专题03 分式运算问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

专题03 分式运算问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式的乘除混合运算 类型二、分式的加减混合运算 类型三、已知分式恒等式，确定分子或分母 类型四、分式的加减乘除混合运算 类型五、分式的混合运算先化简求值问题 类型六、分式的混合运算错解复原问题 压轴专练 类型一、分式的乘除混合运算 方法总结 1. 除法化乘法：除以一个分式等于乘以它的倒数。 2. 约分计算：将分子、分母分别分解因式，约去公因式后相乘。 解题技巧 1. 先分解后约分：将分子分母因式分解，再约分，避免直接乘开导致复杂。 2. 注意符号：乘除时注意负号，确定最终结果的符号。 例1．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算． (1)根据分式的除法法则把除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则进行计算； (2)首先进行乘方和除法运算，可得：原式，再根据分式的性质通分、相减． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式化简，熟练掌握分式化简的技巧是解题的关键； （1）先将除法化成乘法，然后进行约分化简即可； （2）先将括号内的部分进行变形约分，然后与括号外的部分约分化简． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算． （1）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可； （2）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可． 【详解】（1）解：原式= = = = （2）解：原式= = = = 【变式1-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了分式的乘方及乘除混合运算，解题的关键是先算乘方再算乘除，准确运用法则进行符号判断、因式分解与约分． （1）直接运用分式乘方法则，分子分母分别乘方，再化简． （2）运用分式乘方法则，注意系数的乘方及负数的奇次幂为负，再整理系数与字母的幂． （3）先对分子分母因式分解，再利用分式乘法法则约分，简化得到结果． （4）先算乘方（确定符号、幂的运算），再将除法转乘法，最后同底数幂运算和约分． （5）先算乘方，再将除法转乘法，统一成连乘形式后，合并同类项并约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 类型二、分式的加减混合运算 方法总结 1. 统一分母：先通分，将异分母分式化为同分母分式。 2. 分子相加减：分母不变，分子相加减，结果化为最简分式或整式。 解题技巧 1. 先化简再通分：若有公因式，先约分简化计算。 2. 注意符号：减号后分子整体变号，避免符号错误。 例2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式先通分，再化简即可； （2）先利用平方差公式，再化简即可； （3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式2-1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （ 1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 3）原式第一项利用除法法则变形，约分得到结果，第二项约分得到结果，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式2-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式加减法的混合运算，理解通分的运算法则，分式的加减法运算法则是解答关键． （1）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （2）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （3）先通分，再利用分式减法运算法则求解； （4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （3）括号内先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （4）括号内先通分，分子分母分解因式，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 类型三、已知分式恒等式，确定分子或分母 方法总结 1. 通分对比：将恒等式两边通分，使分母相同，对比分子多项式恒等。 2. 对应系数列方程：根据多项式恒等条件，对应项系数相等，列方程组求解未知数。 解题技巧 1. 代特殊值：取使分母不为0的简单x值代入，直接求未知数，避免解方程组。 2. 先化简再对比：若分式复杂，先因式分解化简，再通分对比。 例3．（25-26七年级上·上海虹口·期末）为常数，如果，那么_____， 【答案】6 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值，即可求解代数式的值． 【详解】解：， ∴。 ∴， ， 解得 故， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的加法、解二元一次方程组，熟练掌握分式的加法法则是解题关键． 先计算等式右边的加法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则________． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式恒等式求解参数，二元一次方程组的应用；将等式右边通分后与左边比较分子，得到关于m和n的方程，通过比较系数建立方程组，求解m和n后计算差值； 【详解】解：右边通分得： 与左边比较分子得： 展开左边得： ∴ 比较系数得： 解得： ∴. 故答案为：1. 【变式3-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，通分是解题的关键． 通过通分计算，利用多项式相等，求出常数A、B、C的值，然后代入计算表达式． 【详解】 , ,解得， ． 故答案为：． 类型四、分式的加减乘除混合运算 1.遵循运算顺序：和有理数混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，要先算括号里面的。 2.灵活运用乘法公式：在计算过程中，要留意分子和分母是否能使用乘法公式，比如平方差公式或完全平方公式。用对公式可以大大简化计算。 3.及时化简：每一步运算完成后，都要检查分子和分母是否有公因式。能约分的一定要先约分，这样可以避免最后处理大数字，让计算更简单。 例4．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先进行括号内的加法运算，再进行除法运算即可； （）利用乘法分配律计算即可求解； 本题考查了分式的混合运算，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4-1】（2026八年级下·全国·专题练习）分式的计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则； 先计算括号内分式的减法，再计算除法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，然后把除法运算化为乘法运算后约分即可. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式4-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，因式分解、通分和约分的综合应用，掌握先算乘除后算加减，有括号先算括号内，因式分解后约分简化的运算顺序和技巧是解题的关键． （1）先算分式乘法，对分子因式分解后约分，再算分式加法，通分合并； （2）先算括号内的加法，通分合并后，将除法转化为乘法，对分母因式分解再约分； （3）先算括号内的式子，通分合并成一个分式，再将除法转化为乘法，因式分解后约分． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 类型五、分式的混合运算先化简求值问题 1.先化简，再代入：这是最关键的一步。先把整个分式表达式化简到最简形式，再把字母的值代进去计算。千万不要直接代入，那样计算量会非常大。 2.化简时注意运算顺序：化简过程要遵循"先乘方，再乘除，最后算加减"的顺序。有括号的，要先算括号里面的。 3.代入前先检验：把字母的值代入原式的分母和除式中，检查是否会使它们等于0。如果等于0，这个值就不能用，题目可能需要你重新选择一个合适的值代入。 例5．（25-26八年级下·河南信阳·开学考试）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算，首先根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，再把代入化简后的分式中求值． 【详解】解： ， 当时， 原式 【变式5-1】（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）先化简：，然后再选取一个你喜欢的a值代入求值． 【答案】，当时，原式（答案不唯一） 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件取一个a的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵且， ∴且， ∴可以取2， 当时，原式（答案不唯一）． 【变式5-2】（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）先化简，再求值：，请在内选取一个合适的整数代入求值． 【答案】，当时，原式，或当，原式（选一个即可） 【分析】利用分式的运算法则，先将分式化成最简分式或整式，再选一个使分母不为0的数代入求值即可． 【详解】解：原式； ∵当时分式无意义， ∴在内使分数有意义的整数有1和， ∴当时，原式； 当时，原式（选一个即可）． 【变式5-3】（25-26八年级下·天津·开学考试）先化简：，再从，0，1，2这四个数中选一个你最喜欢的a值代入求值． 【答案】，当时，原式；或当时，原式 【详解】解： ， 根据题意得：且， ∴， 当时，原式； 或当时，原式． 类型六、分式的混合运算错解复原问题 1. 顺着错解，倒推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或"小红"是在哪一步、因为什么规则用错了。然后，顺着他的错误步骤和得到的错误结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息，比如某个字母的值。 2. 回到正轨，正确化简：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的"先化简再求值"问题。完全忘掉之前的错误解法，按照正确的运算顺序和分式化简规则，重新把原式化简到最简形式。 3. 代入计算，得出正解：最后，将之前推算出的正确条件代入到化简好的式子中，进行计算，得出正确的最终答案。 例6．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）下面是小明同学计算的过程： 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)上面的运算过程从第________步开始错误，错误原因是_____________． (2)请写出正确的运算过程． 【答案】(1)一，运算顺序错误 (2)正确运算过程见详解 【分析】本题考查了分式乘除混合运算的运算顺序． （1）在分式乘除混合运算中，运算顺序是从左到右依次进行，观察小明同学的运算过程发现第一步开始错误，其先计算了后面的乘法，改变了运算顺序，所以从第一步开始错误； （2）先算，再将乘以，根据分式乘法法则即可得出结果． 【详解】（1）解：小明同学在运算的过程中，第一步出现了错误，导致后续步骤出现错误，而错误的原因是运算顺序出现错误，应先计算除法，再计算乘法， 故答案为：一，运算顺序错误． （2）解：． 【变式6-1】（2025九年级上·广东深圳·专题练习） 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式① ② ③ …… (1)上述过程中，从第____步开始出现错误． (2)请完成正确的完整解题过程，并在“，0，1”中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)② (2)，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，第②步开始出现错误，错误的原因是除法没有分配律，而题目中却使用了这个； （2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后约分化简，再从，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，第②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）解：原式 ， 当或2时，原分式无意义， ∴选择代入， 当时，原式． 【变式6-2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是某同学化简分式的部分运算过程： (1)下面的解题过程从第 步开始出现错误； 解：原式    第一步     第二步     第三步     第四步     第五步     第六步 (2)写出正确的化简运算过程； (3)从，0，3，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】(1)五 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键： （1）第五步分子相减时，变号错误； （2）根据混合运算的法则进行计算即可； （3）根据分式的分母不能为0，选择，进行计算即可． 【详解】（1）解：第五步分式减法中，出现变号错误； 故答案为：五 （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴， ∴当时，． 【变式6-3】（24-25九年级上·吉林长春·月考）下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的问题． …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 问题解答： (1)从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (2)请写出正确的化简过程． 【答案】(1)一，加括号时，括号前面是负号括号里第二项没有变号 (2)见解析， 【分析】本题考查了分式的混合运算：先乘方再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （1）第一步加括号时，括号里第二项没有变号； （2）根据分式的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号， 故答案为：一，加括号时，括号前面是负号括号里第二项没有变号； （2）解： ． 一、单选题 1．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）化简 的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先统一分母，再合并分子后约分得到结果． 【详解】解：原式 ． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 根据分式的运算法则，逐一验证每个选项的计算是否正确，即可求解． 【详解】解：A、，，故选项A错误，不符合题目要求； B、，故选项B错误，不符合题目要求； C、，故选项C错误，不符合题目要求； D、，计算正确.，故选项D正确，符合题目要求． 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东德州·期末）如果，，那么代数式与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先利用异分母分式的加减运算法则化简，再对比与的关系即可得出结论. 【详解】解：∵ ∴ 对通分，公分母为 ∴ 又∵ ∴ ， 故选：C. 4．（25-26八年级下·全国·周测）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘除运算，因式分解，掌握分式乘除运算的步骤是解题的关键． 将除法转化为乘法，并对各多项式进行因式分解，然后约分化简． 【详解】解： 原式 = = ∵ ，， ∴ 原式 = =   =   = ∴ 化简结果为，对应选项A． 故选：A． 5．（25-26八年级上·四川凉山·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，正确找到规律是解题的关键．观察式子，发现规律，根据规律化简所求式子即可． 【详解】解：根据题意得， 则， ， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）化简：______． 【答案】 【分析】本题为分式化简题，利用同分母分式减法法则计算，再对分子因式分解后约分，即可得到结果． 【详解】解： ． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）计算：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，先分别计算每个部分的指数幂，注意负号的处理（偶次方为正，奇次方为负），然后合并乘除运算，利用指数法则简化表达式． 【详解】解： ． 故答案为 ． 8．（25-26八年级上·重庆·期末）已知，则___________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式的加减法，二元一次方程组的应用，先通分，计算异分母的分式的加法，再对应相等，得到关于的二元一次方程组，是解题的关键． 通过通分将右边化为同分母分式，比较分子系数建立方程组求解． 【详解】解： ， 由①得， 把③代入②得：， ， ， ， ， 则， 所以． 故答案为4． 9．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知实数a满足，则______． 【答案】/0.25 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 首先将原表达式中的分式进行因式分解和化简，然后利用已知条件即代入求值． 【详解】解： ， ， ， ． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为__________． 【答案】1，3，4 【分析】本题考查分式的加法运算，分式的求值，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数，为正整数，， ∴能被2整除，且（此时） ∴ ∴或或； 故答案为：1，3，4． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的加减法，把异分母分式化为同分母是关键． （1）把异分母分式化为同分母分式进行减法计算即可； （2）把异分母分式化为同分母分式进行加法计算即可． 【详解】（1） ； （2） 12．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再把除法变成乘法，最后计算分式乘法即可得到答案； （2）先通分，再把分子合并同类项即可得到答案； （3）先把对应分式的分子和分母分解因式，再约分，最后计算分式减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．（25-26八年级下·重庆·开学考试）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算除法，再计算加法即可； （2）先计算括号内的，再计算除法，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求整数，的值． 【答案】 【分析】先对等式左边进行通分，与等式右边的分子比较系数，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解： ． ， ， ，解得． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把对应分式的分子和分母分解因式，然后把除法变成乘法后进行约分，接着计算分式减法化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16．（25-26八年级下·河南周口·开学考试）先化简，再求值：，请在，0，2中选择一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】先算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件选用代入，即可求解． 【详解】解：原式 ， ∵分母不能为0， ∴， ∴， ∴只能选， 把代入原式． 17．（25-26九年级下·河南南阳·开学考试）化简下列分式： 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)任务二：请写出正确的化简过程． 【答案】(1)二；括号前是“－”号，去括号时未变号 (2)见解析 【详解】（1）解：二；括号前是“－”号，去括号时未变号； （2）解：原式＝ · · ． 18．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知等式“取倒数”求出的值即可； （2）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴，即， ∴； （2）解：根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分式运算问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式的乘除混合运算 类型二、分式的加减混合运算 类型三、已知分式恒等式，确定分子或分母 类型四、分式的加减乘除混合运算 类型五、分式的混合运算先化简求值问题 类型六、分式的混合运算错解复原问题 压轴专练 类型一、分式的乘除混合运算 方法总结 1. 除法化乘法：除以一个分式等于乘以它的倒数。 2. 约分计算：将分子、分母分别分解因式，约去公因式后相乘。 解题技巧 1. 先分解后约分：将分子分母因式分解，再约分，避免直接乘开导致复杂。 2. 注意符号：乘除时注意负号，确定最终结果的符号。 例1．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算 (1) (2) 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏南通·月考）计算： (1)； (2)； 【变式1-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 类型二、分式的加减混合运算 方法总结 1. 统一分母：先通分，将异分母分式化为同分母分式。 2. 分子相加减：分母不变，分子相加减，结果化为最简分式或整式。 解题技巧 1. 先化简再通分：若有公因式，先约分简化计算。 2. 注意符号：减号后分子整体变号，避免符号错误。 例2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型三、已知分式恒等式，确定分子或分母 方法总结 1. 通分对比：将恒等式两边通分，使分母相同，对比分子多项式恒等。 2. 对应系数列方程：根据多项式恒等条件，对应项系数相等，列方程组求解未知数。 解题技巧 1. 代特殊值：取使分母不为0的简单x值代入，直接求未知数，避免解方程组。 2. 先化简再对比：若分式复杂，先因式分解化简，再通分对比。 例3．（25-26七年级上·上海虹口·期末）为常数，如果，那么_____， 【变式3-1】（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则的值为_______． 【变式3-2】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知，则________． 【变式3-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，则__________． 类型四、分式的加减乘除混合运算 1.遵循运算顺序：和有理数混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，要先算括号里面的。 2.灵活运用乘法公式：在计算过程中，要留意分子和分母是否能使用乘法公式，比如平方差公式或完全平方公式。用对公式可以大大简化计算。 3.及时化简：每一步运算完成后，都要检查分子和分母是否有公因式。能约分的一定要先约分，这样可以避免最后处理大数字，让计算更简单。 例4．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式4-1】（2026八年级下·全国·专题练习）分式的计算： (1)； (2)． 【变式4-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【变式4-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 类型五、分式的混合运算先化简求值问题 1.先化简，再代入：这是最关键的一步。先把整个分式表达式化简到最简形式，再把字母的值代进去计算。千万不要直接代入，那样计算量会非常大。 2.化简时注意运算顺序：化简过程要遵循"先乘方，再乘除，最后算加减"的顺序。有括号的，要先算括号里面的。 3.代入前先检验：把字母的值代入原式的分母和除式中，检查是否会使它们等于0。如果等于0，这个值就不能用，题目可能需要你重新选择一个合适的值代入。 例5．（25-26八年级下·河南信阳·开学考试）先化简，再求值：，其中． 【变式5-1】（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）先化简：，然后再选取一个你喜欢的a值代入求值． 【变式5-2】（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）先化简，再求值：，请在内选取一个合适的整数代入求值． 【变式5-3】（25-26八年级下·天津·开学考试）先化简：，再从，0，1，2这四个数中选一个你最喜欢的a值代入求值． 类型六、分式的混合运算错解复原问题 1. 顺着错解，倒推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或"小红"是在哪一步、因为什么规则用错了。然后，顺着他的错误步骤和得到的错误结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息，比如某个字母的值。 2. 回到正轨，正确化简：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的"先化简再求值"问题。完全忘掉之前的错误解法，按照正确的运算顺序和分式化简规则，重新把原式化简到最简形式。 3. 代入计算，得出正解：最后，将之前推算出的正确条件代入到化简好的式子中，进行计算，得出正确的最终答案。 例6．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）下面是小明同学计算的过程： 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)上面的运算过程从第________步开始错误，错误原因是_____________． (2)请写出正确的运算过程． 【变式6-1】（2025九年级上·广东深圳·专题练习） 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式① ② ③ …… (1)上述过程中，从第____步开始出现错误． (2)请完成正确的完整解题过程，并在“，0，1”中选择一个合适的数代入求值． 【变式6-2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是某同学化简分式的部分运算过程： (1)下面的解题过程从第 步开始出现错误； 解：原式    第一步     第二步     第三步     第四步     第五步     第六步 (2)写出正确的化简运算过程； (3)从，0，3，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【变式6-3】（24-25九年级上·吉林长春·月考）下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的问题． …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 问题解答： (1)从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (2)请写出正确的化简过程． 一、单选题 1．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）化简 的结果是（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东德州·期末）如果，，那么代数式与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·周测）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·四川凉山·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）化简：______． 7．（2026八年级下·全国·专题练习）计算：_________． 8．（25-26八年级上·重庆·期末）已知，则___________． 9．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知实数a满足，则______． 10．（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知：x是整数，．设，则所有符合要求的y的正整数值为__________． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 12．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 13．（25-26八年级下·重庆·开学考试）化简： (1) (2) 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求整数，的值． 15．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）先化简，再求值：，其中． 16．（25-26八年级下·河南周口·开学考试）先化简，再求值：，请在，0，2中选择一个合适的数代入求值． 17．（25-26九年级下·河南南阳·开学考试）化简下列分式： 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)任务二：请写出正确的化简过程． 18．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $