25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习求根公式和判别式导入，以“思考”引导学生观察求根公式特点，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助发现两根之和与积的关系。 其亮点在于通过求根公式推导和因式分解验证培养推理意识，结合代数式变形、直角三角形边长等实例发展模型观念。课堂小结明确步骤和公式，提升抽象能力，学生能深化理解，教师可提高教学效率。

1.一元二次方程的求根公式是什么？ x = （b2–4ac≥0） 2.如何用判别式b2–4ac来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 当b2– 4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 当b2– 4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2– 4ac<0时，方程无实数根. 方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其他关系吗？ 复习回顾 人教版九年级上册 25.2 降次——解一元二次方程 第二十五章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 思考：观察求根公式 x ，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ x1 = x2 = m+n m–n 发现：相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号. 探索新知 因为 x1 = x2 = ， 所以 x1+x2 = + = = – ， x1x2 =· = = ， 你还有其他方法得出上述关系吗？ 探索新知 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的左边可以分解因式为 a(x–x1)(x–x2)，那么方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1和 x2. 反过来，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1和 x2，那么 ax2+bx+c = a(x–x1)(x–x2)， 即 ax2+bx+c = ax2–a(x1+x2)x+ax1x2 . 由此可得 –a(x1+x2)=b，ax1x2=c . 因此 x1+x2= – ，x1x2= . 探索新知 一元二次方程的根与系数的关系 若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根， 则 x1+x2= – ，x1x2= . 注意事项 （使用前提） 方程先化为一般式，确定 a，b，c . a ≠ 0 b2–4ac ≥ 0 知识点1　一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 a b c x1+x2 x1x2 x2+7x+6=0 1 7 6 – 7 6 3x2+2=1–5x 3 5 1 – x(x–1)=3x+7 1 – 4 – 7 4 – 7 7x2–5=x+8 7 – 1 – 13 – 对应练习 例5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1）x2–6x–15 = 0； （2）3x2+7x–9 = 0； （3）5x–1 = 4x2. 解：（1）x1+x2 = – (–6) = 6，x1x2 = – 15. （2）x1+x2 = –，x1x2 = = – 3. （3）方程化为4x2–5x+1=0，所以x1+x2 = – = ，x1x2 = . 例题解析 1.不解方程，求下列方程两个根 x1，x2的和与积： （1）x2－3x＋1＝0；　　 解：（1）∵a＝1，b＝－3，c＝1， ∴x1＋x2＝－ ＝－ ＝3，x1x2＝ ＝ ＝1. 解：（1）∵a＝1，b＝－3，c＝1， ∴x1＋x2＝－ ＝－ ＝3，x1x2＝ ＝ ＝1. 对应练习 （2）5x2－1＝4x2－x. （2）方程化为x2＋x－1＝0. ∵a＝1，b＝1，c＝－1， ∴x1＋x2＝－ ＝－ ＝－1，x1x2＝ ＝ ＝－1. （2）方程化为x2＋x－1＝0. ∵a＝1，b＝1，c＝－1， ∴x1＋x2＝－ ＝－ ＝－1，x1x2＝ ＝ ＝－1. 1.不解方程，求下列方程两个根 x1，x2的和与积： 对应练习 x12 + x22 (x1 – x2)2 + + ｜x1–x2｜ x1x22 + x12x2 = (x1+x2)2 – 2x1x2 = (x1+x2)2 – 4x1x2 = = = = = x1x2(x1+x2) 知识点2　与一元二次方程有关的代数式的常见变形： 典例　已知方程4x2－2x－1＝0的两个根为x1，x2，不解方 程，求代数式 ＋ 的值. 解：∵方程4x2－2x－1＝0的两个根为x1，x2， ∴x1＋x2＝ ，x1x2＝－ . ∴ ＋ ＝ ＝ ＝－2. 解：∵方程4x2－2x－1＝0的两个根为x1，x2， ∴x1＋x2＝ ，x1x2＝－ . ∴ ＋ ＝ ＝ ＝－2. 已知方程x2－3x－2＝0的两个根为x1，x2，不解方程，求下列各式的值： （1）（x1－1）（x2－1）；　　（2） x2＋x1 . 解：∵方程x2－3x－2＝0的两个根为x1，x2， ∴x1＋x2＝3，x1x2＝－2. （1）（x1－1）（x2－1）＝x1x2－（x1＋x2）＋1＝－2－3＋1 ＝－4. （2） x2＋x1 ＝x1x2（x1＋x2）＝－2×3＝－6. 解：∵方程x2－3x－2＝0的两个根为x1，x2， ∴x1＋x2＝3，x1x2＝－2. （1）（x1－1）（x2－1）＝x1x2－（x1＋x2）＋1＝－2－3＋1 ＝－4. （2） x2＋x1 ＝x1x2（x1＋x2）＝－2×3＝－6. 对应练习 一元二次方程的根与系数的关系 先整理成一般式 二次项系数不为0 确定a，b，c的值 Δ=b2–4ac ≥ 0 两根之和等于一次项系数b除以二次项系数a的相反数. x1+x2= – 两根之积等于常数项c除以二次项系数a. x1x2= ax2+bx+c=0 （a≠0） 课堂小结 1. 下列方程中，两个实数根之和等于4的方程是(　D　) A. 2x－4＝0 B. x2－4x＋5＝0 C. x2＋4x－3＝0 D. x2－4x＝0 D 课堂练习 A层 基础练 2. 一元二次方程x2＋mx＋2m＝0的两个实数根分别为x1，x2. 若x1＋x2＝1，则x1x2＝ ⁠. －2　 A层 基础练 3. (教材P17习题T7·节选)求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)5x2＋x－5＝0； (2)7x2－5＝x＋8. 解：(1)∵a＝5，b＝1，c＝－5， ∴x1＋x2＝－ ＝－ ，x1x2＝ ＝ ＝－1. (2)方程化为7x2－x－13＝0. ∵a＝7，b＝－1，c＝－13， ∴x1＋x2＝－ ＝－ ＝ ， x1x2＝ ＝ ＝－ . 解：(1)∵a＝5，b＝1，c＝－5， ∴x1＋x2＝－ ＝－ ，x1x2＝ ＝ ＝－1. (2)方程化为7x2－x－13＝0. ∵a＝7，b＝－1，c＝－13， ∴x1＋x2＝－ ＝－ ＝ ， x1x2＝ ＝ ＝－ . A层 基础练 4. 已知关于x的方程x2＋mx－10＝0的一个根是－5，求方程 的另一个根及m的值. 解：设方程的另一个根为t， 则－5＋t＝－m，－5t＝－10. 解得t＝2，m＝3. ∴方程的另一个根为2，m的值为3. 解：设方程的另一个根为t， 则－5＋t＝－m，－5t＝－10. 解得t＝2，m＝3. ∴方程的另一个根为2，m的值为3. A层 基础练 5. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2kx＋k－1＝0的 两个不相等的实数根，且满足x1＋x2－x1x2＝5，求k的值. 解：由题意，得x1＋x2＝2k，x1x2＝k－1. ∴x1＋x2－x1x2＝2k－(k－1)＝5. 解得k＝4. 当k＝4时，方程为x2－8x＋3＝0， 此时Δ＝(－8)2－4×3＝52＞0，符合题意. ∴k的值为4. 解：由题意，得x1＋x2＝2k，x1x2＝k－1. ∴x1＋x2－x1x2＝2k－(k－1)＝5. 解得k＝4. 当k＝4时，方程为x2－8x＋3＝0， 此时Δ＝(－8)2－4×3＝52＞0，符合题意. ∴k的值为4. A层 基础练 6. 已知关于x的方程x2＋(k2－4)x＋k－1＝0的两个根互为相 反数，则k的值为 ⁠. －2　 B层 提升练 7. 若m，n是方程x2－x－2 026＝0的两个根，则m2－2m－n的值为(　D　) D A. 2 022 B. 2 023 C. 2 024 D. 2 025 B层 提升练 8. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别 是 ，1.求这个一元二次方程. 解：∵一个一元二次方程的二次项系数是3， ∴设这个方程为3x2＋bx＋c＝0. 由一元二次方程根与系数的关系， 得－ ＝ ＋1＝ ， ＝ ×1＝ . 解得b＝－4，c＝1. ∴这个一元二次方程是3x2－4x＋1＝0. 解：∵一个一元二次方程的二次项系数是3， ∴设这个方程为3x2＋bx＋c＝0. 由一元二次方程根与系数的关系， 得－ ＝ ＋1＝ ， ＝ ×1＝ . 解得b＝－4，c＝1. ∴这个一元二次方程是3x2－4x＋1＝0. B层 提升练 9. (核心素养·模型观念)已知关于x的一元二次方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0. (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (1)证明：∵Δ＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1＞0， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根. (1)证明：∵Δ＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1＞0， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根. C层 拓展练 9. (核心素养·模型观念)已知关于x的一元二次方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0. (2)若方程的两根x1，x2是斜边长为5的直角三角形两直角边 长，求k的值. (2)解：由题意，得x1＋x2＝2k＋1，x1·x2＝k2＋k. ∵x1，x2是斜边长为5的直角三角形两直角边长， ∴ ＋ ＝52. ∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝25. ∴(2k＋1)2－2(k2＋k)＝25. 整理，得k2＋k－12＝0. 解得k1＝3，k2＝－4. ∵x1＋x2＝2k＋1＞0，x1·x2＝k2＋k＞0， ∴k的值为3. C层 拓展练 $