25.2.3 因式分解法 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过自主预习的预学思考补全新知要点，结合自学检测衔接直接开平方法、配方法等旧知，搭建从旧到新的学习支架，引导学生构建一元二次方程解法体系。 资料突出合作探究环节，题型精讲与变式训练结合，通过错误辨析培养学生推理意识，课堂检测融入数学情境题提升应用意识，注重转化与化归素养的培养，帮助学生灵活选择解法，发展创新意识，助力高效掌握知识点。

25.2.3 因式分解法 素养目标 1.知道因式分解法,会用因式分解法解一元二次方程. 2.能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择合适的解法,体会解决问题方法的多样性. 3.通过因式分解法解方程,培养转化与化归的数学素养. 重点 用因式分解法解一元二次方程. 【自主预习】 预学思考 知识点一 用因式分解法解一元二次方程 　　阅读课本本课时“例4”及之前的内容,补全下列新知要点: 　　将一元二次方程先因式分解,使方程化为两个一次因式的乘积等于 的形式,再使这两个一次因式分别等于 ,实现 ,这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.  知识点二 一元二次方程的解法 　　阅读课本本课时“例4”之后的内容,补全下列新知要点: 　　解一元二次方程常见的方法有直接开平方法、配方法、 、 .  自学检测 1.方程(x-1)(x+3)=0的根是 ( ) A.x1=1,x2=3　　　　 B.x1=-1,x2=3 C.x1=1,x2=-3　　　　 D.x1=-1,x2=-3 2.方程x(x-2)=x-2的根是 ( ) A.x=2　　　　 B.x=0 C.x1=2,x2=0　　　　 D.x1=2,x2=1 【合作探究】 题型精讲 题型1 用因式分解法解一元二次方程 例1　解方程:(1)x2+5x=0;(2)4x2-9=0;(3)x2-6x=-9. 【方法归纳交流】用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么? 变式训练　 1.用因式分解法解方程. (1)x(x-2)+x-2=0; (2)5x2-2x-=x2-2x+; (3)(x-4)2=(5-2x)2. 2.下面是小华同学解方程2(x-3)-3x(x-3)=0的过程: 解方程:2(x-3)-3x(x-3)=0.　　　 解:移项,得2(x-3)=3x(x-3),……第一步 两边同时除以(x-3),得2=3x,……第二步 ∴x=.……第三步 　(1)小华同学的解题过程从第　　　　步开始出现错误,错误的原因是　　　　　　　  　.  (2)请你写出正确的解题过程. 题型2 选择合适的方法解一元二次方程 例2　用适当的方法解下列一元二次方程. (1)x2-8x+1=0; (2)3x(x-1)=2x-2. 【方法归纳交流】解一元二次方程时,优先观察方程结构,先简后繁、灵活选择: 缺一次项或易直接开方 用直接开平方法 易因式分解 优先因式分解法,快速降次 二次项系数为1, 一次项系数为偶数 用配方法 不易因式分解、配方 统一用公式法 变式训练　 1.解方程(3x-2)2=2(3x-2)的恰当方法是 ( ) A.直接开平方法　　　　　　　B.配方法 C.公式法　　　　 D.因式分解法 2.用适当的方法解方程:(1)(x-1)2=4; (2)y(2y-3)=1;(3)3x(2x+1)=4x+2. 课堂检测 1.一元二次方程x2=4x的根是 ( ) A.x1=0,x2=4 B.x1=0,x2=-4 C.x1=x2=0 D.x1=x2=2 2.一元二次方程(3x+2)(x-6)=0可转化为两个一元一次方程,其中一个是3x+2=0,则另一个是 .  3.(数学情境·系数不定的一元二次方程)嘉淇准备解答题目:解方程x2+　x-8=0.发现系数“　”印刷不清楚. (1)嘉淇把“　”猜成2,请你解方程x2+2x-8=0. (2)嘉淇妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果有一个根是-1.”请通过计算说明原题中的“　”是多少. 参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点一 0　0　降次 知识点二 公式法　因式分解法 自学检测 1.C　2.D 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1 解:(1)原方程可化为x(x+5)=0,所以原方程的解为x1=0,x2=-5. (2)原方程可化为(2x-3)(2x+3)=0,解得x1=-,x2=. (3)原方程可变形为x2-6x+9=0,则(x-3)2=0,因此原方程的解为x1=x2=3. 方法归纳交流 解:①移项,将方程右边化为0;②把左边运用因式分解法化为两个一次因式的积;③分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;④分别解这两个一元一次方程,得到方程的解. 变式训练 1.解:(1)原方程可化为(x-2)(x+1)=0,所以原方程的解为x1=2,x2=-1. (2)原方程可化为4x2-1=0,即为(2x+1)(2x-1)=0,所以原方程的解为x1=-,x2=. (3)原方程可化为(x-4)2-(5-2x)2=0,所以[(x-4)+(5-2x)][(x-4)-(5-2x)]=0, 即(-x+1)(3x-9)=0,所以x1=1,x2=3. 2.解:(1)二;方程两边同时除以一个可能为0的代数式(x-3). (2)2(x-3)-3x(x-3)=0, (x-3)(2-3x)=0, ∴x-3=0或2-3x=0, ∴x1=3,x2=. 题型2 例2 解:(1)∵x2-8x=-1, ∴x2-8x+16=15, ∴(x-4)2=15, ∴x-4=±, ∴x1=4+,x2=4-. (2)∵3x(x-1)=2x-2, ∴3x(x-1)-2(x-1)=0, ∴(x-1)(3x-2)=0, 则x-1=0或3x-2=0, ∴x1=1,x2=. 变式训练 1.D 2.解:(1)(x-1)2=4,x-1=±2,解得x1=3,x2=-1. (2)原方程可化为2y2-3y-1=0,∴a=2,b=-3,c=-1,b2-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17,∴x=, ∴x1=,x2=. (3)原方程可化为3x (2x+1)-2(2x+1)=0, (2x+1)(3x-2)=0,解得x1=-,x2=. 课堂检测 1.A　2.x-6=0 3.解:(1)x2+2x-8=0, (x+1)2=9, x+1=±3, 解得x1=-4,x2=2. (2)设一次项系数“　”为b, 将x=-1代入x2+bx-8=0,得(-1)2-b-8=0, 解得b=-7, 即原题中的“　”是-7. 学科网（北京）股份有限公司 $