第十三章三角形测试卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 同步练/初中数学/单元复习。以7:2:1难度配比分层，覆盖三角形全章知识，从概念应用到综合探究，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三边关系、内角和等单一概念|直接应用概念，如判断三角形构成、内角和计算| |中档|等腰三角形分类、方程求角等综合知识|结合情境与分类讨论，如等腰三角形周长计算、重心性质应用| |较难|飞镖模型等复杂综合探究|多步推理与模型构建，如证明角关系及计算|

八年级上册数学第十三章《三角形》单元测试卷 人教版数学八年级上册（2025年版） 第十三章《三角形》单元测试卷 （依据山东省统一命题中考数学试卷结构命制） 满分：120分　考试时间：120分钟 命题说明：本卷仿山东省统一命题中考数学试卷结构命制，全卷共23题：选择题10题（每题3分，共30分）、填空题5题（每题3分，共15分）、解答题8题（共75分）；难度按“基础:中档:较难≈7:2:1”配置。考查范围：人教版2025年版八年级上册第十三章《三角形》（13.1三角形的概念；13.2与三角形有关的线段；13.3三角形的内角与外角；综合与实践：确定匀质薄板的重心位置）。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列每组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（　　） A. 1，2，3　　B. 2，3，4 C. 3，5，9　　D. 4，4，10 2. 一个三角形的两条边长分别为3和7，则第三边的长可能是（　　） A. 3　　B. 5 C. 10　　D. 11 3. 下列关于三角形的高线的说法中，正确的是（　　） A. 三角形的三条高都在三角形内部　　B. 直角三角形只有一条高 C. 钝角三角形有两条高在三角形外部　　D. 锐角三角形三条高的交点在三角形外部 4. 下列生活情境中，利用了“三角形的稳定性”的是（　　） A. 学校门口的电动伸缩门　　B. 自行车的三角形车架 C. 可折叠的晾衣架　　D. 可伸缩的遮阳棚 5. 在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则∠B的度数为（　　） A. 30°　　B. 60° C. 90°　　D. 120° 6. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则与∠C相邻的一个外角的度数为（　　） A. 60°　　B. 70° C. 110°　　D. 120° 7. 在△ABC中，AD是BC边上的中线。若S△ABD=6，则S△ABC=（　　） A. 6　　B. 12 C. 18　　D. 24 8. 等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为（　　） A. 13　　B. 17 C. 13或17　　D. 20 9. 若一个三角形中最小的内角为48°，则这个三角形一定是（　　） A. 锐角三角形　　B. 直角三角形 C. 钝角三角形　　D. 等边三角形 10. 数学活动课上，同学们仿照大数学家欧拉研究“多边形的三角剖分”问题：从多边形同一个顶点出发，引出这个顶点能引的所有对角线，可将多边形分割成若干个三角形。已知四边形按此方法可分割成2个三角形，五边形按此方法可分割成3个三角形，……按此规律，若一个多边形按此方法分割成了8个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A. 8　　B. 9 C. 10　　D. 11 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一个三角形的两边长分别为4和9，则第三边长x的取值范围是________。 12. 在△ABC中，∠A=35°，∠B=62°，则∠C=________°。 13. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是△ABC的重心。若AD=9，则AG=________。 14. 在△ABC中，若∠B=2∠A，∠C=∠A+20°，则∠A=________°。 15. 在△ABC中，∠A=60°，∠ABC与∠ACB的外角平分线相交于点O，则∠BOC=________°。 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（8分）计算下列各题： （1）在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，求∠B的度数； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，且∠A=2∠B，求∠A、∠B的度数。 17.（8分）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，延长BC至点D。 （1）求∠ACD的度数； （2）若CE平分∠ACB交AB于点E，求∠DCE的度数。 18.（8分）为迎接校园科技节，某学校要制作一个三角形展示支架，工人师傅已选定两根长分别为2m和7m的钢条作为支架的两条边。 （1）设第三根钢条长为x m，求x的取值范围； （2）若第三根钢条的长度为整数米，求该三角形支架周长的最大值。 19.（10分）本学期我们学习了“三角形的内角和定理”：三角形三个内角的和等于180°。 （1）画出图形，并根据图形写出该定理的“已知”“求证”； （2）完成证明过程。（提示：可以过三角形的一个顶点作对边的平行线，将三个内角“拼”为一个平角） 20.（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=80°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC交AC于点E。 （1）求∠EDC的度数； （2）若∠A=56°，求∠ADE的度数。 21.（9分）【综合与实践：确定匀质薄板的重心位置】 物体各部分所受重力的合力作用点叫做重心。匀质三角形薄板的重心就是三角形三条中线的交点，并且重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。物理实验课上，小明用一块匀质三角形木板进行了下面的探究。 （1）三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的________； （2）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是△ABC的重心。若AD=12cm，求AG与GD的长； （3）在（2）的条件下，若△ABG的面积为20cm²，求△ABC的面积。 22.（11分）【问题探究】在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO与CO相交于点O。 （1）若∠ABC=60°，∠ACB=80°，求∠BOC的度数； （2）猜想∠BOC与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）若∠BOC=125°，直接写出∠A的度数。 23.（11分）【综合探究】在△ABC中，点D在△ABC的内部，连接BD、CD。 （1）求证：∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD；（提示：连接AD并延长，交BC于点E） （2）若∠BAC=40°，∠ABD=25°，∠ACD=35°，直接写出∠BDC的度数； （3）在（1）的条件下，若∠ABD=∠ACD，∠BAC=2∠ABD，且∠BDC=140°，求∠ABD、∠ACD和∠BAC的度数。 参考答案与详细解析 一、选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B B C B B A C 1. 【答案】B　【解析】根据三角形三边关系，只需验证较小两边之和是否大于最大边。A项1+2=3，不能；B项2+3=5>4，能；C项3+5=8<9，不能；D项4+4=8<10，不能。 【考点】三边关系判断　【难度】基础 2. 【答案】B　【解析】设第三边为x，则7−3<x<7+3，即4<x<10。选项中只有5满足，故选B。 【考点】三边关系求范围　【难度】基础 3. 【答案】C　【解析】锐角三角形三条高都在内部且垂心在内部；直角三角形两条高为两条直角边，仍有三条高；钝角三角形有一条高在内部、两条高在外部。因此只有C正确。 【考点】三角形的高　【难度】基础 4. 【答案】B　【解析】伸缩门、折叠晾衣架、伸缩遮阳棚利用的是四边形的不稳定性；自行车三角形车架利用三边确定后形状唯一不变，即三角形的稳定性。 【考点】三角形的稳定性　【难度】基础 5. 【答案】B　【解析】设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x。由内角和定理x+2x+3x=180°，得x=30°，所以∠B=60°。 【考点】三角形内角和定理　【难度】基础 6. 【答案】C　【解析】∠C的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即∠A+∠B=110°。 【考点】三角形外角的性质　【难度】基础 7. 【答案】B　【解析】中线AD把BC分成BD=CD，△ABD与△ACD同高（顶点A到BC的距离），等底同高，面积相等。所以S△ABC=2S△ABD=12。 【考点】中线与面积　【难度】基础 8. 【答案】B　【解析】分类讨论：①若腰为3，三边为3、3、7，3+3=6<7，不能构成三角形，舍去；②若腰为7，三边为7、7、3，满足三边关系，周长为17。易忽略三边关系而误选C。 【考点】等腰三角形+三边关系（分类讨论）　【难度】中档 9. 【答案】A　【解析】设三个内角中另两个为x、y，则x+y=132°，且x≥48°、y≥48°，故x≤84°、y≤84°。最大内角不超过84°<90°，所以一定是锐角三角形。 【考点】内角和推理与三角形分类　【难度】中档 10. 【答案】C　【解析】从n边形同一个顶点出发引对角线，可把它分割成(n−2)个三角形。验证：4−2=2，5−2=3。令n−2=8，得n=10。 【考点】多边形的三角剖分（数学活动）　【难度】中档 二、填空题答案 11. 【答案】5<x<13　【解析】由三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，得9−4<x<9+4。 【考点】三边关系求范围　【难度】基础 12. 【答案】83　【解析】∠C=180°−35°−62°=83°。 【考点】三角形内角和计算　【难度】基础 13. 【答案】6　【解析】三角形的重心把每条中线分成2:1两段，顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的2倍，所以AG=2/3×AD=6。 【考点】重心性质　【难度】基础 14. 【答案】40　【解析】设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=(x+20)°。由内角和得x+2x+x+20=180，4x=160，x=40。 【考点】方程思想求角　【难度】中档 15. 【答案】60　【解析】设∠ABC=β，∠ACB=γ。∠OBC=1/2(180°−β)，∠OCB=1/2(180°−γ)。在△OBC中，∠BOC=180°−1/2(180°−β)−1/2(180°−γ)=1/2(β+γ)=1/2(180°−∠A)=90°−1/2∠A=60°。 【考点】外角平分线模型　【难度】中档 三、解答题逐题解析与评分标准 16.（8分）【答案】（1）∠B=50°；（2）∠A=60°，∠B=30° 【解析】（1）由内角和定理，∠B+∠C=180°−80°=100°。又∠B=∠C，所以∠B=50°。 　　　　（2）由直角三角形两锐角互余，∠A+∠B=90°。又∠A=2∠B，所以3∠B=90°，∠B=30°，∠A=60°。 【评分说明】每小题4分，共8分。 17.（8分）【答案】（1）∠ACD=130°；（2）∠DCE=155° 【解析】（1）在△ABC中，∠ACB=180°−70°−60°=50°。所以∠ACD=180°−∠ACB=130°（或直接用外角性质：∠ACD=∠A+∠B=130°）。 　　　　（2）因为CE平分∠ACB，所以∠BCE=∠ACE=1/2∠ACB=25°。又因为CD是BC的反向延长线，∠DCE与∠BCE互补，故∠DCE=180°−25°=155°。 【评分说明】每小题4分，共8分。 18.（8分）【答案】（1）5<x<9；（2）周长最大值为17m 【解析】（1）由三边关系：7−2<x<7+2，即5<x<9。 　　　　（2）x为整数且5<x<9，所以x可取6、7、8，最大为8。周长=2+7+8=17（m）。 【评分说明】每小题4分，共8分。 19.（10分）【答案】（1）已知：在△ABC中。求证：∠A+∠B+∠C=180°。 （2）证明：过点A作EF∥BC，则∠EAB=∠B，∠FAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。因为∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°，所以∠B+∠BAC+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°。 【解析】本题考查三角形内角和定理的推理论证，体现“为什么要证明”的思想方法。辅助线作法不唯一，也可延长BC至D，过点C作CE∥AB，利用同位角、内错角把三个内角转化为平角。 【评分说明】第（1）问图形、已知、求证共4分；第（2）问辅助线及推理过程共6分。 20.（10分）【答案】（1）∠EDC=40°；（2）∠ADE=44° 【解析】（1）因为CD平分∠ACB，所以∠BCD=1/2∠ACB=40°。又因为DE∥BC，所以∠EDC=∠BCD=40°（两直线平行，内错角相等）。 　　　　（2）在△ABC中，∠B=180°−∠A−∠ACB=180°−56°−80°=44°。因为DE∥BC，所以∠ADE=∠B=44°（两直线平行，同位角相等）。 【评分说明】每小题5分，共10分。 21.（9分）【答案】（1）重心；（2）AG=8cm，GD=4cm；（3）60cm² 【解析】（1）三角形三条中线的交点叫做重心。 　　　　（2）因为AG:GD=2:1，AD=12cm，所以AG=2/3×12=8cm，GD=1/3×12=4cm。 　　　　（3）△ABG与△GBD同高（顶点B到直线AD的距离），底AG:GD=2:1，所以S△ABG:S△GBD=2:1，得S△GBD=10cm²，S△ABD=30cm²。又AD是中线，S△ABD=1/2S△ABC，所以S△ABC=60cm²。 【评分说明】第（1）问2分，第（2）问3分，第（3）问4分，共9分。 22.（11分）【答案】（1）110°；（2）∠BOC=90°+1/2∠A；（3）70° 【解析】（1）因为BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，所以∠OBC=30°，∠OCB=40°，∠BOC=180°−30°−40°=110°。 　　　　（2）在△OBC中，∠BOC=180°−1/2∠ABC−1/2∠ACB=180°−1/2(∠ABC+∠ACB)。因为∠ABC+∠ACB=180°−∠A，所以∠BOC=180°−1/2(180°−∠A)=90°+1/2∠A。 　　　　（3）由90°+1/2∠A=125°，得1/2∠A=35°，∠A=70°。 【评分说明】第（1）问3分，第（2）问5分（结论1分、证明4分），第（3）问3分，共11分。 23.（11分）【答案】（1）见解析；（2）100°；（3）∠ABD=35°，∠ACD=35°，∠BAC=70° 【解析】（1）证明：连接AD并延长交BC于点E。因为∠BDE=∠BAD+∠ABD（△ABD的外角），∠EDC=∠DAC+∠ACD（△ACD的外角），所以∠BDC=∠BDE+∠EDC=∠BAD+∠ABD+∠DAC+∠ACD=∠BAC+∠ABD+∠ACD。 　　　　（2）由（1），∠BDC=40°+25°+35°=100°。 　　　　（3）设∠ABD=x°，则∠ACD=x°，∠BAC=2x°。代入（1）结论：x+x+2x=140，解得x=35。所以∠ABD=35°，∠ACD=35°，∠BAC=70°。 【评分说明】第（1）问4分，第（2）问3分，第（3）问4分，共11分。 附：命题双向细目表 题号 考查内容 难度 分值 1 三边关系判断 基础 3 2 三边关系求范围 基础 3 3 三角形的高 基础 3 4 三角形的稳定性 基础 3 5 三角形内角和（比例） 基础 3 6 三角形外角的性质 基础 3 7 中线与面积 基础 3 8 等腰三角形+三边关系（分类讨论） 中档 3 9 内角和推理与三角形分类 中档 3 10 多边形的三角剖分（数学活动） 中档 3 11 三边关系求范围 基础 3 12 三角形内角和计算 基础 3 13 重心性质 基础 3 14 方程思想求角 中档 3 15 外角平分线模型 中档 3 16 内角和、互余计算 基础 8 17 外角+角平分线计算 基础 8 18 三边关系应用（情境） 基础 8 19 三角形内角和定理证明 基础 10 20 平行线+角平分线综合 中档 10 21 重心综合与实践 中档 9 22 双内角平分线模型探究 中档偏难 11 23 飞镖模型综合探究 较难 11 难度统计：基础题约75分（62.5%），中档题约33分（27.5%），较难题约12分（10%），整体按山东省中考“基础:中档:较难≈7:2:1”的要求配置。 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $