3.1.1 椭圆及其标准方程（教学设计）数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦椭圆及其标准方程，通过建筑天窗、行星轨道情境导入，结合绳画椭圆实验，引导学生从圆的定义迁移，抽象椭圆定义，推导标准方程，衔接数形结合思想。 以动手实验、小组讨论突破定义条件与方程化简难点，通过对比焦点位置、归纳a,b,c关系培养直观想象与数学运算素养，分层例题与作业设计助力学生掌握求方程方法，为教师提供结构化教学方案。

3.1.1 椭圆及其标准方程 教学设计 教学内容 本节课先通过用平面截圆锥面或细绳画椭圆的实验，引出椭圆定义：平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之和等于常数（大于 | F₁F₂|）的点的轨迹，两定点叫焦点，焦点间距离叫焦距；接着建立适当平面直角坐标系，设椭圆上任意一点坐标、焦点坐标及定长，利用两点间距离公式推导得出椭圆标准方程，分焦点在 x 轴（方程为(且()）和 y 轴（方程为：且()）两种形式；最后通过例题讲解，让学生掌握根据条件求椭圆标准方程的方法，理解定义、标准方程及 a、b、c 关系是核心要点. 内容解析 本教学内容围绕椭圆及其标准方程展开，以三维目标为指引，通过生活实例与圆锥截割实验导入，引导学生动手操作、小组讨论，归纳椭圆定义并明确焦点、焦距概念及 “常数大于焦距” 的关键条件；接着指导学生建立直角坐标系，分步推导焦点在 x 轴的椭圆标准方程，类比得出焦点在 y 轴的方程，阐释 a、b、c 的几何意义及的关系；随后通过例题讲解与课堂练习，帮助学生掌握根据条件求椭圆标准方程的方法，最后小结重难点并布置基础与拓展作业.整体设计注重学生参与，融合多种教学方法，既落实知识传授，又培养学生数学思维与实践能力，符合高中数学教学要求. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握椭圆定义、标准方程及 a、b、c 关系，能依据条件求椭圆标准方程. 教学目标 （1）根据创设的情景，理解椭圆的定义. （2）理解椭圆标准方程的推导过程，在化简中提高学生的运算能力. （3）掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程. （4）掌握求轨迹问题的基本思路与方法，发展直观想象、数学运算学科素养. 目标解析 （1）要求学生能准确复述椭圆的定义，并能判断给定动点轨迹是否为椭圆，特别是能辨析定值与两定点距离的关系对轨迹的影响。 （2）要求学生能区分焦点在x轴和y轴上的两种标准方程形式，并能运用待定系数法，根据已知条件（如焦点坐标、椭圆上一点的坐标等）求出椭圆方程。 （3）要求学生能结合图形指出a, b, c分别代表什么线段的长度，并能利用a²=b²+c²进行相关计算。 （4）作为难点，要求学生能独立或在引导下完成椭圆标准方程的推导，理解每一步化简的意图，特别是移项平方的技巧。 达成上述目标的标志是： （1）能准确说出椭圆定义，并解释为何定值必须大于两定点间的距离。 （2）能根据焦点位置（如在x轴上）和a, b的值，写出正确的标准方程。 （3）已知椭圆方程，能迅速指出a, b, c的值及焦点坐标。 （4）能独立完成椭圆标准方程的推导过程，或能清晰地阐述推导思路。 （5）能解决“已知椭圆过某点，求标准方程”等基础应用问题。 学生此前已学习圆的定义与标准方程，掌握了平面直角坐标系下两点间距离公式，具备一定数形结合思想与代数运算基础.但多数学生对 “轨迹” 概念的理解停留在圆的单一形式，对 “平面截圆锥面” 的空间关系认知不足；代数运算中，含根号方程的化简能力参差不齐，部分学生易在平方去根号、整理等式环节出错，对参数 a、b、c 的几何意义关联理解存在难度.​ 教学中可能遇到的困难​ 困难一：理解椭圆定义中 “常数大于两焦点间距离” 的限制条件.​ 解决方法：通过动手实验，让学生分别用等于、小于、大于焦距的细绳画图形，直观对比轨迹差异，结合几何分析强化条件认知.​ 困难二：椭圆标准方程推导中，含根号方程的化简与建系合理性判断.​ 解决方法：推导时分步引导，先讲解建系思路（利用对称性简化方程），再板书化简步骤，标注易错点（如平方后符号处理），搭配小组互助纠错.​ 困难三：区分焦点在 x 轴、y 轴的标准方程，理解 a、b、c 关系.​ 解决方法：对比两种方程结构特征，结合图形标注 a、b、c 位置，通过口诀（“大分母对应焦点轴”）辅助记忆，设计针对性辨析练习. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解椭圆定义中常数与焦距的关系，掌握含根号方程化简，区分椭圆标准方程形式及 a、b、c 关联. 知识点一　椭圆 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． (2)椭圆的集合语言描述为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}． [想一想]　若将椭圆定义中“大于|F1F2|”去掉，动点的轨迹还是椭圆吗？ 提示：动点的轨迹不一定是椭圆，具体情况如下： 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 知识点二　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦距 |F1F2|＝2c 焦点坐标 (±c，0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 [说明]　两种椭圆标准方程的相同点和不同点 相同点 不同点 焦点在x轴上 形状、大小相同，a>b>0，a2＝b2＋c2，焦距为2c 方程＋＝1中，x2对应的分母大 焦点在y轴上 方程＋＝1中，y2对应的分母大 课堂导入1：建筑设计——椭圆形天窗采光 某大型体育场馆设计了一个椭圆形天窗，建筑师在图纸上确定了两个定位桩（焦点）的位置，间距为 米。施工队用一根长度为 米的细绳，两端固定在两个定位桩上，用粉笔绷紧细绳画出了椭圆形天窗的轮廓线，恰好符合设计要求。 问题1：施工队用“绳长 米、两桩间距 米”能画出唯一的椭圆吗？如果绳长改为 米或 米，还能画出椭圆吗？画出的图形会是什么？ 问题2：在画图过程中，粉笔尖到两个定位桩的距离之和始终等于多少？这个常数与两桩间距有什么大小关系？ 设计意图：将“绳圈画椭圆”实验融入建筑设计情境，引导学生从具体数据中抽象出椭圆定义，直观理解 的必要性。 课堂导入2：天文观测——行星轨道与飞船交会 天文学家观测到一颗小行星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。已知小行星到太阳的最大距离为 个天文单位，最小距离为 个天文单位。一艘探测飞船计划从小行星轨道附近某点出发，沿直线飞向太阳。 问题1：这颗小行星轨道的“长半轴 ”和“半焦距 ”分别是多少？轨道中心到太阳的距离是多少？ 问题2：如果飞船从小行星轨道上距离太阳最近的点出发飞向太阳，飞行距离是多少？若从最远的点出发呢？椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和有什么规律？ 设计意图：将椭圆参数 、 的几何意义融入天文观测情境，让学生体会“最大距离 、最小距离 ”与椭圆参数的自然联系，激发探索兴趣。 思考：给你一根细绳和一支铅笔，如何画椭圆？（课前准备绳子） 教师：首先用视频演示一遍，然后邀请两组学生到黑板上画圆和椭圆，其他学生同桌合作，画圆和椭圆，并巡视学生画图情况，适当的个别指导. 思考：观察画椭圆的过程，哪些量在变，哪些量没有变？ 教师：认真思考，前后四人一组讨论，讨论时间：3分钟；要求：将随机邀请一位同学分享你们的讨论结果 ，并用简洁的数学语言描述如何才能画椭圆 学生：学生前后四人一组讨论，归纳总结画椭圆的方法. 设计意图：让学生体会画椭圆的过程，感受知识生成的过程，然后结合软件动画演示，形象直观地说明椭圆定义中的关键和必备条件，全程体会数学的直观性与严谨性. 思考：请同学们类比圆的定义，如何用最简洁的数学语言归纳椭圆的定义？ 学生：平面内与两个定点，的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆. 三个重要概念：这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 教师：你认为在椭圆的定义中，我们必须重点关注哪些关键词句？ 学生：①平面——大前提；②和——任意一点到两个定点，的距离的和等于常数; ③常数——常数必须大于焦距. 追问：如果这个常数等于焦距，或者这个常数小于焦距呢？会是一个什么轨迹? 请尝试着自己画画. 学生：根据要求去尝试画动点的轨迹，得出结论：当常数等于焦距时，点的轨迹为线段；当常数小于焦距时，点的轨迹不存在. 设计意图：教师在引导学生理解椭圆的定义时，先突出“和”，再完善“常数”的长度要求．在师生互动过程中，教师引导学生用联系与发展的观点看问题，及时引导和提升，学生体会重要关节点和注意点，多正能量的正面评价和肯定，激励学生的学习热情与持续兴趣. 回顾：求曲线方程的“四步曲”是什么？ 学生：全体口答：①建系，②找等式关系，③符号化，④化简与标准化. 问题6：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单？ 学生：类比圆的方程的推导过程可知,利用椭圆的对称性建系能使椭圆的方程更简单(如图1、图2所示）. 设计意图：注重学生知识迁移能力的培养，用学生熟悉的知识解决新知识的理解，促使学生更深刻的学会建系技巧和策略. 思考：自主学习教材，如何巧设常数的值和两焦点的坐标，为我们求椭圆方程的第三步“符号化”提供便利？ 学生：自主学习教材，得出巧设结论：设常数为，，从而得到以下符号化后的式子： ........... （①） 特例化：令，，请你化简上述式子，即化简： 教师：化简方法：两次平方去根号法 化简过程： 第一次平方： 第二次平方： 教师：类比以上化简过程，化简（①）式、. 学生：尝试用两次平方去根号法，一位学生通过多媒体展示自己的推导过程，并且上讲台解说自已的推导演算过程. 教师：根据学情情况，可以适当的增加方法：构造等差数列法、构造三角函数法、构造代数恒等式法、共轭无理数法等简化方法，让学生体会比较，哪种方法运算量更小. 教师：观察的系数以及常数项,考虑怎样能让方程更简洁? 学生：全体口答：两边同时除以，可得更简洁的椭圆方程： 思考：观察图3，你能在图中找出表示的线段吗？ 教师：引导学生观察图形，得出结论： ------ 、 ------ 、 ------ 教师： 令，要求学生写出焦点在轴的椭圆的标准方程. 学生：认真观察图形，总结出的几何意义，并写出焦点在轴的椭圆的标准方程: 表示：焦点在轴上，两焦点分别为、的椭圆，其中 ，a最大; b，c没有大小关系 设计意图：让学生通过该过程体会数形结合重要数学思想，让学生更深入理解椭圆方程中各个字母的含义，促进学生深度学习. 思考：如果椭圆的焦点在y轴上，那么椭圆方程又会是什么呢？ 教师：引导学生类比推理 学生：类比得到焦点在轴上的椭圆的标准方程的推到方法，推导出焦点在轴上的椭圆的标准方程： 设计意图：引导学生体会类比、化归等重要数学思想，探求焦点在轴上的椭圆的标准方程，让学生体会问题的本质所在，简化运算. 思考：如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？ 学生：哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上. 教师：非常正确，可简记为：“谁大在谁家”. 并同时引导学生完成以下表格： 焦点在轴上 焦点在轴上 图 形 标准方程 焦点坐标 三者之间的关系 焦点位置的判断 设计意图：表格梳理所学知识，强化学生对椭圆方程的更深入的理解，培养学生的整理归纳能力,为后续学习做铺垫. 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，,并且经过点 ,求它的标准方程. 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设： 教师：以上为定义法求椭圆标准方程. 思考：还能用其他方法求 例题1 中的标准方程吗？尝试着比较不同方法的特点. 预设： 教师：以上为待定系数法法求椭圆标准方程，利用方程的思想，解方程组求的值，从而得解. 思考：尝试着比较定义法和待定系数法的特点. 预设：两种解法的特点： 解法一：从几何角度，结合椭圆定义，计算出a,b的值，从而得到椭圆标准方程； 解法二：从代数角度，利用点在图象上，代入标准方程，建立关于a,b的方程组，解方程组得到a,b的值，从而从而得到椭圆标准方程. 相比较：解法二的计算比解法一的计算量大很多. 例2 如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M 的轨迹是什么？为什么？ 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 分析：点P在圆上运动，点P的运动引起点M运动．我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程． 预设： 总结：1. 如何识别哪类求轨迹方程的题，可以使用相关点法？ 双动点类的轨迹问题，可以考虑此法， 比如例题2中的点P和点M均为动点，其中点M 随着P点的运动而运动. 2. 相关点法求轨迹方程的“三步曲”： 第①步：设点坐标：设目标动点的坐标为，另一动点的坐标为； 第②步：找关系：找与的等式关系、找与的等式关系； 第③步：标准化：代入消与，将剩下的只含与的方程进行方程标准化. 思考：由 例2 我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？ 学生：思考，并观看演示动画. 例3 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设： 归纳总结：1. 如何识别哪类求轨迹方程的题，可以使用 四步曲法？ 题干中有一个明显的等式关系的轨迹问题，可以考虑此法，比如例题3中的 斜率之积是就是一个明显的等式关系. 2.直接点法求轨迹方程的“三步曲”： 第①步 设坐标：设目标动点的坐标为； 第②步 符号化：找一个等式关系、并且用含的式子“符号化”等式关系； 第③步 标准化：将上述符号化后的方程进行化简，得到标准方程. 第④步 剔 点：把不满足题意的“点”，给剔除掉.比如例题3中斜率不存在时的点要剔除. 题型一：用a,b,c的值求椭圆的标准方程 例题 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点 ,求它的标准方程. 预设：易知焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 ，由椭圆的定义知 c=1 所以，所以所求椭圆的的标准方程为 题型二：根据椭圆标准方程求参数 例题 已知曲线C：表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围. 预设：将曲线C的方程化为， 若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则， 解不等式得：， 所以k的取值范围为： 方法总结：根据含参方程求参数范围方法： · 形如 ① 表示椭圆：② 表示焦点在x轴上的椭圆： ③ 表示焦点在y轴上的椭圆： ④ 表示圆： 题型三：轨迹方程求法之定义法 例题 若点满足方程，则动点M的轨迹方程为( ) A． B． C． D． 预设：因为动点满足关系式， 所以该等式表示点到两个定点，的距离的和为12， 而，由椭圆定义得：动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，即，又，， 所以动点M的轨迹方程为.故选：C. 总结：1.如何识别已知代数形式方程求椭圆标准方程？ 双根号和，并且两个根号的几何意义都是两点之间的距离，即可利用该方程几何意义：动点（x,y）到两定点的和为定值，符合椭圆定义. 2.代数形式方程求椭圆标准方程的一般步骤： 第①步 识别动点和两定点坐标：如：动点的坐标为，两定点坐标分别为； 第②步 确定满足椭圆定义：若和大于两定点距离，满足椭圆定义； 第③步 求a,b：根据定义求出a,b,c的值； 第④步 下结论：写出椭圆标准方程. 题型三：轨迹方程求法之直接法 例题： 预设： 题型三：轨迹方程求法之相关点法 例题 动点P在椭圆，点求线段PQ的中点M的轨迹方程. 预设：设点M， 因为点P在椭圆上，所以 因为点M是线段PQ的中点，所以 将②式代入①式得： 所以点M 的轨迹方程为： 题型四：椭圆中的距离和差最值 例题：已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标 为，求的最小值. 预设：椭圆的，点在椭圆内部，如图，设椭圆的右焦点为 ，则； ； 由图形知，当在直线 上时，， 当不在直线上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，， 当在射线 的延长线上时， 取得最小值 的最小值为．故选：B 方法总结：椭圆中的距离和差最值的方法：化折为直法 类型一：两定点在曲线同侧；(如：定点Q、F都在椭圆内部)； 方法：同侧求差最值，直接三点共线； 同侧求和最值，等价转变为线段差，然后三点共线时取最值 比如：求， 三点共线时取最值 类型二：两定点在曲线异侧； 方法：异侧求和最值，直接三点共线； 同侧求差最值，等价转变为线段和，然后三点共线时取最值 1.（25-26高二上·安徽·期中）若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，且， 又由椭圆的定义，可得，所以， 所以点与另一个焦点的距离是. 故选：A. 2．（25-26高二上·贵州毕节·期末）平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用椭圆定义求方程 【分析】根据题设条件结合椭圆的定义进行求解. 【详解】由题知，， 由椭圆的定义可知，的轨迹方程是焦点在轴上的椭圆， 其中，则， 方程为：. 故选：D 3.（25-26高二上·江苏淮安·期中）如果椭圆上一点P到焦点的距离等于2，则点P到另一个焦点的距离为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据椭圆的定义可以解. 【详解】由椭圆的定义得：，所以. 故选：A 4.（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求平面轨迹方程、利用椭圆定义求方程、由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题——椭圆 【分析】先将圆化为标准方程，再利用动圆与两圆的外切、内切关系，得到动圆圆心到两定圆心的距离和，结合椭圆定义求轨迹方程. 【详解】依题意得，圆，圆心，半径为； 圆，化为标准方程为，圆心，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切， 因此，， 由此可得； 因此圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，椭圆的短半轴长， 因此动圆圆心的轨迹方程为. 故选：A. 5.（2026·福建福州·模拟预测）已知椭圆C的两个焦点分别为，，点在C上.若C上一点M与的距离为6，则M与的距离为（   ） A．10 B．14 C．20 D．26 【答案】B 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值 【详解】因为椭圆C的两个焦点分别为，，点在C上， 所以，，于是. 因为，且， 所以.故选：B. 6.（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】利用椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆，得，解得， 设椭圆的两焦点分别为，且， 又点在椭圆上，所以，所以， 解得，所以点到另一个焦点的距离为. 故选：B. 7.（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知点到点的距离与点到直线的距离之比为，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】利用椭圆定义求方程、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】利用设动点坐标，表示距离，结合题意可得轨迹方程，再用坐标法来求距离的最大值即可. 【详解】设点，则根据题意可得：， 整理得：， 则， 因为，所以当时，， 故选：C 8.（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（  ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】利用椭圆的标准方程求出，利用焦点坐标写出，利用公式求出的值. 【详解】椭圆的一个焦点坐标为，焦点在轴上， ，，. 故选：D. 9.（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据椭圆焦点所在的轴联立不等式，即可求解. 【详解】由题意得，解得.故选：C. 10.（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距、椭圆中焦点三角形的周长问题 【详解】由椭圆方程为，得，.所以，故. 由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 即，又因为两焦点间距离为， 因此，的周长为.故选：C. 1.（25-26高二上·湖北·期中）设椭圆的左焦点为，若，是椭圆上的两个动点，则周长的最大值为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据椭圆的定义转化求解即可. 【详解】由椭圆方程知：，左焦点， 设椭圆的右焦点为 由椭圆的定义知：， 所以周长为 因为，当且仅当三点共线时等号成立， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 即周长的最大值为. 故选：D    2.（2026·浙江·二模）已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】作出图形，利用的面积，结合椭圆方程求得点，再由角平分线定理求得点。即可求得的角平分线所在的直线方程. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则，    于是的面积为，取，代入，可得， 则直线轴，且， 设的角平分线交轴于点，则， 又，则得，故， 则直线的斜率为，其方程为，即.故选：B. 3.（2026·黑龙江哈尔滨·二模）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、根据方程表示椭圆求参数的范围 【详解】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，即m的取值范围为．故选：B 4.（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】根据椭圆的定义及勾股定理求出，代入面积公式求解即可. 【详解】由题意知，，. 因为，所以. 又，即， 所以.所以.故选：B 知识清单·方法归纳·易错误区 一、知识清单 1. 椭圆定义：平面内与两定点F₁、F₂距离之和等于常数2a（2a＞|F₁F₂|）的点的轨迹。两定点叫焦点，焦距为2c。 2. 标准方程（焦点在x轴）：x²/a² + y²/b² = 1 (a＞b＞0)；焦点在y轴：y²/a² + x²/b² = 1 (a＞b＞0)。 3. a、b、c关系：a²=b²+c²（a最大，为长半轴长；b为短半轴长；c为半焦距）。 4. 焦点位置判断：x²项分母大 ⇔ 焦点在x轴；y²项分母大 ⇔ 焦点在y轴。 5. 求法：定义法（利用|PF₁|+|PF₂|=2a）、待定系数法（设 mx²+ny²=1 或标准形式）。 二、方法归纳 （1）推导曲线方程五步：建系、设点、列式、化简、检验；椭圆推导关键是两次平方去掉双根式。 （2）焦点位置判断：先比较x²、y²项分母大小确定a²所在项，再定焦点所在轴；位置不明时用一般式 mx²+ny²=1 (m,n＞0,m≠n) 待定系数。 （3）由条件求参数：已知焦点与a或b，直接用a²=b²+c²；已知经过两点，可代入列方程组求m、n。 （4）数形结合：定义从“形”（轨迹）刻画曲线，方程从“数”刻画曲线，二者统一于坐标法。 三、易错误区 （1）忽略定义约束：忘记2a＞|F₁F₂|，误把2a=|F₁F₂|（线段）或2a＜|F₁F₂|（无轨迹）当作椭圆。 （2）a、b、c关系记反：误写为c²=a²+b²（这是双曲线）或a²=c²−b²；正确应为a²=b²+c²。 （3）焦点位置判断错误：未比较分母大小就写方程，或误以为焦点总在x轴；应先比x²、y²项分母。 （4）化简出错：去双根式时平方次序或符号错误，导致方程不对；须严格“移项—平方—整理—再平方”。 （5）混淆a与b：误认为a是x方向半轴、b是y方向半轴；实际a恒为长半轴（分母大者），与坐标轴无关。 作业1：人教版A版教材49页A组第1题、第2题、第3题. 作业2：方程能表示哪些我们学过的曲线？ 选做作业：请同学们课后查阅书籍或上网查询资料，研究椭圆的相关资料或椭圆有关的故事，自选主题，完成一篇与椭圆有关的数学小报告. 3.1.1 椭圆及其标准方程 1. 椭圆标准方程： 2. 三个概念：焦点、焦距、半焦距 3. a，b，c的关系： 4.判断焦点位置：谁大在谁家 4. 例题区：（学生板演区域） 成功之处： 导入环节的实验和动画有效激发了学生兴趣。方程推导过程虽然繁琐，但通过分步引导，大部分学生能跟上思路。通过对比两种标准方程，学生对焦点位置的判断掌握较好。 不足之处： 方程化简环节耗时较长，导致后面练习时间略显紧张。部分学生对 b² = a² - c² 的引入感到突兀，几何意义理解不够深刻。对于焦点位置不确定的题目，仍有学生忘记分类讨论。 改进措施： 可将方程推导的详细过程制作成微课，课前让学生预习，课上重点讲解关键步骤和思想。在推导完成后，增加一个环节，专门从图形上解释 b² = a² - c² 的由来（利用椭圆顶点和焦点构成的直角三角形）。在练习中，增加更多需要分类讨论的题目，强化学生的讨论意识。 1. 现存问题 （1）定义约束理解不牢：部分学生忽略2a＞|F₁F₂|，在判断轨迹时出现“线段”或“无轨迹”的错误。 （2）根式化简畏难：推导标准方程时，对两次平方去根式步骤掌握不扎实，易在代数变形中出错。 （3）a、b、c关系混淆：常把椭圆a²=b²+c²与双曲线c²=a²+b²记混，焦点位置判断不熟练。 （4）方法选择不当：已知经过两点求方程时，直接猜焦点位置导致形式错误，未用一般式待定系数。 2. 改进措施 （1）强化定义辨析：用几何画板演示绳长与焦距关系，对比“线段—椭圆—无轨迹”三种情形，固化2a＞|F₁F₂|。 （2）细化推导步骤：将化简拆成“移项—平方—整理—再平方”四步板书，配合小组分步演算，降低难度。 （3）口诀+对比表：用“a最大、a²=b²+c²”口诀，并列表对比椭圆与双曲线参数关系，专项纠错。 （4）增设待定系数法专项：针对焦点不明情形，训练设 mx²+ny²=1 求解，建立“位置不明用一般式”的意识。 学科网（北京）股份有限公司 $