第06讲 双曲线及其性质（复习课件）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习课件聚焦“双曲线及其性质”专题，依据高考评价体系梳理了定义、标准方程、几何性质（离心率、渐近线等）及直线与双曲线位置关系等核心考点，通过近三年全国卷考情统计明确了离心率计算、定义应用等高频考点的分值占比，归纳出12种常考题型，构建了系统的知识框架与解题思路。 课件亮点在于“真题溯源+题型技巧+素养培养”的备考设计，如以2020新课标二卷真题为例，通过定义法破解焦点距离问题，结合离心率“齐次方程构建”技巧培养数学思维，针对渐近线距离公式应用强化运算能力。特设“易错陷阱警示”和“方法技巧总结”，助力学生掌握解题规律，教师可据此精准定位考点，实现高效复习教学。

双曲线及其性质 第 06 讲 核心考点 2026年 2025年 2024年 双曲线的方程与性质 全国Ⅰ卷T12（5分） 全国Ⅱ卷T4（5分） 全国Ⅰ卷T3（5分） 全国Ⅱ卷T11（6分） 全国Ⅰ卷T12（5分） 直线与双曲线的位置关系     全国Ⅱ卷T19（17分） 考情分析   双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与性质等知识，题型比较丰富，选择、填空、解答题都可能出现，选择、填空题中难度中等偏易，解答题中难度偏大，有时会与向量等知识结合考查，需要学会灵活求解. 近三年高考显示，双曲线考查频次高，核心考点聚焦于离心率计算、定义与标准方程以及顶点、渐近线等基础几何性质。试题逐渐反套路，强调知识交汇（如与向量、数列结合），倡导“多想少算”. 复习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)． 3.了解双曲线的简单应用． 01 命题透视・考情前瞻 02 思维建模・脉络梳理 知识解构 知识点1 双曲线的定义 知识点2 双曲线的标准方程 知识点3 双曲线的简单几何性质 题型破译 题型1 双曲线的定义及应用 题型2 双曲线的标准方程 题型3 方程表示双曲线的充要条件 题型4 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴 题型5 双曲线的渐近线 题型6 双曲线的离心率 【方法技巧】 离心率问题的求解技巧 题型7 焦点三角形问题 题型8 两线段的和与差的最值问题 题型9 双曲线的轨迹方程 题型10 双曲线与圆、椭圆的融合 题型11 双曲线中的最值与范围问题 【方法技巧】 最值、范围问题的求解策略 题型12 双曲线的实际应用 知识点1 双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的_______，两焦点间的距离叫做双曲线的_______. 注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1)当a＜c时，P点的轨迹是__________ ； (2)当a＝c时，P点的轨迹是__________ ； (3)当a＞c时，集合P是_______. 距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|) 焦点 焦距 双曲线 两条射线 空集 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点1 双曲线的定义 解 析 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点2 双曲线的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点2 双曲线的标准方程 解 析 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点3 双曲线的简单几何性质 实轴 虚轴 实半轴长 虚半轴长 2a 2b 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点3 双曲线的简单几何性质 解 析 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点3 双曲线的简单几何性质 解 析 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点1 双曲线的定义 必记结论 （1）双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （3）双曲线焦点三角形面积为 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 解 析 解 析 题型1 双曲线的定义及应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型1 双曲线的定义及应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型1 双曲线的定义及应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型1 双曲线的定义及应用 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型2 双曲线的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型2 双曲线的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型2 双曲线的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型2 双曲线的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型2 双曲线的标准方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型3 方程表示双曲线的充要条件 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型3 方程表示双曲线的充要条件 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型3 方程表示双曲线的充要条件 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型4 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型4 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型4 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型4 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型5 双曲线的渐近线 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 题型5 双曲线的渐近线 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 双曲线的渐近线 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 双曲线的渐近线 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型5 双曲线的渐近线 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 双曲线的离心 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 双曲线的离心 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6 双曲线的离心 方法技巧 离心率问题的求解技巧 求解双曲线离心率问题的核心技巧在于“构建关于的齐次方程”.由于离心率 ​ ，解题时应避免直接求的具体值，而是利用已知条件（如焦点三角形、几何性质、渐近线等）建立包含的等式或不等式.接着，巧妙运用双曲线的基本关系 ，将式子中的 b 消去，转化为仅含的齐次方程。最后，等式两边同除以或，即可将其化为关于的一元方程或不等式，从而精准求出离心率的值或范围. 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 双曲线的离心 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 双曲线的离心 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 双曲线的离心 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型6 双曲线的离心 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 焦点三角形问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 焦点三角形问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 焦点三角形问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 焦点三角形问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 焦点三角形问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 焦点三角形问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型7 焦点三角形问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 两线段的和与差的最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 两线段的和与差的最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 两线段的和与差的最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 两线段的和与差的最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 两线段的和与差的最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 两线段的和与差的最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型8 两线段的和与差的最值问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 双曲线的轨迹方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 双曲线的轨迹方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 双曲线的轨迹方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型9 双曲线的轨迹方程 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 双曲线与圆、椭圆的融合 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 双曲线与圆、椭圆的融合 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 双曲线与圆、椭圆的融合 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 双曲线与圆、椭圆的融合 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型10 双曲线与圆、椭圆的融合 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型11 双曲线中的最值与范围问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型11 双曲线中的最值与范围问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型11 双曲线中的最值与范围问题 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 求解双曲线最值与范围问题，核心策略分为几何法与代数法. 1. 常用思路：若题目涉及焦点、渐近线或距离差，优先利用双曲线定义及平面几何性质（如三角形三边关系、共线特征）求解；若无明显几何特征，则建立目标函数，通过配方法、基本不等式或求导来求最值. 2. 范围突破：重点抓住三个抓手：一是双曲线自身的隐含范围（如 ∣x∣≥a）；二是联立直线与双曲线方程，利用判别式及二次项系数构造不等式；三是利用参数间的等量关系，将多变量转化为单变量求解. 3. 易错提醒：解题切忌盲目硬算。务必注意双曲线左右支对横坐标的限制，同时讨论直线斜率不存在的情况，并在联立方程后检验判别式，以防遗漏关键条件. 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型11 双曲线中的最值与范围问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型11 双曲线中的最值与范围问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型11 双曲线中的最值与范围问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型11 双曲线中的最值与范围问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型12 双曲线的实际应 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型12 双曲线的实际应 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型12 双曲线的实际应 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型12 双曲线的实际应 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 04 真题溯源・考向感知 解 析 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 解 析 05 课本典例・高考素材 【自主检测】已知双曲线的左、右焦点分别为、,设点,则的值为 ． 由双曲线的标准方程可得,由满足方程,知点在双曲线的右支上, . 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 C．若,则C是双曲线 D．若,,则C是两条直线 因为曲线：.当时,表示圆； 当,且时,表示椭圆； 当时,表示双曲线；当或时,表示两条直线.所以CD正确. 【自主检测】(多选)已知曲线,则(   ) A．若,则C是圆 B．若,则C是椭圆 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1 (－a,0)，A2 (a,0) 顶点坐标：A1 (0，－a)，A2 (0，a) 渐近线 y＝ ±x y＝ ±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的____，它的长|A1A2|＝___；线段B1B2叫做双曲线的____，它的长|B1B2|＝____； a叫做双曲线的________，b叫做双曲线的________. a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 设双曲线的焦距为,则,解得. 所以双曲线的方程为. 故选：A. 【自主检测】(1)(2026.重庆九龙坡.一模)双曲线的焦距为,其一条渐近线方程为 ,则双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 若双曲线的渐近线方程为,故可设双曲线方程为, 若,则双曲线的标准方程为,故, 故,故； 若,则双曲线的标准方程为,故, 故,故； 设双曲线的方程为,此时,故离心率为, 此时渐近线的方程为,故“离心率为”推不出“渐近线方程为”； “渐近线方程为”推不出“离心率为”, 故“离心率为”是“渐近线方程为”的既不充分又不必要条件, 故选：D. 【自主检测】(2)．(2026.江苏.一模)在对称轴为坐标轴的双曲线中,“离心率为”是“渐近线方程为”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 因为,则动点轨迹为双曲线的右支. 故选：C. 【例1-2】(2026.吉林长春.二模)双曲线的两个焦点分别是、,焦距为8, 是双曲线上的一点,且,则(   ) A．1 B．3 C．7 D．9 由题意知,,所以. 在双曲线中,有,所以, 又,所以.由双曲线定义知,,即, 所以或.又,即,所以.综上,. 【例1-1】已知平面内两个定点,,动点P满足,则点P的轨迹为(    ) , 当点在左支时,的最小值为, 当点在右支时,的最小值为, 因为,则点在双曲线的左支上, 由双曲线的定义,解得； 当,点在左支时,；在右支时,； 推不出； 故为充分不必要条件, 故选：D. 【变式训练1-1.变考法】若点P是双曲线C：上一点,,分别为C的左、右焦点, 则“”是“”的(    ) A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 C． D． 设动圆的半径为,因动圆同时与圆及圆相外切,则,, 则,故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支. 又因,解得,故其轨迹方程为. 故选：D. 【变式训练1-2.变载体】已知圆和圆,动圆同时与圆及圆相外切, 则动圆圆心的轨迹方程是(    ) A． B． 【变式训练1-3.变考法】设P是双曲线上一点,M,N分别是两圆： 和上的点,则的最大值为 ． 设两圆和圆心分别为A,B,则A,B正好为双曲线两焦点, ,即最大值为9 A． B． C． D． 已知双曲线的一条渐近线斜率为2,则,即.因为双曲线焦距为, 所以.又,所以,解得,.故双曲线方程为. 故选：A． 【例2-2】(2026.湖南长沙.三模)若以直线为渐近线的双曲线经过点,则该双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 已知渐近线为,即,可设双曲线方程为：, 把点代入方程 得：,该双曲线的方程为． 故选：D. 【例2-1】(2026.山西忻州.模拟预测)已知双曲线的一条渐近线斜率为2,且焦距为, 则该双曲线方程为(    ) A． B． C． D． 由双曲线与双曲线有相同的渐近线,故可设双曲线的方程为, 又因为过点,所以,解得, 所以,双曲线的标准方程是． 故选：A． 【变式训练2-2.变载体】(2025.北京东城.模拟预测)已知双曲线过点,且一条渐近线的 倾斜角为,则双曲线的方程为(    ) A． B． C． D． 由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为,设双曲线方程为, 代入点, 可得,所以双曲线的方程为. 故选：A. 【变式训练2-1.变考法】(2026.河北张家口.模拟预测)已知双曲线过点,且与双曲线 有相同的渐近线,则双曲线的标准方程为(    ) 由题设,圆的半径为,则, 所以,点的轨迹是以,为焦点,所以,的双曲线的左支, 又,则,故,动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 【变式训练2-3.变载体】动圆过定点,与定圆外切,则动圆圆心的轨迹 方程为(    ) A． B． C． D． 依题意,,直线的倾斜角为,即,取的中点,连接,由, 得,, ,, 则,, 在中,,解得, 所以该双曲线的方程为. 故选：A 【变式训练2-4.变载体】已知双曲线的左右焦点分别为,过点的直线 与双曲线的左右两支分别交于点A,B,且,则该双曲线的方程为(   ) A． B． C． D． 如图,根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上,则,则是等边三角形, 故双曲线浙近线的倾斜角为．所以,即,则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程,得,解得,则双曲线方程为, 故选：C． 【变式训练2-5.变考法】已知双曲线的左、右焦点分别为,点为双曲线右支上一点, 以坐标原点O为圆心,以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P,同时点P在线段中垂线上, 则该双曲线的标准方程为( ) A． B． C． D． A． B． C． D． 已知方程表示双曲线,则,解得或. 因此实数的取值范围是. 【例3-2】(2025.四川成都.模拟预测)设,则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为(    ) A． B． C． D． 若该方程表示双曲线,则 ,即 ,又,解得 , 对于A,是充要条件,A不是；对于B,真包含于,则是必要不充分条件,B是； 对于 C,真包含于,则是充分不必要条件,C不是； 对于D,与互不包含,则是既不充分又不必要条件,D不是. 故选：B 【例3-1】(2026.山西忻州.模拟预测)若方程表示双曲线,则实数的取值范围是(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 曲线C是双曲线,则,解得,故是曲线C是双曲线的必要不充分条件. 故选：B 【变式训练3-2.变考法】(2025.四川南充.模拟预测)已知,是实数,则“”是“曲线是焦点在 轴的双曲线”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 若曲线是焦点在轴的双曲线,则,,所以,故必要性成立, 若,满足,但是曲线是焦点在轴的双曲线,故充分性不成立, 所以“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的必要不充分条件. 故选：B 【变式训练3-1.变考法】(2025高三.贵州贵阳)曲线,则“”是“曲线C表示双曲线”的(   ) 由表示双曲线,得,得,所以焦点在轴上, 又, 所以顶点坐标,焦点坐标,虚轴长,离心率, 双曲线的顶点坐标,焦点坐标,虚轴长,离心率, 因此两个双曲线具有相同的焦点,其他选项均不能确定满足. 【变式训练3-3】(2026.广东肇庆.二模)双曲线与双曲线的(    ) A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 A． B． C． D． 因为方程表示双曲线,所以,解得, 所以有, 双曲线焦点在轴上, 其中,,则,所以, 所以焦点坐标为. 故选：C 【例4-2】(2026.江苏南京.一模)已知双曲线的渐近线方程为, 且实轴长为2,则焦距为(   ) A． B．2 C． D．4 由题意可知,得,因双曲线的渐近线方程为, 即, 代入得,所以(为半焦距),即,故焦距为. 故选：D 【例4-1】双曲线的焦点坐标为(     ) A．10 B．9 C．8 D．6 由等轴双曲线的性质,设曲线的方程为, 将点代入方程,得, 可得,因此,双曲线的标准方程为, 可得,即,因此,实轴长. 故选：D 【变式训练4-1】(2025.云南昆明.模拟预测)已知双曲线的一个焦点坐标为,则实数的值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 解：双曲线的一个焦点坐标为,可得,可得 故选：D 【例4-3】(2026.广东茂名.二模)已知曲线是中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的等轴双曲线,点在上, 则的实轴长为(     ) A．2 B．4 C．6 D．8 因为双曲线的焦点在轴,又椭圆与双曲线有共同的焦点, 所以,所以. 故选：B. 【变式训练4-3.变载体】(2026.河北保定.模拟预测)已知双曲线的一条 渐近线与直线平行,且双曲线过点,则双曲线的实轴长为(   ) A． B． C． D． 双曲线的渐近线方程为, 因为其中一条与直线平行,且直线的斜率为, 所以2,即, 因为双曲线过点,所以,即, ,, 所以双曲线的实轴长． 【变式训练4-2】已知椭圆与双曲线有共同的焦点,则(    ) 因为是双曲线的半焦距,所以, 则,当且仅当时,等号成立.故选：C. 【变式训练4-4.变考法】(2025.贵州遵义.模拟预测)已知是双曲线的半焦距, 则的最大值是(    ) A． B． C． D． C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为 直线与坐标轴的交点分别为和, 因此双曲线的一个焦点为,即, 又双曲线的一条渐近线与直线平行,所以, 由,解得,选项A,实轴长为,A错； 选项B,离心率为,B正确； 选项C,双曲线方程为,由解得,即, 右焦点为,则,C正确, 选项D,曲线的顶点坐标为,D错误； 【变式训练4-5.变角度】(多选)过双曲线的一个焦点的直线与的 一条渐近线平行,且与交于点,则(   ) A．的实轴长为 B．的离心率为 A． B． C． D． 由题可得双曲线的标准方程为：,所以,,则的渐近线方程为：；故选：C 【例5-2】已知双曲线的一条渐近线的方程为,则(    ) A．4 B．2 C． D． 由题知,双曲线焦点在轴上,且其中一条渐近线方程为,所以,解得. 故选：A 【例5-1】已知双曲线C：,则C的渐近线方程为(   ) A． B．4 C． D． 双曲线中,则渐近线方程为, 已知直线是该双曲线的一条渐近线,则, 解得． 【变式训练5-2】已知双曲线过点,且与双曲线有相同的渐近线,则的方程为(    ) A． B． C． D． 因为双曲线过点,且与双曲线有相同的渐近线, 所以设双曲线方程为, 将代入,可得,则, 所求双曲线的标准方程是． 故选：D． 【变式训练5-1】(2026.河南许昌.模拟)若直线是双曲线的一条渐近线,则(   ) 设双曲线的焦距为,则,故,所以双曲线的焦点坐标为, 又双曲线的渐近线方程为,所以双曲线的焦点到渐近线的距离, 因为焦点到渐近线的距离为,所以,所以, 所以双曲线的渐近线方程为,即, 故选：A. 【变式训练5-3】已知双曲线：(,)的焦距为,焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的 渐近线方程为(   ) A． B． C． D． C．若到曲线的渐近线的距离为,则曲线的方程为 D．设为坐标原点,若,则 由题意设双曲线的渐近线方程为,代入点, 解得,则双曲线的离心率,故A正确； 由得双曲线的渐近线方程为,即,故B错误； 若到渐近线的距离为, 则,,则双曲线的方程为,故C正确； 设,则由,可得, 解得, 三角形的面积,故D错误． 故选：AC． 【变式训练5-4.变考法】(多选)已知双曲线的一条渐近线过点,为的右焦点, 则下列结论正确的是(    ) A．曲线的离心率为 B．曲线的渐近线方程为 如图,取双曲线的左顶点为点,连接,因直线过原点, 得四边形为平行四边形, 则,设点,因, 又由可得代入上式,化简可得,则,故的渐近线方程为. 【变式训练5-5.变考法】(2025.河北秦皇岛.模拟预测)过原点的直线与双曲线 交于两点,为的右顶点,直线与直线的斜率之积为3,则的渐近线方程为 ． 令,其中,则,得,因为,所以, 则由双曲线的定义可知,, 则的面积为, 周长为, 则, 则,则的离心率为. 【例6-1】【新思维】(2026.云南玉溪.二模)已知双曲线的左右焦点分别为 是上一点,且,若的内切圆半径与的比值为,则的离心率为(    ) A． B．2 C． D．3 设点,因为点到轴,轴的距离之比为,所以,即. 因为点为 双曲线上一动点,将代入双曲线方程可得：,即, 通分可得：,即,因为,所以, 即； ,所以,离心率, 因为,故,则,所以,因此,双曲线的离心率范围为. 故选：C． 【例6-2】(2026.福建南平.二模)已知为双曲线上一动点,若存在点到轴、轴的距离之 比为,则双曲线的离心率范围为(    ) A． B． C． D． A． B．2 C． D． 设,则,. 在中,有, 整理得,故.设,在中,有,即, 所以的离心率. 故选：D． 【变式训练6-1.变考法】(2026.陕西榆林.模拟预测)如图,双曲线：的左、右焦点分别为,,过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A,B两点,且,则C的离心率为(   ) 、为双曲线右支上两点且,所以, 设,可得, 由于且,所以,且在直角三角形中,, 在中由余弦定理,, 由可得,即, 化简得,可得 可得,所以,化简得,即,所, 解得：或(舍去) 所以双曲线的离心率为. 【变式训练6-2.变载体】(2026.安徽合肥.模拟预测)双曲线：(,)的左、右焦点为、, 、为双曲线右支上两点且满足,若时,,则双曲线的离心率为(     ) A． B． C． D．3 如图,设,是双曲线左支上的两点,令, 由双曲线的定义可得． 在中,由余弦定理得, 整理得,解得或(舍去)．, 根据双曲线定义可得,∴,则,∴为直角三角形,且． 在中,,即, ∴,∴．即该双曲线的离心率为． 【变式训练6-3.变交汇】(2026.河北保定.二模)已知分别是双曲线的左、右两个焦点, A,B是双曲线上的两点,,,,则双曲线的离心率为(   ) A． B． C． D． 设双曲线的焦距为,则. 分别记和的内切圆为,其半径分别为, 则,所以. 设与切于点,则 又, 所以. 即点坐标为, 同理,与切于点,即三点共线,且. 所以, 所以. 又所以, 所以,所以,. 所以,即直线的斜率为. 所以,即,即,所以,所以的离心率的取值范围是. 【变式训练6-4.变考法】(2026.甘肃.模拟预测)已知双曲线C：(,)的左、右焦点分别为,, 过点的直线与的右支交于,两点,内切圆的面积是内切圆的面积的4倍,则的离心率的取 值范围是__________． 由题意,则, 不妨设,,, 设到轴的距离为,因为为的角平分线, 则, 所以, 所以,所以, 又,所以, 所以的周长为. 故选：D 【例7-1】(2026.山东淄博.阶段检测)已知双曲线的左､右焦点分别为,点在上, 若的角平分线交轴于点,且,则的周长为(    ) A．24 B．22 C．20 D．18 设点．因为双曲线,所以,,,．对于A,, 所以, 所以点到轴的距离为4,错误． 对于B,将代入得,则．由双曲线的对称性,不妨取点的坐标为,得由的定义得,所以,正确． 对于C,结合B选项,在中,, 且,则为钝角, 所以为钝角三角形,正确． 对于D,由,得, 且, 所以,所以,错误． 故选：BC 【例7-2】【多选】(2026.福建福州.模拟)已知点在双曲线上,分别是左、右焦点,若的 面积为20,则下列判断正确的有(    ) A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 是双曲线的左右焦点,在右支、在左支,根据双曲线定义： 对右支上的：, 对左支上的：, 因为,是等边三角形,设,且直线顺次为, 因此,代入的定义式：,得；再代入的定义式, 得,因此等边边长, 点处,,在的延长线上, 因此, 在中,,由余弦定理： , 代入, 化简得,即,因此离心率. 【例7-3】【新思维】(2026.天津河东.三模)是双曲线的左、右焦点,过的直线与 双曲线的两支分别交于点A、B,若为等边三角形,则双曲线的离心率为____________． 由题设,双曲线的实半轴长,且, 因为,故在右支上且, 而,故, 由余弦定理可得：, 故选：C. 【变式训练7-1】(2026.陕西西安.检测)已知是双曲线的左,右焦点,点在双曲线上,, 则(   ) A． B． C． D． A：因为,解得,故A正确； B：双曲线,所以,的离心率,故B错误； C：因为,所以,则的面积为,故C正确； D：所以,所以,故D正确. 故选：ACD. 【变式训练7-2.变考法】(多选)(2026.河北唐山.模拟)已知双曲线的左、右焦点分别为,,是上一点,且,,则(    ) A． B．的离心率为 C．的面积为 D． C． D．过点可以作四条直线与双曲线有唯一公共点 不妨设双曲线的标准方程为, 将坐标两点代入,得, 解得, 所以双曲线的标准方程为. 对于A,由题意知的焦点在轴上,且, 所以,离心率为,故A正确； 对于B,不妨设点在双曲线的右支上,所以, 因为,解得, 所以,故B正确；对于C,, 所以,故C错误．对于D,易知渐近线方程为,画图可得, 过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点, 其中两条与双曲线相切,另两条与渐近线平行,故D正确. 【变式训练7-3.原创题】(多选)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线经过两点, 且上一点满足,则( ) A．离心率为 B． 【变式训练7-4.变考法】(2026.山东潍坊.三模)已知双曲线的左、右焦点为,, 点在双曲线的右支上,且,的内切圆半径为,则双曲线的离心率为________． 双曲线的左、右焦点为,,点在双曲线的右支上,；, 的内切圆半径为, ,. ,. ,即； ,即,解得或；由,得. 对于双曲线,根据双曲线的标准方程(),可得,．则． 设双曲线的右焦点为,由双曲线的定义可知,点在双曲线的右支上,则,即； 同理,点在双曲线的右支上,则,即． 所以． 根据三角形三边关系,,当且仅当,,三点共线时,等号成立． 又,则,即． 所以的最小值为10．故选：C． 【例8-1】已知双曲线的左焦点为,点在的右支上,且,则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．10 D．14 由得,,,则左焦点,右焦点, 因为题中给出为双曲线的左焦点, 则,, 又因为双曲线与过原点的直线都关于原点对称,所以,又根据双曲线的定义得, 所以, 设,所以, 设,,令得(), 所以在单调递减,在单调递增, 所以, ,所以的取值范围为. 【例8-2】【新思维】若为双曲线 的左焦点,过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点,则 的取值范围是 . 由动点P到两定点,的距离之差为定值4, 结合双曲线定义可知, 动点P的轨迹是以,为焦点的双曲线的右支, 易得,,由得, 则动点P的轨迹方程为, 如图： 又,则,且 故的周长为:, 当且仅当P,A,三点共线且点位于、之间时等号成立,故周长的最小值为． 故选：D 【变式训练8-1.变考法】(2025.山西太原.模拟预测)在平面直角坐标系中,已知点A坐标为,若动点P位于y轴右侧,且到两定点,的距离之差为定值4,则周长的最小值为(    ) A． B． C． D． 由题意可得, 由双曲线的定义可得,则, 所以, 所以, 当且仅当共线时等号成立,故A错误,B正确； , 当且仅当共线且在两点中间时,等号成立,此时点在第四象限, 故C正确； 对于D,因为,所以, 当且仅当共线且在两点中间时,,此时点位于第四象限 当且仅当共线且在两点中间时,,此时点位于第一象限, 因为,双曲线的渐近线方程为, 而, 所以共线时,点只能位于第四象限, 所以,故D正确. 【变式训练8-2.变考法】(多选)(2025高三.江西模拟)已知点分别为双曲线的左、右焦点, 为的右支上一点,则(    ) A． B． C． D． 根据题意可得,, ,, 所以, 由双曲线性质可得,设,, 则, 设,,设,, 因为,所以,,所以,即, 所以函数是上的增函数.所以当时,取得最小值4, 即的最小值为4,此时点为右顶点. 故答案为：4. 【变式训练8-3.变设问】设双曲线的左焦点和右焦点分别是,点是右支上的一点,则的 最小值为 ． 双曲线的右焦点, 设的左焦点为,则, 因为是右支上一点,所以,所以, 当三点共线(在之间)时取等号,故的最小值为. 【变式训练8-4】已知是双曲线的右焦点,是右支上一点,若点,则 的最小值为 . 【变式训练8-5.变考法】(2026.云南保山.二模)已知点、分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线右支上任意一点,点的坐标为,则的最小值为________. 由题可知双曲线的实半轴长,设左焦点为, 由双曲线定义,,得, 所以, 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． C． D． 由题意知,圆的半径,延长交直线于点,连接, 因为,且, 所以,且为中点, 所以,且, 因此,, 所以点在以,为焦点的双曲线上, 设的方程为,可知,所以, 又,则, 所以的方程为,即, 又点是圆外一点, 所以,即, 故所求轨迹方程为. 故选：B 【例9-1】【新思维】(2026.四川攀枝花.模拟预测)已知,,为坐标原点,点是圆上任意一点,点是圆外一点,若,,则点的轨迹方程为(   ) A． B． 综上可得即点的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线. 故选：ABC (1)若为圆内的一定点,P是圆O上一个动点,线段AP的垂直平分线l与 直线OP相交于点Q, 可得,, 即动点到两定点的距离之和为定值, ①当不重合时,根据椭圆的定义,可知点的轨迹是：以为焦点的椭圆； ②当重合时,点的轨迹是以为圆心的圆； (2)若为圆外的一定点,为圆上的一动点,线段的垂直平分线交直线于点, 可得,, 即动点到两定点 的距离之差绝对值为定值,根据双曲线的定义,可得点的轨迹是：以为焦点的双曲线； (3)若为圆上的一定点,为圆上的一动点,此时点的轨迹是圆心. 【变式训练9-1.变考法】【多选】圆O的半径为定长r,A是圆O所在平面内一个定点,P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q,则点Q的轨迹可能是(   ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 如图所示：连接,根据垂直平分线知, 故,故轨迹为双曲线, ,,,故,故轨迹方程为. 故选：. 【变式训练9-2】(已知为圆：上任意一点,,若线段的垂直平分线交直线于点, 则点的轨迹方程为 A． B． C．() D．() 设,依题意,,化简整理得, 所以点的轨迹方程为. 故选：B 【变式训练9-3.原创题】双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数,则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是,则点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 因为双曲线的离心率为, 所以椭圆的离心率为, 椭圆的方程为, 则该椭圆的长、短半轴长分别为, 离心率,解得, 对于A,,符合；对于B,,不符合； 对于C,,符合；对于D,,符合. 故选：B. 【例10-1】(2026.湖南长沙.模拟)已知椭圆的方程为,且离心率与双曲线的离心率 互为倒数,则下列椭圆方程不满足上述条件的为(   ) A． B． C． D． 因为以为直径的圆与在第一象限的交点为,所以. 由直线与的一条渐近线平行可得,所以, 又由双曲线定义可得,所以, 得,所以. 由得,即, 整理得,所以,,离心率. 【例10-2】(2026.山东青岛.一模)双曲线：(,)的左、右焦点分别为,,以为直径的圆 与在第一象限的交点为,若直线与的一条渐近线平行,则的离心率为______. 设左焦点为,则,,,, 在中用勾股定理,化简得,所以 所以,所以. 故选:C. A． B． C． D． 【变式训练10-1.变载体】(2025.浙江.模拟预测)如图,椭圆与双曲线有共同的右焦点,这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B,直线与双曲线右支的另一个交点为,形成以为斜边的等腰直角三角形,则该椭圆的离心率为(   ) 如图：设椭圆：,双曲线：.因为它们有相同的焦点,所以. 不妨设点在第一象限,且,,因为点在椭圆上, 所以. 又, 所以. 又在双曲线上, 所以. 所以.所以双曲线的离心率为：. 故选：A 【变式训练10-2.变载体】(2025.浙江嘉兴.模拟预测)已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点,且,若的离心率为,则的离心率为(    ) A． B． C． D． 设为第一象限内的交点,,,焦距为.椭圆的定义：, 双曲线的定义：(因在第一象限,), 解得：,. 在中,,由余弦定理,得, 得,即, 交叉相乘并整理：, 两边除以, 结合,,得. . 当且仅当,即, 因,故,则时等号成立,即取最大值. 因此,. 综上所述,当取最大值时,. 故选：C 【变式训练10-3.变融汇】(2026.江苏.一模)已知椭圆与双曲线有相同的焦点,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,点为椭圆与双曲线的交点,且,则当取最大值时,(   ) A． B． C． D． 如图,由题意,设,则,即． 因为渐近线方程为,所以, 因为,所以. 故选：D. 【例11-1】【新思维】(2026.河北正定.阶段检测)已知是双曲线上的任意一点, 过作的两条渐近线的垂线,垂足分别为,则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 如图,作出符合题意的图形,作出双曲线的右焦点,作垂直于渐近线,连接,可得, 由题意得,则,由双曲线的定义得,则, 则,当且仅当共线时取等, 因为垂直于渐近线,所以垂直于渐近线,由题意得渐近线方程为, 由点到直线的距离公式得, 则. 【例11-2】(2026.山东烟台.一模)已知双曲线的左焦点为是右支上的一个动点,记点 到双曲线过第一象限的渐近线的距离为,则的最小值为__________. 设,由题意得,所以,即, 所以点的轨迹为两个双曲线. 双曲线的实半轴长为1,双曲线1的实半轴长为3, 由,得0),表示以原点为圆心,为半径的圆的上半圆, 若曲线与半圆有四个交点,则3,即. 故选：B. A． B． C． D． 【变式训练11-1.变考法】(2026.山东滨州.检测)已知直线,点到的距离之积为, 记点的轨迹为曲线,若与曲线有四个交点,则的取值范围为(    ) C．的最大值为6 D．的最小值为 设双曲线半焦距为,则,由双曲线经过点,得, 而,解得, 因此双曲线的方程为, 对于A,双曲线的渐近线方程为,即,A正确； 对于B,由对称性不妨令,设,由, 得, 整理得, 点的轨迹是以为圆心,半径为的圆,由, 消去得,,因此动点的轨迹与无公共点,B正确； 对于C,点到圆心的距离,因此的最大值为,C错误； 对于D,设双曲线上任一点,则,到圆心的距离为： , 当且仅当时取等号, 因此的最小值为,D正确. 故选：ABD 【变式训练11-2.原创题】(多选)已知双曲线经过点,且右焦点为,的虚轴为 线段,为上任意一点,平面内一动点满足,则(    ) A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 (1)求的方程. (2)过直线上一点作直线,与交于,两点. (i)证明：当时,必与原点重合； (ii)求的最小值. (1)设E的半焦距为.由题知,,,, ,,的方程为. (2)(i)设,易知直线l的斜率一定存在,设.由, 得,设,则 ,,整理得, ,,,即点P与原点重合. 【变式训练11-3.变考法】已知双曲线(,)的右焦点为,一条渐近线的方程为. (ii)设.当l与x轴垂直时,,设点,则, , 又点A在E上,,即,. 当的斜率存在时,由得, 设,,则, ,当时,等号成立. 综上,的最小值为1. 【例12-1】【新情境】3D打印是快速成型技术的一种,通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒,该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该笔筒的上底直径为6cm,下底直径为8cm,高为8cm(数据均以外壁即笔筒外侧表面计算),则笔筒最细处的直径为(    ) 该塔筒的轴截面如图所示,以为笔筒对应双曲线的实轴端点, 以所在直线为轴,过点且与垂直的直线为轴, 建立平面直角坐标系,设与分别为上,下底面对应点. 由题意可知,设,则,设双曲线的方程为, 因为双曲线的离心率为, 所以,所以方程可化简为, 将和的坐标代入式可得,解得, 则笔筒最细处的直径为. 故选：C. A． B． C． D． 【变式训练12-1.变考法】(2026.广西柳州.阶段测评)如图1所示,双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为,从发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点和,且,则的离心率为(   ) 由题意可知直线,都过点,如图, 则有,, 设,则, 所以,故,所以, 因此,在,,即, 整理得即,解得, 所以, 令双曲线半焦距为c, 在中,, 即,解得,所以的离心率为. 故选：B A． B． C． D． 因为、同时接到信号,所以,,则点在线段的垂直平分线上, 因为、比处同时晚收到信号, 所以有, 从而在以、为焦点的双曲线的右支上,所以,,,则, 如图,以线段的中点为坐标原点,的垂直平分线为轴,正东方向为轴的正方向, 建立如下图所示的平面直角坐标系, 则、,, 所以,双曲线的方程为, 线段的垂直平分线的方程为,即, 联立,解得,即点, 从而,所以,直线的倾斜角为, 则在处测得的方向角为北偏东, 故选：A. 【变式训练12-2.变考法】某飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为、、),在的正东方向,相距；在的北偏西方向,相距；为航天员的着陆点.某一时刻,接收到的求救信号,由于、两地比距远,后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为,则在处测得的方向角为(   ) A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 由题意可知双曲线的一条渐近线方程为,即可得,因此离心率为；设双曲线的方程为,将代入计算可得, 解得；所以该粒子路径的顶点距双曲线的中心cm. 故答案为：；； 【变式训练12-3.变考法】年月,欧内斯特.卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中,他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前,卢瑟福希望粒子能够通过金箔,就像子弹穿过雪一样,事实上,有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径,则该双曲线的离心率为 ；如果粒子的路径经过点,则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm. A． B． C． D． 把点和,代入双曲线方程可得 ,所以双曲线方程为, 故该双曲线渐近线方程为. 2．(2025.全国一卷.高考真题)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍,则C的离心率为(   ) A． B．2 C． D． 设双曲线的实轴,虚轴,焦距分别为,由题知,, 于是,则, 即. 故选：D 1．(2026.全国二卷.高考真题)设双曲线：(,)经过点和点,则C的渐近线方程为(     ) 根据题意可设,双曲线的半焦距为,,则, 过作轴的垂线l,过作l的垂线,垂足为A, 显然直线为抛物线的准线, 则,由双曲线的定义及已知条件可知, 则, 由勾股定理可知, 易知,即, 整理得,∴, 即离心率为2. 3．(2025.天津.高考真题)双曲线的左、右焦点分别为,以右焦点为焦点的 抛物线与双曲线交于第一象限的点P,若,则双曲线的离心率(   ) A．2 B．5 C． D． 如下图：由题可知,点必落在第四象限,,设, , 由,求得,因为,所以,求得, 即, ,由正弦定理可得：, 则由得, 由得, 则, 由双曲线第一定义可得：,,所以双曲线的方程为. 故选：A 4．(2024.天津.高考真题)双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上,直线 的斜率为2．若是直角三角形,且面积为8,则双曲线的方程为(   ) A． B． C． D． C．C的离心率为 D．当时,四边形的面积为 不妨设渐近线为,在第一象限,在第三象限, 对于A,由双曲线的对称性可得为平行四边形,故, 故A正确； 对于B,因为在以为直径的圆上,故且, 设,则,故,故, 由A得,故即,故B错误； 对于C,因为,则,则,故C正确； 对于D,当时,由C可知,故, 故,故四边形为, 故D正确, 5．(多选)(2025.全国二卷.高考真题)双曲线的左、右焦点分别为,左、右顶点分别为,以为 直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且,则(   ) A． B． 由题可知三点横坐标相等,设在第一象限,将代入 得,即, 故,, 又,得, 解得,代入得, 故,即,所以. 6．(2024.新课标Ⅰ卷.高考真题)设双曲线的左右焦点分别为,过作平行于轴的直线 交C于A,B两点,若,则C的离心率为___________． A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上 由圆可知,圆心,半径,圆化为标准方程,圆心,半径,因此圆心距,所以两圆相离, 设与两圆都外切的圆的圆心为,半径为,则满足,所以,即圆心的轨迹满足到两定点距离之差为定值,且定值小于两定点距离, 根据双曲线定义可知,圆心的轨迹是某一双曲线的左支,即圆心在双曲线的一支上. 故选：B. 2．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1,那么点与另一个焦点的距离等于 . 首先将已知的双曲线方程转化为标准方程,然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为16,即可求出点到另一个焦点的距离为17. 1.与圆及圆都外切的圆的圆心在(    ) (2)经过、两点． (1)因为,且双曲线的焦点在轴上,可设双曲线的标准方程为, 将点A的坐标代入双曲线的方程得,解得,因此,双曲线的标准方程为； (2)设双曲线的方程为,将点A、的坐标代入双曲线方程可得,解得, 因此,双曲线的标准方程为. 3．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上,,经过点； (2)． (1)将化为标准方程可得,由方程可得,解得, 所以渐近线方程为,又,解得,即焦点坐标为,离心率； (2)将化为标准方程可得,由方程可得,解得, 所以渐近线方程为,又,解得,即焦点坐标为,离心率； 4．已知下列双曲线的方程,求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程： (1)； (1)焦点在x轴上,实轴长10,虚轴长8. (2)焦点在y轴上,焦距是10,虚轴长8. (3)离心率,经过点. (1)根据题意,所求双曲线的实轴长10,虚轴长8,可得,则有,又因为双曲线的焦点在x轴上, 所以双曲线的标准方程为：； (2)根据题意,双曲线的焦距是10,虚轴长为8,可得,则,所以, 又因为双曲线的焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程为：； (3)根据题意,双曲线的离心率,即,则有,所以, 所以该双曲线为等轴双曲线,设其方程为,又因为双曲线经过点,则有,则, 所以双曲线的标准方程为：. 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程. 连接QA,如图所示：因为l为PA的垂直平分线,所以,所以为定值, 又因为点A在圆外,所以,根据双曲线定义,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为实轴的双曲线. 6．如图,圆O的半径为定长r,A是圆O外一个定点,P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP 相交于点Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么？为什么？ (1)若方程表示圆,则,所以当时,方程为圆； (2)若方程表示椭圆,则,,且,所以当,,且时,方程为椭圆； (3)若方程表示双曲线,则,所以当时,方程为双曲线. 7．m,n为何值时,方程表示下列曲线： (1)圆；(2)椭圆；(3)双曲线？ 依题意,双曲线的焦点坐标是,,故双曲线方程可设为,又双曲线的离心率, ∴,解之得,,故双曲线的方程为. 9．已知直线与双曲线没有公共点,求的取值范围. 直线方程与双曲线方程联立：得：,当时,即时,直线与渐近线平行, 有一个公共点,舍去；当时,<0,即或,无公共点. 综上所述：或. 8．求与椭圆有公共焦点,且离心率的双曲线的方程. (2)当时,,曲线,表示圆； (3)当时,,曲线表示椭圆； (4)当时,,曲线表示双曲线. 10．当从到变化时,方程表示的曲线怎样变化？ (1)当时,,曲线即,表示两条直线； 如图所示,建立平面直角坐标系,设双曲线方程为, 因为,点的横坐标分别为25,13, 所以设(), 所以,解得, 因为高为55米, 所以,即, 得, 所以所求双曲线方程为. 11.如图,发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状(双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面),可以加强对流,自然通风．已知某个冷却塔的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m．试选择适当的坐标系求此双曲线的方程． 设动点,设d为点M到直线l的距离,由题意得,即,左右同时平方, 化简可得,所以,令, 所以,即, 所以动点M的轨迹方程为,为焦点在x轴,实轴长为2a,虚轴长为的双曲线. 12．设动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比是,求动点M的轨迹方程, 并说明轨迹的形状 13．设椭圆与双曲线的离心率分别为,,双曲线的渐近线的斜率小于, 求和的取值范围 设椭圆和双曲线的焦半径分别为,由题意得双曲线的渐近线方程为,所以,则, 所以, 14．已知双曲线,过点的直线l与双曲线相交于A,B两点,P能否是线段AB的中点？为什么？ 当直线l垂直x轴时,因为过点,所以直线l方程为x=1,又双曲线,右顶点为(1,0)在直线l上所以直线l与双曲线只有一个交点,不满足题意； 当直线l不垂直x轴时,斜率存在,设,且, 因为A、B在双曲线上,所以,两式相减可得,所以,若点为线段AB的中点,则,即,代入上式,所以,则直线l的斜率, 所以直线l的方程为,即,将直线l与双曲线联立,可得,,故方程无解,所以不存在这样的直线l,综上,点P不能是线段AB的中点. $