第五章三角函数单元素养测评-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学第五章单元素养测评卷，聚焦三角函数与解三角形，通过基础题、综合题及情境化问题，全面覆盖弧度制、函数性质、图像变换等核心知识，注重数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|弧度制（题1）、三角函数定义（题3）、摩天轮模型（题11）|结合弧田面积（题7）等传统文化情境，考查数学观察现实世界的能力| |填空题|3/15|扇形面积（题12）、奇函数性质（题13）|基础与综合结合，强化数学思维的严谨性| |解答题|5/77|五点法作图（题16）、扇形几何应用（题18）|通过函数图像与实际问题（题19），体现数学语言表达现实世界的模型意识|

单元素养测评卷(五) 1.C　[解析] =×=165°.故选C. 2.C　[解析] 顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边落在y轴上的角α的取值集合为.故选C. 3.A　[解析] 由题可知cos α==,所以sin=cos α=.故选A. 4.D　[解析] 对于A,∵<2<3<π,y=tan x在上单调递增,∴tan 3>tan 2,故A错误;对于B,∵<<π,∴tan<0,∵0<<,∴tan>0,故B错误;对于C,sin=-sin,sin=-sin,∵0<<<,y=sin x在上单调递增,∴sin>sin,∴sin<sin,故C错误;对于D,cos=cos=cos=cos=,cos=cos=cos=cos=,∴cos<cos,故D正确.故选D. 5.C　[解析] y=3cos x=3sin,将y=3sin的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=3sin的图象,再向左平移个单位长度,得到y=3sin的图象,即得到函数y=3cos x的图象.故选C. 6.D　[解析] 由sin=,得sin=sin=cos 2=1-2sin2=1-2×=.故选D. 7.A　[解析] 设圆的半径为r,圆心到弦的距离为d.因为圆心角α=,所以相应的三角形为正三角形,所以d=rsin=r,所以r-d=r-r=2,解得r=8+4,则该弧田的面积S=αr2-·r·r=r2≈8+4.故选A. 8.D　[解析] 因为0≤x<π,ω>0,所以≤ωx+<ωπ+.因为f(x)=sin(ω>0)在区间[0,π)上既有最大值又有最小值,所以函数f(x)的最大值为,最小值为-1或函数f(x)的最大值为1,最小值为-1,所以<ωπ+≤或ωπ+>,解得<ω≤或ω>,所以ω的值不可能为.故选D. 9.BD　[解析] 对于选项A,终边相同的角相差2kπ(k∈Z),故选项A错误;对于选项B,tan(-225°)=tan(-180°-45°)=tan(-45°)=-tan 45°=-1,故选项B正确;对于选项C,当α=2kπ(k∈Z)时,cos α=1>0,此时α为轴线角,故选项C错误;对于选项D,经过30分钟,钟表的分针转过半个圆,由角的定义知,分针转过-π弧度,故选项D正确.故选BD. 10.BC　[解析] 对于A,f=+=|cos x|+|sin x|=f(x),所以为f(x)的一个周期,故A错误.对于B,当x∈时,f(x)=sin x+cos x=sin,因为≤x+≤,所以≤sin≤1,所以1≤f(x)≤,又为f(x)的一个周期,所以f(x)的值域为[1,],故B正确.对于C,函数f(x)=|sin x|+|cos x|的定义域为R,f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sin x|+|cos x|=f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,即f(x)的图象是轴对称图形,故C正确.对于D,因为f(x)的值域为[1,],所以f(x)的图象不关于原点对称,故D错误.故选BC. 11.ACD　[解析] 对于A,设H(t)=Acos(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,φ∈[0,2π)),∵转盘直径为110 m,∴A=55,∵最高点距离地面高度为120 m,∴A+b=120,则b=65,∵转一周需要30 min,∴ω==,∴H(t)=55cos+65,∵游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱,∴H(t)的图象过点(0,10),∴H(0)=55cos φ+65=10,则cos φ=-1,又φ∈[0,2π),∴φ=π,∴H(t)=55cos+65=-55cost+65,故A正确;对于B,H(10)=-55cos+65=92.5,故甲进舱10分钟后距离地面的高度是92.5 m,故B错误;对于C,令H(t1)=H(t2),则-55cost1+65=-55cost2+65,即cost1=cost2,又t1≠t2,∴=kπ,k∈Z,即t1+t2=30k,k∈Z,∴t1+t2的最小值为30,故C正确;对于D,令H(t)=-55cost+65>92.5,t∈[0,30],得cost<-,∵t∈[0,30],∴t∈[0,2π],∴<t<,解得t∈(10,20),∵在运行一周的过程中,H(t)>92.5的时间为20-10=10(min),∴H(t)>90的时间超过10 min,故D正确.故选ACD. 12.　[解析] 设该扇形的半径为r,则2r+2r=6,解得r=,故该扇形的面积S=×2×=. 13.　[解析] 若f(x)=3sin为奇函数,则-+φ=kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,又φ∈(0,π),所以φ=. 14.　[解析] 由=,可得==,又cos(A+C)=-cos B,cos A≠0,所以cos C=-,又0<C<π,所以C=. 15.解:(1)由题意得|OB|==1且y>0,解得y=. (2)设∠COB=α,则sin α=,cos α=-,由θ=α-,得sin θ=sin=-cos α=,cos θ=cos=sin α=,则tan θ==. 16.解:(1)列表: x 0 π 2x+ π 2π y=f(x) 1 2 0 -2 0 1 描点,连线,画出f(x)在[0,π]上的大致图象,如图①所示. (2)令2x+=kπ+,得x=kπ+,k∈Z, 令2x+=kπ,得x=kπ-,k∈Z, 所以函数f(x)的图象的对称轴是直线x=kπ+,k∈Z,对称中心是点,k∈Z. (3)在同一坐标系内作出函数y=sin x与y=2sin在[0,π]上的图象,如图②所示,观察图象可知曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为2. 17.解:由5x2-7x-6=0,解得x=-或x=2, 因为-1≤sin α≤1,所以sin α=-. (1)当α的终边在第三象限时,cos α=-;当α的终边在第四象限时,cos α=. 因为= =-cos α, 所以当α的终边在第三象限时,原式=,当α的终边在第四象限时,原式=-. (2)若α是第四象限角,则sin α=-,cos α=. 由sin=,得cos=,所以sin=sin=sincos-cossin=sinsin α+coscos α=×+×=. 18.解:(1)由题意可知A,B关于OP对称,记AB,DC与OP的交点分别为E,F, 则∠AOP=∠BOP=,所以OE=OAcos∠AOP=240×=120,AE=OAsin∠AOP=240×=120, 所以OF====40, 所以AD=EF=OE-OF=120-40=80. (2)记AB,DC与OP的交点分别为E,F, 则OE=OAcos∠AOP=240cos x,AE=OAsin∠AOP=240sin x,所以AB=2AE=480sin x,OF====80sin x, 所以AD=EF=OE-OF=240cos x-80sin x.四边形ABCD的面积S=AB·AD=480sin x(240cos x-80sin x)=38 400(sin xcos x-sin2x)=38 400=38 400, 因为x∈,所以2x+∈, 所以当2x+=,即x=时,sin取得最大值1,所以四边形ABCD的面积的最大值为19 200. 19.解:(1)观察f(x)的图象,得A=2,f(x)的最小正周期T=4=π,则ω===2, 所以f(x)=2sin(2x+φ).由f=2,得sin=1,又0<|φ|<,所以φ+=,解得φ=, 所以f(x)=2sin. (2)令t=2x+,因为x∈,所以t∈.因为函数g(x)=2sin-1在区间上有且仅有两个零点, 所以方程2sin t-1=0,即sin t=,t∈有且仅有两个实根. 由sin t=,得t=+2kπ或t=+2kπ,k∈Z,则所求两个根为,, 所以2m+∈,解得m∈, 故实数m的取值范围是. (3)由+2asin-2a+2=0,得sin2+2asin-2a+2=0, 即sin2-2acos-2a+2=0,可得cos2+2acos+2a-3=0. 由x∈,得<2x+<π,则cos∈.令cos=u∈, 则u2+2au+2a-3=0,即2a=-=-(u-1)+,u∈有解, 因为函数y=-(u-1)和函数y=在上都单调递减,所以函数y=-(u-1)+在上单调递减, 所以函数y=-(u-1)+在上的取值范围为,所以2a∈,所以a∈,故实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(五)[范围:第五章] (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.把化成角度制的结果为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.85° B.105° C.165° D.215° 2.顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在y轴上的角α的集合是 (　 ) A. B. C. D. 3.[2026·湖南长郡中学高一期末] 已知P(3,4)为角α的终边上的一点,则sin= (　 ) A. B. C.- D.- 4.下列各式正确的是 (　 ) A.tan 2>tan 3 B.tan>tan C.sin>sin D.cos>cos 5.要得到函数y=3cos x的图象,只需将y=3sin的图象上所有点的 (　 ) A.横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度 B.横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度 C.横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度 D.横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度 6.已知sin=,则sin= (　 ) A. B.- C.- D. 7.[2026·茂名高一质检] 我国古代的粮仓的顶部常设计为由圆弧和弦围成的弧田形状(如图中阴影部分所示),其中“弦”是圆弧所对的弦长,“矢”是圆的半径与圆心到弦的距离之差.现有一粮仓顶部为弧田,其对应的圆心角为,矢为2,则该弧田的面积(其中π≈3)是 (　 ) A.8+4 B.4+8 C.8+6 D.6+8 8.[2026·武汉六校高一期末] 已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间[0,π)上既有最大值又有最小值,则ω的值不可能为 (　 ) A.1 B. C.2 D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 (　 ) A.两个角的终边相同,则它们的大小相等 B.tan(-225°)=-1 C.若cos α>0,则α为第一或第四象限角 D.经过30分钟,钟表的分针转过-π弧度 10.已知函数f(x)=|sin x|+|cos x|,则下列结论正确的是 (　 ) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的值域为[1,] C.f(x)的图象是轴对称图形 D.f(x)的图象关于原点对称 11.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,乘客坐上摩天轮后慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色.已知摩天轮的最高点距离地面的高度为120 m,转盘直径为110 m,开启后按逆时针方向匀速旋转,摩天轮设置有若干个座舱,转一周需要30 min.游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱,t min后距离地面的高度为H(t)(单位:m),则下述说法正确的是 (　 ) A.H(t)=-55cost+65 B.甲进舱10分钟后距离地面的高度是83.5 m C.若在t1,t2(t1≠t2)时刻游客距离地面的高度相等,则t1+t2的最小值为30 D.在运行一周的过程中,H(t)>90的时间超过10 min 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知某扇形的圆心角是2 rad,且其周长为6,则该扇形的面积为　　　　.  13.已知函数f(x)=3sin,φ∈(0,π),若f(x)为奇函数,则φ=　　　　.  14.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且=,则C=　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图,A,B是单位圆O上的点,且点A在第一象限,点B在第二象限,C是圆O与x轴正半轴的交点,点B的坐标为,∠AOB=. (1)求y的值; (2)设∠AOC=θ,求sin θ,cos θ,tan θ的值. 16.(15分)[2026·河南新乡高一期末] 已知函数f(x)=2sin. (1)用“五点法”通过列表在给定的坐标系中,画出函数f(x)在[0,π]上的大致图象; (2)求出函数f(x)的图象的对称轴、对称中心; (3)当x∈[0,π]时,求曲线y=sin x与y=2sin的交点个数.(请直接写出答案) 17.(15分)已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根. (1)求 的值; (2)若α是第四象限角,sin=,求sin的值. 18.(17分)如图,在扇形MON中,ON=240,∠MON=,∠MON的平分线交弧MN于点P,点A是弧PM上的一点(不包含端点),过点A作OP的垂线交扇形的弧于另一点B,过点A,B作OP的平行线,分别交OM,ON于点D,C. (1)若∠AOB=,求AD; (2)设∠AOP=x,x∈,求四边形ABCD的面积的最大值. 19.(17分)[2026·太原高一期末] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数g(x)=f(x)-1在区间上有且仅有两个零点,求实数m的取值范围; (3)若关于x的方程+2asin-2a+2=0,x∈有解,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $