重点强化练八　三角恒等变换-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 三角恒等变换同步练通过基础单选、中档多选填空、提升解答的三阶分层，覆盖公式应用到综合情境，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一公式直接应用（如二倍角、同角关系）|单选聚焦基础运算，如sin15°cos15°直接考查二倍角公式| |中档|公式辨析与综合计算（如两角差、高考改编）|多选结合概念辨析（如第7题等式正误判断），填空融入高考真题改编| |提升|多公式综合与情境应用（如单位圆、参数关系）|解答题设置单位圆情境（第13题），需连贯运用三角函数定义与和差公式|

重点强化练八　三角恒等变换 1.B　[解析] sin 15°cos 15°=sin 30°=.故选B. 2.B　[解析] cos 2x=2cos2x-1=2×-1=.故选B. 3.D　[解析] 因为x,y∈,sin x=,cos y=,所以cos x=,sin y=,所以cos(x-y)=cos xcos y+sin xsin y=×+×=.故选D. 4.B　[解析] 由==,解得tan α=1-,所以tan ==2-1.故选B. 5.C　[解析] tan 25°cos 40°+sin 20°cos 20°=cos 40°+sin 40°=====.故选C. 6.D　[解析] 方法一:∵cos=,∴cos α=2cos2-1=-,又∵0<α<π,∴sin α=,则sin=(sin α-cos α)=×=. 方法二:由0<α<π可知0<<,∴sin==,∴sin α=2sincos=2××=,cos α=cos2-sin2=-=-,∴sin=sin αcos -cos αsin=×-×=. 7.BCD　[解析] 对于A,sin26°-cos26°=-(cos26°-sin26°)=-cos 12°,故A错误;对于B,sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°cos 15°=sin 30°=,故B正确;对于C,sin 6°-cos 6°=sin(6°-45°)=sin(-39°)=-sin 39°,故C正确;对于D,==tan(60°-15°)=tan 45°=1,故D正确.故选BCD. 8.ACD　[解析] f(x)=sin x-cos x=sin.对于A,将f(x)的图象向左平移个单位长度后,再向上平移个单位长度得到函数f1(x)的图象,故A正确;对于B,f2(x)=(sin x-cos x)=2sin,其振幅为2,显然通过平移变化无法得到,故B错误;对于C,将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数f3(x)的图象,故C正确;对于D,f4(x)=2cos=2sincos+2cos2=sin x+1+cos x=sin+1,将f(x)的图象向左平移个单位长度后,再向上平移1个单位长度得到函数f4(x)的图象,故D正确.故选ACD. 9.　[解析] 由倍角公式可知cos α=1-2sin2,则sin2===.因为α为锐角,所以∈,则0<sin<,所以sin=. 10.2　[解析] f(x)=sin x-cos x=2sin,当x∈[0,π]时,x-∈,故当x-=,即x=时,f(x)max=2. 11.-　[解析] 方法一:由题得tan (α+β)===-2.∵2k1π<α<+2k1π,k1∈Z,π+2k2π<β<+2k2π,k2∈Z,∴π+2(k1+k2)π<α+β<2π+2(k1+k2)π,k1,k2∈Z,即π+2kπ<α+β<2π+2kπ,k∈Z,∴sin(α+β)=-. 方法二:∵α为第一象限角,β为第三象限角,∴cos α>0,cos β<0,cos α==,cos β==,则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β(tan α+tan β)=4cos αcos β====-. 12.解:(1)因为sin=,θ∈(π,2π),所以∈,所以cos=-=-=-, 故=tan===-. (2)sin θ=2sincos=2××=-, cos θ=cos2-sin2=-=, 所以sin θ+2cos θ=-+2×=-. 13.解:(1)因为sin α=-,且m<0,所以点A在第三象限, 所以α=+2kπ(k∈Z). (2)由f(θ)=,得sin=-sin=(k∈Z), 即sin=-,又θ∈, 所以θ+∈,所以cos<0, 得cos=-=, 所以tan==2+,则tan θ=tan==1. (3)易知sin α=,cos(α+θ)=-, 由<α<<θ<,可知cos α=,<α+θ<2π,<2α<π, 则sin 2α=,cos 2α=-,由cos(α+θ)=->-, 可知<α+θ<,所以sin(α+θ)=-,则cos(θ-α)=cos[(θ+α)-2α]=cos(θ+α)cos 2α+sin(θ+α)sin 2α=-,易知θ-α∈,故θ-α=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练八　三角恒等变换 一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin 15°cos 15°= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 2.已知cos x=,则cos 2x的值为 (　 ) A.- B. C.- D. 3.已知x,y∈,若sin x=,cos y=,则cos(x-y)= (　 ) A. B. C. D. 4.[2024·全国甲卷] 已知=,则tan= (　 ) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 5.tan 25°cos 40°+sin 20°cos 20°= (　 ) A. B. C. D.2 6.[2025·全国二卷] 已知0<α<π,cos=,则sin= (　 ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 7.下列等式正确的是 (　 ) A.sin26°-cos26°=cos 12° B.sin 15°sin 30°sin 75°= C.sin 6°-cos 6°=-sin 39° D.=1 8.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,那么这些函数为“互为生成函数”.下列函数中,与f(x)=sin x-cos x构成“互为生成函数”的有 (　 ) A.f1(x)=(sin x+1) B.f2(x)=(sin x-cos x) C.f3(x)=cos x D.f4(x)=2cos 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 9.[2023·新课标Ⅱ卷改编] 已知α为锐角,cos α=,则sin=　　　.  10.[2024·全国甲卷] 函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是　　　　.  11.[2024·新课标Ⅱ卷] 已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.  四、解答题:本题共2小题,共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)已知θ∈(π,2π),且sin=,求: (1); (2)sin θ+2cos θ. 13.(15分)在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,角α的终边OA与单位圆的交点为A,射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ弧度后交单位圆于点B,记点B的纵坐标y关于θ的函数为y=f(θ). (1)若A,m<0,求α的值; (2)对(1)中α,若f(θ)=,θ∈,求tan θ的值; (3)若<α<<θ<,点A的纵坐标为,点B的横坐标为-,求θ-α的值. 学科网（北京）股份有限公司 $