专题25.1 一元二次方程的概念（4大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的概念，系统梳理定义（整式方程、一元、二次）、一般形式（各项系数及符号）、根的验证与应用，以及实际问题建模（握手、面积等模型），构建从概念辨析到实际应用的完整学习支架。 资料通过分层题型（基础必考、培优高频、压轴素养）设计，结合例题与变式题，培养学生推理能力（如参数求解需验证二次项系数）和模型意识（如用方程表达握手次数）。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

专题25.1 一元二次方程的概念 知识点1：一元二次方程的定义 　　1、一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫作一元二次方程。 　　2、判定一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，分母、根号内不能含有未知数；②只含有一个未知数；③整理化简之后未知数最高次数为2，三个条件缺一不可。 　　3、注意：形如的方程，不能直接判定为一元二次方程，需要保证二次项系数。 知识点2：一元二次方程的一般形式 　　1、一元二次方程的一般形式：。 　　2、各项与系数说明： 名称 式子 说明 二次项 是二次项系数， 一次项 是一次项系数，可以等于 0 常数项 常数项可以等于 0 　　3、特殊形式 　　（1）当，： 　　（2）当，： 　　（3）当，： 　　4、重要提醒：各项、各项系数都包含前面的正负符号；化为一般形式习惯把二次项系数化为正数。 知识点3：一元二次方程的根（解） 　　1、定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，也叫根。 　　2、验证根的方法：把数值代入方程左右两边，若左边=右边，则该数是方程的根。 　　3、常用推论 　　（1）若是的根，则； 　　（2）若是的根，则； 　　（3）若是的根，则。 知识点4：由实际问题列一元二次方程 　　1、建模基本步骤：审题→找出等量关系→设未知数→用代数式表示相关量→列出方程，不需要求解。 　　2、常见模型 　　（1）握手/单循环比赛模型：总次数； 　　（2）互赠礼物、双循环比赛模型：总次数； 　　（3）几何面积模型：利用图形面积公式建立等式。 【基础必考题型】 【题型1】识别一元二次方程 1.核心知识点 　　一元二次方程的三个判定条件：整式方程、只含一个未知数、化简后未知数最高次数为2。 2.解题方法技巧 　　1.先把方程整理化简，再逐条核对三个条件。 　　2.分式方程、含有两个未知数、未知数最高次数高于2的方程一定不是一元二次方程。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B．4x+8=0 C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 【题型2】根据一元二次方程定义求参数 1.核心知识点 　　1.一元二次方程定义； 　　2.隐含条件：二次项系数不等于0。 2.解题方法技巧 　　1.未知数最高次数等于2，列等式； 　　2.二次项的系数不等于0，列不等式； 　　3.联立求解参数，舍去使二次项系数为0的取值。 【例题2】.（25-26八年级·全国·暑假作业）若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【变式题2-1】.（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【变式题2-2】.（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【题型3】根据一般形式识别各项及系数 1.核心知识点 　　二次项、一次项、常数项以及对应系数的概念，系数包含前面正负符号。 2.解题方法技巧 　　1.必须先化成一般形式，再找系数； 　　2.注意不要丢掉负号；常数项、一次项系数可以为0。 【例题3】.（25-26八年级下·山东威海·期末）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【变式题3-1】.（25-26九年级上·河南开封·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题3-2】.（25-26九年级上·河南许昌·期末）将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 【培优高频题型】 【题型4】已知方程的根求参数的值 1.核心知识点 　　一元二次方程根的概念，把根代入方程可以得到关于参数的等式。 2.解题方法技巧 　　1.把根直接代入原方程，得到含参数的一元一次方程； 　　2.解出参数；若题目条件限定是一元二次方程，要再次检验二次项系数不为0。 【例题4】.（25-26八年级下·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·河南驻马店·期中）已知是的一个根，则m的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为_________． 【变式题4-3】.（2026·广东深圳·二模）若是方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．6 C． D．3 【题型5】由根整体代入求代数式的值 1.核心知识点 　　方程根的意义，整体代入、降次思想。 2.解题方法技巧 　　1.把根代入方程，得到等式，对等式变形，实现高次降次； 　　2.把待求代数式用变形之后的等式整体替换，不一定要解出未知数。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·单元复习）若关于x的一元二次方程有一个根为，则代数式的值是_______________． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）已知是关于的方程的一个根，则________． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【题型6】已知一根求参数及方程另一根 1.核心知识点 　　1.一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值为方程的根。 　　2.一元二次方程的基本求解方法、参数取值限定规则。 　　3.基础根与方程的对应关系（适配本节概念，不超纲拓展韦达定理）。 2.解题方法技巧 　　1.代根入式：将已知根代入原方程，求解方程中的未知参数。 　　2.回代得式：把参数值放回原方程，得到完整的一元二次方程。 　　3.解方程求根：通过因式分解等基础方法求解方程，得出另一根。 　　4.检验核验：含参数题型需额外验证二次项系数不为0，保证方程为一元二次方程。 【例题6】.（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则它的另一个根是（     ） A． B．3 C． D． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【变式题6-2】.（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____． 【变式题6-3】.（2026·江苏常州·模拟预测）已知：一元二次方程（d为常数）有一个根为3，则另一根为________． 【压轴素养题型】 【题型7】表格探究型，估算一元二次方程的根 1.核心知识点 　　代数式数值变化与方程根的关系，探究素养。 2.解题方法技巧 　　1.观察表格，寻找代数式值由正变负或者由负变正的区间； 　　2.这个区间内存在方程的根。 【例题7】.（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 【变式题7-1】.（25-26九年级上·山东青岛·期末）下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【变式题7-3】.（25-26九年级上·云南昆明·期中）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 【题型8】由已知方程的根推导变形后方程的根 1.核心知识点 　　一元二次方程根的本质，换元思想。 2.解题方法技巧 　　1.对比原方程与变形之后方程的结构； 　　2.把括号内整体当作新未知数，利用“整体替换”找到新方程对应的根。 【例题8】.（2026八年级下·浙江绍兴·专题练习）若关于的一元二次方程有一根为．则关于的一元二次方程必有一根为___________． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为________． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 【变式题8-3】.（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知关于的一元二次方程（，，为常数，）的解为，，则方程的解为__________． 易错点 1、忽略一元二次方程的隐含条件：二次项系数，做含参数题目忘记排除使二次项系数等于0的取值。 2、找各项系数的时候，忘记带上项前面的正负号；没有化成一般形式就直接读取系数。 3、混淆单循环、双循环比赛（握手、互赠礼物）模型，忘记是否除以2。 4、判断一元二次方程，没有先化简原方程，直接看表面形式作出判断；把分式方程当成一元二次方程。 重点 1、理解一元二次方程的定义，会判断一个方程是否是一元二次方程。 2、掌握一元二次方程的一般形式，能够化成一般形式，识别各项和对应系数。 3、理解一元二次方程根的含义，可以代入检验根，会利用根做简单计算。 4、能从简单实际情境抽象列出一元二次方程。 难点 1、含参数的一元二次方程，综合考虑次数条件与二次项系数不为0的限制。 2、利用方程的根进行整体代入降次求代数式的值，不解未知数完成计算。 3、读懂实际问题，区分不同模型，准确找到等量关系，列出一元二次方程。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的常数项是（     ） A． B． C． D． 3．已知一元二次方程的一个根为，则的值为（     ） A． B．4 C． D．6 二、填空题 4．已知一元二次方程的一个根是1，请写出一个一元二次方程____． 5．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 6．已知关于的一元二次方程（其中）的一个根是，则________． 三、解答题 7．写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 8．若方程是关于的一元二次方程，求的值． 9．已知a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.1 一元二次方程的概念 知识点1：一元二次方程的定义 　　1、一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫作一元二次方程。 　　2、判定一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，分母、根号内不能含有未知数；②只含有一个未知数；③整理化简之后未知数最高次数为2，三个条件缺一不可。 　　3、注意：形如的方程，不能直接判定为一元二次方程，需要保证二次项系数。 知识点2：一元二次方程的一般形式 　　1、一元二次方程的一般形式：。 　　2、各项与系数说明： 名称 式子 说明 二次项 是二次项系数， 一次项 是一次项系数，可以等于 0 常数项 常数项可以等于 0 　　3、特殊形式 　　（1）当，： 　　（2）当，： 　　（3）当，： 　　4、重要提醒：各项、各项系数都包含前面的正负符号；化为一般形式习惯把二次项系数化为正数。 知识点3：一元二次方程的根（解） 　　1、定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，也叫根。 　　2、验证根的方法：把数值代入方程左右两边，若左边=右边，则该数是方程的根。 　　3、常用推论 　　（1）若是的根，则； 　　（2）若是的根，则； 　　（3）若是的根，则。 知识点4：由实际问题列一元二次方程 　　1、建模基本步骤：审题→找出等量关系→设未知数→用代数式表示相关量→列出方程，不需要求解。 　　2、常见模型 　　（1）握手/单循环比赛模型：总次数； 　　（2）互赠礼物、双循环比赛模型：总次数； 　　（3）几何面积模型：利用图形面积公式建立等式。 【基础必考题型】 【题型1】识别一元二次方程 1.核心知识点 　　一元二次方程的三个判定条件：整式方程、只含一个未知数、化简后未知数最高次数为2。 2.解题方法技巧 　　1.先把方程整理化简，再逐条核对三个条件。 　　2.分式方程、含有两个未知数、未知数最高次数高于2的方程一定不是一元二次方程。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B．4x+8=0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程需同时满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可； 【详解】解： ∵一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，②只含一个未知数，③未知数的最高次数为2. 选项A． 满足所有三个条件，是一元二次方程； 选项B． 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C． 未知数最高次数为3，不符合要求； 选项D． 中 是分式，该方程不是整式方程，不符合要求； 【变式题1-2】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、含有，两个未知数，故A不符合题意； B、是分式，方程不是整式方程，故B不符合题意； C、含有，两个未知数，且未知数最高次数为1，是二元一次方程，故C不符合题意； D、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故D符合题意． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：①是分式方程，不是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上所述，③和④是一元二次方程． 【题型2】根据一元二次方程定义求参数 1.核心知识点 　　1.一元二次方程定义； 　　2.隐含条件：二次项系数不等于0。 2.解题方法技巧 　　1.未知数最高次数等于2，列等式； 　　2.二次项的系数不等于0，列不等式； 　　3.联立求解参数，舍去使二次项系数为0的取值。 【例题2】.（25-26八年级·全国·暑假作业）若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 【变式题2-1】.（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：由题意，方程为一元二次方程， 则满足， 解得， 即或． 当时，二次项系数；当时，二次项系数． 故均符合条件． 故答案为：或． 【题型3】根据一般形式识别各项及系数 1.核心知识点 　　二次项、一次项、常数项以及对应系数的概念，系数包含前面正负符号。 2.解题方法技巧 　　1.必须先化成一般形式，再找系数； 　　2.注意不要丢掉负号；常数项、一次项系数可以为0。 【例题3】.（25-26八年级下·山东威海·期末）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，再对应找出系数即可得到答案． 【详解】原方程为， 将方程移项整理为一般形式得或， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为或． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·河南开封·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】将原方程化为一元二次方程的一般形式为，所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故选：D 【变式题3-2】.（25-26九年级上·河南许昌·期末）将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程化为（）的形式，从而确定二次项系数和一次项系数； 先展开方程左边的完全平方，再移项合并同类项，得到一般形式，进而确定二次项系数和一次项系数． 【详解】解： 二次项系数为2，一次项系数为，此选项B符合题意． 故选：B． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．将方程化为一般形式后，识别系数并求和． 【详解】解：原方程：， 移项得：， ，，， ， 故选：A． 【培优高频题型】 【题型4】已知方程的根求参数的值 1.核心知识点 　　一元二次方程根的概念，把根代入方程可以得到关于参数的等式。 2.解题方法技巧 　　1.把根直接代入原方程，得到含参数的一元一次方程； 　　2.解出参数；若题目条件限定是一元二次方程，要再次检验二次项系数不为0。 【例题4】.（25-26八年级下·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·河南驻马店·期中）已知是的一个根，则m的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵是的一个根， ∴，解得：． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为_________． 【答案】 【分析】将代入求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是0， ∴， 解得：． 【变式题4-3】.（2026·广东深圳·二模）若是方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的根，   ∴ 将代入方程得， 解得：． 【题型5】由根整体代入求代数式的值 1.核心知识点 　　方程根的意义，整体代入、降次思想。 2.解题方法技巧 　　1.把根代入方程，得到等式，对等式变形，实现高次降次； 　　2.把待求代数式用变形之后的等式整体替换，不一定要解出未知数。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·单元复习）若关于x的一元二次方程有一个根为，则代数式的值是_______________． 【答案】 【分析】根据是的一个根，将代入原方程得，再代入计算即可得答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴把代入方程得: ， 整理得 :， ∴ ． ∴代数式的值为． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是关于x的方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，可得，整体变形可得答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】把代入方程中求得的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 【题型6】已知一根求参数及方程另一根 1.核心知识点 　　1.一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值为方程的根。 　　2.一元二次方程的基本求解方法、参数取值限定规则。 　　3.基础根与方程的对应关系（适配本节概念，不超纲拓展韦达定理）。 2.解题方法技巧 　　1.代根入式：将已知根代入原方程，求解方程中的未知参数。 　　2.回代得式：把参数值放回原方程，得到完整的一元二次方程。 　　3.解方程求根：通过因式分解等基础方法求解方程，得出另一根。 　　4.检验核验：含参数题型需额外验证二次项系数不为0，保证方程为一元二次方程。 【例题6】.（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则它的另一个根是（     ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程求出参数k的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：是方程的根， 将代入原方程得 ，化简得， 解得， 原方程为，对方程左边因式分解得， 解得或， 因此方程的另一个根为． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】m的值为，方程的另一个根为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，设方程的另一个根为，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴m的值为，方程的另一个根为． 【变式题6-2】.（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____． 【答案】2 【分析】将代入，结合一元二次方程的定义求出m的值，进而得到原方程，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一根为0， ∴将代入得， 解得：， ∵一元二次方程 ∴，即， ∴， ∴原方程为， 解得：， 即它的另一个根是2． 【变式题6-3】.（2026·江苏常州·模拟预测）已知：一元二次方程（d为常数）有一个根为3，则另一根为________． 【答案】5 【详解】解：由题意可得，将代入原方程得：， 解得， ∴原方程为， ∴， 解得， ∴另一个根为5． 【压轴素养题型】 【题型7】表格探究型，估算一元二次方程的根 1.核心知识点 　　代数式数值变化与方程根的关系，探究素养。 2.解题方法技巧 　　1.观察表格，寻找代数式值由正变负或者由负变正的区间； 　　2.这个区间内存在方程的根。 【例题7】.（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和2时，， ∴方程的根是：或， 故选D． 【变式题7-1】.（25-26九年级上·山东青岛·期末）下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程等价于，从表格中直接找出时对应的值即可． 【详解】解：∵等价于， 从表格中，当时，；当时，， ∴方程的根为，． 故选：C． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，， ∵， ∴ 故一元二次方程的两根为， 则， 故答案为：1 【变式题7-3】.（25-26九年级上·云南昆明·期中）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，直接找出使代数式的值等于2的值，这些值即为方程的根． 【详解】由表格可知，当时，；当时，． ∴方程的根是， ． 故选：D． 【题型8】由已知方程的根推导变形后方程的根 1.核心知识点 　　一元二次方程根的本质，换元思想。 2.解题方法技巧 　　1.对比原方程与变形之后方程的结构； 　　2.把括号内整体当作新未知数，利用“整体替换”找到新方程对应的根。 【例题8】.（2026八年级下·浙江绍兴·专题练习）若关于的一元二次方程有一根为．则关于的一元二次方程必有一根为___________． 【答案】 【分析】利用已知根得到满足原方程的等式，对等式变形后即可推导出所求方程的根． 【详解】解：将代入一元二次方程，得， ， ∴， 若，代入原方程可得，与矛盾， 将两边同时除以，得， 整理得， 当时，方程成立， 方程必有一根为． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为________． 【答案】2024 【分析】利用换元法，进行计算即可 【详解】由，得． 设，则． 关于x的一元二次方程有一根为2025，即有一个根为2025， ，解得， 一元二次方程必有一根为2024． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由于时，有，于是可判断此方程必有一根为． 【详解】解：当时，，则， 所以若，则此方程必有一根为． 故选：B． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知关于的一元二次方程（，，为常数，）的解为，，则方程的解为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程看作是关于的方程，则关于的方程的解满足或，据此可得答案． 【详解】解：把方程看作是关于的方程， ∵关于的一元二次方程（，，为常数，）的解为，， ∴关于的方程的解满足或， 解得或， 故答案为：． 易错点 1、忽略一元二次方程的隐含条件：二次项系数，做含参数题目忘记排除使二次项系数等于0的取值。 2、找各项系数的时候，忘记带上项前面的正负号；没有化成一般形式就直接读取系数。 3、混淆单循环、双循环比赛（握手、互赠礼物）模型，忘记是否除以2。 4、判断一元二次方程，没有先化简原方程，直接看表面形式作出判断；把分式方程当成一元二次方程。 重点 1、理解一元二次方程的定义，会判断一个方程是否是一元二次方程。 2、掌握一元二次方程的一般形式，能够化成一般形式，识别各项和对应系数。 3、理解一元二次方程根的含义，可以代入检验根，会利用根做简单计算。 4、能从简单实际情境抽象列出一元二次方程。 难点 1、含参数的一元二次方程，综合考虑次数条件与二次项系数不为0的限制。 2、利用方程的根进行整体代入降次求代数式的值，不解未知数完成计算。 3、读懂实际问题，区分不同模型，准确找到等量关系，列出一元二次方程。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2．关于x的一元二次方程的常数项是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般形式即可确定常数项． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为 ，其中为常数项； ∵ 原方程为 ， 对应一般形式可得常数项为， ∴ 该方程的常数项是． 3．已知一元二次方程的一个根为，则的值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴ ∴． 二、填空题 4．已知一元二次方程的一个根是1，请写出一个一元二次方程____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，将根代入方程满足等式，即可得到符合要求的方程． 【详解】解：设一元二次方程的一般形式为， ∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 任意取满足条件的，例如取，，， 得到一元二次方程， 验证可知是该方程的根，符合要求． 5．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是， 将代入方程得：， 整理得：， 解得：． 6．已知关于的一元二次方程（其中）的一个根是，则________． 【答案】 【分析】将代入方程，结合可得，化简即可得出答案． 【详解】∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 7．写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式下，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，将一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 先将一元二次方程化为一般形式，进而完成解答． 【详解】解：把方程化为一般形式为， 所以二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 8．若方程是关于的一元二次方程，求的值． 【答案】的值为2或3或4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关键． 分三种情况讨论，求出的值即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意； ②当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意； ③当时，即，此时方程的二次项系数为，符合题意． 综上所述，的值为或或． 9．已知a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】把代入方程中得，从而可得，再把所求式子去括号后合并同类项，最后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $