陕西榆林市横山区2027届高三9月开学考试数学试卷

高三数学试卷 满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则 A． B． C． D． 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，则的值为 A． B． C． D． 4．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则的离心率为 A． B． C． D． 5．如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为 A． B． C． D． 6．鲁菜是中国八大菜系中历史最悠久、技法最丰富、最见功力的菜系，是黄河流域烹饪文化的代表，当走进山东，人们感受到的不仅是一道道的美食，更是一份传承了千年之久的深厚文化底蕴以及热情好客之道．小明和3名同学决定探访山东美食文化，计划打卡济南、青岛、潍坊等五个城市．若4人各自独立且等可能地从5个城市中任选一个，则小明去济南，且恰有一个城市有2人，其余2人分别选择另外两个不同城市的概率为 A． B． C． D． 7．已知，，则 A． B． C． D． 8．已知的定义域为，为偶函数，为奇函数，则下列说法错误的是 A． B．的图象关于点中心对称 C．4为函数的一个周期 D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知关于直线对称，，则 A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 10．在数列中，，，．则 A．数列为等比数列 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．若，则数列的前项和 11．已知抛物线经过点，直线与交于，两点，则 A． B．抛物线上的点到点和的距离之和的最小值是 C．当时，的面积 D．过点，分别作抛物线的切线交于点，则点在定直线上 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等差数列中，，，则的前项和的最大值为________． 13．已知函数则不等式的解集为________． 14．如图1，在中，，，是线段的中点．将沿所在直线翻折得到三棱锥，如图2．若，则三棱锥外接球的体积为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图． （1）求直方图中的值； （2）估计该小区用户月用电量的中位数； （3）用频率估计概率，假设各户月用电量是否小于相互独立，从该小区随机抽取10户居民用户，表示月用电量小于的户数，求． 16．（15分）如图，在三棱锥中，，均为等腰三角形，，，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）在锐角三角形中，，，的对边分别为，，，且． （1）求; （2）若点为的垂心，，求的取值范围． 18．（17分）已知椭圆，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，，分别为线段，的中点，为坐标原点． （1）求的方程； （2）证明：是定值； （3）是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知函数（）有两个零点，，且． （1）求实数的取值范围； （2）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案及解析 高三数学 一、选择题 1．B 2．D 3．A 4．B 5．C 6．A 7．B 8．D 二、选择题 9．ABD 10．ABC 11．AD 三、填空题 12．4 13． 14． 四、解答题 15．解：（1）由图可得组距为，根据频率和为， 得， 解得． 3分 （2）由图可得第一组的频率为， 第二组的频率为， 第三组的频率为， 因为前两组的累计频率为， 前三组的累计频率为， 所以中位数位于第三组内． 6分 设中位数为，则， 解得． 8分 （3）用电量小于的频率为， 所以用频率估计概率，从该小区随机抽取户居民用户， 其用电量小于的概率． 10分 从该小区抽取户居民用户，设表示用电量小于的户数， 则服从二项分布， 则． 13分 16．（1）证明：设中点为，连接，， 则，， 2分 所以，，， 故，所以， 4分 又且，平面，则平面， 又平面， 所以平面平面． 7分 （2）解：以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 为中点，即，为中点，即， ，，． 10分 设平面的一个法向量， 则， 取，则，，故， 设直线与平面所成角为， 则． 15分 17．解：（1）由题意得， 即， 由正弦定理得，则， 4分 因为，所以． 6分 （2）如图，延长交于，延长交于， 根据题意可得，． 因为，所以， 设，且， 则，． 同理可得． 10分 则 ， 因为，所以， 又， ， 所以， 所以的取值范围是． 15分 18．（1）解：由题意得， 所以椭圆． 3分 （2）证明：设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性知； 因为，分别为线段，的中点， 所以， 6分 又因为， 所以，即为定值． 9分 （3）解：设点， 因为，关于轴对称， 所以， 所以． 12分 因为点在上， 所以，即，代入上式得到， 因为，分别为线段，的中点， 所以， 若，则，即，此时， 即，解得，， 16分 所以存在点或或或， 使得． 17分 19．（1）解：的定义域为， 函数有两个零点， 即方程有两个解． 2分 因为，所以恒大于0，所以恒大于0，可得， 设，， 则原方程可化为， ， 则在上单调递增， 所以，即． 5分 设，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，且恒大于0， ， 画出的图象如图所示， 要使有两个解，即与的图象有两个交点， 由图象可得的取值范围是， 8分 （2）证明：由（1）得， 所以， 10分 设，则，， 12分 设，， ， 所以在上单调递增，所以， 所以， 15分 又由于，所以， 所以． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $