第一章 特殊平行四边形 综合测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大九年级上册《特殊平行四边形》单元卷，覆盖矩形、菱形、正方形的性质与判定，通过基础辨析、计算推理及综合探究，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|矩形判定（1题）、菱形性质（2题）、正方形综合（9题）|基础概念辨析，梯度设置合理| |填空题|6|菱形角度计算（11题）、正方形坐标（15题）|结合图形变换，考查空间观念| |解答题|8|菱形证明与面积（19题）、正方形类比探究（24题）|综合运用判定与性质，24题通过变式迁移发展创新意识|

北师大九年级上册《特殊平行四边形》综合测试卷 一．选择题（共10小题） 1．如图，要使▱ABCD成为矩形，则可添加的一个条件是（　　） A．AB=AD B．AC⊥BD C．AD=BD D．AC=BD 2．如图，在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB=6，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在AC边上，直线DE与BC交于点F，连接BD，BE，CE．若CD=2，∠ACB=30°，则四边形BECD的面积为（　　） A． B． C．4 D．8 4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE、AF、CE、CF，若四边形AECF的周长为，，则菱形ABCD的边长为（　　） A． B． C．4 D． 5．如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的为（　　） ①AC=BD； ②AC平分∠BAD； ③AB=BC； ④AC⊥BD； A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．如图，在矩形ABCD中，AB=6，对角线AC，BD相交于点O，M为AO的中点，ME∥AB交BO于点E，MF∥OD交AD于点F，若∠MEF=∠MFE，则AD的长为（　　） A．8 B． C． D．10 7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E在射线AD上运动，以BE为直角边向右作Rt△BEF，使得∠BEF=90°，BE=2EF，连接CF．则CF的最小值为（　　） A．3 B．4 C． D． 8．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，AC上，且DE∥CA，DE+CF=AC．下列判断中错误的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．若AD=EF，则四边形AEDF是矩形 C．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形 D．若AD⊥EF，则四边形AEDF是正方形 9．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE=DF；②CE⊥DF；③∠AGE=∠CDF；④∠EAG=30°．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 10．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E，F分别在边AB，CD上，且满足AE=CF=3，连接DE，FB，点G，H分别在DE，BF上移动（不与端点重合），且满足GE=HF，则下列说法不正确的是（　　） A．连接BD，DB⊥EF B．AG的最小值为 C．EF=GH D．当GE=2时，四边形GEHF为矩形 二．填空题（共6小题） 11．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E．AE与BD交于点F，连接CF．若∠CBF=32°，则∠ECF的大小为 ______． 12．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是13，则AB=______． 13．如图，正方形ABCD中，E，F分别是DC，BC边上的点，DE=1，EC=2，DF⊥AE于点P，则DF的长为______． 14．如图，两条宽为1cm的长纸条倾斜地重叠成一个四边形ABCD．如果∠ABC=45°，那么这个四边形的周长为______cm. 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2），则点C的坐标为______． 16．矩形ABCD中，AD=32厘米，AB=24厘米，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，则t=______秒时，点P和Q与点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是菱形． 三．解答题（共8小题） 17．（2026春•同步）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，且AE=3cm,求AF的长． 18．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F， 求证：DE=DF． 19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与AD相交于点E，与BC相交于点F，连接AF，CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若四边形AFCE的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形AFCE的面积． 20．如图，在▱ABCD中，O为AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，BE=BC． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC，若AB=2，∠AOB=60°，求OC的长． 21．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、E、F，连接AE和CF． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AB=，BC=3，求菱形AECF的边长． 22．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：AF=BD； （2）判断四边形ADCF的形状，并说明理由． 23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，垂足为E，点F是BC延长线上的点，且DF⊥DB． （1）求证：AD=CF； （2）当点C为BF中点时，求证：四边形ABCD是菱形； （3）在（2）的条件下，当△BDF满足什么条件时，四边形ABCD是正方形？（不必说明理由） 24．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°，则有结论EF=BE+DF成立． （1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，CD上的点，，探究线段EF，BE，DF之间有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由； （2）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得，猜想线段EF，BE，DF又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需要证明． 北师大九年级上册《特殊平行四边形》综合测试卷 (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1、D 2、C 3、B 4、D 5、D 6、C 7、D 8、D 9、D 10、C  二．填空题（共6小题） 11、26°； 12、10； 13、； 14、； 15、（2，6）； 16、7或25；  三．解答题（共8小题） 17、解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B=∠D，AB=AD=BC=CD． ∵E，F分别是边BC，CD的中点， ∴BE=DF． ∴△ABE≌△ADF（SAS）． ∴AF=AE=3cm. 18、证明：连接CD． ∵在Rt△ABC中，AD=BD． ∴CD=AB=AD． ∵AC=BC． ∴∠A=45°． ∵PE⊥AC，PF⊥BC． ∴四边形PECF为矩形． ∴CF=PE=AE． 又∵CD=AD． ∴∠ACD=∠BCD=45°． 在△AED和△CFD中 ， ∴△AED≌△CFD（SAS）． ∴DE=DF． 19、（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线， ∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴EO=FO， ∴四边形AFCE是菱形； （2）解：∵四边形AFCE是菱形， ∴AF=FC=CE=AE， ∵四边形AFCE的周长是40， ∴AF=FC=CE=AE=10， 设AC=2a、EF=2b, 则有2a+2b=28，OA=OC=a,OE=OF=b, ∴a+b=14， 在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA2+OE2=AE2， ∴a2+b2=102， ∵（a+b）2=a2+b2+2ab, ∴102+2ab=142， 整理可得：ab=48， ∴． 20、（1）证明：∵O为AD的中点， ∴AO=DO． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，BC=AD， ∴∠BAO=∠EDO． 又∵∠AOB=∠DOE， ∴△AOB≌△DOE（ASA）， ∴AB=DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵BE=BC， ∴BE=AD， ∴四边形ABDE是矩形； （2）解：∵四边形ABDE是矩形， ∴OB=OA， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OB=AB=2， ∴BE=BC=4，CE=2DE=2AB=4， ∴△BCE是等边三角形， ∵BO=OE=2， ∴OC⊥BE， ∴， 即OC的长为． 21、（1）证明：∵对角线AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、E、F， ∴AF=CF，AE=CE，OA=OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠FAO=∠ECO， 在△AOF和△COE中 ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF=CE， ∵AF=CF，AE=CE， ∴AE=EC=CF=AF， ∴四边形AECF为菱形； （2）解：设AE=CE=x,则BE=3-x, ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2=AE2， 即（）2+（3-x）2=x2， 解得：x=2， 即AE=2， ∴菱形AECF的边长是2． 22、（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． ∴∠AFE=∠DBE， ∵AE=DE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴AF=BD； （2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下： 由（1）可得AF=BD， ∵∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD=BD=CD， ∴AF=CD， ∵AF∥BC，即AF∥CD， ∴四边形ADCF为平行四边形， ∵AD=CD， ∴四边形ADCF是菱形． 23、（1）证明：∵AC⊥BD，DF⊥DB， ∴AC∥DF， ∵AD∥BC， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∴AD=CF； （2）证明：∵点C为BF中点， ∴BC=CF， ∵AD=CF， ∴AD=BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵DF⊥DB，BC=CF， ∴DC=BC=BF， ∴四边形ABCD是菱形； （3）解：当△BDF满足是等腰三角形时（BD=DF），四边形ABCD是正方形． 证明：∵DF⊥DB， ∴∠BDF=90°， ∵BD=DF， ∴∠DBF=∠DFB=（180°-∠BDF）=×（180°-90°）=45°， 由（2）知，四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD=∠DBF=45°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBF=45°+45°=90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是正方形． 24、解：（1）结论EF=BE+DF． 证明：如图，延长EB到点G，使BG=DF，连接AG． 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG=AF，∠1=∠2 ∴， ∴∠GAE=∠EAF 又∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG=EF ∴EF=EG=BE+BG=BE+DF． （2）EF=BE-DF，理由如下： 如图，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADF， ∵AB=AD， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG=∠DAF，AG=AF， ∴， ∴∠GAE=∠EAF， ∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG=EF， ∵EG=BE-BG， ∴EF=BE-DF． 学科网（北京）股份有限公司 $