3.1.2 椭圆的简单几何性质（第2课时）（教学设计） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦椭圆几何性质综合应用，涵盖标准方程求解、离心率问题及直线与椭圆位置关系。通过光学仪器反射镜设计、城市椭圆形转盘等情境导入，衔接第一课时基础性质，搭建从性质理解到综合应用的学习支架。 资料特色在于情境化教学培养数学眼光，如用天文望远镜反射镜面、天宫轨道等实例抽象椭圆模型；模板化方法训练数学思维，提炼“联立—消元—判别式—结论”四步通法规范解题；实际应用强化数学语言，通过电影放映灯反射镜等问题完成建模与求解。助力学生深化性质理解与运算能力，为教师提供分层教学资源，提升课堂效率。

3.1.2 椭圆的简单几何性质（第2课时） 教学设计 教学内容 本节课是人教 A 版（2019）选择性必修第一册椭圆简单几何性质的第 2 课时，聚焦椭圆几何性质的综合应用.内容包括利用椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等性质求椭圆标准方程，结合已知条件确定参数 a、b、c 的值与符号；通过实例讲解椭圆离心率的求解方法及取值范围的应用，分析离心率对椭圆形状的影响；还涉及椭圆与直线位置关系的初步判断，运用几何性质解决相关距离、最值等实际问题，帮助学生深化对椭圆性质的理解，提升运用性质解决综合问题的能力，巩固解析几何的基本思想方法. 内容解析 本节课作为椭圆简单几何性质的第 2 课时，是对第 1 课时基础性质的深化与应用，承前启后衔接椭圆知识体系与解析几何综合解题能力.内容上以椭圆核心性质的实际运用为核心，一方面聚焦椭圆标准方程的求解，依托范围、对称性、顶点等性质，结合已知条件精准确定参数 a、b、c 的数值与符号，搭建性质与方程的关联桥梁；另一方面重点突破离心率的综合应用，不仅讲解其求解技巧，还深入分析其取值范围对椭圆扁平程度的影响，助力学生理解参数与图形特征的对应关系.此外，课程引入椭圆与直线位置关系的初步判断，通过距离、最值等实际问题，渗透解析几何数形结合的核心思想，既巩固了前期所学的基础性质，又培养了学生将几何问题转化为代数问题的解题思维，为后续学习圆锥曲线的综合应用奠定关键基础. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握椭圆几何性质的综合应用，能求标准方程、解离心率问题及初步判断与直线位置关系. 教学目标 1. 能综合运用椭圆顶点、焦点、轴长、离心率、定点等条件，结合待定系数法求解椭圆标准方程，熟练完成a,b,c参数换算； 2. 熟练掌握椭圆离心率的常规求解方法，能根据几何条件求解离心率取值范围，深化对离心率几何意义的理解； 3. 掌握联立消元、判别式判定的代数通法，精准判断直线与椭圆相交、相切、相离的位置关系，能解决基础切线、弦长问题； 4. 了解椭圆第二定义与准线概念，能将生活、天体、建筑实际问题抽象为椭圆数学模型，完成简单实际应用。 目标解析 1. 该目标聚焦椭圆方程与性质的深化应用，是对前序基础内容的巩固与提升.通过实际解题中对椭圆核心性质的灵活调用，帮助学生抽象出椭圆参数关系、图形特征与代数表达式的内在关联，逐步形成数学抽象思维，强化对解析几何本质的理解，落实核心素养培养. 2. 此目标针对直线与椭圆位置关系的判断技能，要求学生掌握代数法等核心方法.在联立方程、计算判别式等过程中，锻炼精准运算、步骤规范的能力，将几何位置问题转化为代数运算问题，切实提升数学运算核心素养，为后续复杂问题解决铺垫基础. 3. 该目标是前一目标的延伸，聚焦弦长、切线等具体问题的解决.需要学生熟练运用运算公式与技巧，结合直线和椭圆的位置关系原理，通过严谨的代数推理与计算得出结果，进一步深化数学运算核心素养，提升知识应用的实战能力. 达成上述目标的标志是： 1. 能综合求方程：已知椭圆与 共焦点，且过点 ，能正确求出椭圆方程，不漏讨论。 2. 能判断位置关系：对直线 与椭圆 ，能规范完成联立、消元、判别式计算，准确判断 取何值时相交、相切、相离。 3. 能理解第二定义：能用自己的话解释“到定点与定直线距离之比为常数 （）”与椭圆的关系。 4. 能解决实际问题：能完成电影放映灯反射镜面或天体轨道类实际问题的完整解答。 学生在第 1 课时已掌握椭圆的标准方程、范围、对称性等基础几何性质，能初步运用性质解决简单问题，但对性质的综合应用能力较弱，参数 a、b、c 的关联转化不够熟练. 预估教学中会遇到三大困难： 一是难以精准结合已知条件，利用性质求椭圆标准方程； 二是对离心率的取值范围及与椭圆形状的关联理解不透彻； 三是联立直线与椭圆方程解决弦长、切线问题时，运算繁琐易出错，数形结合思维不足. 解决方法： 一是通过典型例题分层讲解，强化参数关系训练； 二是借助几何画板动态演示离心率对椭圆形状的影响； 三是整理运算技巧口诀，规范解题步骤，加强针对性练习. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：椭圆性质与方程的综合应用，离心率问题解析及直线与椭圆位置关系的运算求解. 知识点一　点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1； 点P在椭圆内部⇔＋<1； 点P在椭圆外部⇔＋>1. 知识点二　直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程． 位置关系 公共点的个数 Δ的取值 相交 2 Δ>0 相切 1 Δ＝0 相离 0 Δ<0 [拓展]　椭圆的通径 如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB称为通径，|AB|＝. 课堂导入1：光学仪器——椭圆反射镜与聚光原理 某大型天文望远镜的反射镜面设计为旋转椭圆面的一部分。镜面的截面椭圆的一个焦点处放置光源（或传感器），从该焦点发出的光线经镜面反射后，全部汇聚到另一个焦点。 问题1：已知椭圆两个焦点之间的距离为 米，椭圆上一点到两个焦点距离之和为 米，你能求出镜面截面的标准方程吗？ 问题2：如果传感器需要安装在距离镜面中心 米的位置（长轴方向上），实际安装点应在哪里？光路的总路程是多少？（引导学生回顾椭圆的定义：椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数 ） 【设计意图】将椭圆的“第一定义”（到两焦点距离之和为常数）和“标准方程求解”融入光学仪器设计情境，以反射镜的聚光特性激发探究兴趣。 课堂导入2：城市规划——椭圆形转盘与车辆行驶轨迹 某城市主干道上设计了一个椭圆形转盘，其边界方程为 （单位：百米）。一辆汽车沿直线 行驶，需要判断是否会穿过转盘区域，以及进入转盘区域后的行驶距离。 问题1：汽车行驶的直线与转盘边界会有几个交点？这对应什么位置关系？如何用数学方法判断？ 问题2：如果汽车要恰好沿转盘边缘切线方向通过（不进入转盘），直线的斜率或截距应满足什么条件？（引导探究直线与椭圆相切的条件） 【设计意图】将“直线与椭圆的位置关系”融入城市交通情境，以汽车行驶轨迹与转盘边界的位置关系为问题驱动，自然引出联立方程、判别式法的学习需求。 例5 如图3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．试建立适当的平面直角坐标系，求截口所在椭圆的方程（精确到） 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为． 在中， 由椭圆的性质知，，所以 所以，所求椭圆的方程为： 方法总结：椭圆有关的简单实际应用问题 (1) 根据题意建立适当的平面直角坐标系，设椭圆的标准方程； (2) 结合椭圆的定义，及相关几何条件，求出a,b,c的值 (3) 写出椭圆的标准方程，及根据题意求出相关的量 (4) 将所求的量，“翻译”成实际问题的解答 例6 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：如图3.1-12，设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是集合 由此得 将上式两边平方，并化简，得 即 所以，点的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆. 方法总结：直接法求轨迹方程 （1）设动点：设所求动点坐标为(x,y) （2）符号化：将题干中的等式关系，用x,y表示出来 （3）标准化：将以上关于x,y的表达式进行标准化方程处理 椭圆第二定义:平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，）的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1正数），其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线. 由定义可知：动点到左焦点的距离与它到左准线的距离的比为离心率,即; 动点到右焦点的距离与它到右准线的距离的比为离心率,即. 例7 如图3.1-13，已知直线和椭圆，为何值时，直线与椭圆： （1）有两个公共点?（2）有且只有一个公共点?（3）没有公共点? 师生：共同分析，直线与椭圆的公共点的个数与方程组解的个数相对应．所以，我们可以通过判断上述方程组解的情况得到问题的解答． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：由方程组 消去，得 ① 方程①的根的判别式： 由，得．此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点. 由，得，．此时方程①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点. 由，得或．此时方程①没有的实数根，直线与椭圆没有公共点. 方法总结：代数法判断直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆有三种位置关系：相交、相切、和相离 1、联立，消元得一元二次方程：联立直线方程与椭圆方程，消去x（或y）得到一个关于y（或x）的一元二次方程； 2、计算△：根据以上一元二次方程，计算出△的值 3、下结论：△>0 直线与椭圆相交，△=0 直线与椭圆相切，△<0 直线与椭圆相离. 题型一：求共焦点的椭圆方程 例题 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 预设：椭圆可化为，可知椭圆的焦点在y轴上， 焦点坐标为，故可设所求椭圆方程，则， 又，即，所以，所以所求椭圆的标准方程为． 故选：B． 题型二：直线与椭圆位置关系的判断 例题 直线与椭圆的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 预设：由消去y并整理得， 显然， 所以直线与椭圆相交，有2个公共点. 故选：C 题型三：椭圆的切线问题 例题 已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切，则直线l的方程为 ． 预设：当切点在第一象限时，斜率存在且不为0，设切线的方程为：，， 由于过点可得：，① 联立直线与椭圆的方程， 整理可得：， 则，可得②， 由①②可得：，， 所以切线方程为： 方法归纳总结：求椭圆切线方程的方法： ① 已知点在椭圆外 令直线方程为 将直线方程与椭圆方程联立，消元的一元二次方程 利用建立关于的方程，解方程得的值，即可得解. ② 已知点在椭圆上 椭圆切线方程为： 题型四：椭圆的实际应用问题 例题 （1） 韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 预设：如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得，所以，所以， 所以． 故选：D． （2） 我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（    ） A． B． C． D． 预设：设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为，则半焦距为，设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为， 依题意，，整理得，即， 而，解得，此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为. 故选：C 1.（24-25高二上·陕西汉中·期中）若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点和椭圆的位置关系 【分析】根据点在椭圆内求解可得. 【详解】由题意可知，点在椭圆内，所以，解得或. 故选：D 2.（2026·河南安阳·模拟预测）已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 【分析】先由判断椭圆的长轴在轴上，再设半焦距为，利用及“焦距”为列方程求． 【详解】因为，所以，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为． 设椭圆的半焦距为，则.因为椭圆的焦距为，即. 解得.代入，得. 即.所以.解得.因为，所以.故选：C. 3.（25-26高二下·陕西安康·期中）记椭圆的上顶点为A，右焦点为F，则以A为圆心，为半径的圆与E的交点个数为（    ）． A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求椭圆的顶点坐标、求椭圆的焦点、焦距、判断两曲线交点的个数 【分析】求出圆的方程，再与椭圆方程联立，转化为求出直线与椭圆交点个数即可. 【详解】椭圆的上顶点，右焦点，， 因此以A为圆心，为半径的圆方程为，由消去得，而，解得，直线与椭圆交于两点，所以所求交点个数为2.故选：B. 4.（25-26高二下·广东广州·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】先求，进而利用椭圆的定义即可求解. 【详解】由，所以，所以，所以椭圆的方程为：，又过点，所以，解得，即， 所以，又， 所以的周长为：.故选：C. 5.（2026·湖北武汉·模拟预测）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的短轴长为（   ） A．2cm B．4cm C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的长轴、短轴 【详解】根据椭圆的对称性可知，故，得， 又，所以，得，由得，即，所以椭圆的短轴长为．故选：D. 6.（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知A，B 分别为椭圆的右、上顶点，若的中点坐标为，则 C 的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的顶点坐标、求椭圆的焦点、焦距 【分析】由椭圆方程求出点的坐标，进而求得，代回椭圆方程并求得焦点坐标. 【详解】因为分别为椭圆的右顶点和上顶点，则， 令，得，故，令，得，故， 又的中点坐标为，所以，解得，所以椭圆方程为， 所以，则，所以椭圆的焦点坐标为.故选：B. 7.（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，，所以，所以. 又，所以.在中，由余弦定理得：，即. 所以椭圆的离心率为.故选：D 8.（25-26高二下·浙江杭州·期中）下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【分析】利用椭圆离心率公式逐项求解，然后利用离心率的性质分析即可. 【详解】对于A，，所以椭圆离心率为， 对于B，，所以椭圆离心率为， 对于C，，所以椭圆离心率为， 对于D，，所以椭圆离心率为， 因为，所以D选项中椭圆离心率最小， 由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆，故选：D. 9.（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的离心率，则实数的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．或 【答案】B 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】分类讨论焦点在轴和轴上的情况. 【详解】①当焦点在轴上时，，，，则，解得；②当焦点在轴上时，，，， ，解之得.综合①②知，适合条件的实数或.故选：B. 10.（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是，一个焦点是，以下为椭圆顶点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的顶点坐标、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】依题意求出椭圆所有顶点坐标判断选项即可. 【详解】椭圆的一个顶点是，一个焦点是，椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为，则有，得，所以椭圆左顶点为，右顶点为，下顶点为，上顶点为，故选：A. 1.（2026·河南·三模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，经过坐标原点，则该椭圆的短轴长为（    ） A．2cm B．4cm C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据椭圆的定义可得，利用垂直关系可得，再求出可得椭圆的短轴长. 【详解】为椭圆的右焦点，连接， 根据椭圆的对称性可知，又，有， 由，有，得， 由，得， 由得，所以椭圆的短轴长为．故选：D. 2.（2026·海南海口·一模）下列椭圆中，形状最接近圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【分析】根据椭圆的性质：离心率越接近于0，椭圆越接近于圆，进行判断即可. 【详解】在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率；在椭圆中，，，所以，所以离心率.根据椭圆的性质知，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆，又， 所以椭圆更接近于圆.故选：. 3.（2026·安徽·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】根据离心率建立等量关系即可求出. 【详解】 由题知椭圆焦点在轴上，所以，因为，所以，即，解得，所以.故选：C. 4.（2026·湖南·模拟预测）如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（    ） A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm 【答案】B 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【详解】设该椭圆的长半轴长，短半轴长和半焦距分别为, 依题意，，因,则，故. 故该椭圆的短轴长约为15.1cm．故选：B. 作业1：完成教材：第114页 练习1,2 作业2：配套辅导资料对应的《椭圆的简单几何性质 第2课时》  3.1.2 椭圆的简单几何性质（第2课时） 1. 常见四大应用： ① 椭圆与反光镜的设计原理 ② 椭圆与声音探测问题 ③ 椭圆与桥梁问题 ④ 椭圆与星体运行轨道问题 2. 直线与椭圆的位置关系：代数法 3. 切线问题 4. 例题区：（学生板演区域） 本节课聚焦椭圆几何性质的综合应用，整体达成预设教学目标，但仍有提升空间.教学中通过视频引入和复习回顾，有效调动了学生积极性，帮助其衔接新旧知识.在椭圆方程求解和离心率问题讲解时，借助例题分层教学，多数学生能掌握核心方法.但在直线与椭圆位置关系的运算环节，部分学生因运算繁琐出现错误，且数形结合思维运用不灵活.后续需优化教学，增加针对性运算练习，整理解题技巧手册；同时设计更多互动探究活动，引导学生主动建立几何与代数的联系，关注学困生的课堂反馈，及时调整教学节奏，进一步提升学生知识应用能力和核心素养培养的实效性. 学科网（北京）股份有限公司 $