模块素养测评卷 [范围：全书内容]-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 全书内容整合的综合测评，通过基础到创新的题型梯度，考查数学眼光、逻辑推理与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-3题|不等式解集、三角函数值、充要条件判断|概念生成与直接应用| |函数性质|4-8题|函数图象、单调性、奇偶性、零点综合|性质推导与多维度关联| |三角运算|2、6、11、17题|诱导公式、三角恒等变换、零点问题|公式迁移与参数讨论| |综合应用|15-19题|集合运算、函数与导数、新定义“关联函数”|跨模块知识整合与创新探究|

模块素养测评卷[范围:全书内容] (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.不等式x2>0的解集是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.{x|x=0} B.{x|x≠0} C.{x|x>0} D.{x|x<0} 2.2cos(-840°)= (　 ) A.- B.-1 C.1 D. 3.“|x|<2”是“x<2”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数y=x2sin x的部分图象可能是 (　 ) A B C D 5.已知函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,则a的取值范围为 (　 ) A.[0,1) B.(-∞,1) C.(-∞,0] D.[-1,1) 6.-4sin 40°= (　 ) A.- B. C.-1 D.1 7.已知a=cos 2,b=log26,c=log312,则 (　 ) A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.b<a<c 8.定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且在[0,1)上单调递减.若方程f(x)=-1在[0,1)上有实根,则方程f(x)=0.7在区间[-1,11]上的所有实根之和为 (　 ) A.30 B.14 C.12 D.6 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知c<0<b<a,则 (　 ) A.ac<bc B.b3+c3<a3 C.> D.< 10.已知x>0,y>0,且x+3y=1,则下列说法正确的是 (　 ) A.y的取值范围为 B.xy的最大值为 C.+的最小值为16 D.x2+9y2的最小值为2 11.若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在[0,2π]上有且仅有3个零点,则 (　 ) A.f(x)的图象关于直线x=对称 B.f(x)在上单调递增 C.方程f(x)=-在(0,2π)上有且仅有1个解 D.ω的取值范围是 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知函数f(x)=2cos(2x+θ)的图象关于原点对称,则θ的最大负值为　　　　.  13.已知正数x,y满足x+4y=xy,若不等式x+4y≥m2-6m恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.  14.[2026·云南昭通一中高一期末] 设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-b的四个零点满足x1<x2<x3<x4,则的值为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)[2026·河北枣强中学高一期末] 已知集合A={x|3≤x≤6},集合B={x|x≥2m-1或x≤m-1,m∈R}. (1)当m=3时,求A∪(∁RB); (2)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围; (3)设p:x∈A,q:x∈B,若p是q的充分条件,求实数m的取值范围. 16.(15分)[2026·长沙外国语学校高一期末] 已知f(x)=x2+(a-5)x-a. (1)若f(x)<0的解集为(-3,2),求关于x的不等式≤0的解集; (2)若g(x)=f(x)+4x,解关于x的不等式g(x)≥0. 17.(15分)[2026·武汉武钢三中高一期末] 已知f(x)=. (1)若f(θ)=2,求+的值; (2)已知f=3,cos β=-,且α,β∈(0,π),求2α-β的值. 18.(17分)已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx为偶函数. (1)求实数k的值. (2)若函数y=f(x)-a有两个零点,求实数a的取值范围. (3)已知函数g(x)=9x+9-x+m·3f(x)-1,x∈[0,log32],是否存在实数m使得g(x)的最小值为0?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由. 19.(17分)[2026·四川遂宁高一期末] 若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1,在其定义域内都存在唯一的x2,使f(x1)·f(x2)=1成立,则称该函数为“关联函数”. (1)判断f(x)=x2是否为区间[-1,1]上的“关联函数”. (2)已知函数h(x)=(x-3)2在定义域[s,t](s,t∈Z)上为“关联函数”. ①求log3(s+t)+sin[(s+t)π]的值; ②当s>3时,设p(x)=x+-t,若存在x∈[1,3],使不等式p(x)≥-m2+2m+k对任意m∈R都成立,求实数k的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $ 模块素养测评卷 1.B　[解析] 当x=0时,x2=0;当x≠0时,x2>0.所以不等式x2>0的解集是{x|x≠0}.故选B. 2.B　[解析] 2cos(-840°)=2cos 840°=2cos(360°×2+120°)=2cos 120°=-1.故选B. 3.A　[解析] |x|<2等价于-2<x<2.由-2<x<2可以推出x<2,但是由x<2推不出-2<x<2,所以“|x|<2”是“x<2”的充分不必要条件.故选A. 4.A　[解析] 令f(x)=x2sin x,则函数f(x)=x2sin x的定义域为R,f(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sin x=-f(x),所以该函数为奇函数,故排除B,D;f=sin =>0,故排除C.故选A. 5.B　[解析] 因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,所以解得a<1,则a的取值范围为(-∞,1).故选B. 6.A　[解析] 原式=-4sin 40°=-4sin 40°== ===-.故选A. 7.C　[解析] 因为<2<π,所以a=cos 2<0,b=log26=1+log23>1+log22=,0<c=log312=1+log34<1+log33=,所以a<c<b.故选C. 8.A　[解析] 因为函数f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),且f(0)=0.因为f(x)=f(2-x),所以-f(-x)=f(2-x)且f(1+x)=f(1-x),故-f(x)=f(x+2)且函数f(x)的图象关于直线x=1对称.又-f(x+2)=f(x+4),所以f(x)=f(x+4),即函数f(x)是周期为4的周期函数.由函数f(x)在[0,1)上单调递减,方程f(x)=-1在[0,1)上有实根,可知方程f(x)=-1在[0,1)上有且仅有一个实根,函数f(x)在[-1,11]上的草图如图所示.由图可知,函数f(x)的图象与直线y=0.7在区间[-1,11]上有6个交点,设这些交点的横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,x4,x5,x6,则x1+x2=2×1=2,x3+x4=2×5=10,x5+x6=2×9=18,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=2+10+18=30.故选A. 9.ABD　[解析] 对于A,因为c<0<b<a,所以ac<bc,故A正确;对于B,因为c<0<b<a,所以b3<a3,又c3<0,所以b3+c3<a3,故B正确;对于C,不妨令a=3,b=2,c=-3,则=0,=,此时<,故C错误;对于D,因为c<0<b<a,所以>>0,所以<,故D正确.故选ABD. 10.ABC　[解析] 对于A,由题知解得0<y<,即y的取值范围为,故A正确;对于B,x+3y=1≥2=2,即xy≤,当且仅当x=3y,即x=,y=时等号成立,所以xy的最大值为,故B正确;对于C,+=(x+3y)=10+3≥10+3×2=16,当且仅当x=y=时等号成立,所以+的最小值为16,故C正确;对于D,因为≥==,当且仅当x=3y=,即x=,y=时,等号成立,所以x2+9y2≥,则x2+9y2的最小值为,故D不正确.故选ABC. 11.AD　[解析] 由题得f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ω>0),∵0≤x≤2π,∴≤ωx+≤2ωπ+,∵函数f(x)在[0,2π]上有且仅有3个零点,∴解得≤ω<,即ω的取值范围是,故选项D正确;令ωx+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,令k=1,得x=,∴f(x)的图象关于直线x=对称,故选项A正确;∵0<x<,∴<ωx+<+,又≤ω<,∴≤+<π,∴f(x)在上不单调递增,故选项B错误;∵0<x<2π,≤ω<,∴当ω=时,<x+<π,此时当x+=或时,f(x)=-,即f(x)=-在(0,2π)上有2个解,故选项C错误.故选AD. 12.-　[解析] ∵函数f(x)=2cos(2x+θ)的图象关于原点对称,∴θ=kπ+,k∈Z,令k=-1,可得θ的最大负值为-. 13.[-2,8]　[解析] 因为正数x,y满足x+4y=xy,所以+=1,则x+4y=(x+4y)=++8≥2+8=16,当且仅当=,即x=8,y=2时等号成立, 所以x+4y的最小值为16.若不等式x+4y≥m2-6m恒成立,则m2-6m≤16,解得-2≤m≤8,即实数m的取值范围为[-2,8]. 14.-4　[解析] 因为函数g(x)=f(x)-b有四个零点,所以直线y=b与函数y=f(x)的图象有四个交点,作出直线y=b与函数f(x)的图象如图所示,则x1+x2=-4,又-ln x3=ln x4,所以x3x4=1,所以=-4. 15.解:(1)当m=3时,B={x|x≤2或x≥5}, 则∁RB={x|2<x<5}, 又A={x|3≤x≤6},所以A∪(∁RB)={x|2<x≤6}. (2)因为A={x|3≤x≤6},B={x|x≥2m-1或x≤m-1,m∈R},且A∩B=⌀, 所以解得<m<4, 故实数m的取值范围是. (3)因为p是q的充分条件,所以A⊆B, 所以m-1≥6或2m-1≤3,解得m≤2或m≥7, 所以实数m的取值范围是{m|m≤2或m≥7}. 16.解:(1)因为f(x)=x2+(a-5)x-a<0的解集为(-3,2),所以-3和2是关于x的方程x2+(a-5)x-a=0的根,所以可得a=6, 将a=6代入不等式≤0,得≤0,即解得-≤x<1. 故关于x的不等式≤0的解集为. (2)g(x)=f(x)+4x=x2+(a-1)x-a=x2+ax-x-a=x(x+a)-(x+a)=(x-1)(x+a). ①当-a<1,即a>-1时,g(x)≥0的解为x≤-a或x≥1; ②当-a=1,即a=-1时,g(x)≥0即为(x-1)2≥0,解得x∈R; ③当-a>1,即a<-1时,g(x)≥0的解为x≤1或x≥-a. 综上所述,当a>-1时,x∈(-∞,-a]∪[1,+∞);当a=-1时,x∈R;当a<-1时,x∈(-∞,1]∪[-a,+∞). 17.解:(1)f(x)===-tan x. 因为f(θ)=-tan θ=2,所以tan θ=-2, 所以+=+=tan2θ+1+tan θ+=4+1-2-=. (2)由f=-tan=-=3,解得tan α=2, 所以sin 2α====,cos 2α====-. 由cos β=-,β∈(0,π),得sin β==,所以sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β=×-×=-. 因为α∈(0,π),tan α=2>1,所以α∈,所以2α∈,因为β∈(0,π),cos β<0,所以β∈,所以-β∈, 所以2α-β∈,所以2α-β=-. 18.解:(1)∵f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数,∴f(-x)=f(x),即log3(9x+1)+kx=log3(9-x+1)-kx对任意x∈R恒成立, ∴2kx=log3(9-x+1)-log3(9x+1)=log3=log3=log33-2x=-2x,∴k=-1. (2)函数y=f(x)-a有两个零点,即方程log3(9x+1)-x=a有两个实数根. 令h(x)=log3(9x+1)-x=log3(3x+3-x),则函数y=h(x)的图象与直线y=a有两个交点. 由复合函数的单调性知,h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 当x→-∞时,h(x)→+∞;当x→+∞时,h(x)→+∞;h(0)=log32. 易知3x+3-x≥2,当且仅当3x=,即x=0时,等号成立,则f(x)≥log32,∴a>log32, 故a的取值范围是(log32,+∞). (3)g(x)=9x+9-x+m·3f(x)-1=9x+9-x+m(3x+3-x)-1=(3x+3-x)2+m(3x+3-x)-3,x∈[0,log32], 令t=3x,μ=t+,则t∈[1,2],μ∈. ∵G(μ)=μ2+mμ-3的最小值为0, ∴或或 即或或解得m=-, 故存在m=-使得g(x)的最小值为0. 19.解:(1)当x1=0时,f(x1)=0,对任意x2∈[-1,1],都有f(x1)·f(x2)=0·f(x2)=0≠1, 所以f(x)=x2不是区间[-1,1]上的“关联函数”. (2)因为h(3)=0,所以s<t<3或3<s<t. 当s<t<3时,h(x)=(x-3)2在[s,t]上单调递减,且h(x)>0,由“关联函数”的概念,可得(s-3)2·(t-3)2=1,则(s-3)2·(t-3)2=16, 因为s<t<3,所以(s-3)(t-3)=4, 又s,t∈Z,所以解得 当3<s<t时,h(x)=(x-3)2在[s,t]上单调递增,且h(x)>0,由“关联函数”的概念,可得(s-3)2·(t-3)2=1,即(s-3)2·(t-3)2=16, 因为3<s<t,所以(s-3)(t-3)=4, 又s,t∈Z,所以解得 ①当时,log3(s+t)+sin[(s+t)π]=log31+sin π=0. 当时,log3(s+t)+sin[(s+t)π]=log311+sin 11π=log311. ②当s>3时,则p(x)=x+-7. 根据对勾函数的性质可得,p(x)在[1,2]上单调递减,在(2,3]上单调递增,且p(1)=-2,p(3)=-, 所以当x∈[1,3]时,p(x)max=-2. 由题知,-m2+2m+k≤-2对m∈R恒成立,所以k≤(m2-2m-2)min, 又m2-2m-2=(m-1)2-3≥-3,所以k≤-3. 故实数k的取值范围为(-∞,-3]. 学科网（北京）股份有限公司 $