江苏南京市第十三中学2026-2027学年高二上学期数学周测1

2025级高二第一学期数学周测1(20260903) 班级 姓名 学号 命题：倪琦 审校：李进，凡森泉 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个 方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是() A.互斥但非对立事件 B.对立事件 C.非互斥事件 D.以上都不对 2.经过简单随机抽样获得的样本数据为x1,x2,.,x,且数据x1,x2,…,xn的平均数 为x,方差为s2,则下列说法正确的是() A.52-2c-y B.若s2=0,则所有的数据x(i=1,2,.,)都为0 C.若x=3,则=2x十1(i=1,2,..,m的平均数为6 D.若s2=3,则=2x十1(i=1,2,,m)的方差为12 3.直线2x+3y一6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是( ) A.3x-2y-10=0B.3x-2y-23=0C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0 4.设a,B为两个平面，，n为两条直线，且a∩B=m.下述四个命题： ①若l/m,则l/a或lWB ②若mLn,则nLa或n⊥B ③若l/a且nllB,则/ln ④若n与a,B所成的角相等，则⊥n 其中所有真命题的编号是() A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 5.经过点A(4,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线1有()条。 A.0 B.1 C.2 D.3 6.为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何队”参 加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为5， 乙每轮猜对的概率为4在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛 中至少猜对一个成语的概率为() 2025级高二第一学期数学周测1第1页共4页 A. 19 7 1 B.20 C.20 D.20 7.已知正四面体P一ABC内接于球O,球O半径为3，E为BC的中点，过点E作球O的 截面，求截面圆半径的最小值() A.1 B.3 C. D.6 8.已知直线1：(m十2)x+(m一1)y+m-1=0,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)两点的线段 总有公共点，则1的倾斜角范围为() ππ 3亚 兀3元 π3π A.[-4,4 B.4,D C.4,4] D.[0,4U(4,D 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部 分分，不选或有选错的得0分 9.关于概率与频率，下列说法正确的是() A.频率是随机的，概率是确定的 B.随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C.某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D.在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 10.如图，正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，点M是其侧面ADDA1上的一个动点（含 边界)，点P是线段CC1上的动点，则() D A.PM的长度范围是[1，V2] A B.存在点P,M,使得平面B1DM与平面PBD平行 7 C.存在点P,M使得二面角M-DC-P大小为3 M D 兀 D.当P为棱CC1的中点且PM=2√2时，则点M的轨迹长度为3 三、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.请把答案填写在答题卡相应位置上 11.过点(-1,2)与(3,5)的直线的一般式方程为 12.学校为了解学生身高（单位：c)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生 中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为3：2，统计数据得到男生平均身 高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学 生身高的方差为 13.如图，正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运 动，且满足A1P≤V5,则四面体A1一PBD的体积的最小值是」 2025级高二第一学期数学周测1第1页共4页 D D 四、解答题：本大题共4小题，共50分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤， 14.(本小题满分10分) 求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示. (1)过点P(-4,3),斜率k=-3: 3 (2)经过点(2，-3)，倾斜角是直线y=3x的倾斜角的2倍： (3)经过点（一5,2），且平行于y轴. 15.(本小题满分12分) 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20， 45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~六组区间 分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[40,45]) ◆频率/组距 0.07 8 8 0.01 04 202530354045年龄 (1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数及α的值： (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数： (3)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中 作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在35,40)内的概率. 2025级高二第一学期数学周测1第1页共4页 16.(本小题满分13分) 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果 来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛.一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁 判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛 无平局. (1)设事件A为“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； 3 (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为4.现已决定出乙作为第一局的裁判， 求甲恰好胜一局的概率. 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱台ABC一A1B1C1中，AA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1= 1,M为BC中点.，N为AB的中点， B B (1)求证：AN/平面AMC1: (2)求平面AMC1与平面ACCA1所成夹角的余弦值： (3)求点C到平面AMC1的距离. 2025级高二第一学期数学周测1第1页共4页2025级高二第一学期数学周测1(20260903) 班级 姓名 学号 命题：倪琦 审校：李进，凡森泉 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上、 1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个 方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是() A.互斥但非对立事件 B.对立事件 C.非互斥事件 D.以上都不对 【答案】A 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【解析】因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进， 每个方向一人， 所以事件“甲向南”与事件“乙向南不能同时发生，但能同时都不发生，故事件“甲向南与 事件“乙向南”是互斥但非对立事件： 故选：A 2.经过简单随机抽样获得的样本数据为x1,x2,,x,且数据x1,x2,,xm的平均数 为x,方差为s,则下列说法正确的是() A.s2=2-y B.若s2=0,则所有的数据(i=1,2,,)都为0 C.若x=3,则=2x十1(i=1,2,,)的平均数为6 D.若s2=3,则=2x十1(i=1,2,.,)的方差为12 【答案】D 【知识点】平均数的和差倍分性质、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时乘 除同一数对方差的影响 【解析】对于A:52=2(-x,错误： n 对于B:数据，x2,,xn的方差s2=0时，说明所有的数据x,x2,,x都相等， 但不一定为0，错误： 2025级高二第一学期数学周测1第1页共16页 对于C:数据x,x2,,xn的平均数为x=3,数据》=2x,+1(i=1,2,…,n)的平均数为 2×3+1=7,错误； 对于D:数据x,七，，n的方差为s2=3,数据y=2x+1(i=1,2,n)的方差为 22×3=12,正确， 3.直线2x+3y一6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是() A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0 C.2x+3y-4=0 D,2x+3y-2=0 【答案】D 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为（化，y),则其关于点（一1,2）对称的点的坐标 为（一2一x,4-y).因为点(-2-x,4一y)在直线2x+3y一6=0，所以2(-2一x)+3(4 -y)-6=0即2x+3y-2=0. 故选：D 4.设a,B为两个平面，m,n为两条直线，且a∩B=m.下述四个命题： ①若lm,则l/a或nf ②若mLn,则nLa或n⊥B ③若l/a且nllB,则lln (4)若n与a,B所成的角相等，则⊥n 其中所有真命题的编号是( A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 【答案】A 【知识点】线面关系有关命题的判断 【解析】对①，当nca,因为m/1n,mcB,则n/1B, 当ncB,因为m/1n,mca,则n/1a, 当n既不在a也不在B内，因为m/1n,mcc,mCB,则n/1a且n/1B,故①正确： 对②，若m⊥n,则n与，B不一定垂直，故②错误： 对③，过直线n分别作两平面与，B分别相交于直线s和直线t, 因为n/,过直线n的平面与平面a的交线为直线s,则根据线面平行的性质定理知 n/1s, 同理可得n/1t,则s/1t,因为s丈平面B,tc平面B,则s/1平面B, 因为sC平面a,a∩B=m,则s/1m,又因为n/1s,则m/1n,故③正确； 2025级高二第一学期数学周测1第2页共16页 a n m 对④，若a⌒B=m,n与a和B所成的角相等，如果n/1a,n/1B,则m/1n,故④错误： 综上只有正确， 故选：①③ 5.经过点A(4,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线1有()条. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【知识点】直线截距式方程及辨析 【解析】若直线经过原点，则y=x,在坐标轴上的截距均为0，符合题意。 若截距均不为0，则设直线方程为之+=1a≠0)，将A(4,3)代入得4+3=1,4=7， 0 a aa 此时直线方程为+)=1，符合题意： 77 即经过点A(4,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线1有2条 故选：C. 6.为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何队”参 4 加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为5， 乙每轮猜对的概率为4在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛 中至少猜对一个成语的概率为() 19 7 A.5 B.20 C.20 D.20 【答案】B 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件 的乘法公式、独立事件的实际应用 【解析】设事件A=“甲猜对”，B=“乙猜对”，C=“几何队至少猜对一个成语”， 所以PA-专P()子则r-P回- 由题意知，事件A,B相互独立，则A与B,A与B,A与B也相互独立， 2025级高二第一学期数学周测1第3页共16页 法一：C=(ABU(AB)U(AB),且AB,AB,AB两两互互斥， P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B) 品 法二：事件C的对立事件C=“几何队一个成语也没有猜对”，即C=AB, 则PO=I-P©=1-P(A=1-PA(A=I-x-9 5420 故选：B. 7.已知正四面体P一ABC内接于球O,球O半径为3，E为BC的中点，过点E作球O的 截面，求截面圆半径的最小值() A.1 B.3 C. D.6 【答案】D 【知识点】正棱锥及其有关计算、球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【解】如下图示，0P=3,令正四面体的棱长为a,则底面半径，=x5。= 32 3 0 3 所以OP 2 所以a a=3,则2d=9+69 a2+9- -a, 3 3 所以a2-18=69 二a2,则a-36a2+324=324-12a2,可得a2=24, 要使截面圆半径最小，只需OE垂直于截面圆，而 所以截面圆半径为V9-OE2=√6 故选：D 8.已知直线l:(m十2)x十(0m-1)y十m一1=0，若直线l与连接A(1,一2)，B(2,1)两点的线段 2025级高二第一学期数学周测1第4页共16页 总有公共点，则1的倾斜角范围为() π元 3π 兀3π 兀3π A.[-4,4 B.4, C.4,4] D.[0,4U(4,) 【答案】D 【解折】直线的方程可化为m(x+y++(2x-y-)=0,由人x+y+1=0,可得 2x-y-1=0 x=0 y=-1 所以，直线过定点P(0,-1), 设直线的斜率为k,直线1的倾斜角为，则0≤a<元 因为直线PA的斜率为1（2）-1，直线PB的斜率为1-=1， 0-1 0-2 因为直线1经过点P(0,-1),且与线段AB总有公共点， 将A(1,-2)代入方程：(m+2)x+(m-1)y+m-1=0 可得：3=0.不成立，A(1,-2)不在直线1.上， 所以-1<k≤1，即-1<tana≤1， 因为0≤&<元所以0≤a≤T或3<a<元 44 改应线1性装斜的取盒日Q要 故选：D 二、多选题：本大题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分， 2025级高二第一学期数学周测1第5页共16页 不选或有选错的得0分， 9.关于概率与频率，下列说法正确的是() A.频率是随机的，概率是确定的 B.随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C.某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D.在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 【答案】ABD 【知识点】辨析概率与频率的关系、用频率估计概率 【解析】对于A:频率是指在n次重复试验中，某事件发生的次数m与总试验次数n的比 值，即∫=”由于每次试验结果不确定，频率随试验结果波动，具有随机性 概率是事件在理论上发生的可能性大小，是一个确定的常数故A正确 对于B:大量重复试验下，事件发生的频率趋于稳定，并趋近于其理论概率故B正确 对于C:概率为0的事件不一定不会发生；在离散型概率中，概率为0才意味着不可能发 生故C错误 对于D:随着试验次数增大，频率的相对误差趋于减小，波动幅度减小，趋于稳定值.故 D正确 故选：ABD 10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M是其侧面ADDA1上的一个动点（含 边界)，点P是线段CC1上的动点，则() D A B D B A.PM的长度范围是[1，V B.存在点P,M,使得平面B1D1M与平面PBD平行 C.存在点P,M,使得二面角M-DC-P大小为 D.当P为棱CC1的中点且PM=2V2时，则点M的轨迹长度为3 2025级高二第一学期数学周测1第6页共16页 【答案】BC 【知识点】证明面面平行、求二面角、立体几何中的轨迹问题 【解析】解：对于A,易知点P到侧面ADDA的距离为2，故PM≥2，故A错误； 对于B,当M为AA中点，P为CC,中点时， 连接BDBM、DM、PB、PD、BD,结合正方体的结构特征有， D C D BD∥BD,又BDC平面PBD,B,D,文平面PBD,则BDII平面PBD, MB∥PD,又PDC平面PBD,B,M文平面PBD,则B,MII平面PBD, 又B,M⌒B,D=B且都在面BD,M内，则平面BD,M/平面PBD故B正确： 对于C,在正方体ABCD-AB,CD中，可得CDL平面ADDA, 因为MDc平面ADDA,DDC平面ADD,A,所以CD⊥MD,CD⊥DD, 所以二面角M-DC-P的平面角为∠MDD,其中∠MDD∈O,C 所以C正确： D A B P M D B 对于D,取DD,中点E,连接PE,MB,PM,则PE⊥平面AADD, 2025级高二第一学期数学周测1第7页共16页 D C E P D 根据线面垂直的性质有PE⊥ME,则ME=VPM2-PE=(22)-22=2 则点M在侧面AAD,D内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧， 分别交AD、AD于M2、M,则∠M,ED,=∠M,ED= 3 M D D M, 则∠M,EM:-子劣弧M,M,的长为背2-，放D错误。 三、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.请把答案填写在答题卡相应位置上 11.过点(-1,2)与(3,5)的直线的一般式方程为 【答案】3x-4y+11=0 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【解析】可得直线的斜率为 2-53 -1-34 所以直线方程为y-2(x+),整理得3x-4+1=0, 故答案为：3x-4y+11=0 12.学校为了解学生身高（单位：c)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生 中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为3：2，统计数据得到男生平均身 高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学 生身高的方差为」 【答案】220 2025级高二第一学期数学周测1第8页共16页 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、估计总体的方差、标准差 【解析】根据题意，由于男女生人数之比为3：2，则样本中男女生人数之比为3：2， 其中，男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169， 3 则样本的平均数c=3x176+2x161=170, 5 样本的方差-}X[1647610]+号x[69+061-1709门20， 用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为220. 13.如图，正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运 动，且满足A1P≤V5,则四面体A1一PBD的体积的最小值是 D B D C B 【答案】4-2V2 3 【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直 【解析】连接AP,因为AA⊥平面ABCD,APC平面ABCD,所以AA⊥AP, 所以，AP=√AP2-AA≤V5-2=1, 所以，点P的轨迹是平面ABCD内以点A为圆心，圆心角为，且半径为1的圆弧及其内 部， D B D C B 连接AC交BD于点O,因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点，且 AO⊥BD, 2025级高二第一学期数学周测1第9页共16页 因为正方形ABCD的边长为2，则AC=BD=2W2,所以A0=】AC=√2， 设点P到BD的距离为d,则dn=A0-1=V2-1, 所以，aPBD面积的最小值为B0d方25×(5-小-2-5， 故vm号mM写2-例2-425 3 即三棱锥A-PBD体积的最小值为4-22 3 四、解答题：本大题共4小题，共50分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤. 14.(本小题满分10分) 求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示. (1)过点P(-4,3),斜率k=-3; 3 (2)经过点(2，一3)，倾斜角是直线y=3x的倾斜角的2倍： (3)经过点(-5,2)，且平行于y轴. 【答案】(1)y-3=-3(x+4);(2)y+3=√5(x-2);3)不能用点斜式，x=-5 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【解析】1)因为直线过点P(-4,3),斜率k=-3, 由直线的点斜式方程得直线方程为y-3=-3(x+4). …3分 ②因为直线y=5, 的斜率为 ,则直线y= 2x的倾斜角为30°， 3 可知所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为√5 所以所求直线方程为y+3=√3(x-2).…3分 (3)因为直线平行于y轴，则直线的斜率不存在， 所以不能用点斜式方程，直线方程为x=-5.…4分 15.(本小题满分12分) 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20， 45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一~六组区间 分别为20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[40,45]) 2025级高二第一学期数学周测1第10页共16页 ◆频率/组距 0.07 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 202530354045年龄 (1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数及a的值： (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数： (3)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中 作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率. 【答案】(1)20，a=0.06:(2)平均数为32.25，第80百分位数为37.5：（③） 7 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图 估计平均数、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【解析】(1)由题意可知，年龄在[40,45]内的频率为0.02×5=0.1， 故年龄在[40,45]内的市民人数为200x0.1=20.…2分 由图可得：(0.01+0.02+0.04+0.07+a)×5=1,解得a=0.06…2分 (2)平均数为 22.5×0.01×5+27.5×0.07×5+32.5×0.06×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5=32.25…2分 前三组的频率和为0.01x5+0.07×5+0.06×5=0.7, 第四组的频率为0.04×5=0.2，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为35+01x5=37.5 …2分 0.2 (3)易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3：2， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3,4组中分别抽取3人，2人， 记第3组的3名分别为A,A,A3,第4组的2名分别为B,B2, 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为(A,A),(A,A),（A,B),（A,B2) (A2,A),（A2,B),（A2,B2),（A,B),（A,B2),(B,B2),共有10种 其中第4组的2名B,B2至少有一名被选中的有：（A,B),(A,B2),(A2,B), 2025级高二第一学期数学周测1第11页共16页 (A2,B2),（A,B),（A,B2),（B,B2),共有7种， 7 所以至少有一人的年龄在[35,40)内的概率为0…4分 16.(本小题满分13分) 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果 来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛.一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁 判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛 无平局. (1)设事件A为“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为4.现已决定出乙作为第一局的裁判， 求甲恰好胜一局的概率. 【答案】片：a月 【知识点】计算古典概型问题的概率、相互独立事件与互斥事件、独立事件的乘法公式 【解析】(1)因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是 古典概型， 样本空间：2={(x,yx,y∈红，2,3,4,5,6}共6x6=36个样本点， 事件A含有={(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(3,3)，(2,4)，(42)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)} 共12个样本点，故P(A)=2={ …6分 363 ②记事件A为第1局甲胜，1=山2.3，由愿意知P(A)=子记事件B为甲恰好胜局，有 如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件A与4，A与A,也独立， 3、13 则P(AA2)=P(A)P(A)=P(A)1-P(A)=二×三 4416 P=Pa)PA=-PP)-G 因为B=AA,UAA,且事件AA与AA互斥， 所以到=4P)合- 2025级高二第一学期数学周测1第12页共16页 所以甲恰好胜一局的概率为。…7分 P 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1= 1,M为BC中点.，N为AB的中点， A B M B (1)求证：A1W/平面AMC1: (2)求平面AMC1与平面ACCA1所成夹角的余弦值； (3)求点C到平面AMC1的距离 【知识点】证明线面平行、求点面距离、求二面角 【解析】(1)证明：连接MN,CA.由M,N分别是BC,BA的中点，根据中位线性质，MN∥ AC,且wS1 由棱台性质，AC∥AC,于是MN∥AC,由MN=AC=1可知，四边形MNAC是平行四 边形，则AN/MC, 又ANz平面CMA,MCC平面CMA,于是AN∥平面AMC.…3分 B M (2)过M作ME⊥AC,垂足为E,过E作EF⊥AC,垂足为F,连接MF,CE. 由MEc面ABC,AA⊥面ABC,故AA⊥ME,又ME⊥AC,AC∩AA=A, AC,A4C平面ACC,A,则ME⊥平面ACC,A. 2025级高二第一学期数学周测1第13页共16页 由AC,C平面ACCA,故ME⊥AC,又EF⊥AC,MEOEF=E,ME,EFc平面 MEF,于是AC⊥平面MEF, 由MFc平面MEF,故AC⊥MF.于是平面AMC,与平面ACCA所成角即∠MFE..3分 又ME-4级1,2CAc-万，则m2C1G 2 2 ，故r=1ksin<CG= 43 在Rt△MEF中，∠MEF=90,则MF=1+ 1+55 EF 2 于是cos∠MFE= MF 3 …2分 B (3)[方法一：几何法] A B R NQ 过C作CP⊥AC,垂足为P,作CQ⊥AM,垂足为Q,连接PQ,PM,过P作 PR⊥CQ,垂足为R. 由题干数据可得， CA=CC=V5,GM=VCP2+PM2=V5,根据勾股定理， 32 …1分 2 因为AA⊥平面ABC,AB,ACC平面ABC,所以AA⊥AC,AA⊥AB,又C,P⊥AC, 所以AA∥GP,所以C,P⊥AB,CP⊥AC,AC,ABc平面AMC,所以CP⊥平面AMC., …2分 2025级高二第一学期数学周测1第14页共16页 又AMc平面AMC,则CP⊥AM,又C2⊥AM,CQ∩C,P=C,C2,CPc平面 CPQ,于是AM⊥平面CPQ. 又PRc平面CPQ,则PR⊥AM,又PR⊥C2,CQ∩AM=Q,C2,AMc平面 CMA,故PR⊥平面CMA.… …2分 在RtAC PQ中，PR=PGPg2.V2 22 QC 32 3' 3 又CA=2PA,故点C到平面CMA的距离是P到平面CMA的距离的两倍， 即点C到平面AMC的距离是4 …2分 [方法二：等体积法] (辅助线同方法一) 过C作CP⊥AC,垂足为P,作CQ⊥AM,垂足为Q,连接PQ,PM,过P作 PR⊥CQ,垂足为R. 由题干数据可得，( A=CC=V5,CM=√CP2+PM2=V5,根据勾股定理， 3v2 …1分 因为AA⊥平面ABC,AB,ACc平面ABC,所以AA⊥AC,AA⊥AB,又C,P⊥AC, 所以AA∥CP,所以CP⊥AB,CP⊥AC,AC,ABC平面AMC,所以CP⊥平面AMC., …2分 设点C到平面AMC,的距离为h. 2025级高二第一学期数学周测1第15页共16页 me专cPx5:2x回时-号 3 2 又-wg5.95-身 1 22 自Ve weo台分子即= .h2 …4分 2025级高二第一学期数学周测1第16页共16页