北京市第二中学2026-2027学年高三上学期开学测试数学试题

北京二中2026一2027学年度第一学期高三年级开学测试试卷 数学 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的，请将答案填在答题纸上) 1.已知集合A=(x|2>4),B={xlog2x<1),则BOCRA=（) A.(-2,1) B.(0,2) C.(2,4o) D.0 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+ag=12,a·a,=48,则S,=() A.30 B.32 C35 D.40 3已知向量ā，五满足|a=2,(a-⊥五，1a+=3,则b=() A.1 B.√2 C3 D.2 4.直线y=c+4与圆M:(x-3)2+y-4)2=16的交点为A,B,若∠AMB=120°，则k的值为（) +2W5 A. B,2W3 3 C±2 D+2W5 5.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E,F,G,H,N分别是AB,AD,B,C,C,D,AB的中 点，则下列结论醋误的是（) D H AC,G,A,F四点共面 G B B.平面EFN /平面DBBD C.直线AC与BD是异面直线 D F D.直线EF和HG所成角的正切值为V3 N B 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知命题p:acosA=bcosB:命题q:△ABC为 等腰三角形.则命题p是命题g的（) A.充分不必要条件B必要不充分条件 C.充要条件 山，既不充分也不必要条件 7.生物丰富度指数的是河流水质的一个评价指标，其中8N分别表示河流中的生物种类数与生物个体 总数生物丰富度指数d越大，水质越好如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由 变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则() A.3N2-2N B.2N2=3N CN经=W DN经=N好 8.已知O为坐标原点，F为抛物线Cy2=8x的焦点，M为C上一点，若MF=8,则△MOF的面积为) A45 B.3W2 C.8 D.33 高三开学测试2026年8月第1页，共4页 9.已知函数fx)= -sinx,(-1≤xs0) 若a<b<c<d,且f@=f⑥=fg=∫，则=() 1og201xL(>0) A.-1 B 0 CI D2 10.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,若函数f(2x+1)和f(x-2)均为偶函数，则() A.f)的图象关于直线x=二对称 B.f(x)的图象关于直线x=2对称 2 C.3是f'(x)的一个周期 D. f3k-29=0 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填答题纸上） 11.复数2=2+2的虚部为 1-1 12.若双曲线父+ =1的离心率为3，则渐近线方程为该双曲线焦点到渐近线的距离为 mm+l 13.已知a>0,6>0,直线y=x+2a与曲线y=e-b+1相切.则上+2的最小值为一， a b 14.将函数f)=2s(x+)图象所有点的横坐标变为原来的二@>0)，纵坐标不变，得到函数g)的图 象.则g)=一：若g)对于任意为∈[0,1，总存在唯一的名∈[0，]，使得f)=g()+2,则0的 取值范围为 15.已知函数f(x)日x+1川+|a-21,函数f(x)的最小值记为M(@),给出下面四个结论： ①M(a)的最小值为0； ②M(a)的最大值为3： ③若f()在(-o,-1)上单调递减，则a的取值范围为(-o,-2]U[0,+o): ④若存在teR,对于任意的xeR,ft+x)=fU-),则a的可能值共有4个： 则全部正确命题的序号为 三、解答题：（本大题共85分，请将答案填在答题纸上） 16.(本题满分13分) B 在△ABC中，bsinA-acos=0. (1)求∠B; (2)若b=3,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确 定，求a及△ABC的面积 条件①：sinA+sinC=2sinB; 条件②：c=5; 条件③：ac=10, 高三开学测试2026年8月第2页，共4页 17.(本题满分14分) 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC-6,D,E分别是AC,AB上的点，且DE/BC,DE=2,将 △ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使AC⊥CD,如图2 (1)求证：A1CL平面BCDE; (2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小； (3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面ABE垂直？说明理由. 图2 图1 18.(本题满分14分) 北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛 事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10 所学校进行研究，得到如下数据： 人数（人） ·一自由式滑雪 0 …·…单板滑雪 60 58 52 50 43 48 49 41 30 3732 /26 33 .30 201 26 10 D E F G H I J学校 (1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求 这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率； (2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所， 记X为选出“基地学校”的个数，求X的分布列和数学期望： (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转湾、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进 行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”已 知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为二，每个动作互不影响且每轮测 2 试互不影响，如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测 试？ 高三开学测试2026年8月第3页，共4页 19.(本题满分14分) 已知O为坐标原点，椭圆C:x2+4y2=2上一点D的横坐标为1。斜率存在的直线1交椭圆C于A,B两 点，且直线DA,DB的斜率之和等于1. (1)求1OD: (2)若点D在第一象限，探究△4BO的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由. 20.(本题满分15分) 已知函数f(x)=a(x+1)e+x2. (1)讨论f(x)的零点个数； (2)若f(x)存在两个极值点，记x为f)的极大值点，，为f)的零点，证明：x。-2x>2. 21.(本题满分15分) 对于给定的奇数m,(m≥3)，设A是由m×m个数组成的m行m列的数表，数表中第1行，第j列的数 a,∈{0，}，记c(因为A的第i行所有数之和，rU)为A的第j列所有数之和，其中名，j∈{1,2，，m.对 于名，j∈红2，，m网，若ma,一c例<艺<受同时成立，则称数对化，》为数表A的一个“好位置” (1)直接写出右面所给的3×3数表A的所有的“好位置”； (2)当m=5时，若对任意的1≤1≤5都有c()23成立，求数表 A中的“好位置”个数的最小值： 00 (3)求证：数表A中的“好位置”个数的最小值为2m-2. 010 高三开学测试2026年8月第4页，共4页