26.4 第3课时 抛物线形实际问题 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数实际应用，核心内容为抛物线形问题（运动类、拱桥类）。课堂导入通过知识链接复习顶点式求解析式及抛物线与x轴交点，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生将实际问题转化为二次函数模型。 特色在于结合铅球、足球、拱桥等真实情境，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过建系、求解析式及根的检验发展数学思维，以函数模型表达问题提升数学语言应用能力，例题变式与检测题层次分明，助力学生掌握实际问题解决方法。

第二十六章　二次函数 第14课时　实际问题与二次函数(3) ——抛物线形实际问题 班级______　姓名______　学号______ 【学习目标】 ① 能将铅球、足球等运动中的抛物线形实际问题转化为二次函数模型，会用顶点式求解析式 ② 能建立适当的平面直角坐标系，将拱桥、喷水池等抛物线形问题数学化并求出解析式 ③ 会由抛物线解析式由x求y或由y求x，解决最高点、跨度、是否碰头等实际问题 【学习重难点】 重点：运动类抛物线问题：已知顶点与一点，用顶点式 y＝a(x－h)²＋k 求解析式；拱桥类抛物线问题：建立平面直角坐标系，由已知条件设解析式并代入求解　难点：建系方法不唯一，坐标系选取不同则解析式不同；由y求x时需结合实际意义检验并舍去不符合题意的根 【知识链接】 1. 某二次函数的图象的顶点为(1，4)，且过点(0，3)，则此二次函数的解析式为 ⁠. 2. 抛物线y＝－5x2＋20x与x轴的交点为 ⁠. 【合作交流】 知识点1 　运动中的抛物线形问题 【例1】(人教新教材P51例1改编)校运会上，小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球出手时的高度为1.8 m，当铅球飞行的水平距离为4 m时距离地面最高为5 m.铅球飞行的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数图象如图所示.求： (1)y与x之间的函数关系式； (2)小明这次投掷的成绩. 铅球飞行路线的抛物线示意图 【变式1】足球训练中，小军从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形.当球离球门的水平距离为2 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m，现以点O为原点建立如图所示直角坐标系. (1)求抛物线的解析式； (2)已知球门高OB为2.4 m，通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素). 足球射向球门的抛物线路线示意图 知识点2 　抛物线形问题——拱桥问题 【例2】(人教新教材P53“探究2”改编)如图所示的是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m时，水面宽4 m. (1)建立适当的平面直角坐标系，并求出该抛物线的解析式； (2)当水面下降2 m时，水面的宽度是多少？ 横断面为抛物线形状的拱桥示意图 【变式2】(人教新教材P56T9改编)如图，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8 m，桥拱顶点B到水面的距离是4 m. (1)按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)一只宽为1.2 m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4 m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68 m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平). 桥拱截面OBA的抛物线示意图 【当堂检测】 1. (2025广州期中)如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成45°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝－3t2＋12t.小球飞行过程中能达到的最大高度为 m. 小球飞行高度h与飞行时间t关系的抛物线图像 2. 飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝－1.5t2＋60t，则飞机着陆后滑行 s才能停下来，此时滑行的距离 为 m. 3. (2025韶关期末)某游乐园要建造一个直径为26 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5 m处达到最高，高度为8 m. (1)以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的解析式； (2)要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度. 圆形喷水池喷水柱的抛物线示意图 【学习小结】 课堂总结：解决抛物线形问题的步骤： (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标，由x求y或由y求x，要弄清题意. 参考答案与解析 知识链接 第1题　答案：y＝－(x－1)2＋4 第2题　答案：(0，0)，(4，0) 合作交流 例1　 解：(1)由题意，得最高点为(4，5)， 设y＝a(x－4)2＋5. ∵铅球出手时的高度为1.8 m， ∴当x＝0时，y＝1.8. ∴1.8＝a(0－4)2＋5， 解得a＝－ . ∴y＝－ (x－4)2＋5. 解：(2)由(1)知y＝－ (x－4)2＋5， 当y＝0时，0＝－ (x－4)2＋5， 解得x＝9或x＝－1(不符合题意，舍去). ∴小明这次投掷的成绩为9 m. 变式1　 解：(1)由题意，得抛物线的顶点坐标为(2，3). 抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋3. 把A(8，0)代入，得36a＋3＝0， 解得a＝－ . ∴抛物线的解析式为y＝－ (x－2)2＋3. 解：(2)当x＝0时，y＝－ ×4＋3＝ ＞2.4， ∴球不能射进球门. 例2　 解：(1)(建系方法不唯一)如图所示， 建立平面直角坐标系. 设抛物线的解析式为y＝ax2(a≠0). 把(2，－2)代入，得－2＝a×22， 解得a＝－0.5. ∴y＝－0.5x2. 解：(2)当y＝－4时，－4＝－0.5x2， 解得x1＝－2 ，x2＝2 . ∴2 －(－2 )＝4 (m). 答：当水面下降2 m时，水面的宽度为4 m. 建立平面直角坐标系后的拱桥抛物线图像 变式2　 解：(1)由题意，得水面宽OA是8 m， 桥拱顶点B到水面的距离是4 m. 结合函数图象，得顶点B (4，4)，点O (0，0). 设二次函数的解析式为y＝a(x－4)2＋4. 将O (0，0)代入函数解析式， 得16a＋4＝0，解得a＝－ . ∴二次函数的解析式为y＝－ (x－4)2＋4， 即y＝－ x2＋2x. 解：(2)工人头顶不会碰到桥拱，理由如下： ∵小船距O点0.4 m，小船宽1.2 m，工人直立在小船中间， ∴工人距O点距离为0.4＋ ×1.2＝1(m). 将x＝1代入y＝－ x2＋2x， 得y＝－ ＋2＝1.75. ∵1.75 m＞1.68 m， ∴此时工人不会碰到头. 当堂检测 第1题　答案：12 第2题　答案：20、600 第3题　 解：(1)由题意，∵抛物线的顶点坐标为(5，8)， ∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋8. 把(13，0)代入y＝a(x－5)2＋8， 得0＝a(13－5)2＋8.∴a＝－ . ∴在y轴右侧抛物线的解析式为y＝－ (x－5)2＋8. 解：(2)由(1)得y＝－ (x－5)2＋8， ∴可令x＝0，则y＝－ (0－5)2＋8＝ . 答：这个装饰物的设计高度为 m. 学科网（北京）股份有限公司 $