精品解析：河北省承德市双滦区实验中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学测试卷

河北承德市双滦区实验中学 2025--2026学年第一学期开学考试高二数学测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知平面向量，若，则（ ） A. 1 B. -2 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示与向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以，所以， 解得. 故选：D. 2. 如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】因为长方体，底面，，， 所以四棱锥的体积， 故选：B 3. 记锐角的内角的对边分别为，已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和将展开，然后结合已知条件求出，最后根据正弦定理求出. 【详解】因为，， 所以 化简得： 因为是锐角三角形，，所以， 两边同时除以，可得，即， 又因为，所以， 由正弦定理，已知，则， 因为，所以，即，， 因为，根据大边对大角，，且，所以. 故选：D. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则实数φ的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简函数解析式，接着由平移变换得到解析式，再由奇偶性列出关于的方程，即可计算求解. 【详解】由题意可知，函数， 所以， 又为奇函数，所以， 又，所以. 故选：C 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用诱导公式将进行转化，然后再利用两角和的正弦公式进行化简求值. 【详解】根据诱导公式， 原式， 可化为， 进一步得， 则. 故选：C. 6. 如图，在中，，，且与交于点M，设，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可. 【详解】因为三点共线，且， 所以 又因为三点共线，且， 所以 可得， 即 解得 所以 故选： 7. 镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（） A. 37.52m B. 35.48m C. 33.26m D. 31.52m 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系、正弦定理列式计算即得. 【详解】因为， 在中，， 在中，，， 则， 由正弦定理得，则， 所以， 即镇国寺塔的高度约为35.48m． 故选：B. 8. 如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项. 【详解】因为，且是的中点，所以BE⊥AC， 因为，且是的中点，所以DE⊥AC， 因为，平面， 所以平面，由于平面， 所以平面平面，C正确； 在平面内取点，作，，垂足分别为，，如图， 因为平面，由于平面， 所以平面平面，平面平面，平面，， 则平面，平面，所以， 若平面平面，同理可得，而，平面， 于是得平面，显然与平面不一定垂直，A不正确； 过A作边上的高，连，由得，是边上的高， 则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面与平面不一定垂直，B不正确； 因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角， 平面与平面不一定垂直，D不正确. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若向量，共线，则A，B，C，D必在同一条直线上 B. 若A，B，C为平面内任意三点，则 C. 若点G为的重心，则 D. 若向量，满足，且，方向相同，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量共线的定义判断A，由向量运算性质判断D，由三角形重心的性质可判断C，对于D，由向量无法比较大小即可判断. 【详解】对于A，若向量，共线，只需两个向量方向相同或相反即可，则A，B，C，D不必在同一直线上，故A项错误； 对于B，由向量线性运算性质知，故B项正确； 对于C，由平面向量中三角形重心的性质，可得C项正确； 对于D，由于向量间无法比较大小，故D项错误. 故选：BC. 10. 在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（ ） A. 该几何体为圆台 B. 该几何体的母线长为5 C. 该几何体的体积为93π D. 该几何体的表面积为56π 【答案】ABD 【解析】 【分析】由圆台的结构特征可得几何体为圆台，求得母线长，圆如的体积与表面积可得结论. 【详解】由题意可知该几何体为圆台，该圆台的母线， 体积为，表面积为． 故选：ABD. 11. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据正弦型函数的周期公式求得，即可得到，再根据诱导公式化简判断B；根据正弦函数的性质求解判断CD. 【详解】由题意，，则，即，故A正确； 而，故B正确； 当时，， 因为函数在上先增后减， 则在上先增后减，故C错误； 由， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的定义，数量积的坐标运算和模的坐标表示求解即可. 【详解】已知向量，，所以，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 已知，，，则β=_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的公式结合即可计算求解. 【详解】因为，， 所以，， 又因为，所以， 所以 ， 因为，所以. 故答案为： 14. 如图，圆锥PO的底面半径为3，高为，过PO靠近P的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有________． ①圆锥母线与底面所成的角为 ②圆锥PO的侧面积为 ③挖去圆柱的体积为 ④剩下几何体的表面积为 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据题意利用勾股定理可求圆锥的母线长，挖去圆柱的半径和高，然后根据体积公式以及表面积公式即可逐项求解． 【详解】如下图： 因为圆锥的底面半径为3，高为，所以母线长， 则，即圆锥母线与底面所成的角为，故①正确； 圆锥的侧面积，故②错误； 设圆柱底面与圆锥母线交于点，与圆锥底面直径交于两点， 因为为的三等分点，所以， 则圆柱的体积为，故③正确； 圆柱的侧面积， 剩下几何体的表面积，故④正确； 故答案为：①③④ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1） ∵底面ABCD，平面ABCD， ∴. 如图，连接AC． ∵底面ABCD为正方形，∴， ∵M，N分别为棱AB，BC的中点， ∴，∴， 又平面PBD， ∴平面PBD， ∵平面MNE， ∴平面平面PBD． 如图，设，，连接FE，则F为线段OB的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直推得面面垂直； （2）利用定义找到二面角的平面角，在三角形中计算夹角的值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知平面平面， 由（1）知，平面PBD，平面PBD ∴， ∴∠EFB为二面角的平面角， 又底面ABCD，，， ∴， ∴， 即二面角的大小为. 16. 已知的三个内角所对的边分别为，满足是的中点，． （1）求B； （2）求的面积； （3）求线段的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件和正弦定理即可求出b，再根据余弦定理求出cosB，从而可求B； （2）根据三角形面积公式即可求解； （3）利用向量及其数量积计算法则即可计算. 【小问1详解】 ∵ ∴根据正弦定理得， 又∵，. 根据余弦定理得， 又∵， 【小问2详解】 . 【小问3详解】 ∵E是中点， ， ∴. 17. 已知向量，，，其中． （1）求及向量，夹角的余弦值； （2）若向量与向量垂直，求实数k的值； （3）若向量，且向量与向量平行，求实数k的值． 【答案】（1）， （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标公式及夹角公式可求答案； （2）利用数量积为0可求参数； （3）利用向量平行的坐标表示可求答案. 【小问1详解】 由已知，得，，． 所以向量，夹角的余弦值为． 【小问2详解】 由已知，得， ， 又向量与向量垂直，所以， 即，解得． 【小问3详解】 由已知，得， 又向量与向量平行，， 所以， 整理可得，解得． 18. 已知函数. （1）若的最小正周期为. （i）求的单调递增区间和图象的对称中心； （ii）若，且，求的值； （2）若在区间上的值域为，求的取值范围. 【答案】（1）（i），；（ii）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）先根据函数的最小正周期求出的值，在结合正弦函数的性质求单调增区间和对称中心即可；（ii）利用函数值求出相关角的正弦值，结合角的范围确定余弦值，再利用两角差的余弦公式，代入数值计算即可； （2）分析函数在给定区间内的取值范围，结合值域要求，确定角的范围，进而通过解不等式求出参数的取值范围，确保函数值能覆盖所有区间即可. 【小问1详解】 若的最小正周期为，则，解得，所以. （i）由题意，令，， 解得，，即的单调递增区间为. 令，，解得，， 即图象的对称中心为. （ii），， 又，，， . 【小问2详解】 当时，，又在区间上的值域为， ，解得， 即的取值范围是. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，且．四边形满足．为侧棱上的任意一点，且平面与侧棱交于点． （1）求证：平面平面； （2）设直线与平面所成的角为，求的最大值； （3）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为平面ADE，平面， 则平面， 又平面，平面平面，则． ． 面平面，且，面平面面PAC， 平面，又平面，得， 又，PA，平面， 平面，平面， 平面，平面平面； （2） （3） 存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直． 在平面中，过点作，垂足为， 由已知． ，，，得， 又由平面，得，且，PA，平面， 平面，结合平面，得． 又，CD，平面， 平面． 在中，， ． 上存在点B使得直线AF与平面垂直，此时线段的长为． 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质定理得，进而得，利用面面垂直的性质定理得平面，进而得，由线面垂直的判定定理得平面，根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）由（1）知平面，则即直线AF与平面PAB所成的角为，设，则，利用二次函数即可求解； （3）在平面中，过点作，垂足为，即证，又平面得，利用线面垂直的判断定理得平面，即，进而得平面，最后在中即可计算的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，则即直线AF与平面PAB所成的角为， 且，设，则可计算得， 则，则当时，取到最大值． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北承德市双滦区实验中学 2025--2026学年第一学期开学考试高二数学测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知平面向量，若，则（ ） A. 1 B. -2 C. 2 D. 2. 如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 3. 记锐角的内角的对边分别为，已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则实数φ的值为（ ） A. B. C. D. 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，且与交于点M，设，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 7. 镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（） A. 37.52m B. 35.48m C. 33.26m D. 31.52m 8. 如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若向量，共线，则A，B，C，D必在同一条直线上 B. 若A，B，C为平面内任意三点，则 C. 若点G为的重心，则 D. 若向量，满足，且，方向相同，则 10. 在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（ ） A. 该几何体为圆台 B. 该几何体的母线长为5 C. 该几何体的体积为93π D. 该几何体的表面积为56π 11. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为______ 13. 已知，，，则β=_______. 14. 如图，圆锥PO的底面半径为3，高为，过PO靠近P的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有________． ①圆锥母线与底面所成的角为 ②圆锥PO的侧面积为 ③挖去圆柱的体积为 ④剩下几何体的表面积为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小. 16. 已知的三个内角所对的边分别为，满足是的中点，． （1）求B； （2）求的面积； （3）求线段的长度． 17. 已知向量，，，其中． （1）求及向量，夹角的余弦值； （2）若向量与向量垂直，求实数k的值； （3）若向量，且向量与向量平行，求实数k的值． 18. 已知函数. （1）若的最小正周期为. （i）求的单调递增区间和图象的对称中心； （ii）若，且，求的值； （2）若在区间上的值域为，求的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，且．四边形满足．为侧棱上的任意一点，且平面与侧棱交于点． （1）求证：平面平面； （2）设直线与平面所成的角为，求的最大值； （3）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $