第二十五章 一元二次方程【章末复习】-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的定义、解法、根的性质及实际应用，通过知识框架图将四大模块以降次转化思想为核心串联，构建“定义-解法-根的性质-应用”的完整逻辑脉络。 其亮点在于采用分层专项练习设计，基础题巩固定义与解法，能力题深化判别式与韦达定理，压轴题聚焦四大应用模型，培养学生的模型意识与运算能力。易错点汇总与解题口诀帮助学生规避误区，教师可通过分层设计实现个性化复习，提升知识巩固效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 章末小结 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 第二十五章 一元二次方程 章末复习专项练习 一、全章核心知识体系梳理 一元二次方程是初中代数核心重难点，是后续二次函数学习的基础，整章围绕“定义、解法、根的性质、实际应用”四大模块展开。核心学习思想为降次转化思想，将二次方程转化为一元一次方程求解，所有解法、应用题均围绕该思想延伸，是中考必考核心章节。 （一）一元二次方程基础定义 1. 定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 标准形式：$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，其中$$a$$是二次项系数，$$b$$是一次项系数，$$c$$是常数项。核心注意点：必须保证$$a eq0$$，$$b、c$$可以为0。 3. 方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（根），一元二次方程最多有两个实数根。 （二）四种解法及适用场景（优先级排序） 1. 直接开平方法：最简解法，适用于可整理为$$x^2=p$$或$$(mx+n)^2=p(p\geq0)$$的方程，无一次项或整体平方结构，直接降次求解。 2. 因式分解法：最快解法，优先首选！适用于可提公因式、套用平方差、完全平方公式或十字相乘分解的方程，核心原理$$ab=0\Rightarrow a=0$$或$$b=0$$。 3. 配方法：基础推导解法，适用于所有一元二次方程，主要用于推导求根公式、代数式求最值、配方变形，日常解方程极少优先使用。步骤：化1→移项→配方→整理平方式→开方求解。 4. 公式法：通用万能解法，适用于所有一元二次方程。判别式$$\Delta=b^2-4ac$$，求根公式$$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}(\Delta\geq0)$$。 （三）根的判别式与韦达定理 1. 判别式根的判定：$$\Delta>0$$，两个不相等实数根；$$\Delta=0$$，两个相等实数根；$$\Delta<0$$，无实数根。含参数方程必须先判式再求解。 2. 根与系数的关系（韦达定理）：方程$$ax^2+bx+c=0(a eq0,\Delta\geq0)$$，两根$$x_1、x_2$$，则$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$，$$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$。常用变式：平方和、倒数和、根的平方差等代数式求值。 （四）四大类实际应用模型 1. 几何问题：利用周长、面积公式建模，核心是根据图形平移、裁剪、边长变化列方程，必须舍去不符合几何意义的根。 2. 传播与变化率问题：传播模型$$(1+x)^2$$；平均变化率模型$$a(1\pm x)^2=b$$，增长加、下降减。 3. 循环配对问题：无方向（握手、比赛）$$\dfrac{1}{2}x(x-1)$$；有方向（互赠、发消息）$$x(x-1)$$。 4. 数字问题：两位数表示$$10x+y$$，结合数位和、积、平方关系列方程，数位数字取值0~9，高位不为0。 二、章末分层专项练习题 （一）基础过关题（5道，覆盖定义与基础解法） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（） A.$$x+2=0$$ B.$$x^2-3x=0$$ C.$$2x+3y=1$$ D.$$x^3+x^2=0$$ 2. 用直接开平方法解方程：$$2(x-3)^2=18$$ 3. 用因式分解法解方程：$$x^2-7x+12=0$$ 4. 用配方法解方程：$$x^2-4x-5=0$$ 5. 用公式法解方程：$$2x^2-3x-2=0$$ （二）能力提升题（3道，判别式与韦达定理） 1. 已知方程$$x^2-2x+m=0$$有两个相等实数根，求$$m$$的值。 2. 已知方程$$3x^2-2x-1=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，求$$x_1^2+x_2^2$$的值。 3. 已知方程$$x^2+kx-6=0$$的一个根为2，求另一根及$$k$$的值。 （三）应用题压轴题（2道，高频综合题型） 1. 某品牌商品连续两次降价，单次降价百分率相同，原价200元，两次降价后售价162元，求每次降价的百分率。 2. 一块长25cm、宽15cm的矩形铁皮，四角剪去相同小正方形，折成无盖长方体盒子，底面积为231cm²，求小正方形的边长。 三、参考答案及详细解析 （一）基础过关题解析 1. 答案：B。解析：一元二次方程需满足“整式、单未知数、最高次2次、二次项系数不为0”，只有B符合定义。 2. 解析：系数化1得$$(x-3)^2=9$$，开方得$$x-3=\pm3$$，解得$$x_1=6，x_2=0$$。 3. 解析：十字相乘分解得$$(x-3)(x-4)=0$$，解得$$x_1=3，x_2=4$$。 4. 解析：移项得$$x^2-4x=5$$，配方加4得$$(x-2)^2=9$$，开方解得$$x_1=5，x_2=-1$$。 5. 解析：$$a=2,b=-3,c=-2$$，$$\Delta=9+16=25>0$$，代入公式得$$x=\dfrac{3\pm5}{4}$$，解得$$x_1=2，x_2=-\dfrac{1}{2}$$。 （二）能力提升题解析 1. 解析：方程有两个相等实根则$$\Delta=0$$，$$\Delta=4-4m=0$$，解得$$m=1$$。 2. 解析：由韦达定理得$$x_1+x_2=\dfrac{2}{3}$$，$$x_1x_2=-\dfrac{1}{3}$$，$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\dfrac{4}{9}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{9}$$。 3. 解析：设另一根为$$x_2$$，由两根之积$$2x_2=-6$$，得$$x_2=-3$$；由两根和$$2-3=-k$$，解得$$k=1$$。 （三）应用题压轴题解析 1. 解析：设每次降价百分率为$$x$$，列方程$$200(1-x)^2=162$$，化简得$$(1-x)^2=0.81$$，解得$$x=0.1=10\%$$（负根舍去）。答：每次降价10%。 2. 解析：设小正方形边长为$$x$$ cm，底面长$$25-2x$$，宽$$15-2x$$，列方程$$(25-2x)(15-2x)=231$$，整理得$$2x^2-40x+72=0$$，解得$$x=2$$（大根超出边长舍去）。答：小正方形边长为2cm。 四、全章高频易错点汇总 1. 定义误区：忽略$$a eq0$$，判定方程类型、含参数方程求解时出错； 2. 解法误区：配方忘两边同加常数、公式法记错$$-b$$符号、因式分解不解全根； 3. 判别式误区：含参数韦达定理题型，忘记提前验证$$\Delta\geq0$$，出现增根； 4. 模型误区：混淆握手与互赠公式、传播问题混淆新增人数与总人数； 5. 验根误区：实际应用题不取舍根，保留负数、超范围、无意义的解； 6. 变形误区：代数式变式不熟练，平方和、倒数和等常用公式记错。 五、章末解题核心口诀 方程先判型，解法选最简；配方要平衡，公式先判根； 因式优先用，降次是核心；韦达看判别，参数必验证； 应用题建模，规律套模型；得数必验根，实际定真伪。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 实际问题 设未知数，列方程 实际问题的答案 一元二次方程 ax2+bx+c=0 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 x= 检验 解方程 降次 配方法 公式法 因式分解法 2 知识点1 一元二次方程的有关概念 一元二次方程定义： 如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)， 二次项：ax2，二次项系数：a. 一次项：bx，一次项系数：b. 常数项：c. 知识点1 一元二次方程的有关概念 一元二次方程的解（根）： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值. 若方程(m-1)x2-3x-2=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≠1 C．m＞0 D．m≠0 例1 知识点1 一元二次方程的有关概念 B 已知m为方程 x2+3x-2 023=0 的根，那么m3+2m2-2 026m+2 023的值为（ ） A. -2 026 B. 2 026 C. 0 D. 4 044 例2 解析：∵m为方程x2+3x-2 023=0的根， ∴m2+3m=2 023, ∴原式=m3+3m2-m2-3m-2 023m+2 023 =m(m2+3m)-(m2+3m)-2 023m+2 023 =2 023m-2 023-2 023m+2 023 =0. C 知识点1 一元二次方程的有关概念 知识点2 解一元二次方程 直接开平方法： 利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法. 一般地，对于方程 x2=p, (1) 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1​=，x2​=−​； (2) 当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1​=x2​=0； (3) 当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根. 配方法： 把方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一移（移项）：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边； 二化（二次项系数化为 1）：左、右两边同时除以二次项系数； 三配（配方）：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 四开（开平方）：利用平方根的意义直接开平方； 五解（解两个一元一次方程）：移项、合并同类项. 知识点2 解一元二次方程 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为(x+n)2= p的形式. 1.当 p > 0 时，方程有两个不相等的实数根 2.当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根. 3.当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有0，所以方程 无实数根. 知识点2 解一元二次方程 1.一元二次方程的根的判别式 内容 定义 式子 b2−4ac 可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式. 表示 用 “Δ” 表示，即 Δ=b2−4ac. 与根的关系 当 Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ=0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ<0 时，方程无实数根. 一元二次方程的根的判别式： 知识点2 解一元二次方程 一元二次方程的求根公式： 当 Δ≥0 时，方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的实数根可写为x=的形式，这个式子叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式. 公式法： 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作 公式法. 知识点2 解一元二次方程 因式分解法： 先对方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的左边分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作 因式分解法. 知识点2 解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)移项：将方程的右边化为0； (2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； (3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解. 知识点2 解一元二次方程 一元二次方程根与系数的关系： 一元二次方程 +bx +c=0 的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系： x1+x2 =﹣ ， x1x2 = . 知识点2 解一元二次方程 一、核心考点巩固 考点1 一元二次方程的有关概念 1.下列方程一定是一元二次方程的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 15 2.已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二 次方程可能是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 16 3.已知关于的方程的一个根是，则 的值是___. 1 返回 考试考法 17 考点2 一元二次方程的解法 4.已知方程 ，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其 配方成 的形式，则印刷不清楚的数字是( ) C A.6 B.9 C.2 D. 返回 考试考法 18 5.解方程： （1） ; 解：直接开平方，得 ， , . 考试考法 19 （2） ; 解：移项，得 ， 配方，得 ， 即 ， 开平方，得 ， ， . 考试考法 20 （3） ； 解：,， , ， ，, . 考试考法 21 （4） . 解：移项，得 ， 因式分解，得 ， 或 , ， . 返回 考试考法 22 考点3 一元二次方程根的判别式 6.已知关于的一元二次方程，其中， 满足 ，关于该方程根的情况，下列判断正确的是( ) C A.有两个相等的实数根 B.无实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 返回 考试考法 23 7.[潍坊中考] 若一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为( ) D A. B.0 C. D.1 返回 考试考法 24 8. 已知关于的一元二次方程 有两个不 相等的实数根.请写出一个满足题意的 的值：_________________. 0（答案不唯一） 返回 考试考法 25 考点4 一元二次方程根与系数的关系 9.[苏州中考] 已知，是关于的一元二次方程 的两 个实数根，其中，则 ____. 返回 考试考法 26 10.已知关于的一元二次方程 有两个不相 等的实数根，，且，则 ___. 3 返回 考试考法 27 11.若一个菱形的两条对角线的长分别是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 ( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 28 12.已知关于的一元二次方程 有实数根. （1）求 的取值范围； 解： 关于的一元二次方程 有实数根， ， . 考试考法 29 （2）设方程的两个实数根分别为，，若 ，求 的值. 解：由根与系数的关系可知， ， ，或 . ， . 返回 考试考法 30 考点5 一元二次方程的应用 13.[重庆中考改编] 某景区2023年接待游客25万人，经过两年加大旅游 开发力度，该景区2025年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待 游客的年平均增长率为( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 31 14.如图，某小区要在长为，宽为 的矩形空地上建造一个花坛， 使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小 路的宽为___ . 2 返回 考试考法 32 15.九年级乒乓球赛采用单循环赛制， 以下是小锦和小江对比赛总场数的 统计： （1）小江的说法有道理吗？请说明理由. 解：小江的说法有道理.理由如下： 设参赛者共有名，由题意得 ， 整理得，解得 ，不为整数， 所以方程的解不符合比赛规则，故小江的说法有道理. 考试考法 33 （2）赛后经查询，小锦的统计正确.因为有一人身体不适，参与 场比 赛后中途退赛.则参赛者共有多少名？ 的值为多少？ 考试考法 34 解：设参赛者共有 名， 由题意，得 ， 整理得 ， 解得 ， 所以易得 . 当时，， （负值舍去）. 答：参赛者共有10名， 的值为4. 返回 考试考法 35 二、思想方法演练 方法1 整体思想 16.已知和是方程的两个解，则 的值为_______. 2 031 返回 考试考法 36 方法2 换元法 17.已知关于的方程，，均为常数，且 的两个解是，，则方程 的解是 ( ) B A.， B.， C.， D.， 返回 考试考法 37 方法3 分类讨论思想 18.一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则 该等腰三角形的周长是( ) A A.12 B.9 C.12或9 D.以上都不对 返回 考试考法 38 19.[东营中考] 若关于的方程 无实根， 则 的取值范围是________. 返回 考试考法 39 方法4 从特殊到一般的思想 20.［教材复习题 变式］【观察思考】 考试考法 40 【规律发现】 请用含 的式子填空： （1）第 个图案中“ ”的个数为________; （2）第 个图案中“ ”的个数为_____________; 返回 考试考法 41 【规律应用】 （3）结合图案中“ ”和“ ”的排列方式及上述规律，求第几个图案中“ ” 的个数比“ ”的个数多77. 解：由题意得 ， 解得， （舍去）， 故第10个图案中“ ”的个数比“ ”的个数多77. 考试考法 42 谢谢观看 THANKS $