精品解析：广东江门市江海区外海中学2027届高三9月份质量检测数学试题

2026-2027学年度高三9月份质量检测数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题月的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效， 5．号试结束后，将答题卡交回， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】，所以. 故选：B 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 3. 设向量满足， ，则= A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，两式相加得：，所以，故选A. 考点：本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，熟练基础知识与基本题型是解答好本类题目的关键． 4. 双曲线： （， ）过点和，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知点和在双曲线上，则，解得， 故其渐近线方程为． 5. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，利用二倍角公式和商数关系化简原式即可求解. 【详解】角的终边经过点，则， 所以. 故选：D. 6. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，    因为，则， 则， 故，则， 所以该棱台的体积为. 故选：C. 7. 把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术攻关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 16种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可. 【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组， 安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组. 若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人； B组已有{丁}，还差3人， 则从剩余4人中选1人进A组，方案数为. 若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为. 所以当甲、乙在A组时，方案数为种. 情况2：甲、乙两人都在 B 小组， 甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致， 安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ， 所以当甲、乙在B组时，方案数为  种. 故所有分配方案共有种. 8. 已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先研究函数的周期性，再根据函数的周期性和奇偶性求的值，进而可得的值. 【详解】因为，所以， 用代替可得：， 所以，所以函数是以4为周期的周期函数. 所以. 令，由得，； 又因为函数为偶函数，所以， 所以. 因为，所以，解得. 所以. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在k使得直线l与直线：垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出直线l所过定点坐标，结合点与圆位置关系的判定方法即可判断A、C；求出使得直线l与直线：垂直的k值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D. 【详解】对于A、C，由l：，得， 令，解得，所以直线恒过定点，故A错误； 因为直线恒过定点，而，故在圆O：内， 所以直线l与圆O相交，故C正确； 对于B，直线的斜率为，则当时满足直线l与直线垂直，故B正确； 对于D，时，直线，故圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误. 故选：BC. 10. 已知正项等比数列满足，，若设其公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 由条件可得，解出，进而可得通项公式和前n项和，再由可判断D. 【详解】由题意，得，解得（负值舍去），选项A正确； ，选项B正确； ，所以，选项C错误； ，而，选项D正确． 故选：ABD. 11. 已知是抛物线：的焦点，，是上的两个动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 的最小值为 C. 若，，三点共线，则的最小值为2 D. 若（为坐标原点）为正三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：由抛物线方程求准线方程即可；对于B：根据题意结合抛物线的定义分析求解；对于C：根据抛物线的性质即可得结果；对于D：分析可知垂直于轴，结合方程运算求解即可. 【详解】对于选项A：由抛物线方程可得，即，且焦点在x轴正半轴上， 所以的准线方程为，故A正确； 对于选项B：因点在的内部，过点作垂直于直线，垂足为， 则， 当且仅当，，三点共线时，等号成立， 所以的最小值为，故B错误； 对于选项C：因为直线过焦点， 可知当垂直于轴时，取到最小值为，C正确； 对于选项D：当为正三角形时，可知垂直于轴， 设，则，代入的方程得，得， 所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前项和.若，，则__________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可. 【详解】由等差数列通项公式， 代入可得，解得. 因为，所以， 故. 13. 若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据零点定义，转化为与在上有交点，求出值域即可得解. 【详解】因为函数在区间上存在零点， 即与在上有交点， 又， 在上单调递增， 故时，则， 设，则， 由可得， 即与在上有交点，则. 故答案为： 14. 已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知的面积为，且. （1）求角； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）周长为 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式与余弦定理，可得，根据的范围可求得； （2）利用正弦定理化简，结合的范围，可得.然后再利用正弦定理可求得、的长度，进而得到的周长. 【小问1详解】 由三角形面积公式可得；由余弦定理，， 代入，可得， 因为，所以，因为，所以. 【小问2详解】 由结合正弦定理， 因为，所以， 又因为，所以，，所以. 因为，由正弦定理， 所以， . 所以周长为. 16. 如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，与交于点． （1）证明：直线平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接、、， 则，且，即， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则，， 又平面，平面，所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】取的中点，连接、、，通过证明四边形为平行四边形得到，最后证得直线平面； （2）分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再求平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直四棱柱中，底面，且， 如图，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 设是平面一个法向量，则，， ，取得为平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，， 取得为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，那么， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 2026年7月17日至20日，世界人工智能大会在上海举办，主题为“智能伙伴共创未来”，聚焦人工智能全球治理与产业应用，习近平主席出席开幕式并发表主旨讲话．某校组织学生参加知识网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各调查了100人．设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． （1）根据已知调查样本完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用表示甲同学本次答题的题目数量，求的分布列和期望． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 认为学生报名参加答题活动与性别有关联. （2） 1 2 3 4 . 【解析】 【分析】（1）根据题意完成列联表中的数据，再计算出的值判断即可； （2）列举的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可得出的分布列和数学期望. 【小问1详解】 ，所以不愿意报名参加答题活动人数为，愿意报名参加答题活动人数为， 又，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为， 则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为学生报名参加答题活动与性别有关联. 【小问2详解】 的所有可能取值为：， ，，，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 故． 18. 已知椭圆的离心率为分别为的左．右顶点，为的上顶点，且． （1）求的方程； （2）过的右焦点作斜率不为0的直线交于两点，设直线与交于点． ①证明：点在定直线上； ②求的最大值． 【答案】（1） （2）①证明：由于直线过点且斜率不为0，所以可设直线的方程为． 由得， 设，则， 所以． 因为椭圆的左，右顶点分别为， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 联立直线与的方程得 , 解得，所以点在定直线上． ②. 【解析】 【分析】（1）根据条件可求，根据离心率可求，进而可求； （2）①假设直线的方程，与椭圆联立列出韦达定理，联立直线与，将韦达定理整体代入最终可求解点的横坐标； ②设直线的倾斜角分别为，则，利用①的结论可得关于角的表达式，利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意知，， 所以，即． 又，所以， 所以． 所以的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②设直线的倾斜角分别为，则， 由①知，所以， 所以 当且仅当时取等号，所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算判别式； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，； （2）当时，，求的取值范围； （3）当时，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合导数几何意义建立方程求解； （2）法一：构造差函数，结合导函数符号的变化分类讨论函数的单调性，进而由恒成立求解参数范围即可；法二：先由必要性探路分析界点，当，确定界点；再结合界点分类讨论即可； （3）法一：构造差函数，结合端点效应分析界点，再分类讨论可得；法二：分离参数，结合洛必达法则求解. 【小问1详解】 ， 由切点在直线上，也在函数图象上， 可知且，可得； 由，则切线的斜率为， 解得； 故. 【小问2详解】 由（1）知，， 则 ， 故题意可转化为对任意恒成立， 法一：令，， 则， 当时，由且， 则，即， 则在上单调递增，又， 要使对任意恒成立， 则，解得； 当时，不成立； 当时，，，且， 则， 即，则在上单调递减， 又当时，，不满足题意； 综上所述，的取值范围为. 法二： 不等式可转化为， 即对任意恒成立， 当时，不成立； 当时，设，， 当时，由，可知， ， 这与对任意恒成立矛盾； 当时，， ， 由，故在上单调递增， 故在上存在唯一零点，设为， 且当时，，即， 此时不等式不成立； 当时，， 则在上单调递增， 由，故， 故不等式，即恒成立， 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 法一：设， 则 ， 令， 则， 其中，，. 当时，， 则在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，设 ， 由，可知且， 则，可知在上单调递增， 故，即， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，此时，又， 则存在正实数，使得，， 则在上单调递减，则， 即当，，不满足题意； 综上所述，，即的最小值为. 法二：由可得 ， 则，即， 则， 由，可知，则， 故原不等式可转化为， 由， 设，， 则， 设，，令， 则，， 由， 再令， ，故在上单调递增， 故，则，故在上单调递增， 所以，即， 故在上单调递减， 又由洛必达法则可知， 故要使当时，恒成立，则， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三9月份质量检测数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题月的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效， 5．号试结束后，将答题卡交回， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合,则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 设向量满足， ，则= A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4. 双曲线： （， ）过点和，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为（       ） A. B. C. D. 7. 把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术攻关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 16种 D. 24种 8. 已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在k使得直线l与直线：垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为 10. 已知正项等比数列满足，，若设其公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知是抛物线：的焦点，，是上的两个动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 的最小值为 C. 若，，三点共线，则的最小值为2 D. 若（为坐标原点）为正三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前项和.若，，则__________． 13. 若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是___________. 14. 已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知的面积为，且. （1）求角； （2）若，，求的周长． 16. 如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，与交于点． （1）证明：直线平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 2026年7月17日至20日，世界人工智能大会在上海举办，主题为“智能伙伴共创未来”，聚焦人工智能全球治理与产业应用，习近平主席出席开幕式并发表主旨讲话．某校组织学生参加知识网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各调查了100人．设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． （1）根据已知调查样本完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用表示甲同学本次答题的题目数量，求的分布列和期望． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知椭圆的离心率为分别为的左．右顶点，为的上顶点，且． （1）求的方程； （2）过的右焦点作斜率不为0的直线交于两点，设直线与交于点． ①证明：点在定直线上； ②求的最大值． 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，； （2）当时，，求的取值范围； （3）当时，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $