1.3 集合的基本运算 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的基本运算核心知识点，系统梳理并集、交集、补集的概念（含自然、符号、图形语言）、性质及运算，结合Venn图表达集合关系，构建从概念到应用的知识支架，衔接集合基本概念，为后续函数等内容学习奠基。 资料特色在于多维度概念呈现与分层题型设计，通过Venn图培养几何直观（数学眼光），例题中参数问题提升推理能力（数学思维），综合练习强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师系统教学，课后帮助学生巩固查漏，提升解题能力。

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.3集合的基本运算 知识归纳与题型总结 考点01 并集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 考向01 并集的概念及运算 【例1】并集运算的性质 ① ______；② ______； ③ ______； ④______．______ ； ⑤如果，则 ______，反之也成立． 考向02 根据并集结果求集合或参数 【例2】（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（　　）. A． B． C． D． 考向03 根据并集结果求集合元素个数 【例3】若集合，，则中的元素个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【对点1】设集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【对点2】已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【对点3】已知集合，则的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 考点02 交集 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 注：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 2．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 考向01 交集的概念及运算 【例1】集合，，则（    ） A． B． C． D． 考向02 根据交集结果求集合或参数 【例2】已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【对点1】若集合，，则______. 【对点2】（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 考点03 补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 注：∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 3．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 考向01 补集的概念及运算 【例1】已知为全集，集合是的子集，若，则（　　） A． B． C． D． 考向02 根据补集运算确定集合或参数 【例2】已知集合，，若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 考向03 交并补混合运算 【例3】已知集合，则（　　） A． B． C． D． 考向04 根据交并补混合运算确定集合或参数 【例4】已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【对点1】已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 【对点2】已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【对点3】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【对点4】已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 考点04 Venn图表达集合的关系和运算 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 考向01 容斥原理的应用 【例1】集合M中的元素个数记为，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考向02 集合新定义 【例2】已知数集，若对任意的，，使得成立，则称数集具有性质．分别判断数集与是否具有性质． 考向03 利用Venn图求集合 【例3】已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【对点1】某市工信局对辖区内 100 家专精特新中小企业开展 "数字化转型" 专项调研，统计结果显示：完成生产端数字化改造的企业有 68 家，完成管理端数字化改造的企业有 52 家，两类改造均未完成的企业有 9 家．则两类改造均完成的企业数量为（    ） A．29 B．31 C．39 D．41 【对点2】在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【对点3】已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 一、选择题 1．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 2．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 3．已知集合，，则（     ） A． B．2 C． D． 4．对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 5．下列说法错误的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．或 C．已知，，且，则 D．集合，或中有无数个元素 6．已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 7．若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 8．设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 10．已知全集，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 12．集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 13．学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 14．已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 15．已知集合，，同时满足，，则___________． 三、解答题 16．已知，或，若，求a的取值范围． 17．已知集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 18．求1，2，3，…，2023中既不能被2整除，又不能被3整除，也不能被5整除的数的个数． 19．已知集合，，，且. (1)求集合的真子集的个数； (2)求实数的值组成的集合； (3)若集合，定义：集合，求集合中所有元素的和. 20．设集合，定义变换：对任意有序数组，经过变换得到，其中，其中表示，中的最小者．记为数组所有元素之和． (1)若，求与； (2)当时，有序数组经过变换得到，再经过变换得到，求的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.3集合的基本运算 知识归纳与题型总结 考点01 并集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 考向01 并集的概念及运算 【例1】并集运算的性质 ① ______；② ______； ③ ______； ④______．______ ； ⑤如果，则 ______，反之也成立． 【答案】 【详解】略 考向02 根据并集结果求集合或参数 【例2】（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（　　）. A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】∵，∴. ①若，则，解得. ∵，， ∴，且，解得. 此时. ②若，则，解得，符合题意． 综上，实数满足即可. 考向03 根据并集结果求集合元素个数 【例3】若集合，，则中的元素个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】因为集合，， 所以， 则中有4个元素. 【对点1】设集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】因为集合，集合， 所以. 【对点2】已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． （2）当时，满足，此时，解得．   当时，或， 解得或，   综上，或，即的取值范围为． 【对点3】已知集合，则的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用并集的运算求解. 【详解】，， ，的元素个数为. 故选：C. 考点02 交集 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 注：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 2．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 考向01 交集的概念及运算 【例1】集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，因此，又，因此. 考向02 根据交集结果求集合或参数 【例2】已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【详解】（1）当时，，或，则. （2），， 则，解得，所以实数的取值范围为. 【对点1】若集合，，则______. 【答案】 【详解】由题意得， ， 画数轴如图： ∴. 【对点2】（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 考点03 补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 注：∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 3．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 考向01 补集的概念及运算 【例1】已知为全集，集合是的子集，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，故，如图所示， 由图可知BD错误， 又，故A错误，C正确. 考向02 根据补集运算确定集合或参数 【例2】已知集合，，若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【详解】因为，所以集合与共有2个元素相同，所以或． 当，即时，则，，符合题意； 当，即时，则，不满足集合中的元素的互异性，舍去． 故实数的值为0． 考向03 交并补混合运算 【例3】已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】可知，则. 考向04 根据交并补混合运算确定集合或参数 【例4】已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 【对点1】已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）根据并集的概念求解； （2）先利用补集的概念求出，再利用并集的概念求解； 【详解】（1）∵集合或， ∴或. （2）∵全集，集合， ∴或， 又或， ∴或. 【对点2】已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据补集的定义，先确定集合 ，再比较集合中的元素求出 . 【详解】因为 ，且 ，所以从全集 中去掉元素 后，得到 又 ，因此解得 【对点3】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合， 所以， 所以. 【对点4】已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则， 而，则， 若，则，，此时，不满足题意，故， 同理可得，又，则. 考点04 Venn图表达集合的关系和运算 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 考向01 容斥原理的应用 【例1】集合M中的元素个数记为，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】根据容斥原理得， 所以，所以. 考向02 集合新定义 【例2】已知数集，若对任意的，，使得成立，则称数集具有性质．分别判断数集与是否具有性质． 【答案】不具有性质；具有性质； 【分析】根据新定义判断即可. 【详解】，不具有性质； ，，，具有性质. 考向03 利用Venn图求集合 【例3】已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由阴影部分表示的集合为进行求解． 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 【对点1】某市工信局对辖区内 100 家专精特新中小企业开展 "数字化转型" 专项调研，统计结果显示：完成生产端数字化改造的企业有 68 家，完成管理端数字化改造的企业有 52 家，两类改造均未完成的企业有 9 家．则两类改造均完成的企业数量为（    ） A．29 B．31 C．39 D．41 【答案】A 【详解】依题意，两类改造均完成的企业数量为. 【对点2】在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 【对点3】已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 一、选择题 1．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵集合， ∴集合， ∵， ∴， ∴， 解得且， 则实数a的取值范围是． 2．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】C 【详解】设集合，， . 由题可知， ， 所以，即三项都参加的有2人，故A正确； 只参加100米的有人，故B正确； 只参加400米的有人，故C错误； 只参加1500米的有人，故D正确. 3．已知集合，，则（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】求解集合，，再由集合的交集求解即可. 【详解】因为，由，解得， 因为，所以， 因为，所以或， 所以. 4．对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求解集合、的值域，再根据新定义运算分别计算和，最终求两者的并集得到结果. 【详解】对于集合，根据二次根式的非负性，，因此 ，即. 对于集合，由可得，因此，即 因为，且，所以，. 又因为，所以. 5．下列说法错误的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．或 C．已知，，且，则 D．集合，或中有无数个元素 【答案】A 【分析】逐一分析各选项中集合的表示、运算及性质是否符合定义，判断出错误选项. 【详解】对于A：对于，若取，则是偶数，故A错误； 对于B，集合的补集为，但不存在同时等于2和的实数， 因此该补集为空集，原集合即为全体实数集，故B正确； 对于C：由，可分两种情况讨论： ① 若且，由得，两边同除以得，即； ② 若且，由得，两边同除以得，即； 两种情况均得，故C正确； 对于D：集合表示平面直角坐标系中轴、轴上所有点的集合， 因为坐标轴上的点有无数个，因此该集合的元素个数为无数个，故D正确. 6．已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 7．若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】若,则，违反集合的互异性， 因为，所以. 8．设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 9．已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 【答案】C 【分析】求出集合，按集合的特性求出的最值即可. 【详解】集合， 由每个集合均恰有5个元素，且， 知集合的最小元素必为1，最大元素必为20， 要使的值最小，则集合的最小元素的一个排列为， 除20外，另外3个最大元素尽可能地小，最大元素的一个排列为， 因此的最小值为，AB不可能； 要使的值最大，则集合的最大元素的一个排列为， 除1外，另外3个最小元素尽可能地大，最小元素的一个排列为， 因此的最大值为，C可能，D不可能. 10．已知全集，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，，所以，故A正确； 对于任意，则，又，所以，所以，故B正确； 若，则，又，则，则， 与矛盾，所以，同理，，故，故C正确； 若时，可得不成立，故D错误. 二、填空题 11．设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 【答案】 【分析】先求集合，再由，得，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】由，得，， 当时，，满足题意， 当时，，所以或，所以或， 故所求集合为. 12．集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】可先求解时参数的取值范围，再取其补集得到时的范围. 【详解】先求解的情况： 当集合为空集时，则， 解得，此时. 当集合非空时，需满足，若， 分析可得在右侧，即，解得. 综上，时，或， ∴ 时，的取值范围是. 13．学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 【答案】20 【分析】三集合容斥，总人次 = 至少会一种人数 + 仅会两种人数 三种都会人数，据此变形求解仅会两类的数量. 【详解】先把会三种球的人数加起来：（人）， 这里面，只会两种球的人被重复算了1次，三种球都会的人被重复算了2次， 而实际至少会一种的只有80人，三种球都会的5人，多算了2次，一共多算：， 用总加和减去多算的部分，再减去实际的总人数，剩下的就是只会两种球的人数：． 14．已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 15．已知集合，，同时满足，，则___________． 【答案】或 【分析】易知，则，即集合中的元素互为倒数，由题意可求出集合，进而确定集合，根据并集的运算即可求出答案． 【详解】设，若，又，故，此时，与已知矛盾， 故，所以，得，所以， 即集合中的元素互为倒数， 因为， 所以存在，使得且，解得， 又因为， 所以或， 若，则，则； 若，则，则. 综上所述，或． 三、解答题 16．已知，或，若，求a的取值范围． 【答案】或 【分析】根据已知条件得出，结合数轴分和两种情况讨论，进而求出的取值范围． 【详解】由可知，， ①若，则，解得； ②若，如图所示 则有或， 解得或． 综上所述，a的取值范围是或． 17．已知集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合的交集和并集的概念，求出结果即可； （2）根据集合的包含关系，判断集合B的情况，进行分类讨论，求出参数范围. 【详解】（1）当时，可得，， 所以，. （2）分两种情况： ①当时，可得，解得，满足； ②当时，可得，解得， 综上所述，. 18．求1，2，3，…，2023中既不能被2整除，又不能被3整除，也不能被5整除的数的个数． 【答案】540 【分析】分别表示被整除，被整除，被整除的数的集合，再由容斥原理计算可得. 【详解】记集合，， ，， 所以根据容斥原理得: ，其中“”表示向下取整， 所以，，，，中既不能被整除，又不能被整除， 也不能被整除的数的个数为． 19．已知集合，，，且. (1)求集合的真子集的个数； (2)求实数的值组成的集合； (3)若集合，定义：集合，求集合中所有元素的和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求解集合，再结合集合的子集个数即可求解； （2）先求解集合，再结合集合的包含关系即可求解； （3）先求解集合、，再结合集合和集合的定义规则即可求解. 【详解】（1）已知集合，解方程，得或，故， 由可知，是的所有子集构成的集合， 集合有个元素，故的子集共个，即含个元素， 所以的真子集个数为. （2）由（1）可知，，集合， 由得，分两类讨论： ① 当时，方程无解，，空集是任意集合的子集，符合条件； ② 当时，，由得或，解得或； 综上，实数的取值集合为. （3）由（1）可知，， 由且，得或，故，所以， 由得的候选值为，由于集合， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 故，所有元素的和为. 20．设集合，定义变换：对任意有序数组，经过变换得到，其中，其中表示，中的最小者．记为数组所有元素之和． (1)若，求与； (2)当时，有序数组经过变换得到，再经过变换得到，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据变换的定义可得； （2）分析可知要使最小，须使最小，即在一次变换后，尽可能取到数组中较小的数，由此分析可得. 【详解】（1）根据变换的定义， 若，则， . （2）当时，有序数组由依不同顺序组成， 要使最小，须使最小，即在一次变换后，尽可能取到数组中较小的数， 因此最大的两个数不相邻，也不能排在和中间. 由于每个数最多被取到两次，所以最小时，中含两个1，两个2，一个3， 且两个1相邻，两个2相邻（首项与尾项看作相邻）； 此时，中包含3个1，两个2，且3个1相邻，两个2相邻. 所以的最小值为. 例时，，，. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $