3.1.1 椭圆及其标准方程（第1课时）教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦椭圆的概念及标准方程，通过视频演示平面截圆锥引出圆锥曲线，结合章引言回顾坐标法，类比直线和圆的研究方法，为后续双曲线、抛物线学习搭建知识支架。 特色在于通过数学实验让学生动手画椭圆，抽象几何特征形成定义，发展数学抽象与直观想象素养，建系推导方程时引导预判运算量优化化简，培养数学运算能力，为教师提供难点突破策略，帮助学生掌握坐标法，提升探究能力。

3.1.1椭圆及其标准方程(第1课时) 1、 内容及解析 1.内容 章引言、椭圆的概念、椭圆的标准方程. 2、内容解析 本节内容首先引导学生了解圆锥曲线的研究背景及生产、生活中的应用，并类比直线和圆的研究方法，先抽象椭圆的定义，然后建立它的标准方程，为后续研究椭圆的性质及实际应用做铺垫，同时椭圆的研究方法与双曲线、抛物线的研究方法很相似，本节的研究方法为后续研究双曲线、抛物线提供示范。 2、 课时目标及其解析 1、目标 （1）了解圆锥曲线的实际背景，例如，行星运行轨迹、抛物运动的轨迹、探照灯的镜面，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程. 2、目标解析 （1）能通过观察用平面截圆锥认识到：当平面与圆锥的轴所成的角不同时，可以分别得到圆、椭圆、双曲线和抛物线.能通过实例知道，圆锥曲线在生产、生活中有广泛的应用. （2）能通过实际绘制椭圆的过程认识椭圆的几何特征，给出椭圆的定义，能通过建立适当的坐标系，根据椭圆上的点满足的几何条件列出椭圆上的点的坐标满足的方程，化简所列出的方程，得到椭圆的标准方程.能通过椭圆与方程的学习，体会坐标法研究曲线的方法，发展数学抽象、直观想象、数学运算素养. 3、 课时教学问题诊断分析 学生对坐标法已有初步的认识，通过直线和圆的方程的学习，对用坐标法研究曲线的基本思想与方法已有了解，但还不善于自觉运用坐标法，在学习中可能会遇到如下难点. 难点一：如何抽象出椭圆的几何特征. 难点二：如何建立适当的直角坐标系.对此，教学中应明确“适当”的“标准” 是所得方程简单，能较好地反映曲线的性质；观察椭圆知，它具有对称性，“适当”的方法是尽可能使曲线关于原点和坐标轴对称. 难点三：如何化简由椭圆的几何特征直接得到的方程.化简这个方程需要两 次两边平方，涉及字母较多，对学生的运算能力要求较高.要强化学生的“预判”能力，预判不同方案的运算量，选择更简单的运算量. 4、 教学支持条件分析 充分发挥信息技术的作用，动画演示平面截圆锥得到圆锥曲线的过程.每组 准备好画椭圆的绳子、图钉、简易画板. 5、 教学过程设计 1、引入： 前面我们用坐标法研究了直线、圆及它们的位置关系.实际生产、生活中还有很多有意思的曲线需要研究. (视频演示平面截圆锥的过程，让学生观察截面曲线有哪些，引出圆锥曲线，学生通过阅读章引言，了解圆锥曲线在实际生产、生活中的应用.) 本节课我们首先类比圆的研究方法研究椭圆及其标准方程. 设计意图：让学生整体上把握本章学习内容及基本框架，为后续学习提供支持.通过章引言了解圆锥曲线的研究背景及回顾坐标法研究曲线的步骤. 2.归纳抽象，建构椭圆的概念 数学实验： 想一想： 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？ [ 圆] 画一画： 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？ [学生可能会画出椭圆或线段.学生画完图形后进行展示.] 教师设问: （1）在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足什么几何条件？ [ 预设：到两定点的距离的和是常数的点的轨迹是椭圆（教师板书）] 学生想不出来时教师适当引导 比如，将笔尖放在椭圆上的一点处问学生，此时笔尖（动点）到两定点的距离之和是什么？ [绳长] 再换两个位置让学生回答上述问题. 1. 你能结合画椭圆的过程及我们刚才的分析给出椭圆的定义吗？ [到两定点间的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆]教师根据学生的表述板书. （3）教师演示当绳子绷直时，同学们还能画出椭圆吗？（若有学生在画图过程中考虑到了绳子绷直的情况更好，让学生分析.） [不能，是线段] （4）说明我们刚给椭圆下的定义还需补充什么条件？ [ 预设：常数>两定点间的距离.] 为了表述方便我们可以用表示两定点,于是我们可以将上述条件写成常数>. 1. 教师找一个不在图板上，但满足到两定点的距离的和等于绳长的点问： 同学们，老师的笔尖现在所在的位置满足到两定点的距离的和等于常数吗？ [ 预设：满足] 教师追问：这个动点的轨迹是什么？ [椭球] 说明我们给椭圆下的定义还需补充 “在平面内”，由此，我们得到了椭圆的定义. 设计意图：学生通过画椭圆，观察椭圆的几何特征，在此基础上老师通过几个问题引导学生将观察到的几何特点用精确的数学语言刻画出来，形成椭圆的定义.发展学生的直观想象、数学抽象的素养，提高学生思维的严谨性与语言表达能力. 3、建系推导，建立椭圆的标准方程. 同学们初中时就学习了圆的定义，进入高中后，为了更深入地研究圆，我们用坐标法研究了圆的方程.类比圆的研究方法，我们研究完椭圆的定义，紧接着来用坐标法研究椭圆的方程. 回顾求曲线方程的基本步骤：1、建系设点2、写出点集3、列出方程4、化简方程 5、检验. 接下来我们按以上步骤尝试来求椭圆的方程. 教师设问：（1）如何建立合适的平面直角坐标系？ [ 预设：学生可能会有各种不同的建系方法，教师引导学生选择最合适的平面直角坐标系，以所在的直线为x轴，以线段的中垂线为y轴]之所以选择这样建系，一方面可以让的坐标简单一些，另一方面和关于原点对称，在化简过程中可能会出现某些项相抵消. 解：设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，则的坐标分别是(-c,0)、(c,0) .又设M与和的距离的和等于正常数2a (2a>2c) . 由椭圆的定义得： [ 引导学生化简方程，可以先让学生思考该如何化简，预判每种化简方案的运算量，再动笔化简.化简对学生来说是本节课的难点，若让学生独立完成难度太大，所以教师在引导过程中要注意方法的渗透.] 先尝试两边同时平方得到： 发现运算量很大，有其他方法吗？ 可以将左边的一个根式移到右边，得： ， 将这个方程两边平方，整理得, 上式两边再平方，整理得 . 两边同除以，得. 由椭圆的定义知，2a>2c,即a>c,所以. 请同学们在右图中找出表示的线段.[学生可能会想到做辅助线] 发现 我们令，于是方程可以写成 ① 此时，发现方程的形式更简洁，更对称. 我们把方程①叫做椭圆的标准方程.它的焦点在x轴上，两个焦点分别是，这里. 同学们观察右图，你能从图中找出表示 的线段吗？[一方面加深学生对椭圆定义的理解，另一方面让学生体会在椭圆中的几何意义.] 同理，可以得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程. 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 (－c,0)与(c,0) (0，－c)与(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 4、例题精讲 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点，求它的标准方程. 用两种方法求解.方法1：根据椭圆的定义及之间的关系求.方法2：利用点满足方程＋＝1(a＞b＞0)求解. 课堂练习：课本109页练习第1、2题. 设计意图：加深学生对椭圆定义的理解，巩固椭圆方程. 5、小结 （一）知识层面 （1）椭圆的定义 （2）椭圆的标准方程 （二）思想方法层面 [学生自己总结] 数形结合、类比、坐标法研究几何问题的方法. 设计意图：梳理、提炼、升华所学知识. 6、布置作业 课本109页练习第3题，课本115页第1、2题. 7.板书设计 课题 1、 椭圆的定义 2、 椭圆的标准方程 例1 方法1 方法2 设计意图：将重点内容留在板书上，方便学生对本节内容整体把握，例题的板书旨在规范学生解题过程的书写. 学科网（北京）股份有限公司 $