湖南常德市临澧县第一中学2026届高三下学期5月适应性考试数学试卷

临澧一中2026届高三数学适应性考试试卷 时量：120分钟 总分：150分 2026.05.15 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1.已知复数z= 中'则+之=() 2 A.-2 B.-2i C.2 D.2i 2.已知Sn是等差数列{an)的前n项和，若Ss=5a,+5,则{an}的公差为() A.0 B.1 C.2 D.3 3.随机变量X的分布列为P(X=0)=a,P(X=1)=b.若E(X)=2a,则a=（) D.3 4.己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A(4,)在C上，则|AF=() A.3 B.4 C.5 D.6 5.已知a=4,-),b=(2,d,6在a上的投影向量为二a,则x=( A.-2 B.-1 C.0 D.1 6.某工厂的产量Q(单位：件)与资本投入K(单位：万元)、劳动投入L(单位：人)满足柯布一道格 拉斯生产函数Q=AK·L心（其中A,心，B为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产 量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数α约为() (参考数据：lg2≈0.30，g3≈0.48) A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 7.已知nn(-)=2,cosB=}则c(2a-B)=( A月 B.-g c.g D.3 8.已加P为5国F苦+若=ka>0上的骑点，M,N为酒+_ -上的两个动点，若∠MPN的 4 最大值为云，则E的离心率为( A B.② 2 c. D. 2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.某校有学生3000人，其中男生1800人，女生1200人.为调查学生的课外阅读情况，按性别比例分配， 用分层随机抽样的方法抽取学生250人，并统计样本中男生和女生一天的阅读时间（单位：分钟），绘 制成如下两个频率分布直方图，则() 频率 频率 组距 ↑组距 0.025--- 0.012-- 0.010 888 0.005 0.005 0.003 0.002 020406080100阅读时间/mim 020406080100阅读时间/min 男生阅读时间 女生阅读时间 A.a=0.020 B.样本中男生阅读时间的中位数低于40分钟 C.样本中阅读时间在40分钟以下的学生中，男生人数比女生人数多 D.用样本估计总体，全校学生中阅读时间在60分钟以上的约有780人 10.己知函数f(x),8(x)的定义域为R,且g(2-x)+f(x)=1,g(x)-f(x-1)=-1,若y=f(x)的图象关 于直线x=1对称，则() A.f(2026-x)+f(x-2025)=2 B+g-1 C.g(x)是奇函数 D. 宽1-20m6 11.己知A,A,,An,均为有限实数集，记A中的最大元素为xn,n∈N,At1=AU{a+xa∈A,} 若A={-2,3},则() A.A={-2,1,3,6 B.x7=384 C.A,中所有元素的平均数为191 D.A中所有元素的和为3008 D 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.写出一个同时满足下列性质①②③的函数f(x)=一· D ①定义域为R;②f(2)=1;③f(x)+f(2-x)=0. 13.已知角a终边经过点(-34④，则am号 A B 14.在梯形ABCD中，AB/1CD,AD⊥AB,E为CD上一点，AB=BC=CE=2DE=2,将△AED沿AE 所在直线翻折成△AED'（(如图所示).AD'上一点M满足CM.EA=5,在翻折过程中，二面角 M-BC-E的正弦值的最大值为一· 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分) A 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且a=2bcos 2 (1)求证：A=2B; (2)若asA-子△AC的面积为25，求a 6 16.(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥AC,AB=BC=CA=AA=2,过点 A,C的平面与直线AB垂直. A (1)作出α截此三棱柱所得的截面，请写出作图过程并说明理由： B C (2)己知B,C=V10,求BC与平面ACB所成角的正弦值. 17.(本小题满分15分) 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服 的回答被采纳的概率为子：当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为子 己知输入的问题表达不清晰的概率为一，每次回答是否被采纳相互独立. (1)求智能客服的回答被采纳的概率： (2)在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数， 求X的分布列及期望、方差： (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10 分，不采纳则不计分.记被采纳的回答数的总得分为Y,若E(Y)≥75，则推广该系统.试推断该 系统是否会得到推广，请说明理由， 18.(本小题满分17分) 己知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上的点P(4,t)t>0)到F的距离为5. (1)求p和t的值： (2)A,B为C上两点，△PAB的重心在直线y=-4上. 3 ①证明：直线AB的斜率为定值： ②设直线AB与x轴交于点Q,线段AB的中点为T,线段PQ的中点为R,过点P向直线TR作 垂线，垂足为H,证明：点H在定圆上运动. 19.(本小题满分17分)己知函数f(x)=-xlx+(a+1)x. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)设函数f(x)的零点为x,设y=f(x)在(x,0)处的切线为y=kx+m,求证：f(x)≤kx+m. (3)当上≤a≤1时，设，七∈0，+o,且满足fx)-f)=1,求证：e-e> 临澧一中2026届 高三数学适应性考试试卷（参考答素） 题号1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 1 答崇 c B A C D B A B ACD ABD ACD f(x)=x-1(答案不唯一) 2 6 7.因为tan &tan(a-p)=2,所以sine.sina-=2,所以sin sin(a-p)=2 cosco(a-p), cosa cos(a-B) cosacos(a-B)+sinasin(a-B)=3cosacos(a-B),cos[a-(a-B)]=cosB=3cosa cos(a-B), 又cosB=3,即c(a-A)=号，由antan(a-月)=2得sinsin(a-月=2(a-A=号 cos2a-月=cos+(a-例=(a-A--sinsin(-A=)-号=-g放选：B. 8.若P是定点，则直线PM,PN与圆相切时，∠MPN最大，此时∠MPN=2∠OPN, 又nOPv-2=T高品，所以1OP1最小时，OPN最大 区P为椭圆E名+广上的动点，所以OP最小时，点P为椭圆的短轴的端点 又∠MPN的最大值为乏，所以∠OPN的最大值为车， 所4 =in OPN--互，所以名点，所以e-一=号 ,故选：B b 10.因为8(w)-f(x-1)=-1,所以g(2-x)-f1-x)=-1,又因为8(2-x)+fx)=1, 所以f)+f0-)=2,所以f()关于(，)中心对称，且f)=1, 所以f(2026-x)+f(x-2025)=2,故A选项正确： 因为y=f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f1+x)=f1-x),所以f(x)+fI+x)=2, 用x+1替换x可得fx+1)+fx+2)=2,所以f()=f(x+2),所以f(x)的周期为T=2, 所以觉/=1013x[V0+了21=2026，故D选项正确： 因为y=f(w的图象关于直线x=1对称，所以f(-)=f2+x), 所以f(仁x)=f(x),所以f(x)是偶函数；因为g(2-x)+f()=1,所以g(-)+f(x)=1, 所以g)=1-f(x)所以g←)=1-f)=1-f(-)=g),所以C错误： 由g2-)+f)=1,所以g2-(←》+f()=1,所以g(3)=1-f()=1-f) 所以f(停)+8受)=f号)+1-f宁=1，所以选项B正确.故选：ABD 11.已知A={←2,3引，X=3,按构造规则A+1=AU{a+x,k∈A,}分析各选项： 选项A:新增元素为-2+3=1,3+3=6，故A2=-2,3,1,6)={-2,1,3,6),A正确. 选项B：由构造规则，A的最大元素由A的最大元素与自身相加得到，故x1=2x, 构成首项x=3、公比为2的等比数列，即x,=3.2”-1.因此七=32=192≠384，B错误. 选项CD:设Sn为An所有元素之和，则S,=-2+3=1,因为A,=AU{a+x}, 所以S2=S+(S,+2x)=1+1+2×3)=8. 一般地，S1=Sn+(Sn+xAD,其中|A|是An的元素个数. 由构造可知，|A+上2|A|(即每次新增元素与原集合无重复)，因为A2,故|A上2”. 结合xn=3.21,递推得：S=2Sn+3.2-1.2”=2Sn+3.22-1 等式两边同除以2得器=多+32令=受，则6m-6=32A=号=方， 2n 限知法求6，=么+29于3.22大2疗323山，则$b2342 k=1。 选项C,当a=8时，均值为高=34梦2=19，C正确： 选项D,当n=6时，S。=3.4-1-2=3008,D正确.故选：ACD. 12.由f(x)+f(2-x)=0得f(x)图象关于点(1,0)对称，因为f(2)=1, 结合基本初等函数性质可知，f(x)=x-1,符合题意.故答案为：f(x)=x-1.（答案不唯一). 13.由题意可得x=-3,y=4,则anu=士=号，则amu= 2an受=- 1-tang 31 即2am号-3an受-2=0，解得am号-2或an号=-之， 又sina= 2si如号os号-21m受>0，则m号>0.赦m号-2， sin g+cos'tan+ 14.过B作BK⊥CD于K,因为AB/1CD,AD⊥AB,所以四边形ADKB是矩形，所以DK=AB=2, 所以CK=CD-DK=1,所以BK=√22-1P=√5，又因为ADLAB,AB/ICD,DE=1, 所以∠DEA=60°，又因为AE/1BC,所以CM.EA=CE.EA+EM.EA=2+EM.EA=5, 所以EM.EA=3,过M作MN⊥EA于N,则EM.EA=EN.EA-EN|EA上3， 所以EN=多，过N作NH LBC于H, D 因为BC⊥MN,又NH∩MN=N,NH,MNc平面MWH, 所以BC⊥平面MNH,所以∠MHN为二面角M-BC-E的平面角， 因为∠DAN=30°，又AN=AE-EN=7 所以MW=m30=9,又因为∠BAE=60r,所以NMH=5, 6 由正弦定理可得s血N=血微，所以sn∠MHN=sML≤右·故答案为：古 MN NH 6 15.(1)因为a=2bcos令，所以sinA=2 sin B号，所以2sin号cos号=2 sin Bos号，3分) 因为Ae0号∈0受，Be0,所以sin号=sinB,所以号=B,即A=2B;6分) (2)因为cosA=cos2B=号>0，Ae0),所以B∈0受)， sin B= 亚-誓，cos8=-m8-,A=看-mA-9,8》 所s以nC=S:A--sAt-si+i-S,阳分 又5=dsinC-25b-75,所以b=0,10分》 36 又a-2bcas号-2 o-@b,所以分-50，所以b=5,a=1而.(13)分 16.(1)取AB的中点为O,连接OAOC,则平面AOC为平面，(2分) 因为AB=BC=CA=2,所以△ABC为等边三角形， 因为O为AB的中点，所以AB⊥OC,(4分) 又AB⊥AC,OC∩AC=C,OCc平面AOC,ACc平面AOC, 所以AB⊥平面AOC,平面AOC为平面x(6分)》 (2)在三棱柱ABC-ABC中，AB/1AB,因为AB⊥AC,所以AB⊥AC, 在Rt△ABC中，因为B,C=10,所以AC=V6,由(1)得AB⊥OA,所以OA=√5， 所以OC2+OA?=AC2,所以OA⊥OC,所以OA,OC,AB两两互相垂直，(9分) 以O为坐标原点，以OC,OB,OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系 0-yz,则A0,-1,0),B(0,1,0),C(3,0,0),A(0,0,V3),(10分) AA=(01,V3),AC=(N3,1,0),AB=AA+AB=0,1V3)+(0,2,0)=0,3,V3), B 设平面ACB的一个法向量为i=(x,y,z), 则m:AC=0 防福二所0取x=1,则n=-B3,2分》Ae 3y+V3z=0 BC=CC-CB=AA-CB=(3,0,3),(13) 43 设C与面AcB瓶破角为0，则m9光6x5-,4分》 所以BC与平面ACB所成角的正弦值为226.(15分) 13 17.(1)设事件A表示回答被采纳，事件B表示问题表达清晰， 则PB)=号P固=，PA)=日PA周= 则PA)=P(AIB)P()B+P(AIB)P(B)=冬×告+7×号-专，5分) (2)由(1)知每个问题的回答被采纳的概率p=号，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量X服从二项分布X~B3,),则PX=)=C()1-),(6分) Px=0=C=六PrX=》-Cx-贵， X 0 1 2 3 PX=2=C×=器，PX=3)=Cx°=酷 1 12 4864 X的分布列为：(10分) F125125125125 EX)=m=3x号-号，DX)=m1-p)=3x号×1-)-号，11分) (3)随机抽取10个问题，设被采纳的次数为5，则有5~B10,),总得分Y=105, 则EY)=10E(5=10×10×号-80≥75，满足推广条件，因此该系统会得到推广.(15分) 18.(1)抛物线C:y2=2px的准线方程为x=-?,根据抛物线定义，PF上5=4+，所以p=2, 因此，C的方程为y2=4x,将P(4,)代入抛物线方程：2=16，又1>0，故1=4：(4分) (2)证明：①设AG,y),Bx,),则△PAB的重心为(+多+4，当++4 3 3 由愿意知，±4青则y+为=8 3 所以有线的率人学家产六专-号为定：8别 44 ②因为直线AB的斜率不为零，所以设直线AB的方程为x=2+.设A学)，B 4,2), *,相8y如0，所以6g00分别 联立 y2=4x (y2=-4n 设T压，为AB的中点，则季+为 全=0+2)-2y=64+8迎=n+8y=y2=4, 2 8 2 即T0n+8-4,(11分)直线AB与x轴交点Q0n0),P4,4),则PQ中点Rn+4,2),(12分) 由于△=64+16>0，所以n>-4,所以n+12≠0， 12 直线TR的斜率：km三n叶2，g=二22' 直线TR:y+4=12K-n-8,得12+0+12y-81-48=0, 令x=-4,代入方程，解得y=8,因此，直线TR经过定点N(-4,8), 因为P(4,4),PH⊥TR于H,所以H在以PW为直径的定圆上.(17分) 19.(1)f(x)=-xinx+(Ina+1)x,f'(x)=-Inx+lna;(1 当x∈(0，a)时，f'(x)>0,即f(x)在(0，a)为增函数： 当x∈(a,+o)时，f'(x)<0,即f(x)在(a,+o)为减函数. 所以f(x)的递增区间为(0，a),递减区间为(a,+w);(4分) (2)证明：由f(x)=-xlx+(la+l)x=0,解得x=ae,(5分) 又因为f'(x)=-lnx+lna,则f'(ae)=-lnae+lna=-1,所以切线为y=-x+ae,(6分) (x)=-xlnx+(Ina+2)x-ae;(x)=-Inx+Ina+1, 令p(x)=-lnx+lna+l=0,解得x=ae, 当0<x<ae时，p(x)>0,当x>ae时，p(x)<0, 可知p(x)在(0，ae)为增函数，p(x)在(ae,+m)为减函数，故g(x)≤g(ae)=0, 所以f(x)≤kx+m:(9分) (3)证明：由(1)可知fx)nar=f(a)=a<1, ①若x∈(0，a),则f(x)=x(na+1-lnx)>七3>0， f(x)-f(x)<f(x)f(a)=-alna+alna+a≤1，不合题意，所以x,>a, ②若0<x<a,则x<x, ③若x≥a,x>a,又因为f(x)在(a,+w)为减函数，所以f(x)=f(x)+1>f(x2),所以x<x3 综上所述，x<x,·(12分) 又因为fx)-f5)=1,由e-e>1，所以e*-e>f)-fx》, 即a(e-e)>fx)-f(x),即f(x)+ae<f(x)+ae, 设g(x)=f(x)+ae，所以g'(x)=f'(x)+ae=ae-lx+lna, h(x)ae*-Inx+Ina=extma+x+lna-(Inx+x), 设F(x)=lnx+x,因为F(x)在(O,+o)单调递增，又因为e+a>el≥x,所以F(e+a)≥F(x), 所以h(≥0，即g(x)在(0，+o)为增函数， 又因为：>x,所以g)>g),即e-e>1.(17分)