25.2.1.1直接开平方法-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法”解一元二次方程，核心知识点包括基础形式\(x^2=p(p\geq0)\)和拓展形式\((mx+n)^2=p(p\geq0,m eq0)\)。课堂导入通过\(x^2=9\)等具体方程引导学生回顾平方根知识，搭建从旧知到新知的学习支架，明确“降次”转化思想。 其亮点在于分层设计练习题（基础巩固、能力提升、拓展培优），结合易错点总结（如开平方遗漏负根），培养学生运算能力和推理意识。通过“降次”转化体现数学思维，详细解析和规范步骤帮助学生掌握方法，教师使用时能高效实施分层教学，提升学生解题能力。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.2.1.1直接开平方法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 人教版数学九年级上册25.2.1.1直接开平方法专项练习 一、核心知识点梳理 直接开平方法是解一元二次方程最基础、最简便的方法，核心依据是平方根的定义：若\(x^2=p(p\geq0)\)，则\(x=\pm\sqrt{p}\)。该方法适用于可整理为两种标准形式的一元二次方程，解题核心是“降次”，将二次方程转化为一元一次方程求解。 1. 基础形式：\(\boldsymbol{x^2=p(p\geq0)}\)。当\(p>0\)时，方程有两个不相等的实数根\(x_1=\sqrt{p}\)，\(x_2=-\sqrt{p}\)；当\(p=0\)时，方程有两个相等的实数根\(x_1=x_2=0\)；当\(p<0\)时，方程无实数根。 2. 拓展形式：\(\boldsymbol{(mx+n)^2=p(p\geq0,m eq0)}\)。两边直接开平方得\(mx+n=\pm\sqrt{p}\)，再分别解两个一元一次方程，即可求出方程的两个根。 解题步骤：先移项、整理方程，将平方项单独置于等式一侧，常数项移至另一侧；判断常数项正负，确定方程根的情况；开平方转化一次方程；最终求解并规范书写根。 二、分层专项练习题 （一）基础巩固题（共4题） 1. 下列方程适合用直接开平方法求解的是（） A. \(x^2+6x=0\) B. \((x-3)^2=9\) C. \(x^2-4x+2=0\) D. \(x^2+2x-1=0\) 2. 用直接开平方法解方程：\(x^2-36=0\) 3. 解方程：\(3x^2=27\) 3. 解方程：\((2x-3)^2=25\) 4. 已知方程\((x+m)^2=4\)的一个根为\(x=1\)，求\(m\)的值及方程的另一个根。 （三）拓展培优题（共2题） 1. 解方程：\(4(x+3)^2-9(x-2)^2=0\) 2. 已知一元二次方程\(a(x+b)^2=c\)（\(a eq0\)）的两根为\(x_1=1\)，\(x_2=-3\)，求方程\(a(x+b+2)^2=c\)的根。 三、参考答案及详细解析 （一）基础巩固解析 1. 答案：B。解析：直接开平方法适用于平方项单独等于常数的形式，只有B选项符合\((mx+n)^2=p\)的标准形式，其余方程需配方或因式分解求解。 2. 解析：移项得\(x^2=36\)，\(p=36>0\)，开平方得\(x=\pm6\)，故\(x_1=6\)，\(x_2=-6\)。 3. 解析：系数化为1得\(x^2=9\)，开平方得\(x=\pm3\)，故\(x_1=3\)，\(x_2=-3\)。 4. 解析：开平方得\(x=\pm0.5\)，故\(x_1=0.5\)，\(x_2=-0.5\)。 （二）能力提升解析 1. 解析：直接开平方得\(x+2=\pm4\)，当\(x+2=4\)时，\(x=2\)；当\(x+2=-4\)时，\(x=-6\)，即\(x_1=2\)，\(x_2=-6\)。 2. 解析：移项得\(2(x-1)^2=8\)，系数化为1得\((x-1)^2=4\)，开平方得\(x-1=\pm2\)，解得\(x_1=3\)，\(x_2=-1\)。 3. 解析：开平方得\(2x-3=\pm5\)，当\(2x-3=5\)时，\(2x=8\)，\(x=4\)；当\(2x-3=-5\)时，\(2x=-2\)，\(x=-1\)，即\(x_1=4\)，\(x_2=-1\)。 4. 解析：将\(x=1\)代入方程得\((1+m)^2=4\)，开平方得\(1+m=\pm2\)。当\(1+m=2\)时，\(m=1\)，方程为\((x+1)^2=4\)，另一根为\(x=-3\)；当\(1+m=-2\)时，\(m=-3\)，方程为\((x-3)^2=4\)，另一根为\(x=5\)。 （三）拓展培优解析 1. 解析：移项得\(4(x+3)^2=9(x-2)^2\)，两边开平方得\(2(x+3)=\pm3(x-2)\)。①\(2x+6=3x-6\)，解得\(x=12\)；②\(2x+6=-3x+6\)，解得\(x=0\)。故\(x_1=12\)，\(x_2=0\)。 2. 解析：方程\(a(x+b+2)^2=c\)可变形为\(a[(x+2)+b]^2=c\)，结合原方程根的规律，可得\(x+2=1\)或\(x+2=-3\)，解得\(x_1=-1\)，\(x_2=-5\)。 四、易错点总结 1. 开平方易遗漏负根，默认只取正根，导致解题不完整；2. 未先将平方项系数化为1，直接开平方计算出错；3. 忽略\(p\geq0\)的前提，对负数开平方出现无实数根的误判；4. 拓展形式中，开平方后未整体求解括号内式子，拆分计算出现步骤错误。解题时需牢记“正数两根、零一根、负数无根”的规律，规范步骤、仔细验算。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一元二次方程. 能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程. 体会“降次”的数学思想. 如果方程转化为x2=p,该如何解呢？ 求出下列各式中x的值，并说说你的理由. 1. x2=9 2. x2=5 x=± =±3 x=± 【思考】 情境导入 问题 下面这个一元二次方程怎么解？ x2=4. 解：根据平方根的意义，得 x=±2. 即 x1​=2，x2​=−2. 探究新知 一般地，对于方程 x2=p, (1) 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1​=，x2​=−​； (2) 当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1​=x2​=0； (3) 当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根. 探究新知 探究 对照上面解方程 x2=4 的过程，你认为应怎样解方程 (x+3)2=5? (x+3) 2=5， ① 得 x+3=， ② 即 x+3=，或x+3=. 于是，方程(x+3) 2=5的两个根为 x1=-3+，x2=-3-. 由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了. 探究新知 知识点1 解形如 的一元二次方程 1.一元二次方程 的根是( ) D A. B. C. D.或 返回 举一反三 7 2.一元二次方程 的根是( ) C A. B.， C.， D. 返回 举一反三 8 3.已知关于的方程 . （1）当 ___0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当 ___0时，方程有两个相等的实数根； （3）当 ___0时，方程无实数根. 4.若一元二次方程的根分别是，，且，则 的值为 ______. 返回 举一反三 9 解下列方程： (1) 4x2−3=0； 例1 解：(1) 移项，并将二次项系数化为 1，得 x2=. 由此可得 x=±, 即 x1​=，x2​=﹣. 探究新知 解下列方程： (2) (x+2)2−9=0. 例1 解：(2) 移项，得 (x+2)2=9. 由此可得 x+2=±3, x+2=3，或x+2=﹣3， 即 x1​=1，x2​=﹣5. 探究新知 解下列方程： (1)3x2-15=0； (2)(3x-6)2=0； 跟踪训练 解：(1)移项，得3x2=15. 二次项系数化为1，得x2=5. 开平方，得x=±5， 即x1=，x2=-. (2)整理，得(3x-6)2=0. 开平方，得3x-6=0. 所以x1=x2=2. 探究新知 解下列方程： ((3)2(3y+2)2-32=0； (4)25x2+10=1. 跟踪训练 解：(3)移项，得2(3y+2)2=32. 整理，得(3y+2)2=16. 开平方，得3y+2=±4， 即3y+2=4,或3y+2=-4， 所以y1=，y2=-2. (4)移项，得25x2=-9. 二次项系数化为1， 得x2=﹣ <0, 所以方程无实数根. 探究新知 5.［教材例 变式］用直接开平方法解下列方程： （1） ; 解：二次项系数化为1，得 ， 两边直接开平方，得， . （2） ； 解：移项、合并同类项，得 ， 即 ， 两边直接开平方，得， . 举一反三 14 （3） ； 解：移项、合并同类项，得 ， 即 ，两边直接开平方， 得， . （4） . 解：方程可化为，即 . 两边直接开平方，得， . 返回 举一反三 15 知识点2 解形如 的一元二次方程 6.一元二次方程 可以转化为两个一元一次方程，其中一个 一元一次方程为 ，则另一个一元一次方程为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 16 7.若关于的方程可以用直接开平方法求解，则 的取 值范围是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 17 8.用直接开平方法解一元二次方程 的步骤如下： ，， . 其中开始出现错误的步骤是____.（填序号） ② 返回 举一反三 18 9. 若关于的一元二次方程 有两个不相等 的实数根，则 的值可以为_________________（写出一个即可）. 5（答案不唯一） 返回 举一反三 19 10.［教材例 变式］解下列方程： （1） ； 解：移项，得 ， 两边直接开平方，得 ， 解得， . 举一反三 20 （2） ； 解：移项，得 ， 即 . 两边直接开平方， 得或 ， 解得， . 举一反三 21 直接开平方法 解一元二次方程 x2=p (1) 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1​=，x2​=−​. (2) 当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1​=x2​=0. (3) 当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $