26.4 第2课时 销售最值问题 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“销售最值问题”，引导学生利用“单件利润×销售量”建立二次函数模型，通过知识链接回顾销售基本数量关系，以选择题巩固涨降价情境下的模型构建，搭建从二次函数基础到实际应用的学习支架。 资料特色在于分知识点设计合作探究，例习题覆盖直接销售及先求一次函数的不同情境，当堂检测结合售价、人数等实际约束条件，助力学生用数学眼光抽象数量关系，用数学思维分析最值，培养模型意识与推理能力，提升解决实际问题的应用能力。

26.4 第2课时 销售最值问题 班级______　姓名______　学号______ 【学习目标】 ① 能利用“单件利润×销售量”建立销售问题的二次函数模型 ② 会利用表格数据求一次函数解析式，进而建立利润函数 ③ 会通过配方或增减性求二次函数在实际约束范围（如售价范围、人数范围）内的最大值 【学习重难点】 重点：销售问题中利润函数的建立（总利润＝单件利润×销售量）；用配方法或增减性求二次函数的最大值　难点：自变量受实际条件限制（如18≤x≤28、40≤x≤72）时，最值不在对称轴处而在端点取得的情形 【知识链接】 1. 销售问题中的数量关系：单件利润＝________，总利润＝________. 2. 将进货价格为35元/件的商品按单价40元售出时，能卖出200件，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5件，设这种商品的单价上涨x元时，利润为y元，则下列关系式正确的是(　　) A. y＝(x－35)(200－5x) B. y＝(x＋40)(200－10x) C. y＝(x＋5)(200－5x) D. y＝(x＋5)(200－10x) 【合作交流】 知识点1 　直接销售利润问题 【例1】(人教新教材P52“探究1”改编)某商店将进货价为70元/件的商品按零售价100元/件出售时，每天能卖出20件，若零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件. (1)设降价x元后，利润为y元，求y与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【变式1】(人教新教材P62T11改编)某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件.经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件.将销售单价定为多少时，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 知识点2 　先利用表格或直线求一次函数解析式，再求最大利润 【例2】某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元.经市场调查发现，山野菜的日销售量y(单位：kg)与每千克售价x(单位：元)之间满足一次函数关系，部分数据如表： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？ 每千克售价x/元 … 20 22 24 … 日销售量y/kg … 66 60 54 … 【变式2】某商家销售一批具有中国文化意义的吉祥玩具，已知每个玩具的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，玩具每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)满足如图所示的一次函数关系. (1)求y与x的函数关系式； (2)当玩具的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【当堂检测】 1. 便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1 558，由于某种原因，每件销售价只能满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是(　　) A. 1 554元 B. 1 556元 C. 1 558元 D. 1 560元 2. 某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人价格为800元，旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团每增加一人，每人的价格就降低10元，但每人的价格不能低于600元.你能帮助算一下，当一个旅游团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？ 3. (人教新教材P55T7改编)某宾馆有50个房间供游客居住.当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.如果游客入住房间，宾馆每天需对每个房间支出20元的各种费用，房价定为多少元时，宾馆利润最大？ 【学习小结】 ① 销售最值问题的一般步骤：设变量→列函数→配方（或利用增减性）→定最值→验范围→作答 ② 最值必须检验自变量取值范围：对称轴不在范围内时，最值在范围端点处取得 ③ 涨降价问题中，销量随单价的线性变化关系（每涨1元销量减少n件）是建模的关键 参考答案与解析 知识链接 第1题　 1. 销售问题中的数量关系：单件利润＝单件售价－单件进价，总利润＝单件利润×销售量. 第2题　答案：C 合作交流 例1　 解：(1)y与x之间的函数关系式为 y＝(20＋x)(100－x－70)＝－x2＋10x＋600. 解：(2)y＝－x2＋10x＋600＝－(x－5)2＋625. ∵－1＜0， ∴当x＝5时，二次函数有最大值，为625. ∴当x为5时，每天的利润最大，最大利润是625元. 变式1　 解：设销售单价定为x元，每天所获利润为y元. ＝－10x2＋280x－1 600 ＝－10(x－14)2＋360， ∴将销售单价定为14元时，每天所获销售利润最大， 最大利润是360元. 例2　 解：(1)设y与x之间的函数关系式为 y＝kx＋b(k≠0). ∴y与x之间的函数关系式为y＝－3x＋126. 解：(2)设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元. 由题意，得w＝(x－18)y＝(x－18)(－3x＋126) ＝－3x2＋180x－2 268＝－3(x－30)2＋432. ∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元， ∴18≤x≤28. ∵－3＜0， ∴当x＜30时，w随x的增大而增大. ∴当x＝28时，w最大，最大值为420. 答：当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销 售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元. 变式2　 解：(1)设y＝kx＋b(k≠0). 将(50，120)，(60，100)代入， ∴y＝－2x＋220. ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍， ∴40≤x≤72. ∴y与x的函数关系式为y＝－2x＋220(40≤x≤72). 解：(2)设商家获得的利润为w元. 根据题意，得w＝(x－40)y＝(x－40)(－2x＋220) ＝－2(x－75)2＋2 450. ∵－2＜0，抛物线的对称轴为直线x＝75， ∴当40≤x≤72时，w随x的增大而增大. ∴当x＝72时，w取最大值， 最大值为－2×9＋2 450＝2 432. 答：当玩具的销售单价为72元时，该商家获得的利润最 大，最大利润是2 432元. 当堂检测 第1题　答案：B 第2题　 解：设旅游团的人数是x人, 旅行社可以获得营业额为w元. 由题意可知x≥30， ①当x＝30时，w＝30×800＝24 000； 根据题意，得800－10(x－30)≥600， ②当x＞30时， 解得x≤50.∴30＜x≤50. w＝x［800－10(x－30)］＝－10x2＋1 100x ＝－10(x2－110x＋552－552)＝－10(x－55)2＋30 250. ∵－10＜0，∴当x＜55时，w随x增大而增大. ∴当x＝50时，w有最大值. w最大值＝－10(50－55)2＋30 250＝30 000. ∵24 000＜30 000， ∴当一个旅游团的人数是50时，旅行社可以获得最大营业额，最大营业额为30 000元. ∴当一个旅游团的人数是50时，旅行社可以获得最大营业 额，最大营业额为30 000元. 第3题　 解：设房价增加x元时，利润为w元. ∴当x＝170时，即房价定为350元时，宾馆利润最大. 学科网（北京）股份有限公司 $