13-2 与三角形有关的线段 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件系统讲解三角形的高、中线、角平分线、内角和及外角等核心知识，通过橡皮筋移动观察、类比定义、情境问题等导入方式，搭建学习支架，帮助学生建立前后知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合实例剖析（如面积法求高、中线周长计算）和多种证法（内角和剪拼与推理证明），培养几何直观、推理能力与模型意识。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

与三角形有关的线段 模块一： 高、中线 角平分线 把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C. 观察移动过程中形成的无数条线段(AD、AE、AF、AG…)中有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？ A 从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高. B C D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 几何语言：AD⊥BC于点D，读作AD垂直BC于点D或∠ADC=∠ADB=90°. 如右图， 线段AD是BC边上的高 ② AD⊥BC，垂足为 D. ③ 点 D 在 BC 上，且∠BDA =∠CDA = 90°. ① AD 是△ABC 的高. A B C 高的叙述方法（如图）：有三种 D (1)你能画出这个三角形的三条高吗? (2)这三条高之间有怎样的位置关系? (3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点； 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 如图所示； 其他的三角形也是一样吗？ A C D A B C D E F ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ O O B 三角形高的特点 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 三角形三条高所在直线的交点称为三角形的 。 垂心 例1、如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长. 解：如图，过点A作BC边上的高线AE，交CB延长线于点E ∵BC•AE＝AC•BD，AC＝8，BC＝4，高BD＝3 ∴×4AE＝×8×3 解得 AE＝6 ∴AE的长为6 E 三角形的中线 在三角形中，连接一个 与它 的线段， 叫做这个三角形的中线. 思考：你能类比三角形高线的定义，说明什么是三角形的中线吗？ 顶点 对边中点 如图，在△ABC 中，E是BC的中点，则 是BC边上的中线，此时：______________ B A C A E AE BE=CE 三角形中线的符号语言： ∵AE是△ABC的中线 ∴BE=CE = O D C B A 如图，在△ABC中，还能画出几条中线呢？你发现了什么特征？ 还能画出2条，3条中线交于一点. 重心 重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 想一想 直角三角形、钝角三角形的重心在哪？ 任意三角形的三条中线 都相交于三角形内部 例2、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，AB与AC的长度和为11cm，求AC的长． 解：∵AD是BC边上的中线， ∴D为BC的中点，CD=BD． ∵△ADC的周长比△ABD的周长多3cm． ∴AC-AB=3cm． 又∵AB+AC=11cm， ∴AB=4cm，AC=7cm．即AC的长度是7cm． D B C A 如图，∠BAD = ∠CAD ，AD叫做三角形的什么呢？ 三角形的角平分线. 定义：在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。 三角形角平分线的符号语言： ∵AD是 △ABC的角平分线 ∴∠BAD = ∠CAD = 任意三角形的三条角平分线都相交于一点，且都在三角形内部． 例1、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC（∠B>∠C）. 若∠B=80°，∠C=30°，求∠DAE. 解：∵在△ABC中， ∠B=80°，∠C=30°， ∴∠BAC=70°. ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠BAE=2∠CAE. ∵∠BAC=70°， ∴∠BAE=35°. ∵AD⊥BC，∠B=80°， ∴∠BAD=10°. ∴ ∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-10°=25°. D E ┐ B A C 1.如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的有（　　） A．AD是△ABE的角平分线 B．BE是△ABD边AD上的中线 C．CH为△ACD边AD上的高 D．AH为△ABC的角平分线 2. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC 的高的有 （　　） A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．5 条 C B 3.填空： (1) 如图①，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线，则 AB = 2＿＿，BD = ＿＿，AE = ＿＿ . (2) 如图②，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线， 则∠1 =_______， ∠3 =_______，∠ABC = 2_____. 图② AF DC ∠CAD ∠2 ∠BCF A B C D E F AC 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长。 解：∵DB为△ABC的中线 ∴AD＝CD 设AD＝CD＝x，则AB＝2x 当x+2x＝12，解得x＝4 BC+x＝15，解得BC＝11 此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11 当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7 此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7 5.如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF 和△BEF 的面积分别为 S△ABC ， S△ADF 和 S△BEF ，且 S△ABC ＝12，求 S△ADF－S△BEF 的值. 解：∵ 点 D 是 AC 的中点，∴ AD＝AC. ∵ S△ABC＝12，∴ S△ABD＝S△ABC＝×12＝6. ∵ EC＝2BE，S△ABC＝12， ∴ S△ABE＝S△ABC＝×12＝4. ∵ S△ABD－S△ABE ＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF) ＝S△ADF－S△BEF， ∴ S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 6.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？ 解：根据面积比值为1：1：2的要求，可以将三角形菜地的总面积看作4份. 利用三角形的中线可以将三角形分成面积相等的两个小三角形的性质. 如图，分别作出两条中线，所得到的△ABE，△AED，△ADC的面积之比就是1：1：2. A B C E D ∵AD是△ABC的高线. ∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90° ∵ AD是△ABC的BC上的中线 ∴ BD=CD= ½BC ∵AD是△ABC的∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC 三角形的重要线段 三角形的高线 图形 几何语言 三角形的中线 图形 几何语言 三角形的角平分线 图形 几何语言 模块二： 三角形的内角和 在小学我们已经知道，任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？ B B C C A 剪拼 A B C 度量 折叠 存在误差 如何通过推理的方法证明：任意一个三角形的内角和一定等于180°？ B B C C A l A B C 2 4 1 5 3 　 l 直线l与△ABC的边BC有什么关系？ 你能写出证明过程吗？ 由此，你能想出证明方法吗？ 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 1 2 M N 证法1：过点A作MN∥BC， ∴∠B=∠1,∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°(平角定义) ∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换） 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 ， (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A D 1 2 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线通常画成虚线. E 三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180°. 几何语言： ∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理) 例1.如图，在△ABC中，∠BAC=40°, ∠B=75°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解：由∠BAC=40°, AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD=∠BAC=20°. 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20° =85°. 例2.如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？ 解：∠CAB=∠BAD-∠CAD =80°-50°=30° 由AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180° 所以 ∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100° ∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60° 在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB =180°-60°-30°=90° 你能把下列推理补充完整吗？ 如图，在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=_____( ) ∵∠C=90°( ) ∴∠A+∠B=_____ 180° 90° 三角形内角和180° 已知 在直角三角形中，根据三角形内角和定理： ∠A+∠B=90°，即∠A与∠B互余. 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形可用“Rt△”表示： Rt△ABC 几何语言： ∵∠ C=90 ° ∴∠A+∠B=90 °（直角三角形的两个锐角互余.） 例3、如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？ 解：∠CAE=∠DBE，理由如下： 在Rt△ACE中， ∠CAE=90°-∠AEC. 在Rt△BDE中, ∠DBE=90°-∠BED. ∵ ∠AEC=∠BED， ∴ ∠CAE=∠DBE. ※直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．　　 几何语言： 在△ABC中， ∵∠A+∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形. 1.如图，点B、C、D在同一直线上，AB∥CE，若∠A＝55°，∠ACB＝65°，则∠1的值为（　　） A．80° B．65° C．60° D．55° 2.如图四边形ABCD中，AB∥CD，将四边形沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处，若∠1=∠2=44°，则∠B为( )． A．66° B．104° C．114° D．124° C C 3.如图，在△ABC 中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的度数为_________. 4.如图，∠1+∠2+∠3+∠4=______. 20° 280° 5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC， AD、BE 相交于点F． (1)若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； (2)试说明：∠AEF＝∠AFE． (1)解：∵AD⊥BC， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠ABC＝18°， ∴∠AEF＝90°-∠ABE＝72°. 求角度 证法 应用 转化为一个平角 或同旁内角互补 辅助线 三角形的 内角和等 于180 ° 作平行线 转化思想 直角三角形的两个锐角互余. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 模块五： 三角形的外角 B D C A O ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 发现懒羊羊独自在O处游玩后,灰太狼打算用迂回的方式,先从A前进到C处,然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路,红太狼则直接在A处拦截懒羊羊,已知∠BAC=40º,∠ABC=70º灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？ B D C A O ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 利用“三角形的内角和为180º”来求∠BCD,你会吗? 由三角形内角和得∠BCA=180-∠A-∠CBA=70º， ∴∠BCD=180º-∠BCA=110º. 【思考】像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质. 这节课让我们一起来探讨吧. D 定义 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 画一个△ABC，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试. 同时想一想外角与相邻内角有什么特殊关系？ 1 2 3 4 5 6 1.每个外角是相邻内角的邻补角； 2.每一个顶点相对应的外角都有２个； 3.每一个三角形都有６个外角. ①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一条边； ③另外一条边是三角形某条边的延长线. B C A D 三角形的外角具备什么特征？ 如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°.∠ACD是△ABC的一个外角.能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？ 解：在△ABC中， ∵∠A=70°，∠B=60°. ∴∠ACB=180°-70°-60°=50° ∴∠ACD=180°-50°=130° ∠ACD=∠A+∠B 任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ 已知：如图，△ABC， 求证：∠ACD=∠A+∠B. 由三角形的内角和可知 ∠A+∠B+∠ACB=180° 由邻补角的定义可知 ∠ACD +∠ACB=180° ∴∠ACD =∠A+∠B . 三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A +∠B. 如图,试比较∠2、∠1的大小； 如图,试比较∠3、∠2、∠1的大小. 图 图 解：∵∠2=∠1+∠B, ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2=∠1+∠B,∠3=∠2+∠D, ∴∠3＞∠2＞∠1. 三角形的外角大于与它不相邻的内角. 三角形内角和定理的推论1 A B C D 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. ∵∠ACD是△ABC的一个外角 推导格式： ∴∠ACD=∠A+∠B. 三角形内角和定理的推论2 三角形的外角大于与它不相邻的内角. ∵∠ACD是△ABC的一个外角 推导格式： ∴∠ACD＞∠A,∠ACD＞∠B. 例4.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和，得 ∠BAE=∠2+∠3， ∠CBF=∠1+∠3， ∠ACD=∠1+∠2 所以 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3) , 由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°. 你还有其他解法吗？ 1.如图,AB∥CD,∠A＝37º,∠C＝63º，那么∠F等于( ) A.26º B.63º C.37º D.60º 2.如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，则∠CFE的度数为( ) A.62° B.68° C.37° D.60° A A 3.如图，CE⊥AF于E，若∠F=40°，∠C=50°，则∠DBC=_____. 4.如图，AB//CD，∠A=38°，∠C=80°，则∠M=_____. 80° 42° 5.如图所示，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC=∠B+2∠E. 证明：∵∠ECD是△EBC的外角， ∴∠ECD=∠B+∠E. ∵∠BAC是△ACE的外角， ∴∠BAC=∠E+∠ACE. ∵CE是∠ACD的平分线， ∴∠ACE=∠ECD=∠B+∠E. ∴∠BAC=∠E+∠ACE=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E. B A C D E 6.如图，在五角星的图中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 解:∵∠1是△BDF的一个外角, ∴∠1=∠B+∠D, ∵∠2是△EHC的一个外角, ∴∠2=∠C+∠E, ∵∠A+∠1+∠2=180°, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 7.如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数． E 解：延长 BP 交 AC 于点 E， 则∠BPC，∠PEC 分别为△PCE，△ABE 的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A. ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 三角形的外角 角的一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形的另一边的延长线 定义 性质 三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于360° Lavf57.83.100 $