第1章 数列（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

第1章　数列

全卷满分150分　考试用时120分钟

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a3=3,则S4=(　　)

A.12　　　　B.10　　　　C.8　　　　D.6

2.各项均为正数的等比数列{an}中,a6与a12的等比中项为3,则log3a7+log3a11=(　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

3.《算法统宗》是我国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,如“九儿问甲歌”:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,这位公公的长儿的年龄为(　　)

A.23岁　　　　B.32岁　　　　C.35岁　　　　D.38岁

4.已知数列{an}中,a1=-,an=1-(n≥2),则a100=(　　)

A.5　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-

5.已知等差数列{an}的项数为2m+1(m∈N+),其中奇数项之和为140,偶数项之和为120,则m=(　　)

A.6　　　　B.7　　　　C.12　　　　D.13

6.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=a,an+1=,若a6=,则(　　)

A.0<S5<　　　　　B.<S5<1　　　　

C.1<S5<　　　　　D.<S5<2

7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,已知a5=11,S10=120,bn=,若Tk=,则正整数k的值为(　　)

A.9　　　　B.8　　　　C.7　　　　D.6

8.已知数列{an}满足a1=1,a2=,anan+2=4,则an的最小值为(　　)

A.2-12　　　　B.2-10　　　　C.2-5　　　　D.2-6

二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)

9.已知{an}是各项均为正数的无穷数列,其前n项和为Sn,且 +=1(n∈N+),则下列结论正确的有(　　)

A.a2<a1

B.对于任意的n∈N+,Sn≥n+1

C.存在k∈N+,使得ak<1

D.数列{an}有最大值,无最小值

10.在数列{an}中,若-=p(n≥2,n∈N+,p为常数),则称{an}为等方差数列.下列对等方差数列的判断正确的是(　　)

A.若{an}是等差数列,则{}是等方差数列

B.{(-1)n}是等方差数列

C.若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N+,k为常数)也是等方差数列

D.若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列

11.设正整数n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2k-1+ak·2k,其中ai∈{0,1},记ω(n)=a0+a1+…+ak,则(　　)

A.ω(2n)=ω(n)　　　　　B.ω(2n+3)=ω(n)+1

C.ω(8n+5)=ω(4n+3)　　　　　D.ω(2n-1)=n

三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)

12.已知数列{an},满足2a1+3a2+4a3+…+(n+1)an=n(n∈N+),则a2 023=　　　　. 

13.已知等比数列{an}是递增数列,若a1=1,且3a2,2a3,a4为等差数列,则{an}的前4项和S4=　　　　. 

14.如图,P1是一块半径为2a的半圆形纸板,在P1的左下端剪去一个半径为a的半圆后得到图形P2,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得到图形P3,P4,…,Pn,…,记第n块纸板Pn的面积为Sn,则S3=　　　　,若∀n∈N+,Sn> 恒成立,则a的取值范围是　　　　. 

四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)在①Sn=2an-1,②=,a2=,③Sn=2n+1这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.

已知数列{an}的前n项和为Sn,　　　　,数列{bn}满足bn=anan+1,求数列{bn}的前n项和Tn. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.(15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且2a6-a3=9,S5=15.

(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn;

(2)若bn=·an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.(15分)已知数列{an},{bn}满足an-bn=2n.

(1)若{an}是等差数列,b2=1,b4=-7,求数列{bn}的前n项和Sn;

(2)若{bn}是各项均为正数且公比为q的等比数列,是否存在实数q,使{an}为等比数列?若存在,求出q的值;若不存在,请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.(17分)已知数列{an}满足an+1-2an+2=0,且a1=8.

(1)证明:数列{an-2}为等比数列;

(2)设bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N+,m≥Tn恒成立,求m的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.(17分)数学归纳法是一种数学证明方法,通常被用于证明某个给定的命题在整个(或者局部)正整数范围内成立,证明分为下面两个步骤:1.证明当n=n0(n0∈N+)时命题成立;2.假设n=k(k∈N+,且k≥n0)时命题成立,推导出在n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有自然数n都成立.已知有穷递增数列{an},a1=-1,a2>0,n∈N+且n≥3.定义:集合A={(x,y)|x=ai,y=aj,1≤i≤n,1≤j≤n,i,j∈N+},若∀(x1,y1)∈A,∃(x2,y2)∈A,使得x1x2+y1y2=0,则称{an}具有性质T.

(1)若数列-1,1,2,m(m>2)具有性质T,求实数m的值;

(2)若{an}具有性质T,且a2=1,a3=2,

(i)猜想当n≥2时{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想;

(ii)求+++…+(n≥2).