★★）—— 两种图形角度匹配 题目：用正方形和正三角形组合密铺，拼接点处已经有 2 个正方形，还需要几个正三角形才能刚好密铺？ 解题步骤： ① 先算已知图形在拼接点处的角度和： 正方形内角 90°，2 个正方形的角度和： ② 计算剩余需要的角度： 密铺需要角度和为 360°，剩余角度： ③ 计算需要的正三角形个数： 正三角形内角 60°，个数：（个） 验证：，符合密铺条件。 【答案】还需要 3 个正三角形。 【知识点睛】本题考查两种图形组合密铺的角度计算，对应教材拓展重难点。 解题核心：组合密铺的本质还是拼接点角度和为 360°，用总角度减去已知图形的角度和，再除以另一个图形的内角度数，得到所需个数。 易错警示：用 360 直接除以两个内角的和，忽略各自的个数。 思维拓展（★★★★）—— 正八边形与正方形组合密铺 题目：正八边形和正方形可以组合密铺。如果拼接点处有 2 个正八边形，还需要几个正方形才能密铺？ 解题步骤： ① 先计算正八边形的内角度数： ② 算 2 个正八边形在拼接点的角度和： ③ 计算剩余角度和需要的正方形个数： 剩余角度： 正方形内角 90°，（个） 验证：，符合密铺条件。 【答案】还需要 1 个正方形。 【知识点睛】本题是经典组合密铺的奥数题型，考查多边形内角计算与角度匹配。 常见组合：正八边形 + 正方形、正三角形 + 正方形、正三角形 + 正六边形都是常见的组合密铺形式。 解题技巧：先算每种图形的内角，再根据 360° 的总角度和匹配数量。 易错警示：正八边形内角算成 120°，和正六边形混淆。 考点四：密铺设计与拓展应用 能力进阶（★★★）—— 密铺图案设计 题目：请用正三角形和正方形两种图形设计一个密铺图案，写出设计思路。 解题步骤： ① 选择图形与拼接方式：选正三角形和正方形，利用 “2 个正方形 + 3 个正三角形” 的组合方式进行拼接。 ② 排列规律：以一个拼接点为基础，向四周重复延伸，正方形和正三角形交替排列，确保每个拼接点的角度和都是 360°。 ③ 验证原理：每个拼接点都有 2 个 90° 和 3 个 60°，总和，没有空隙、不重叠，符合密铺要求。 可以搭配不同颜色，形成有规律的美观图案。 【答案】设计思路见解析。 【知识点睛】本题考查密铺图案的设计，对应综合实践核心要求。 设计要点：①选择可密铺的图形组合；②保证每个拼接点角度和为 360°；③重复排列形成整体图案。 拓展延伸：可以利用平移、旋转等图形运动方式设计更丰富的图案。 易错警示：只关注单个拼接点，忽略整体延伸时出现重叠或空隙。 思维拓展（★★★★）—— 密铺中的规律递推 题目：用边长相同的小正方形密铺成长方形，第 1 个图用 2 个小正方形，第 2 个图用 4 个小正方形，第 3 个图用 6 个小正方形…… 照这样，第 n 个图用多少个小正方形？第 15 个图呢？ 解题步骤： ① 分析数量变化：第 1 个 2 个，第 2 个 4 个，第 3 个 6 个，相邻两个图的小正方形数量差为 2，公差是 2，构成等差数列。 ② 推导通项公式： 第个的数量 = 首项 + (n-1)× 公差 = ③ 代入计算： （个） 验证：时 2 个，时 4 个，时 6 个，均符合公式。 【答案】第 n 个图用个；第 15 个图用 30 个。 【知识点睛】本题是密铺规律的奥数题型，考查归纳推理与等差数列通项。 解题方法：先算相邻两项的差确定公差，再推导第 n 项的通用公式，最后代入计算。 拓展延伸：如果是多行多列的密铺，总个数 = 行数 × 列数。 易错警示：直接用 15×15 计算，混淆正方形密铺和长方形密铺的规律。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：认为所有正多边形都能密铺 错误示例：正五边形、正七边形也能单独密铺。 正确分析：只有内角度数能整除 360° 的正多边形才能单独密铺，正多边形中只有正三角形、正方形、正六边形可以。 修正方法：先算内角，再用 360 除，能整除才能密铺。 易错点 2：认为圆可以密铺 错误示例：圆形也能密铺地面。 正确分析：圆与圆拼接时会有空隙，不能单独密铺。 修正方法：有弧度的图形都不能单独密铺，密铺图形的边必须是直边。 易错点 3：组合密铺角度和算错 错误示例：2 个正方形 + 2 个正三角形能密铺。 正确分析：，不能密铺；需要 3 个正三角形才可以。 修正方法：算完角度和要验证是否等于 360°。 易错点 4：铺地砖单位不统一 错误示例：客厅长 6 米，地砖边长 6 分米，块。 正确分析：先统一单位，6 米 = 60 分米，块。 修正方法：计算前先统一单位，再进行计算。 易错点 5：密铺个数等于边长倍数 错误示例：大正方形边长是小正方形的 3 倍，需要 3 个小正方形。 正确分析：面积是 9 倍，需要 9 个。 修正方法：平面密铺的个数是边长倍数的平方，是面积的倍数关系。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 密铺的核心原理是：拼接点处所有角的度数和等于（ ）°。 2. 下面的图形中，（ ）不能单独密铺。（填序号：①长方形 ②圆 ③平行四边形） 3. 正六边形的每个内角是（ ）度，（ ）个正六边形可以在拼接点处密铺。 4. 一个房间长 8 米、宽 6 米，用边长 2 分米的正方形地砖铺地，一共需要（ ）块。 5. 任意三角形（ ）密铺（填 “能” 或 “不能”）。 6. 拼接点处有 4 个相同的正多边形，这个正多边形是（ ）形。 7. 用正六边形和正三角形组合密铺，拼接点有 1 个正六边形，还需要（ ）个正三角形。 8. 边长为 3 厘米的小正方形密铺成边长为 12 厘米的大正方形，需要（ ）个小正方形。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 一种正多边形单独密铺，拼接点处有 6 个内角。这个正多边形是正几边形？ 10. 正六边形和正三角形组合密铺，拼接点处有 2 个正六边形，还需要几个正三角形？ 11. 用边长 1 分米的小正三角形密铺成边长为 8 分米的大正三角形，一共需要多少个小正三角形？ 12. 一间教室长 9 米、宽 6 米，用边长 3 分米的正方形地砖铺，每块地砖 8 元，一共需要多少钱？ 13. 第 1 个密铺图形用 3 个小长方形，第 2 个用 6 个，第 3 个用 9 个…… 第 n 个用多少个？第 20 个呢？ 14. 能不能用正五边形和另一种正多边形组合密铺？如果可以，说出另一种图形和拼接个数。 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】360 解题步骤： ① 密铺时拼接点处所有角拼在一起正好是一个周角，和为 360°。 【知识点睛】考查密铺的核心原理。核心：角度和 360°。易错警示：填 180。 2. 【答案】② 解题步骤： ① 圆有弧度，拼接会有空隙，不能单独密铺；长方形和平行四边形都能密铺。 【知识点睛】考查常见图形密铺判断。核心：直边图形大多能密铺，圆不能。易错警示：认为平行四边形不能密铺。 3. 【答案】120；3 解题步骤： ① 正六边形内角：； ② 个。 【知识点睛】考查正六边形密铺。核心：3 个正六边形拼接点密铺。易错警示：填 6 个。 4. 【答案】1200 解题步骤： ① 8 米 = 80 分米，6 米 = 60 分米； ② 总面积：平方分米，单块面积 4 平方分米； ③ 块。 【知识点睛】考查铺地砖计算。核心：总面积 ÷ 单块面积。易错警示：单位不统一。 5. 【答案】能 解题步骤： ① 任意三角形内角和 180°，6 个不同的角拼在一起可以组成 360°，所以能密铺。 【知识点睛】考查三角形密铺。核心：任意三角形、四边形都能密铺。易错警示：认为只有正三角形能密铺。 6. 【答案】正方 解题步骤： ① 每个内角：，内角 90° 的正多边形是正方形。 【知识点睛】考查密铺逆推。核心：360÷ 个数 = 内角度数。易错警示：填正三角形。 7. 【答案】4 解题步骤： ① 正六边形内角 120°，剩余角度：； ② 正三角形个数：个。验证：，符合密铺条件。 【知识点睛】考查组合密铺。核心：总角度减已知角，除以单个内角得个数。易错警示：算成 3 个。 8. 【答案】16 解题步骤： ① 边长倍数：； ② 总个数：个。 【知识点睛】考查正方形密铺计数。核心：个数是边长倍数的平方。易错警示：填 4 个。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】正三角形。 解题步骤： ① 每个内角：； ② 内角 60° 的正多边形是正三角形。 【知识点睛】考查逆推边数。核心：先求内角再推边数。易错警示：填正六边形。 10. 【答案】还需要 2 个正三角形。 解题步骤： ① 2 个正六边形角度和：； ② 剩余角度：； ③ 正三角形个数：个。 验证：，正确。 【知识点睛】考查组合密铺计算。核心：角度和匹配。易错警示：算成 3 个。 11. 【答案】一共需要 64 个。 解题步骤： ① 边长倍数：； ② 总个数：个。 【知识点睛】考查正三角形密铺计数。核心：个数 = 边长倍数平方。易错警示：填 8 个。 12. 【答案】一共需要 4800 元。 解题步骤： ① 9 米 = 90 分米，6 米 = 60 分米； ② 总块数：块； ③ 总钱数：元。 【知识点睛】考查铺地实际应用。核心：先算块数再算总价。易错警示：直接用面积乘单价。 13. 【答案】第 n 个用个；第 20 个用 60 个。 解题步骤： ① 公差 3，通项：； ② 代入 n=20：个。 【知识点睛】考查规律递推。核心：等差数列通项。易错警示：填 20 个。 14. 【答案】可以，正五边形可以和正十边形组合密铺。 解题步骤： ① 正五边形内角 108°，尝试 2 个正五边形：； ② 剩余角度：； ③ 内角 144° 的正多边形：，解得 n=10，是正十边形。拼接点处 2 个正五边形和 1 个正十边形，角度和恰好 360°。 【知识点睛】考查组合密铺拓展。核心：角度和为 360°。易错警示：认为正五边形不能参与组合密铺。 1 学科网（北京）股份有限公司 $