7.1 为什么要证明 同步讲义 2026-2027学年北师大版 数学八年级上册

本讲义聚焦“命题与定理”核心知识点，系统梳理命题的定义、题设与结论结构，真假命题的判断方法（真命题需推理证实，假命题可举反例），以及定理与真命题的关系，形成“概念梳理-辨析理解-应用训练”的学习支架。 资料通过典例（如逆命题真假判断）、变式题（如假命题反例选取）和分层过关题（如命题改写、多条件组合证明），培养抽象能力与推理意识。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生巩固基础、查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

第7章 7.1 为什么要证明 内 容 导 航 题型1 命题与定理 考 点 演 练 题型1 命题与定理 解｜题｜知｜识 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【典例1】下列命题的逆命题中，是真命题的为（　　） A．无理数都是无限小数 B．成轴对称的两个图形全等 C．若△ABC≌△DEF，则AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF D．直角三角形的两锐角互余 【变式1】下列命题是真命题的是（　　） ①两条对角线垂直的四边形是菱形； ②四个角相等的菱形是正方形； ③顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形； ④有一组邻边相等的平行四边形是菱形． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【变式2】下列语句不是命题的是（　　） A．如果a＝b，b＝c，那么a＝c B．等角的补角相等 C．过点A作直线m的垂线 D．两个锐角的和是钝角 【变式3】下列选项中，可以用来说明命题“若|a|＞2，则a＞2”是假命题的反例是（　　） A．a＝3 B．a＝1 C．a＝0 D．a＝﹣4 过 关 验 收 1．下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若a2＞b2，则a＞b C．两直线平行，内错角相等 D．对顶角相等 2．对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a D．a＝0 3．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式，正确的是（　　） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角的余角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 4．要判断命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（　　） A．a＝2，b＝﹣1 B．a＝1，b＝0 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣1，b＝﹣2 5．有下列命题： ①若a2＝b2，则a＝b； ②若，则a＝b； ③若ab＝0，则a＝b＝0； ④若a＝0，则ab＝0． 其中假命题有（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 6．“两点确定一条直线”这一语句是（　　） A．定理 B．公理 C．定义 D．只是命题 7．下列命题的逆命题不成立的是（　　） A．等边对等角 B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．三个角都是60°的三角形是等边三角形 8．下列句子中，属于命题的是（　　） A．垂线段最短 B．延长线段AB到C C．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗 9．下列命题中，原命题与逆命题不同时成立的是（　　） A．等腰三角形的两个底角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．对顶角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 10．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式：　 　 ． 故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 11．已知命题：“同旁内角互补”，则它的逆命题为　 　 ． 12．命题“如果x＝1，那么x2＝1”的逆命题是　 　 命题． 13．命题“等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等”是　 　 命题．（填“真”或“假”） 14．命题“同角的余角相等”的条件是 　 　 ，结论是 　 　 ． 15．如图，已知∠1+∠ABC＝180°，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题． ①BE是∠ABC的角平分线；②∠E＝∠2；③DF∥AB． 你选的条件是 　 　 ，结论是 　 　 ．请加以证明． 16．（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先画出相应的图形，并判断命题的真假； ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知AD∥BF，AE∥BC，AF∥EC，若∠B＝45°，∠C＝75°，将求∠FAD的过程填写完整． 解：∵AD∥BF， ∴∠B＝∠ADC． ∵AE∥BC， ∴①　 +∠DAE＝180°． 又∠B＝45°，可解得∠DAE＝（②　 　 ）°． ∵AE∥BC， ∴∠C+∠E＝180°． ∵AF∥EC， ∴∠FAE＝③　 ．（④　 ） 又∠C＝75°，可解得∠FAE＝（⑤　 　 ）°， ∴∠FAD＝360°﹣∠DAE﹣∠FAE＝（⑥　 　 ）°． 17．已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别垂直，即AB⊥DE，BC⊥EF，垂足分别为点M和N，试探究： （1）如图1，∠B与∠E的关系是 　 　 ； （2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由； （3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 18．如图，AD与BC相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AB、CD、EF，给出以下四个等量关系：①∠A＝∠C，②OA＝OC，③∠B＝∠D，④OE＝OF．请你以其中两个为条件，另两个中的一个为结论，组成一个真命题，并证明． （1）条件：　 　 ，结论：　 　 ；（填序号） （2）写出你的证明过程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 7.1 为什么要证明 内 容 导 航 题型1 命题与定理 考 点 演 练 题型1 命题与定理 解｜题｜知｜识 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【典例1】下列命题的逆命题中，是真命题的为（　　） A．无理数都是无限小数 B．成轴对称的两个图形全等 C．若△ABC≌△DEF，则AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF D．直角三角形的两锐角互余 【答案】D 【解答】解：A、无理数都是无限小数，逆命题是无限小数都是无理数，假命题，故本选项不符合题意； B．成轴对称的两个图形全等，逆命题是全等的两个图形成轴对称，假命题，故本选项不符合题意； C．若△ABC≌△DEF，则AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF，逆命题是若AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF，则△ABC≌△DEF，假命题，故本选项不符合题意； D．直角三角形的两锐角互余，逆命题若三角形的两锐角互余，则它是直角三角形，真命题，故本选项符合题意 故选：D． 【变式1】下列命题是真命题的是（　　） ①两条对角线垂直的四边形是菱形； ②四个角相等的菱形是正方形； ③顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形； ④有一组邻边相等的平行四边形是菱形． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】B 【解答】解：①两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②四个角相等的菱形是正方形，正确，是真命题，符合题意； ③顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意； ④有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意． 故选：B． 【变式2】下列语句不是命题的是（　　） A．如果a＝b，b＝c，那么a＝c B．等角的补角相等 C．过点A作直线m的垂线 D．两个锐角的和是钝角 【答案】C 【解答】解：A、如果a＝b，b＝c，那么a＝c，是命题，不符合题意； B、等角的补角相等，是命题，不符合题意； C、过点A作直线m的垂线，不是命题，符合题意； D、两个锐角的和是钝角，是命题，不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列选项中，可以用来说明命题“若|a|＞2，则a＞2”是假命题的反例是（　　） A．a＝3 B．a＝1 C．a＝0 D．a＝﹣4 【答案】D 【解答】解：∵|﹣4|＝4＞2，﹣4＜2， ∴a＝﹣4是说明命题是假命题的反例， 故选：D 过 关 验 收 1．下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若a2＞b2，则a＞b C．两直线平行，内错角相等 D．对顶角相等 【答案】C 【解答】解：如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角， 故命题的逆命题为假命题，不符合题意； 若a2＞b2，则a＞b的逆命题为：若a＞b，则a2＞b2；﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2， 故命题的逆命题为假命题，不符合题意； 两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行； 故命题的逆命题为真命题，符合题意； 对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角， 故命题的逆命题为假命题，不符合题意； 故选：C． 2．对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a D．a＝0 【答案】A 【解答】解：当a＝﹣2时，满足条件a＜1，但不能得出a2＜1的结论， ∴能说明命题“如果a＜1，那么a2＜1”是假命题的反例是a＝﹣2， 故选：A． 3．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式，正确的是（　　） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角的余角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【解答】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故选：D． 4．要判断命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（　　） A．a＝2，b＝﹣1 B．a＝1，b＝0 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣1，b＝﹣2 【答案】D 【解答】解：根据命题和定理的相关知识点逐项分析判断如下： A、若a＝2，b＝﹣1，满足a2＞b2，故本选项不符合题意； B、若a＝1，b＝0，满足a2＞b2，故本选项不符合题意； C、若a＝2，b＝1，满足a2＞b2，故本选项不符合题意； D、若a＝﹣1，b＝﹣2，满足a＞b，而a2＞b2不成立，故本选项符合题意； 故选：D． 5．有下列命题： ①若a2＝b2，则a＝b； ②若，则a＝b； ③若ab＝0，则a＝b＝0； ④若a＝0，则ab＝0． 其中假命题有（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【解答】解：根据算术平方根和立方根的意义逐项分析判断如下： ∵取a＝1，b＝﹣1，有a2＝b2，但a≠b， ∴①为假命题，符合题意； ∵立方根具有唯一性，，则a＝b， ∴②为真命题，不符合题意； ∵取a＝0，b＝1，有ab＝0，但b≠0， ∴③为假命题，符合题意； ∵a＝0 则 ab＝0×b＝0， ∴④为真命题，不符合题意； ∴假命题有①和③． 故选：B． 6．“两点确定一条直线”这一语句是（　　） A．定理 B．公理 C．定义 D．只是命题 【答案】B 【解答】解：“两点确定一条直线”是经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题，是公理， 故选：B． 7．下列命题的逆命题不成立的是（　　） A．等边对等角 B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．三个角都是60°的三角形是等边三角形 【答案】C 【解答】解：A．逆命题为：等角对等边，成立，不符合题意； B．逆命题为：同位角相等，两直线平行，成立，不符合题意； C．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，符合题意； D．逆命题为：等边三角形的三个角都是60°，成立，不符合题意． 故选：C． 8．下列句子中，属于命题的是（　　） A．垂线段最短 B．延长线段AB到C C．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗 【答案】A 【解答】解：A、垂线段最短，是命题； B、延长线段AB到C，没有作出判断，不是命题； C、过点O作直线a∥b，没有作出判断，不是命题； D、锐角都相等吗，没有作出判断，不是命题； 故选：A． 9．下列命题中，原命题与逆命题不同时成立的是（　　） A．等腰三角形的两个底角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．对顶角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】C 【解答】解：A、原命题与逆命题均正确，不符合题意； B、原命题与逆命题均正确，不符合题意； C、原命题正确，逆命题错误，符合题意； D、原命题与逆命题均正确，不符合题意； 故选：C． 10．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式：　如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．　 ． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 【解答】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 11．已知命题：“同旁内角互补”，则它的逆命题为　如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角　 ． 【答案】如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角． 【解答】解：原命题的题设是同旁内角，结论是互补， 故“同旁内角互补”的逆命题为：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角， 故答案为：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角． 12．命题“如果x＝1，那么x2＝1”的逆命题是　假　 命题． 【答案】假． 【解答】解：命题“如果x＝1，那么x2＝1”的逆命题是“如果x2＝1，那么x＝1”，是假命题； 故答案为：假． 13．命题“等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等”是　真　 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真． 【解答】解：∵等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线互相重合， ∴等腰三角形底边上的中线是顶角的平分线， ∵角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴“等腰三角形底边中线上任意一点到两腰的距离相等”是真命题， 故答案为：真． 14．命题“同角的余角相等”的条件是 　两个角与同一个角互余　 ，结论是 　这两个角相等　 ． 【答案】两个角与同一个角互余，这两个角相等． 【解答】解：将命题该写成“如果…，那么…”的形式，得“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”， 则原命题的条件是两个角是同一个角的余角，结论是这两个角相等． 故答案为：两个角与同一个角互余，这两个角相等． 15．如图，已知∠1+∠ABC＝180°，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题． ①BE是∠ABC的角平分线；②∠E＝∠2；③DF∥AB． 你选的条件是 　①②　 ，结论是 　③　 ．请加以证明． 【答案】①②，③． 【解答】解：选的条件是①②，结论是③，理由如下： ∵BE是∠ABC的角平分线， ∴∠2＝∠CBE， ∵∠E＝∠2， ∴∠CBE＝∠E， ∴AE∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∵∠1+∠ABC＝180°， ∴∠A＝∠1， ∴DF∥AB． 故答案为：①②，③． 16．（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先画出相应的图形，并判断命题的真假； ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知AD∥BF，AE∥BC，AF∥EC，若∠B＝45°，∠C＝75°，将求∠FAD的过程填写完整． 解：∵AD∥BF， ∴∠B＝∠ADC． ∵AE∥BC， ∴①　∠ADC +∠DAE＝180°． 又∠B＝45°，可解得∠DAE＝（②　135　 ）°． ∵AE∥BC， ∴∠C+∠E＝180°． ∵AF∥EC， ∴∠FAE＝③　∠E ．（④　两直线平行，内错角相等　 此处填推理的依据） 又∠C＝75°，可解得∠FAE＝（⑤　105　 ）°， ∴∠FAD＝360°﹣∠DAE﹣∠FAE＝（⑥　120　 ）°． 【答案】（1）①见解析；真命题；②已知：如图（EF分别交AB，CD于G，H），GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD，GI∥HJ，求证：AB∥CD；（2）①∠ADC；②135；③∠E；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120． 【解答】解：（1）①如图： 真命题． ②已知：如图（EF分别交AB，CD于G，H），GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD，GI∥HJ， 求证：AB∥CD． （2）∵AD∥BF， ∴∠B＝∠ADC， ∵AE∥BC， ∴∠ADC+∠DAE＝180°， 又∠B＝45°，可解得∠DAE＝135°， ∵AE∥BC， ∴∠C+∠E＝180°， ∵AF∥EC， ∴∠FAE＝∠E（两直线平行，内错角相等）， 又∠C＝75°，可解得∠FAE＝105°， ∴∠FAD＝360°﹣∠DAE﹣∠FAE＝120°． 故答案为：①∠ADC；②135；③∠E；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120． 17．已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别垂直，即AB⊥DE，BC⊥EF，垂足分别为点M和N，试探究： （1）如图1，∠B与∠E的关系是 　∠B+∠E＝180°　 ； （2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由； （3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB⊥DE，BC⊥EF， ∴∠BME＝90°，∠BNE＝90°， ∴∠B+∠E＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 故答案为：∠B+∠E＝180°； （2）∵AB⊥DE，BC⊥EF， ∴∠BME＝90°，∠BNE＝90°， ∵∠BGN＝∠EGM， ∴∠B＝∠E； （3）真命题：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 18．如图，AD与BC相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AB、CD、EF，给出以下四个等量关系：①∠A＝∠C，②OA＝OC，③∠B＝∠D，④OE＝OF．请你以其中两个为条件，另两个中的一个为结论，组成一个真命题，并证明． （1）条件：　②④　 ，结论：　①　 ；（填序号） （2）写出你的证明过程． 【答案】（1）②④，①．（答案不唯一）（2）证明见解答． 【解答】解：（1）②④，①．（答案不唯一） 故答案为：②④，①； （2）证明：∵OE＝OF，点E、F分别为OB、OD的中点， ∴OB＝OD． 在△OAB和△OCD中， ， ∴△OAB≌△OCD（SAS）， ∴∠A＝∠C． 学科网（北京）股份有限公司 $