专题13数据的分析精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦数据的分析核心知识点，系统梳理算术平均数、加权平均数、中位数、众数等集中趋势统计量的计算与意义，衔接离差、方差、标准差等离散程度统计量，构建从数据读取、计算到合理选用统计量的完整学习支架。 资料通过重点辨析易错点（如中位数需排序、众数是数据本身），分层设计23种题型（基础到提升），结合实际情境决策题（如用众数选进货方案、方差判断稳定性），培养学生数据意识与应用意识，课中辅助教学高效，课后助力学生查漏补缺，强化知识理解与运用。

专题13数据的分析精讲学案 核心立意： 掌握算术平均数、加权平均数、中位数、众数的计算，理解集中趋势统计量的现实意义；会从统计图读取数据计算统计量；理解离差、离差平方和、方差、标准差，判断数据波动；结合实际情境合理选择统计量分析、解释数据。 平均数、加权平均数（刻画集中趋势） ❶算术平均数：一组数据总和除以数据总个数，记作x，反映数据整体平均水平。 ❷加权平均数：各数据重要程度不同，赋予对应权重；权重可以是数据个数、比例、百分比；公式=，权重越大，该数据对平均数影响越大。 ❸特点：平均数使用全部数据，容易受极端偏大、偏小数值干扰。 中位数与众数（刻画集中趋势） ❶中位数：将数据按从小到大（或从大到小）排序；数据个数为奇数，取中间位置数；数据个数为偶数，取中间两个数的平均数；代表数据中等水平，不受极端值影响。 ❷众数：一组数据中出现次数最多的数据；一组数据可以有一个、多个众数，也可以没有众数；代表多数水平，不受极端值影响。 ❸小结：平均数、中位数、众数都是刻画数据集中趋势的统计量。 从统计图分析数据的集中趋势 ❶条形统计图：读取每组对应数据，计算平均数、中位数、众数。 ❷扇形统计图：利用扇形占比作为权重，计算加权平均数。 ❸核心：读懂图表信息，提取完整数据，再完成统计量计算。 数据的离散程度（离差、离差平方和、方差、标准差） ❶离差：每一个数据与平均数的差值。 ❷离差平方和：各个数据与平均数之差的平方相加求和；可以刻画数据波动；受数据总个数影响，样本数量不一样时，不能直接用离差平方和对比波动。 ❸方差：离差平方和除以数据总个数；衡量数据波动大小；方差越大，波动越大，数据越不稳定；方差越小，波动越小，数据越稳定。 ❹标准差：方差的算术平方根；标准差单位和原始数据单位保持一致；方差单位与原数据单位不一致。 统计量的合理选用 ❶无极端异常数据，优先选平均数描述整体水平； ❷存在极端大、小数值，优先选用中位数； ❸关注出现频次最高的量，优先选用众数； ❹对比数据稳定性，选用方差； ❺算出统计量后，结合现实背景解释结果，不能只罗列数字。 重点辨析 ❶求中位数，必须先排序，不能直接取原始序列中间数字。 ❷众数是数据本身，不是数据出现的次数。 ❸加权平均数，权重总和等于总个数（频数）或者等于1（百分比）。 ❹样本数量不同，禁止直接用离差平方和比较两组数据波动，应当使用方差。 ❺方差、标准差只描述波动；数值小仅代表稳定，不代表数据本身数值更大、更好。 ❻标准差和方差变化规律一致：方差大则标准差大，方差小则标准差小。 1.求中位数忘记排序，直接取原始数据中间数字 2.将众数错误当成数据出现的次数 3.加权题型直接算算术平均数，忽略权重 4.数据含有极端值，依旧盲目使用平均数分析 5.样本个数不同，直接拿离差平方和对比数据波动 6.忽略标准差与原数据单位一致，混淆方差、标准差单位 7.读取统计图提取数据出错，造成统计量计算错误 8.误认为方差大代表数据质量差，方差小代表数据数值大 9.求出统计量，不会结合题意做实际解释 题型 考察方向 难度 题型一 求众数 ★ 题型二 利用众数求未知数据的值 ★★ 题型三 运用众数做决策 ★★ 题型四 求一组数据的平均数 ★ 题型五 已知平均数求未知数据的值 ★★ 题型六 利用已知的平均数求相关数据的平均数 ★★★ 题型七 利用平均数做决策 ★★ 题型八 求加权平均数 ★★ 题型九 利用加权平均数求未知数据的值 ★★★ 题型十 运用加权平均数做决策 ★★★ 题型十一 求方差 ★★ 题型十二 利用方差求未知数据的值 ★★★ 题型十三 根据方差判断稳定性 ★★ 题型十四 运用方差做决策 ★★★ 题型十五 标准差 ★★ 题型十六 求离差平方和 ★★ 题型十七 离差平方和的应用 ★★★ 题型十八 用样本平均数估计总体平均数 ★★ 题型十九 求中位数 ★ 题型二十 利用中位数求未知数据的值 ★★★ 题型二十一 运用中位数做决策 ★★ 题型二十二 求四分位数 ★ 题型二十三 画箱线图 ★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：求众数 解题思路：①梳理全部数据，统计每个数据出现的次数；②找出出现次数最多的数据，即为众数；③一组数据可以有一个或多个众数；若所有数据出现次数完全相同，则这组数据没有众数；众数是数据本身，不是出现的次数 1．数据3，4，5，1，3，6，3，3的众数是_____． 2．牡丹江市某一周中每天最低气温情况如图所示，表示这周每天最低气温的七个数据的众数是______． 3．已知一组数据1，2，4，5，x的平均数是3.2，则这组数据的众数为______． 4．某校组织学生对课后延时服务进行打分（满分为5分），打分情况汇总后绘制了如图所示的扇形统计图，那么该组数据的众数是（      ） A．4分 B．5分 C．45% D．25% 题型二：利用众数求未知数据的值 解题思路：①根据众数“出现次数最多”的特点分析；②要使该数成为众数，它的出现次数必须大于其余数据；③求出未知数，回代原题检验是否符合题意 5．若一组数据“4，4，4，3，5，5，x，6”有唯一的众数，则x的值不可能为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若一组数据10，，10，10，8的平均数和众数相等，则的值为__________． 7．已知一组从大到小排列的数据：5，4，4，3，（为正整数）．若唯一的众数是4，则数据是（   ） A．1 B．2或4 C．0或1 D．1或2 题型三：运用众数做决策 解题思路：①先求出数据的众数；②联系实际场景：众数反映大多数的情况（如进货选销量最高尺码）；③答题表述：因为众数为____，代表大多数需求，因此选择____方案 8．某商场销售四种品牌的运动鞋，为了解哪种品牌销量最高，经理最应关注的统计量是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 9．体育中考成绩出来后，班主任分析说：“同学们考得非常好，大多数同学都考了满分．”你认为班主任所描述的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 10．某小组计划在本周的一个下午借用、、三个艺术教室其中的一个进行元旦节目的彩排，他们去教学处查看了上一周、、三个艺术教室每天下午的使用次数（一节课记为一次）情况，列出如下统计表： 日期 次数 教室 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 A教室 4 1 1 2 0 B教室 3 4 0 3 2 C教室 1 2 1 4 3 通过调查，本次彩排安排在星期______的下午找到空教室的可能性最大. 题型四：求一组数据的平均数 解题思路：①求出所有数据的总和；②算术平均数=总和数据总个数 11．某校为丰富学生课余生活，举行了艺术周活动，八年级一班的合唱成绩如表： 成绩/分 9.2 9.3 9.6 9.7 9.9 评委/人 2 2 3 2 1 若去掉一个最高分和一个最低分后，则余下数据的平均分是（     ） A．9.51分 B．9.5分 C．9.6分 D．9.625分 12．学校购回一批足球，为检测其质量（单位：g），从中随机抽取8个足球，记录其质量如下表： 质量/g 410 420 430 440 450 个数 2 1 1 3 1 估计这批足球的平均质量和方差分别是____________． 13．为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 题型五：已知平均数求未知数据的值 解题思路：①总和 = 平均数 × 数据总个数；②用总和减去全部已知数据，得到未知数；③将未知数代入原题验算 14．一组数据 ， ， ， ， 的平均数为 ，则 的值为（     ） A． B． C． D． 15．已知，，，这四个数的平均数为；，，，，这五个数的平均数为，则________，________． 16．某同学根据体育素质测试成绩，对某小组5名同学的成绩（单位：分）进行统计（如下表），其中有两个数据被遮盖． 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 成绩 38 34 ■ 37 40 ■ 37 被遮盖的两个数据依次是（    ） A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3 题型六：利用已知的平均数求相关数据的平均数 解题思路：①每组总和 = 本组平均数 × 本组数据个数；②全部数据总和 = 各组总和相加；③整体平均数 = 全部数据总和 ÷ 全部数据总个数；④易错：不能直接对各组平均数求平均，忽略每组数据个数，这是选择题高频陷阱 17．已知一组数据，，，，…，的平均数为2，方差为，那么另一组数据，，，，…，的平均数和方差分别是（    ） A．4， B．2，1 C．2， D．4，3 18．已知一组数据，，，，的平均数是，方差为，那么另一组数据，，，，的平均数是__________，方差是__________． 19．若样本，，…，的平均数为，方差为，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（     ） A．平均数为，方差为 B．平均数为，方差为 C．平均数为，方差为 D．平均数为，方差为 题型七：利用平均数做决策 解题思路：①计算各组平均数；②平均数越大，代表整体平均水平越高；③结合情境说明；④注意平均数容易受极端值干扰，存在极端值时参考价值下降 20．小华五次“50米跑”成绩的平均数与方差分别为（单位：s）和（单位：），为了提高成绩，小华进行了训练，两个月后小华再次进行了五次“50米跑”测试，发现比原来更快更稳定了，则训练后成绩的平均数（单位：s）与方差（单位：）可能是（    ） A．， B．， C．，1.4 D．，1.4 21．某校篮球队对名队员进行定点投篮测试，每人投篮次，统计如下表：若教练希望选出“命中数高且发挥稳定”的队员，应选择________． 队员 甲 乙 丙 丁 平均命中数 15 16 16 14 方差 22．某农业基地4块实验田，分别抽取的10株苗，测得的平均高度和方差数据如下表，判断哪一块实验田的麦苗长得整齐（    ） 甲 乙 丙 丁 平均高度（cm） 13 13 13 13 方差（） 5.8 13.6 12.3 8.4 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型八：求加权平均数 解题思路：①区分每个数据与对应权重（频数、比例、百分比）；②频数权重：=；③百分比权重：每个数据 × 对应百分比，再相加；④计算出结果 23．如图是我国古代的一种铜制货币，其中质量为的有2枚，的有2枚，的有1枚，则这组铜钱质量的平均数为（     ） A． B． C． D． 24．一个小组的同学在一次测试中的得分情况为：人得分、人得分，人得分，人得分．这个小组的平均成绩是___________分． 25．实验中学有甲、乙、丙三个班，甲班有m人，乙班有n人，丙班有k人（以上所有参数均为正整数），在一次考试中甲班平均分是a分，乙班平均分是b分，丙班平均分是t分．则甲、乙、丙三个班在这次考试中的总平均分是（     ） A． B． C． D． 题型九：利用加权平均数求未知数据的值 解题思路：①设未知数据，明确已知各个权重；②将数据、对应权重代入加权平均数公式，列方程；③解方程求出未知数；④回代原式验算 26．一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中_____（填“面试”或“笔试”）的权重较大． 27．一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 28．某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 题型十：运用加权平均数做决策 解题思路：①分别计算多个对象的加权平均数；②加权平均数数值越高，综合水平越好；③对比数值，给出决策，书写理由 29．实验中学举行了以“爱我中华”为主题的演讲比赛，7名评委为某选手的打分如表（满分10分），去除一个最高分和一个最低分之后取平均值为最后得分，该选手的最后得分为（    ） 分数 8.30 8.50 9.00 9.50 频数 1 3 1 2 A．8.24 B．8.65 C．8.80 D．8.92 30．学校广播站要新招1名广播员，小敏、小花两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表： 项目应试者 口语表达 写作能力 小敏 80 90 小花 90 80 学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．你认为_________将被录取． 31．一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 题型十一：求方差 解题思路：①先求这组数据的平均数；②计算每一个数据与平均数的差，做平方，得到离差平方；③方差 = 离差平方的总和 ÷ 数据总个数；④方差反映数据波动大小 32．若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 33．某地区今年4月1日至4月6日连续六天的最高气温分别为，，，，，，则这六天最高气温数据的方差为_______． 34．甲、乙两名运动员的8次射击成绩(单位：环)如图所示：甲、乙射击成绩的方差分别为，，则与的关系为（     ） A． B． C． D． 题型十二：利用方差求未知数据的值 解题思路：①已知数据个数与平均数，设未知数据；②代入方差公式，列出方程；③解方程求出未知数；④把结果回代检验，注意结果要符合题意 35．已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（    ） A．24 B．20 C．18 D．6 36．某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）进行了调查，记录如下： 甲组：10，11，12，13，14，15 乙组：12，13，14，16，15， 若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的的值可以为_________．（写出一个即可） 37．甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（    ） 甲 178 179 180 181 182 乙 180 181 182 183 A．179 B．182 C．184 D．185 题型十三：根据方差判断稳定性 解题思路：①方差越大：数据波动越大，越不稳定；②方差越小：数据波动越小，越稳定；③直接比较方差数值大小做判断 38．甲、乙、丙三名射击运动员参加训练测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不确定 39．甲乙两种水稻试验品连续5年的平均单位面积产量如下表：（单位：吨/公顷）经计算，，，试根据这组数据估计两种水稻品种的产量比较稳定的是 _____． 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 99 10.1 10 10.2 乙 9.9 10.1 10.2 9.9 99 40．校田径队需从甲、乙、丙、丁四名运动员中选派一名参加市运动会米比赛．下表是四名运动员最近次米测试成绩的平均数（单位：）和方差． 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲运动员 B．乙运动员 C．丙运动员 D．丁运动员 题型十四：运用方差做决策 解题思路：①平均数不同优先对比平均数看整体水平；只有平均数相同时，再对比方差；②方差小代表数据更稳定；③结合题意：追求高水平优先选平均数高；追求稳定优先选方差小，给出对应结论 41．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是分，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 42．下表记录了甲、乙、丙、丁四名学员十次射击成绩的平均环数与方差：在这四名学员中，成绩好且发挥稳定的是________． 甲 乙 丙 丁 平均环数 方差 43．某市体校准备从甲、乙、丙、丁四名射击运动员中选出一人，代表市队参加全省运动会．下表记录了这四名运动员在近期几轮选拔赛中成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一名成绩优异且发挥稳定的运动员参赛，则应选择的是（     ） 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 93 98 98 96 方差 0.8 0.7 1.6 1.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型十五：标准差 解题思路：①先算出方差；②标准差 = 方差的算术平方根；③特点：标准差单位与原始数据单位一致；波动变化规律和方差完全相同 44．已知一组数据的方差是，则这组数据的标准差是（    ） A． B． C． D． 45．某运动员在一次射击练习中，打靶的环数为7，9，7，8，9，则样本的平均数是___________，方差是___________，标准差是___________． 46．设有个数，其标准差为．另有个数，其标准差为．其中，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十六：求离差平方和 解题思路：①先求数据的平均数；②求出每个数据与平均数差值（离差）；③将全部离差平方后相加，得到离差平方和 47．数据100，101，99，98，102的离差平方和是（     ） A．12 B．99 C．10 D．100 48．已知某体能训练小组成员每周锻炼身体的时长（单位：）分别为3，5，8，10，老师按照锻炼身体的时长将该训练小组的成员分成和两组，则这样分组的组内离差平方和为________． 49．某年，，，，个城市的人均生活用电量如下表所示： 城市 人均生活用电量（） 根据四种分法分别计算组内离差平方和的数据，如下表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 根据组内离差平方和越小分组越合理的原则，最合理的分组是（     ） A．{，}和{，，} B．{，}和{，，} C．{，，}和{，} D．{，，，}和{} 题型十七：离差平方和的应用 解题思路：①离差平方和反映波动；受数据个数影响；②两组数据个数不同，不能直接用离差平方和对比波动，必须使用方差；③只有两组数据的样本个数相同时，才可以直接用离差平方和比较波动大小 50．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．现需要把这5名同学引体向上的个数分为两组，且使引体向上个数相差较小的同学分在同一组．常用的分组原则是（     ） A．组内离差平方和最小 B．组内离差平方和最大 C．组间离差平方和最小 D．组间的平均数差最小 51．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是__________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 40 ② 第一组2个，第二组2个 88 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 52．一个数据分组方案，如果其组内离差平方和很大，说明（     ） A．分组非常成功 B．组间差异很明显 C．同一组内的数据差异很大 D．分组数目太多了 题型十八：用样本平均数估计总体平均数 解题思路：①计算样本的平均数或方差；②样本具有代表性，可用样本统计量估计总体的统计量；③易错：样本不具备代表性，则不能用来估计总体；④答题：用样本平均数估计总体平均数；用样本方差估计总体方差 53．某校为了解九年级学生数学学习情况，在一次考试中，从全校九年级500名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩进行统计分析，这100名学生的数学平均分为91分，由此推测全校九年级学生的本次考试数学平均分（    ） A．等于91分 B．大于91分 C．小于91分 D．约为91分 54．小红帮助母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小红家4月初连续8天每天早上电表显示的读数： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 电表显示度数 21 24 28 33 39 42 46 49 若每度电收费0.42元，估计小红家4月份（按30天计）的电费是_________元．（注：电表计数器上先后显示读数之差就是这段时间内消耗电能的度数） 55．某校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生各自平均每天的课外阅读时间，并绘制成条形图（如图），据此可以估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为（     ）小时 A．2 B．1 C．3 D．4 题型十九：求中位数 解题思路：①第一步必须排序（从小到大或从大到小）；②数据个数奇数：取正中间那一个数；③数据个数偶数：取中间两个数的平均数 56．广州国际龙舟邀请赛是一项历史悠久且深受广大市民喜爱的传统赛事．某龙舟代表队在“人龙舟米直道竞速”项目的六次训练成绩（单位：秒）分别是：，，，，，．这组数据的中位数是（     ） A． B． C． D． 57．某班7个学习小组人数如下：6，6，7，x，8，8，9．已知这组数据的平均数为7，则这组数的中位数是___________． 58．一次学校田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩（m） 1.30 1.35 1.40 1.45 1.47 1.50 人数 1 2 4 3 3 2 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（     ） A．1.40，1.40 B．1.45，1.40 C．1.425，1.40 D．1.40，1.45 题型二十：利用中位数求未知数据的值 解题思路：①把已知数据排序，讨论未知数所处的位置（左侧、中间、右侧）；②根据中位数定义列等式求解未知数；③注意该题可能存在多解；④将结果放回排序检验 59．一组数据2，6，8，7，3，9，x，这组数据的中位数是6，x的值可以为（    ） A．9 B．8 C．7 D．4 60．从1到10这10个整数中可重复地选出5个整数，并按从小到大的顺序排列，中位数是3，唯一的众数是8，这5个数的和为________． 61．一组数据从小到大排列：，，，，，，中位数为，则这组数据的方差为（     ） A． B． C． D． 题型二十一：运用中位数做决策 解题思路：①求出中位数，中位数代表中等水平；②大于中位数：高于中等水平；小于中位数：低于中等水平；③适合数据存在极端值的场景，结合背景写结论 62．某校开展“颂时代强音，启元旦韶华”朗诵比赛，有14位同学参加了初赛，按初赛成绩由高到低取前7位进入决赛．若小明要判断自己能否进入决赛，除自己的成绩外，他还需要知道这14位同学成绩的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 63．某学校组织才艺表演比赛，前名获奖．有位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学要判断自己能否获奖，不仅要知道自己的比赛成绩，还要知道这名同学比赛成绩的（     ） A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数 64．拟派一名射击运动员参加一项比赛，对甲、乙两名射击运动员进行了次选拔比赛，他们成绩的箱线图如图所示．经预测，射击成绩为环及以上就能入围决赛，在这项比赛中为了取得较好的名次，应派________运动员参加比赛． 题型二十二：求四分位数 解题思路：①数据先排序；②找到中位数（第二四分位数）；③中位数左侧数据的中位数为下四分位数；右侧数据的中位数为上四分位数 65．如图，是八年级某班学生1分钟跳绳次数的箱线图，根据图中信息，能确定这组数据的上四分位数为（     ） A．200 B．170 C．160 D．120 66．幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数．某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，9，，，，，，，则这组数据的第一四分位数是___________________________，第三四分位数是____________________________． 67．为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的良好习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的个队伍积分分别为，，，，，，则这组数据的下四分位数是（     ） A． B． C． D． 题型二十三：画箱线图 解题思路：①对数据排序，求出：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值；②在数轴上标出5个关键点，画出箱体与线段 68．某中学随机抽取名八年级学生开展一分钟跳绳体能测试，统计每位学生的跳绳次数后，整理数据并绘制成如图所示的箱线图，则这名学生一分钟跳绳次数的上四分位数是（     ） A． B． C． D． 69．某班学生期中数学成绩的箱线图如图所示，则该班学生期中数学成绩的最大值为120，最小值为60，第一四分位数为________，第二四分位数为90，第三四分位数为100． 70．在一次物理实验中，两个班的学生需用弹簧测力计测量一个钩码的重力（理论重力为），两个班测量数据的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．班和班均有学生的测量值超过了理论值 B．班的测量值比班的测量值波动更大 C．班测量值的第三四分位数与班测量值的中位数相同 D．班的平均测量值比班的平均测量值更高 解答题 1．甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如表所示． 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 哪名射击运动员的发挥更稳定？ 2．某校八年级 （1）班男生投掷实心球成绩如下表所示． 成绩 人数 成绩 人数 2 7 4 3 8 1 这个班男生投掷实心球的平均成绩是多少？ 3．先任意写一组数据（如2，3，5，6，9），计算其离差平方和；然后往数据中任意添加一个数据（如4或5），再计算其离差平方和．添加数据前后这组数据的离差平方和有什么变化？当添加什么数时，离差平方和不会变大？ 4．为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图． 两组样本数据的平均数、中位数及众数如表所示： 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 14.4 16 b 八年级 a 12 12 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； (3)若该校七年级共有学生420人，请估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数． 5．甲、乙两台机床同时生产一种零件．在10天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示． 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 (1)分别计算两组数据的平均数和方差； (2)哪台机床的性能比较好？ 6．某班45名学生的体重记录如下：（单位：kg） 48，48，42，50，61，44，43，51，46，46，51，46，50，45，52，54，51，57，55，48， 49，48，53，48，56，55，57，42，54，49，47，60，51，51，44，41，49，53，52，49， 61，58，52，54，50． 请用简单随机抽样方法，分别选取含有6名学生体重的两个样本、含有15名学生体重的两个样本以及含有30名学生体重的两个样本，分别计算这六个样本中学生体重的平均数和方差，最后把它们与全班学生体重的平均数和方差作比较，你认为随机抽样方法可靠吗？样本容量较大时，由样本得到的估计值是否往往与总体的实际值更接近？ 7．某学校举办科技比赛，分为理论知识和实操技能两项内容，随机抽取了40名学生，获得了他们两项内容的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．理论知识成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，)： b．理论知识成绩在这一组的是：， c．理论知识和实操技能两项内容成绩的平均数、中位数： 平均数 中位数 理论知识 77 实操技能 76 78 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________； (2)记理论知识成绩超过平均数的人数为，实操技能成绩超过平均数的人数为，则________（填“”“”或“”）； (3)在此次测试中，甲、乙、丙、丁四位学生的成绩如下： 甲 乙 丙 丁 理论知识 79 80 76 76 实操技能 80 80 84 83 根据两项内容的成绩计算加权成绩，计算方式如下：加权成绩理论知识成绩实操技能成绩．则这四位学生中加权成绩最高的是________（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）． 8．甲、乙、丙、丁、戊五名学生竞赛成绩（单位：分）分别为：，，，，．根据成绩的组内离差平方和最小的原则，把这个人分为两组． 将数据按从小到大排列，可得，，，，，将它们分成两组共有种情况，分别计算组内离差平方和，如下表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 (1)求，的值． (2)根据成绩的组内离差平方和最小原则，将这个人分为两组． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13数据的分析精讲学案 核心立意： 掌握算术平均数、加权平均数、中位数、众数的计算，理解集中趋势统计量的现实意义；会从统计图读取数据计算统计量；理解离差、离差平方和、方差、标准差，判断数据波动；结合实际情境合理选择统计量分析、解释数据。 平均数、加权平均数（刻画集中趋势） ❶算术平均数：一组数据总和除以数据总个数，记作x，反映数据整体平均水平。 ❷加权平均数：各数据重要程度不同，赋予对应权重；权重可以是数据个数、比例、百分比；公式=，权重越大，该数据对平均数影响越大。 ❸特点：平均数使用全部数据，容易受极端偏大、偏小数值干扰。 中位数与众数（刻画集中趋势） ❶中位数：将数据按从小到大（或从大到小）排序；数据个数为奇数，取中间位置数；数据个数为偶数，取中间两个数的平均数；代表数据中等水平，不受极端值影响。 ❷众数：一组数据中出现次数最多的数据；一组数据可以有一个、多个众数，也可以没有众数；代表多数水平，不受极端值影响。 ❸小结：平均数、中位数、众数都是刻画数据集中趋势的统计量。 从统计图分析数据的集中趋势 ❶条形统计图：读取每组对应数据，计算平均数、中位数、众数。 ❷扇形统计图：利用扇形占比作为权重，计算加权平均数。 ❸核心：读懂图表信息，提取完整数据，再完成统计量计算。 数据的离散程度（离差、离差平方和、方差、标准差） ❶离差：每一个数据与平均数的差值。 ❷离差平方和：各个数据与平均数之差的平方相加求和；可以刻画数据波动；受数据总个数影响，样本数量不一样时，不能直接用离差平方和对比波动。 ❸方差：离差平方和除以数据总个数；衡量数据波动大小；方差越大，波动越大，数据越不稳定；方差越小，波动越小，数据越稳定。 ❹标准差：方差的算术平方根；标准差单位和原始数据单位保持一致；方差单位与原数据单位不一致。 统计量的合理选用 ❶无极端异常数据，优先选平均数描述整体水平； ❷存在极端大、小数值，优先选用中位数； ❸关注出现频次最高的量，优先选用众数； ❹对比数据稳定性，选用方差； ❺算出统计量后，结合现实背景解释结果，不能只罗列数字。 重点辨析 ❶求中位数，必须先排序，不能直接取原始序列中间数字。 ❷众数是数据本身，不是数据出现的次数。 ❸加权平均数，权重总和等于总个数（频数）或者等于1（百分比）。 ❹样本数量不同，禁止直接用离差平方和比较两组数据波动，应当使用方差。 ❺方差、标准差只描述波动；数值小仅代表稳定，不代表数据本身数值更大、更好。 ❻标准差和方差变化规律一致：方差大则标准差大，方差小则标准差小。 1.求中位数忘记排序，直接取原始数据中间数字 2.将众数错误当成数据出现的次数 3.加权题型直接算算术平均数，忽略权重 4.数据含有极端值，依旧盲目使用平均数分析 5.样本个数不同，直接拿离差平方和对比数据波动 6.忽略标准差与原数据单位一致，混淆方差、标准差单位 7.读取统计图提取数据出错，造成统计量计算错误 8.误认为方差大代表数据质量差，方差小代表数据数值大 9.求出统计量，不会结合题意做实际解释 题型 考察方向 难度 题型一 求众数 ★ 题型二 利用众数求未知数据的值 ★★ 题型三 运用众数做决策 ★★ 题型四 求一组数据的平均数 ★ 题型五 已知平均数求未知数据的值 ★★ 题型六 利用已知的平均数求相关数据的平均数 ★★★ 题型七 利用平均数做决策 ★★ 题型八 求加权平均数 ★★ 题型九 利用加权平均数求未知数据的值 ★★★ 题型十 运用加权平均数做决策 ★★★ 题型十一 求方差 ★★ 题型十二 利用方差求未知数据的值 ★★★ 题型十三 根据方差判断稳定性 ★★ 题型十四 运用方差做决策 ★★★ 题型十五 标准差 ★★ 题型十六 求离差平方和 ★★ 题型十七 离差平方和的应用 ★★★ 题型十八 用样本平均数估计总体平均数 ★★ 题型十九 求中位数 ★ 题型二十 利用中位数求未知数据的值 ★★★ 题型二十一 运用中位数做决策 ★★ 题型二十二 求四分位数 ★ 题型二十三 画箱线图 ★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：求众数 解题思路：①梳理全部数据，统计每个数据出现的次数；②找出出现次数最多的数据，即为众数；③一组数据可以有一个或多个众数；若所有数据出现次数完全相同，则这组数据没有众数；众数是数据本身，不是出现的次数 1．数据3，4，5，1，3，6，3，3的众数是_____． 【答案】3 【详解】解：数据3，4，5，1，3，6，3，3的众数是3， 故答案为：3． 2．牡丹江市某一周中每天最低气温情况如图所示，表示这周每天最低气温的七个数据的众数是______． 【答案】 【分析】根据众数定义，观察图中的数据，确定答案即可． 【详解】解：由折线统计图可得，这周每天最低气温的七个数据分别为15，14，16，17，18，15，13． ∵在这组数据中，15出现了2次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是15． 3．已知一组数据1，2，4，5，x的平均数是3.2，则这组数据的众数为______． 【答案】 【分析】先根据平均数的定义求出未知数据的值，再根据众数的定义得到结果． 【详解】解：∵这组数据，，，，的平均数是， ∴， 整理得， 解得， ∴这组数据为，，，，， 其中出现的次数最多， ∴这组数据的众数是． 4．某校组织学生对课后延时服务进行打分（满分为5分），打分情况汇总后绘制了如图所示的扇形统计图，那么该组数据的众数是（      ） A．4分 B．5分 C．45% D．25% 【答案】A 【分析】根据众数的定义，在一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，在扇形统计图中，所占百分比最大的部分对应的数据即为众数，据此求解即可． 【详解】解：由扇形统计图可知： 1分占，2分占，3分占，4分占，5分占， ∵， ∴4分所占的百分比最大，即4分出现的次数最多， ∴该组数据的众数是4分． 题型二：利用众数求未知数据的值 解题思路：①根据众数“出现次数最多”的特点分析；②要使该数成为众数，它的出现次数必须大于其余数据；③求出未知数，回代原题检验是否符合题意 5．若一组数据“4，4，4，3，5，5，x，6”有唯一的众数，则x的值不可能为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，根据定义分析x取不同值时众数的个数即可求解． 【详解】解：原数据各数的出现次数：4出现3次，3出现1次，5出现2次，6出现1次， 对于A选项：若，则3出现2次，4仍是出现次数最多的数，有唯一众数，不符合题意； 对于B选项：若，4出现4次，4仍为唯一众数，不符合题意； 对于C选项：若，5也出现3次，此时4和5都是众数，不满足“唯一众数”的要求，符合题意； 对于D选项：若，6出现2次，4仍为唯一众数，不符合题意． 6．若一组数据10，，10，10，8的平均数和众数相等，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据众数的定义确定这组数据的众数，再利用平均数的计算公式，结合平均数与众数相等列方程求解． 【详解】解：这组数据中，已经出现次，出现次，无论取何值，都是这组数据中出现次数最多的数， 因此这组数据的众数为 由题意得，这组数据的平均数与众数相等， 因此可得 整理得 ， 解得 ． 7．已知一组从大到小排列的数据：5，4，4，3，（为正整数）．若唯一的众数是4，则数据是（   ） A．1 B．2或4 C．0或1 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查众数的概念和数据的排列顺序，注意唯一众数的条件，理解题意是解题的关键． 数据从大到小排列，为正整数且；再根据众数是且唯一，排除的情况，得到． 【详解】解：∵数据从大到小排列为5，4，4，3，，且为正整数， ∴，即可能为1，2，3. ∵唯一的众数是，且出现两次， ∴若，则出现两次，众数为和，不唯一； 若，则其他数均出现一次，是唯一众数． ∴． 故选：D． 题型三：运用众数做决策 解题思路：①先求出数据的众数；②联系实际场景：众数反映大多数的情况（如进货选销量最高尺码）；③答题表述：因为众数为____，代表大多数需求，因此选择____方案 8．某商场销售四种品牌的运动鞋，为了解哪种品牌销量最高，经理最应关注的统计量是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，根据题意经理需要找出销量最高的运动鞋品牌，结合各统计量的定义即可判断． 【详解】解：∵经理要了解哪种品牌的运动鞋销量最高，即需要找出销量数据中出现次数最多的品牌，众数是一组数据中出现次数最多的数据，能反映数据的多数水平，平均数反映平均水平，中位数反映中间水平，方差反映数据的波动程度， ∴经理最应关注的统计量是众数． 9．体育中考成绩出来后，班主任分析说：“同学们考得非常好，大多数同学都考了满分．”你认为班主任所描述的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】根据题意众数的定义即可求解． 【详解】解∶∵大多数同学都考了满分， ∴班主任所描述的统计量是众数． 10．某小组计划在本周的一个下午借用、、三个艺术教室其中的一个进行元旦节目的彩排，他们去教学处查看了上一周、、三个艺术教室每天下午的使用次数（一节课记为一次）情况，列出如下统计表： 日期 次数 教室 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 A教室 4 1 1 2 0 B教室 3 4 0 3 2 C教室 1 2 1 4 3 通过调查，本次彩排安排在星期______的下午找到空教室的可能性最大. 【答案】三 【分析】本题主要考查了归纳对比的方法，解决本题的关键是准确算出教室使用的和． 通过计算每天三个教室的使用总次数，比较得出星期三的总次数最小，因此空教室可能性最大． 【详解】星期一总次数：次；星期二总次数：次；星期三总次数：次；星期四总次数：次；星期五总次数：次；比较各天总次数，星期三总次数最小，故空教室可能性最大； 故答案为三． 题型四：求一组数据的平均数 解题思路：①求出所有数据的总和；②算术平均数=总和数据总个数 11．某校为丰富学生课余生活，举行了艺术周活动，八年级一班的合唱成绩如表： 成绩/分 9.2 9.3 9.6 9.7 9.9 评委/人 2 2 3 2 1 若去掉一个最高分和一个最低分后，则余下数据的平均分是（     ） A．9.51分 B．9.5分 C．9.6分 D．9.625分 【答案】B 【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，然后再求平均数即可． 【详解】解：由题意知，最高分和最低分为9.9，9.2， 则余下的数据的平均数为（分） 12．学校购回一批足球，为检测其质量（单位：g），从中随机抽取8个足球，记录其质量如下表： 质量/g 410 420 430 440 450 个数 2 1 1 3 1 估计这批足球的平均质量和方差分别是____________． 【答案】， 【分析】本题考查了平均数和方差的公式，解决问题的关键是熟练掌握公式． 根据平均数和方差的公式计算平均质量和方差． 【详解】解：平均质量； 方差 ． 【点睛】故答案为：． 13．为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据甲、乙的进球的统计图可计算出平均数，得出甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大， ∴． 甲10次练习的数据分别为：， ， 乙10次练习的数据分别为：， ， ∴． 题型五：已知平均数求未知数据的值 解题思路：①总和 = 平均数 × 数据总个数；②用总和减去全部已知数据，得到未知数；③将未知数代入原题验算 14．一组数据 ， ， ， ， 的平均数为 ，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平均数的基础计算，根据平均数的定义列出关于 的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：∵ 这组数据共 个，平均数为 ， ∴ 这组数据的总和为 ， 可得方程 ， 化简得 ， 解得 ． 15．已知，，，这四个数的平均数为；，，，，这五个数的平均数为，则________，________． 【答案】 6 10 【详解】解：由题意得： 解得： ∴ 解得： 16．某同学根据体育素质测试成绩，对某小组5名同学的成绩（单位：分）进行统计（如下表），其中有两个数据被遮盖． 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 成绩 38 34 ■ 37 40 ■ 37 被遮盖的两个数据依次是（    ） A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3 【答案】B 【分析】本题考查平均数与方差的计算，掌握根据平均数公式求未知数据，再根据方差公式计算方差是解题的关键． 先根据平均成绩的计算公式求出被遮盖的成绩，再根据方差的计算公式求出方差，进而分析选项． 【详解】解：已知平均成绩是37分，设编号3的成绩为，则： ， ， ， 解得， 然后计算方差，方差公式为：， 代入数据可得：， ， ， ． 故选：B． 题型六：利用已知的平均数求相关数据的平均数 解题思路：①每组总和 = 本组平均数 × 本组数据个数；②全部数据总和 = 各组总和相加；③整体平均数 = 全部数据总和 ÷ 全部数据总个数；④易错：不能直接对各组平均数求平均，忽略每组数据个数，这是选择题高频陷阱 17．已知一组数据，，，，…，的平均数为2，方差为，那么另一组数据，，，，…，的平均数和方差分别是（    ） A．4， B．2，1 C．2， D．4，3 【答案】D 【分析】当数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数(或除以一个数)时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．根据数据的变化和其平均数及方差的变化规律求得新数据的平均数及方差即可． 【详解】解：数据，，，，…，的平均数为2， 数据，，，，…，的平均数是； 数据，，，…的方差为， 数据，，，，…，的方差是． 18．已知一组数据，，，，的平均数是，方差为，那么另一组数据，，，，的平均数是__________，方差是__________． 【答案】 【分析】根据平均数和方差的变化性质进行求解． 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为， 由题意得：，， 新数据，，，，的平均数为：， 新数据的方差为：． 19．若样本，，…，的平均数为，方差为，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（     ） A．平均数为，方差为 B．平均数为，方差为 C．平均数为，方差为 D．平均数为，方差为 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的性质，一组数据中每个数据同时加上同一个常数，平均数增加该常数，方差不变，根据平均数和方差的定义推导即可得到结果． 【详解】解：∵样本，，…，的平均数为10， ∴， 整理得，即， 则样本，，…，的平均数为：； 又∵样本，，…，的方差为6， ∴，整理得， 则样本，，…，的方差为：． 题型七：利用平均数做决策 解题思路：①计算各组平均数；②平均数越大，代表整体平均水平越高；③结合情境说明；④注意平均数容易受极端值干扰，存在极端值时参考价值下降 20．小华五次“50米跑”成绩的平均数与方差分别为（单位：s）和（单位：），为了提高成绩，小华进行了训练，两个月后小华再次进行了五次“50米跑”测试，发现比原来更快更稳定了，则训练后成绩的平均数（单位：s）与方差（单位：）可能是（    ） A．， B．， C．，1.4 D．，1.4 【答案】A 【分析】根据“更快”“更稳定”的含义，分别判断平均数和方差的范围，得到符合条件的选项，50米跑用时越短说明速度越快，方差越小说明成绩越稳定。 【详解】解：训练后成绩比原来更快，米跑平均用时越短代表速度越快，原平均用时为 训练后平均数 ，排除B，D选项， 训练后成绩比原来更稳定，方差越小代表数据越稳定，原方差为， 训练后方差 ，排除C选项， 符合条件的是A选项． 21．某校篮球队对名队员进行定点投篮测试，每人投篮次，统计如下表：若教练希望选出“命中数高且发挥稳定”的队员，应选择________． 队员 甲 乙 丙 丁 平均命中数 15 16 16 14 方差 【答案】丙 【分析】需要选出同时满足命中数高和发挥稳定的队员，先筛选平均命中数较高的队员，再比较对应队员的方差，方差越小发挥越稳定，据此得到结果． 【详解】解：从表格可知，四名队员的平均命中数分别为，，，，可得乙和丙的平均命中数高于甲和丁，满足命中数高的要求， 比较乙和丙的方差，乙的方差为，丙的方差为，可得，根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定， 丙满足发挥稳定的要求， 综上，“命中数高且发挥稳定”的队员应选择丙． 22．某农业基地4块实验田，分别抽取的10株苗，测得的平均高度和方差数据如下表，判断哪一块实验田的麦苗长得整齐（    ） 甲 乙 丙 丁 平均高度（cm） 13 13 13 13 方差（） 5.8 13.6 12.3 8.4 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查平均数及方差．根据平均数及方差可进行判断即可． 【详解】解：由表格可知：甲、乙、丙、丁的平均高度相等，且， ∴甲块实验田的麦苗长得整齐； 故选：A 题型八：求加权平均数 解题思路：①区分每个数据与对应权重（频数、比例、百分比）；②频数权重：=；③百分比权重：每个数据 × 对应百分比，再相加；④计算出结果 23．如图是我国古代的一种铜制货币，其中质量为的有2枚，的有2枚，的有1枚，则这组铜钱质量的平均数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：这组铜钱质量的平均数为． 24．一个小组的同学在一次测试中的得分情况为：人得分、人得分，人得分，人得分．这个小组的平均成绩是___________分． 【答案】 【分析】根据加权平均数的计算规则，用所有人的总得分除以总人数即可得到平均成绩. 【详解】解：这个小组的平均成绩为分. 25．实验中学有甲、乙、丙三个班，甲班有m人，乙班有n人，丙班有k人（以上所有参数均为正整数），在一次考试中甲班平均分是a分，乙班平均分是b分，丙班平均分是t分．则甲、乙、丙三个班在这次考试中的总平均分是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出三个班总分数为分，总人数为人，即可求出结论． 【详解】解：∵甲班有人，平均分是分，乙班有人，平均分是分，丙班有人，平均分是分， ∴甲班总分数为分，乙班总分数为分，丙班总分数为分， ∴三个班总分数为分，总人数为人， ∴总平均分为． 题型九：利用加权平均数求未知数据的值 解题思路：①设未知数据，明确已知各个权重；②将数据、对应权重代入加权平均数公式，列方程；③解方程求出未知数；④回代原式验算 26．一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中_____（填“面试”或“笔试”）的权重较大． 【答案】面试 【分析】设此次招聘中面试的权重为，从而可得笔试的权重为，根据加权平均数的计算公式求出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：设此次招聘中面试的权重为，则笔试的权重为， 由题意得：， 解得， ， 则此次招聘中面试的权重较大， 故答案为：面试． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟记公式是解题关键． 27．一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 【答案】7 【分析】先根据加权平均数计算公式求出甲组的加权平均成绩，再根据两组平均成绩相等建立关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：权重总和：． 甲组的加权平均成绩：， 乙组的加权平均成绩：， 由题意得， 即， 解得． 28．某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数． 根据题意即可判断A；设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、，求出即可判断C，根据已知条件无法判断B、D． 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 题型十：运用加权平均数做决策 解题思路：①分别计算多个对象的加权平均数；②加权平均数数值越高，综合水平越好；③对比数值，给出决策，书写理由 29．实验中学举行了以“爱我中华”为主题的演讲比赛，7名评委为某选手的打分如表（满分10分），去除一个最高分和一个最低分之后取平均值为最后得分，该选手的最后得分为（    ） 分数 8.30 8.50 9.00 9.50 频数 1 3 1 2 A．8.24 B．8.65 C．8.80 D．8.92 【答案】C 【分析】去除一个最高分，取出一个最低分之后，只剩下五个数据，依据加权平均数的概念计算可得． 【详解】解：该名选手的最后得分为 ． 故选：C． 【点睛】考查了加权平均数，关键是熟练掌握加权平均数公式，注意要去掉一个8.30，一个9.50． 30．学校广播站要新招1名广播员，小敏、小花两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表： 项目应试者 口语表达 写作能力 小敏 80 90 小花 90 80 学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．你认为_________将被录取． 【答案】小花 【分析】根据加权平均数的定义分别计算两名同学的总成绩，比较总成绩大小后择优录取． 【详解】解：小敏的总成绩为， 小花的总成绩为， ， 小花将被录取． 31．一家外贸公司打算招聘一名英文笔译员，设置了听、说、读、写共四项英语水平测试及相应的权重比，每项测试的原始分均为100分，如果你是这家公司的人力资源主管，你认为最适合作为选人依据的权重比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从英文笔译员的岗位能力需求入手，确定读写测试的权重应更高，说的权重应最低，以此筛选选项． 【详解】解：英文笔译员的核心工作为书面翻译，读写能力的重要性高于听说，且说的权重应最低 选项A权重为，写的权重最高，读次之，说的权重最低，符合题意； 选项B权重为，未体现岗位侧重，不符合题意； 选项C权重为，听的权重与读写相同，未突出读写的核心地位，不符合题意； 选项D权重为，说的权重最高，不符合题意． 题型十一：求方差 解题思路：①先求这组数据的平均数；②计算每一个数据与平均数的差，做平方，得到离差平方；③方差 = 离差平方的总和 ÷ 数据总个数；④方差反映数据波动大小 32．若一组数据的方差是3，则数据的方差是（    ） A．3 B．5 C．6 D．11 【答案】A 【详解】解：设原数据的平均数为． ∵原数据方差为3， ∴． 新数据的平均数为， 新数据的方差为 ． 33．某地区今年4月1日至4月6日连续六天的最高气温分别为，，，，，，则这六天最高气温数据的方差为_______． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的定义计算结果． 【详解】解：首先整理六天的最高气温数据：，，，，，，共个数据， 计算这组数据的平均数：， 根据方差的定义，方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，代入计算得： ． 34．甲、乙两名运动员的8次射击成绩(单位：环)如图所示：甲、乙射击成绩的方差分别为，，则与的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察折线统计图，比较甲、乙两人成绩的波动大小即可判断方差的大小． 【详解】解：观察图象可知，甲的成绩波动较小，乙的成绩波动较大， ∵方差是衡量一组数据波动大小的量，波动越小方差越小， ∴． 题型十二：利用方差求未知数据的值 解题思路：①已知数据个数与平均数，设未知数据；②代入方差公式，列出方程；③解方程求出未知数；④把结果回代检验，注意结果要符合题意 35．已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（    ） A．24 B．20 C．18 D．6 【答案】A 【分析】根据方差公式可从给出的方差表达式中得到数据个数与这组数据的平均数，再计算数据总和即可． 【详解】解：， ， 这组数据的总和为 ． 36．某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）进行了调查，记录如下： 甲组：10，11，12，13，14，15 乙组：12，13，14，16，15， 若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的的值可以为_________．（写出一个即可） 【答案】11或17（写出一个即可） 【分析】本题考查方差公式，法一，利用方差的定义结合甲组和乙组除了外，每个数据之间的特征求解即可，法二，根据方差公式列方程求出a的值即可． 【详解】解：法一，∵甲组的每个数据之间相差，而乙组除了外，每个数据之间也是相差， 又∵甲、乙两组病人康复时间的方差相同， ∴乙组按照顺序排列：a、12、13、14、15、16或者12、13、14、15、16、a，两组数据都是连续的相差只有1， ∴或者； 法二，甲组：， ∴， 乙组：， ∴， 解得或， 故答案为：或（写出一个即可））． 37．甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（    ） 甲 178 179 180 181 182 乙 180 181 182 183 A．179 B．182 C．184 D．185 【答案】D 【分析】本题考查了方差，掌握方差的定义与计算公式是解答本题的关键． 先计算出甲的平均数和方差，再根据方差的定义解答即可． 【详解】解：甲的平均数为：， 故甲的方差为：； 当乙为179或184时，乙的五个数是相邻的正整数，其方差与甲相等，即为2； 当乙为182时，乙的五个数的波动比相邻的正整数小，方差比2小； 当乙为185时，乙的五个数的波动比相邻的正整数大，方差比2大； 所以的值可能是185． 故选：D． 题型十三：根据方差判断稳定性 解题思路：①方差越大：数据波动越大，越不稳定；②方差越小：数据波动越小，越稳定；③直接比较方差数值大小做判断 38．甲、乙、丙三名射击运动员参加训练测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不确定 【答案】A 【详解】解：∵三人测试成绩的平均数相同，，，， ∴， ∴ 甲的成绩最稳定． 39．甲乙两种水稻试验品连续5年的平均单位面积产量如下表：（单位：吨/公顷）经计算，，，试根据这组数据估计两种水稻品种的产量比较稳定的是 _____． 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 99 10.1 10 10.2 乙 9.9 10.1 10.2 9.9 99 【答案】乙 【分析】分别求出两组数据的方差，然后进行比较得出答案即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴这两种水稻品种的产量比较稳定的是乙． 40．校田径队需从甲、乙、丙、丁四名运动员中选派一名参加市运动会米比赛．下表是四名运动员最近次米测试成绩的平均数（单位：）和方差． 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲运动员 B．乙运动员 C．丙运动员 D．丁运动员 【答案】A 【详解】解：米比赛用时越短成绩越好， 甲、丙的平均成绩均为，小于乙的和丁的， 甲、丙平均成绩更优，排除乙、丁， 方差越小发挥越稳定，且甲的方差小于丙的方差， 甲的发挥更稳定，故应该选择甲运动员． 题型十四：运用方差做决策 解题思路：①平均数不同优先对比平均数看整体水平；只有平均数相同时，再对比方差；②方差小代表数据更稳定；③结合题意：追求高水平优先选平均数高；追求稳定优先选方差小，给出对应结论 41．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是分，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【详解】解：∵，，，， ∴ ∵四人平均成绩相同 ∴甲的成绩最稳定，派甲参赛更合适. 42．下表记录了甲、乙、丙、丁四名学员十次射击成绩的平均环数与方差：在这四名学员中，成绩好且发挥稳定的是________． 甲 乙 丙 丁 平均环数 方差 【答案】乙 【分析】平均环数越高成绩越好，方差越小发挥越稳定，结合两者的意义进行判断即可． 【详解】解：比较平均环数，平均环数越高，成绩越好. 乙和丙的平均环数均为，高于甲的和丁的，因此成绩更优的是乙和丙， 比较方差，方差越小，发挥越稳定. 乙的方差为，小于丙的方差，因此乙的发挥更稳定； 因此成绩好且发挥稳定的是乙． 43．某市体校准备从甲、乙、丙、丁四名射击运动员中选出一人，代表市队参加全省运动会．下表记录了这四名运动员在近期几轮选拔赛中成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一名成绩优异且发挥稳定的运动员参赛，则应选择的是（     ） 运动员 甲 乙 丙 丁 平均数 93 98 98 96 方差 0.8 0.7 1.6 1.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】要选出成绩优异且发挥稳定的运动员，需满足两个条件：一是平均数越大成绩越优异，二是方差越小发挥越稳定，先比较平均数选出成绩优异的选手，再比较方差确定发挥稳定的选手即可． 【详解】解：从表格数据可知，乙和丙的平均数为，是四名运动员中平均数最大的，符合成绩优异的要求； 又因为 乙的方差小于丙的方差，说明乙比丙发挥更稳定， 所以乙满足成绩优异且发挥稳定的要求，应选择乙． 题型十五：标准差 解题思路：①先算出方差；②标准差 = 方差的算术平方根；③特点：标准差单位与原始数据单位一致；波动变化规律和方差完全相同 44．已知一组数据的方差是，则这组数据的标准差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方差和标准差，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．根据标准差是方差的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵数据的方差是， ∴这组数据的标准差是； 故选：D． 45．某运动员在一次射击练习中，打靶的环数为7，9，7，8，9，则样本的平均数是___________，方差是___________，标准差是___________． 【答案】 8 【分析】本题考查了平均数，方差及标准差的计算，根据平均数、方差的公式计算样本的平均数和方差，然后求方差的算术平方根得到标准差，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：样本的平均数， 样本的方差， 样本的标准差， 故答案为：，，． 46．设有个数，其标准差为．另有个数，其标准差为．其中，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均数与方差，熟练掌握平均数与方差的计算公式是解题的关键． 根据平均数与方差的计算公式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ ， ∴ ∴． 故选：B． 题型十六：求离差平方和 解题思路：①先求数据的平均数；②求出每个数据与平均数差值（离差）；③将全部离差平方后相加，得到离差平方和 47．数据100，101，99，98，102的离差平方和是（     ） A．12 B．99 C．10 D．100 【答案】C 【分析】本题考查离差平方和的计算，解题思路为先求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算所有数据与平均数差的平方和，即可得到结果． 【详解】解： ∴ 离差平方和是． 48．已知某体能训练小组成员每周锻炼身体的时长（单位：）分别为3，5，8，10，老师按照锻炼身体的时长将该训练小组的成员分成和两组，则这样分组的组内离差平方和为________． 【答案】4 【分析】先分别求出两组的平均数，再计算两组的离差平方和，然后把两组的离差平方和相加． 【详解】解：的组内平均数为，组内离差平方和为； 的组内平均数为，组内离差平方和为； 所以这种分组情况的组内离差平方和为． 49．某年，，，，个城市的人均生活用电量如下表所示： 城市 人均生活用电量（） 根据四种分法分别计算组内离差平方和的数据，如下表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 根据组内离差平方和越小分组越合理的原则，最合理的分组是（     ） A．{，}和{，，} B．{，}和{，，} C．{，，}和{，} D．{，，，}和{} 【答案】C 【分析】先将个城市的人均生活用电量排序，明确各间隔对应的分组，再选取组内离差平方和最小的分组匹配选项． 【详解】解：将个城市的人均生活用电量从小到大排序，得， 四个间隔对应的组内离差平方和分别为，，，， 为最小值，对应第个间隔的分组. 第个间隔位于与之间，即分组为和，与选项C一致． 题型十七：离差平方和的应用 解题思路：①离差平方和反映波动；受数据个数影响；②两组数据个数不同，不能直接用离差平方和对比波动，必须使用方差；③只有两组数据的样本个数相同时，才可以直接用离差平方和比较波动大小 50．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．现需要把这5名同学引体向上的个数分为两组，且使引体向上个数相差较小的同学分在同一组．常用的分组原则是（     ） A．组内离差平方和最小 B．组内离差平方和最大 C．组间离差平方和最小 D．组间的平均数差最小 【答案】A 【详解】解：在统计学中，使“组内离差平方和最小，组间离差平方和最大”是常用的分组原则， 所以选项A正确． 51．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是__________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 40 ② 第一组2个，第二组2个 88 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【分析】根据题意，最优分组要求同组内株高尽量接近，对应组内离差平方和最小，只需比较三组组内离差平方和的大小即可求解． 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组，， 序号③的组内离差平方和最小，即盆植物的最优分组序号是③． 52．一个数据分组方案，如果其组内离差平方和很大，说明（     ） A．分组非常成功 B．组间差异很明显 C．同一组内的数据差异很大 D．分组数目太多了 【答案】C 【分析】组内离差平方和是同一组内各数据与该组平均数的差的平方和，反映同一组内数据的离散程度． 【详解】解：组内离差平方和越大，说明同一组内的数据差异越大． 题型十八：用样本平均数估计总体平均数 解题思路：①计算样本的平均数或方差；②样本具有代表性，可用样本统计量估计总体的统计量；③易错：样本不具备代表性，则不能用来估计总体；④答题：用样本平均数估计总体平均数；用样本方差估计总体方差 53．某校为了解九年级学生数学学习情况，在一次考试中，从全校九年级500名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩进行统计分析，这100名学生的数学平均分为91分，由此推测全校九年级学生的本次考试数学平均分（    ） A．等于91分 B．大于91分 C．小于91分 D．约为91分 【答案】D 【分析】根据样本估计总体的方法进行选择即可． 【详解】解：这100名学生的数学平均分为91分， 由此推测全校九年级学生的本次考试数学平均分约为91分 故选：D． 【点睛】本题考查了加权平均数和用样本估计总体，掌握方法是解题的关键． 54．小红帮助母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小红家4月初连续8天每天早上电表显示的读数： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 电表显示度数 21 24 28 33 39 42 46 49 若每度电收费0.42元，估计小红家4月份（按30天计）的电费是_________元．（注：电表计数器上先后显示读数之差就是这段时间内消耗电能的度数） 【答案】50.4 【分析】本题考查了用样本估计总体，先计算出这七天一共用电的度数，再算出平均每天用电的度数，从而计算出这个家庭4月份用电度数，最后估计出小红家4月份（按30天计）的电费． 【详解】解：这七天每天用电的度数，4月份用电度数（度）， ∴小红家4月份（按30天计）的电费（元）． 故答案为：50.4． 55．某校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生各自平均每天的课外阅读时间，并绘制成条形图（如图），据此可以估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为（     ）小时 A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：（小时）， 则估计出该校所有学生平均每人每天的课外阅读时间为1小时． 题型十九：求中位数 解题思路：①第一步必须排序（从小到大或从大到小）；②数据个数奇数：取正中间那一个数；③数据个数偶数：取中间两个数的平均数 56．广州国际龙舟邀请赛是一项历史悠久且深受广大市民喜爱的传统赛事．某龙舟代表队在“人龙舟米直道竞速”项目的六次训练成绩（单位：秒）分别是：，，，，，．这组数据的中位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将数据从小到大排列为，，，，，， ∵共有个数据，且为偶数个， ∴ 中位数是第个和第个数据的平均数， 即 ． 57．某班7个学习小组人数如下：6，6，7，x，8，8，9．已知这组数据的平均数为7，则这组数的中位数是___________． 【答案】 7 【分析】根据平均数求出的值，再将数据排序后根据中位数定义计算结果． 【详解】解：∵这组数据的平均数为7，共7个数据， ∴这组数据的总和为 ， 已知6个数据的和为 ， 计算得 ， 将这组数据从小到大排列为：，7个数据的中位数为排序后的第4个数， 因此这组数据的中位数是7． 58．一次学校田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩（m） 1.30 1.35 1.40 1.45 1.47 1.50 人数 1 2 4 3 3 2 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（     ） A．1.40，1.40 B．1.45，1.40 C．1.425，1.40 D．1.40，1.45 【答案】B 【详解】解：总人数为，中位数为从小到大排序后第个数据. ∵成绩为、、的人数和为， ∴第个数据对应成绩为，即中位数是； ∵成绩为的人数最多，共人， ∴众数是. 题型二十：利用中位数求未知数据的值 解题思路：①把已知数据排序，讨论未知数所处的位置（左侧、中间、右侧）；②根据中位数定义列等式求解未知数；③注意该题可能存在多解；④将结果放回排序检验 59．一组数据2，6，8，7，3，9，x，这组数据的中位数是6，x的值可以为（    ） A．9 B．8 C．7 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了中位数的概念，先根据数据个数确定中位数的位置，再结合中位数的值得到x的取值范围，最后结合选项得出答案． 【详解】解：∵这组数据共有7个数据，且7是奇数， ∴该组数据的中位数是从小到大排序后第4个数据； ∵该组数据中位数为6， ∴排序后第4个数为6. 将除x外的已知数据从小到大排序得：. 要使排序后第4个数为6，需满足； 观察选项，只有D选项的4满足条件 60．从1到10这10个整数中可重复地选出5个整数，并按从小到大的顺序排列，中位数是3，唯一的众数是8，这5个数的和为________． 【答案】22 【分析】从小到大排列的5个数，中位数是第3个数；众数是5个数中出现次数最多的数． 【详解】解：由题可知，这五个数字为1，2，3，8，8， 则这5个数的和为． 61．一组数据从小到大排列：，，，，，，中位数为，则这组数据的方差为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据中位数的定义求出未知数据，再计算平均数，最后根据方差公式计算方差即可得到结果． 【详解】解：∵这组数据共个，偶数个数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，将数据从小到大排列后，第个数是，第个数是， ∵中位数为， ∴， 解得， 平均数：， 根据方差公式计算：， ， ， ． 题型二十一：运用中位数做决策 解题思路：①求出中位数，中位数代表中等水平；②大于中位数：高于中等水平；小于中位数：低于中等水平；③适合数据存在极端值的场景，结合背景写结论 62．某校开展“颂时代强音，启元旦韶华”朗诵比赛，有14位同学参加了初赛，按初赛成绩由高到低取前7位进入决赛．若小明要判断自己能否进入决赛，除自己的成绩外，他还需要知道这14位同学成绩的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查统计量的选择，需结合各统计量的意义，分析判断小明进入决赛需要参考的统计量． 【详解】解：∵共有14位同学的成绩，取前7名进入决赛 ∴将14个成绩按从高到低排序后，中位数是第7名和第8名成绩的平均数 ∴若小明的成绩高于中位数，则他的成绩至少排在第8名之前，能进入决赛；若等于中位数，也可能并列第7名进入决赛；若低于中位数，则排在第8名及之后，无法进入决赛 ∴小明需要知道这14位同学成绩的中位数， 故选：C． 63．某学校组织才艺表演比赛，前名获奖．有位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学要判断自己能否获奖，不仅要知道自己的比赛成绩，还要知道这名同学比赛成绩的（     ） A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数 【答案】C 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，根据获奖人数和总人数，利用中位数的位置特征即可判断需要的统计量． 【详解】解：∵13位同学所得分数互不相同，前6名获奖，将13个分数按从小到大排序后，中位数是排序后的第7个分数， ∴中位数及中位数之后共有7个分数，包含全部6个获奖分数， 该同学将自己的成绩与中位数比较，若成绩大于中位数，则一定获奖，否则不能获奖． 因此只需知道这13名同学成绩的中位数即可判断能否获奖． 64．拟派一名射击运动员参加一项比赛，对甲、乙两名射击运动员进行了次选拔比赛，他们成绩的箱线图如图所示．经预测，射击成绩为环及以上就能入围决赛，在这项比赛中为了取得较好的名次，应派________运动员参加比赛． 【答案】乙 【分析】根据箱线图中，箱体代表数据中间的成绩，箱体位置越高，高分成绩占比越多判断即可． 【详解】解：甲：中位数约为6.2，大量成绩低于7环，最低仅3环，高分段少； 乙：中位数约为7.2，箱体整体高于甲，7环及以上的成绩数量更多，下限 5 环、上限 9 环，高分表现更稳定， ∴应派乙运动员参赛． 故答案为：乙． 题型二十二：求四分位数 解题思路：①数据先排序；②找到中位数（第二四分位数）；③中位数左侧数据的中位数为下四分位数；右侧数据的中位数为上四分位数 65．如图，是八年级某班学生1分钟跳绳次数的箱线图，根据图中信息，能确定这组数据的上四分位数为（     ） A．200 B．170 C．160 D．120 【答案】B 【分析】箱线图由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个统计量组成，其中箱体的上边缘表示上四分位数． 【详解】解：观察箱线图可知，最下方的实线对应最小值80，箱体下边缘对应下四分位数120，箱体中间实线对应中位数160，箱体上边缘对应上四分位数170，最上方的实线对应最大值200，故上四分位数为170． 66．幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数．某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，9，，，，，，，则这组数据的第一四分位数是___________________________，第三四分位数是____________________________． 【答案】 【分析】先将数据从小到大排序，根据四分位数的计算规则确定位置，再计算结果即可． 【详解】解：将12个幸福指数按从小到大顺序排列，得， 解法一：第一四分位数为前6个数据的中位数， ∴第一四分位数为， 第三四分位数为后6个数据的中位数， ∴第三四分位数为； 解法二：∵， ∴第一四分位数为 ∵， ∴第三四分位数为． 67．为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的良好习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的个队伍积分分别为，，，，，，则这组数据的下四分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据下四分位数定义进行求解即可． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，， 方法一：∵， ∴下四分位数为前三个数的中位数， ∴下四分位数为第2个数，即51； 方法二：∵， ∴下四分位数为排序后第2个数据，即51． 题型二十三：画箱线图 解题思路：①对数据排序，求出：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值；②在数轴上标出5个关键点，画出箱体与线段 68．某中学随机抽取名八年级学生开展一分钟跳绳体能测试，统计每位学生的跳绳次数后，整理数据并绘制成如图所示的箱线图，则这名学生一分钟跳绳次数的上四分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由箱线图可知：这名学生一分钟跳绳次数的上四分位数是． 69．某班学生期中数学成绩的箱线图如图所示，则该班学生期中数学成绩的最大值为120，最小值为60，第一四分位数为________，第二四分位数为90，第三四分位数为100． 【答案】80 【详解】解：由箱线图可知，第一四分位数为80. 70．在一次物理实验中，两个班的学生需用弹簧测力计测量一个钩码的重力（理论重力为），两个班测量数据的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．班和班均有学生的测量值超过了理论值 B．班的测量值比班的测量值波动更大 C．班测量值的第三四分位数与班测量值的中位数相同 D．班的平均测量值比班的平均测量值更高 【答案】D 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：A选项：由箱线图可知，两班最大测量数据都超过理论重力，故本选项正确，不符合题意； B选项：A班的测量值箱体比B班的测量值的箱体更大，所以A班的测量值比B班的测量值波动更大，故本选项正确，不符合题意； C选项：A班的上四分位数与B班的中位数相同都是，故本选项正确，不符合题意； D选项：仅通过箱线图的上四分位数、下四分位数、中位数的大小关系无法直接推断两组数据平均值的大小关系，故此选项错误，符合题意． 解答题 1．甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如表所示． 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 哪名射击运动员的发挥更稳定？ 【答案】 甲的射击成绩方差为，乙的射击成绩方差为，乙射击运动员的发挥更稳定 【分析】计算甲乙两人射击成绩的方差，比较方差大小，方差越小则发挥越稳定． 【详解】解： 计算甲、乙的平均成绩： （环） ， （环） 计算两人成绩的方差： ∵ ∴乙射击运动员的发挥更稳定 答：乙射击运动员的发挥更稳定． 2．某校八年级 （1）班男生投掷实心球成绩如下表所示． 成绩 人数 成绩 人数 2 7 4 3 8 1 这个班男生投掷实心球的平均成绩是多少？ 【答案】这个班男生投掷实心球的平均成绩为． 【分析】取各成绩组的组中值作为每组的代表成绩，结合各组人数，通过加权平均数计算平均成绩． 【详解】解：， 答：这个班男生投掷实心球的平均成绩为． 3．先任意写一组数据（如2，3，5，6，9），计算其离差平方和；然后往数据中任意添加一个数据（如4或5），再计算其离差平方和．添加数据前后这组数据的离差平方和有什么变化？当添加什么数时，离差平方和不会变大？ 【答案】选取原数据为2，3，5，6，9，其离差平方和为30，往数据中添加数据4后，其离差平方和为，比原来大，当添加的数据等于原数据的平均数时，离差平方和不会变大 【分析】先算出原数据的平均数与离差平方和，再分别添加不同数据重新计算，对比结果，归纳变化规律． 【详解】解：选取原数据为2，3，5，6，9， 这组数据的平均数：， 离差平方和：， 添加数据4后，则数据为2，3，4，5，6，9， 这组数据的平均数：， 离差平方和：， ∵， ∴添加数据后这组数据的离差平方和变大， 添加数据5后，则数据为2，3，5，5，6，9， 这组数据的平均数：， 离差平方和：， ∵， ∴添加数据后这组数据的离差平方和不变， 综上所述：当添加的数据与原组数据的平均数不等时，添加数据后离差平方和变大，当添加的数据与原组数据的平均数相等时，添加数据后离差平方和不会变大． 【点睛】新增数据等于原数据平均数时，离差平方和不变，添加其他数，离差平方和变大，注意区分离差平方和与方差． 4．为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图． 两组样本数据的平均数、中位数及众数如表所示： 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 14.4 16 b 八年级 a 12 12 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； (3)若该校七年级共有学生420人，请估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数． 【答案】(1)14.4，16 (2)七年级学生的安全知识竞赛成绩更好, ∵两班平均数相同，而七年级的中位数以及众数均高于八年级 ∴七年级学生的安全知识竞赛成绩更好； (3)估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数大约为231人 【分析】（1）根据平均数、众数的计算方法进行计算即可； （2）比较平均数、中位数、众数得出答案； （3）求出七年级不低于16分的人数所占的百分比即可解答． 【详解】（1）解：由扇形统计图可得（分）， 由条形统计图知16分出现的次数最多， ∴； （2）解：略 （3）解：（人）； 答：估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数大约为231人． 5．甲、乙两台机床同时生产一种零件．在10天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示． 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 (1)分别计算两组数据的平均数和方差； (2)哪台机床的性能比较好？ 【答案】(1)甲机床每天出次品数的平均数为件，方差为；乙机床每天出次品数的平均数为件，方差为 (2)乙机床的性能比较好 【分析】（1）根据平均数和方差的公式计算即可； （2）结合平均数反映平均水平、方差反映波动程度的意义解答即可． 【详解】（1）解：甲：平均数为（件）， 方差为； 乙：平均数为（件）， 方差为． （2）解：由（1）可知，乙机床每天出次品数的平均数小于甲机床的；乙机床每天出次品数的方差小于甲机床的， ∴乙机床平均每天出的次品数更少；乙机床每天出次品的数量波动更小，性能更稳定， ∴乙机床的性能比较好． 6．某班45名学生的体重记录如下：（单位：kg） 48，48，42，50，61，44，43，51，46，46，51，46，50，45，52，54，51，57，55，48， 49，48，53，48，56，55，57，42，54，49，47，60，51，51，44，41，49，53，52，49， 61，58，52，54，50． 请用简单随机抽样方法，分别选取含有6名学生体重的两个样本、含有15名学生体重的两个样本以及含有30名学生体重的两个样本，分别计算这六个样本中学生体重的平均数和方差，最后把它们与全班学生体重的平均数和方差作比较，你认为随机抽样方法可靠吗？样本容量较大时，由样本得到的估计值是否往往与总体的实际值更接近？ 【答案】简单随机抽样的样本选取不唯一，此处给出示例： 当容量为的两个样本： 样本：， 计算得平均数约为， 方差约为 样本：，同理计算得平均数约为，方差约为； 当容量为的两个样本： 样本：，同理计算得平均数约为，方差约为； 样本：， 同理计算得平均数约为，方差约为； 当容量为的两个样本： 样本5： 同理计算得平均数约为，方差约为； 样本6： 48，46，50，45，52，54，51，57，55，48，49，48，53，48，56，55，57，42，54，49，47，60，51，51，44，41，49，53，52，61， 同理计算得平均数约为，方差约为； 最后计算全班名学生体重的平均数和方差，同理计算得总体平均数约为，总体方差约为； 将样本统计量与总体统计量比较，可得随机抽样得到的样本统计量可以近似反映总体的特征，因此随机抽样方法可靠.对比不同容量的样本结果，可得样本容量越大，样本统计量越接近总体的统计量，即样本容量较大时，由样本得到的估计值往往与总体的实际值更接近. 【详解】略 7．某学校举办科技比赛，分为理论知识和实操技能两项内容，随机抽取了40名学生，获得了他们两项内容的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．理论知识成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，)： b．理论知识成绩在这一组的是：， c．理论知识和实操技能两项内容成绩的平均数、中位数： 平均数 中位数 理论知识 77 实操技能 76 78 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________； (2)记理论知识成绩超过平均数的人数为，实操技能成绩超过平均数的人数为，则________（填“”“”或“”）； (3)在此次测试中，甲、乙、丙、丁四位学生的成绩如下： 甲 乙 丙 丁 理论知识 79 80 76 76 实操技能 80 80 84 83 根据两项内容的成绩计算加权成绩，计算方式如下：加权成绩理论知识成绩实操技能成绩．则这四位学生中加权成绩最高的是________（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）． 【答案】(1) (2) (3)丙 【分析】（1）由中位数的定义求解即可； （2）根据题意求出，平均数和中位数的定义估算出的范围，即可比较； （3）根据加权成绩理论知识成绩实操技能成绩，分别求出四位同学的加权成绩，比较即可． 【详解】（1）解：∵，且理论知识成绩在这一组的是：， ∴理论知识成绩从高到低排列，第和第位分别是， ∴； （2）解：由题意得，， ∵实操技能成绩的平均成绩为，中位数为， ∴实操技能成绩超过平均数的人数为， ∴； （3）解：甲同学的加权成绩为（分）， 乙同学的加权成绩为（分）， 丙同学的加权成绩为（分）， 丁同学的加权成绩为（分）， ∵， ∴这四位学生中加权成绩最高的是丙． 8．甲、乙、丙、丁、戊五名学生竞赛成绩（单位：分）分别为：，，，，．根据成绩的组内离差平方和最小的原则，把这个人分为两组． 将数据按从小到大排列，可得，，，，，将它们分成两组共有种情况，分别计算组内离差平方和，如下表所示． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第个间隔 第个间隔 第个间隔 第个间隔 (1)求，的值． (2)根据成绩的组内离差平方和最小原则，将这个人分为两组． 【答案】(1)， (2)第一组：甲，丁；第二组：乙，丙，戊 【分析】（1）先确定第间隔两组数据，算出第二组的平均数，用离差平方和公式求出，再将两组离差平方和相加得到； （2）对四种分组的组内离差平方和进行比较，选取数值最小的那一组，对应写出学生分组． 【详解】（1）解：根据题意可知，将，，，，分成两组，共有如下种情况： 第个间隔，第一组：；第二组：，，，， 第个间隔，第一组：，；第二组：，，， 第个间隔，第一组：，，；第二组：，， 第个间隔，第一组：，，，；第二组：， 则第个间隔，第二组的平均数为， 其离差平方和为， 组内离差平方和为． （2）解：， 根据成绩的组内离差平方和最小的分法为第一组：，；第二组：，，，即第一组：甲，丁；第二组：乙，丙，戊． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $