重庆市育才中学校2026-2027学年高三上学期开学数学试题

**基本信息** 高中数学开学试卷以5道解答题（77分）为主，通过梯度化问题设计检测数学抽象、运算推理及模型应用能力，适配开学初学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|函数性质应用、立体几何证明、数列综合问题、概率统计分析|结合科技数据情境设题，基础问考查几何直观（如空间几何体体积计算），提升问要求逻辑推理（如数列递推关系证明），创新问需建立数学模型（如概率决策分析），契合高考对综合素养的考查趋势。|

CDABABDC ABD BCD ABD 8号 14.(6,12) 15.【详解】(1) :AC⊥AC,平面ABC⊥平面ACC4,平面ABC∩平面ACC4=AC,ACC平面ACCA, .AC⊥平面ABC ·ABC平面ABC,∴.AC⊥AB (2)由(1)得AC⊥平面ABC,:ACc平面ABC,.AC⊥AC, :AC=1,A4=2,AC=V5 以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则4(0,0，√)，B(0,10),C(0,0,0),C(-1,0,V5), .B4=(0,-1,V3),CB=(0,10),CC=-10,V5) 设平面BCCB,的法向量为=(xyz),则 nCB=y=0 i.C℃=-x+E=0 令x=√5，则y=0,z=1,故i=(5,0,) 设直线AB与平面BCCB所成的角为0，则 BAn sin0= BA例1+3x3+74, ·直线4B与平面BCC马所成角的正弦值为固 l6.【详解】(1)因为√5a-sinB=√3 bcosC,所以V3sin(B+C)-sinCsinB=V3 sinBcosC, 3 sin BcosC+3 cos Bsin C-sin Csin B=3sin BcosC, 即√5 cosBsinC=sinCsinB, 因为B、C∈(O,),则sinC≠0，所以tanB=√5，所以B= 3 (2)因为BD为∠ABC的平分线，所以∠ABD=∠DBC= 6 又S.c=S.c+S.m,即)acsin-x :π1 2 =)x2asin”+x2csin,整理得V5ac=2(a+c). 32 62 6 又由余弦定理62=d2+c2-2acos=d2+c2-ac,得9=(a+c2-3ac, 所以9=2(ac-3ac,即(ac)-4ac-12=0,解得ac=6或ac=-2(舍去)， 所以△ABC的面积为S△c=)acsin.∠ABC= 6x5_3w5 2 、22 17.【详解】(1)依题意，平均值 1 元=1000×000x55+200x65+300x75+240x85+160x95)=76.6, .0.1+0.2+0.3=0.6<0.75,0.6+0.24=0.84>0.75 :上四分位数落在区间80,90)，且等于80+0.7506x10=8625 0.24 (2)由样本数据可知，训练成绩在[50,60)U[70,80),[60,70)之内的频数之比为2：1， 由分层抽样的方法得，从训练成绩在[50,80)中随机抽取了6次成绩， 在[50,60)70,80)之内的4次，在[60,70)之内的抽取了2次， 所以X可取的值有：0,1,2， P(X=0)= Cc6_2 C31 C2s=P(x=D三SA-85P(X=2)15” 分布列为： X 0 2 8 1 5 15 82x153 12 ∴.E(X)=0× 1 (3)法一：设事件A,4,A分别表示动作优化前成绩落在区间[70,80)，[80,90)，[90,100]， 则4，A,A相互互斥，所以动作优化前， 240+160-0.4, 在一次资格赛中，入围的概率P(4U4)=P(4,)+P4上0001O00 设事件B为"动作优化成功"，则P(BA)=P(BA)=P(B)=p, 动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：ABU4BUA,且事件AB,AB,A相互互斥， 所以在一次资格赛中入围的概率 P(4BU4BU4)=P(4B)+P(4B)+P(4)=P(4)P(BA)+P(4)P(BI4)+P(4), 故P4U4U到-p部p =0.54p+0.16 4 由0.54p+0.16>04解得p>g,又：p<Lp的取值范围是 法二：因为入围的成绩标准是80分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为： 240+160_2=0.4, P 10005 进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间[70,80)或[80,90)的成绩， 当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准， 300240 所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率P2= 160 p+ D+ -=0.54p+0.16, 1000F1000 1000 由0.54p+0.16>0.4,得p>4,又p<p的取值范围是。 18【详解】(1)解：当a=1时，函数fx)=x(e-),可得f'(x)=(x+1)e-1, 令x)=f'(x),则m'(x)=(x+2)e, 当x∈(-0，-2)时，m(x)<0:当x∈(-2，+o),m(x)>0, 所以∫"(x)在(-0，-2)单调递减，在(-2，+∞)单调递增， 因为x<-1时，x+1<0,e>0,则f'(x)<0,f'(0)=0, 所以当x∈(-o,0)时，f'(x)<0;x∈(0，+o),f(x)>0, 所以f(x)在(-0,0)单调递减，在(0，+o)单调递增， 所以f(x)的极小值为fO)=0,无极大值. (2)解：(i)由函数gx)=fx)-alnx=xe-a(x+lnx)=xe-aln(e),x∈(0，+oo), 令t=xe,te(0,+oo),因为t=(x+1)e>0,所以1=xe*在(0，+oo)单调递增， 令h0=1-alnt,即h(t)在te(0,+oo)有2个零点4,42，且4=xe,42=x2e, 因为@=1-号气，所以a≤0时，0>0，h0在1e0+o)单调递增， 此时不存在2个零点，所以a>0, 因为1∈(0，a)时，h()<0:t∈(a,+oo)时，h)>0,所以h()在(0，a)单调递减， 在(a+oo)单调递增，因为1→0时，ht)→+o:1→+oo时，h(0→+o, 所以i)mn=ha)=a(1-na)<0,所以aee,o). >六，可得ee产>e,即证h>e,即证n4+n4>2, (i)由e+s4>e 不妨设4<12，因为h()=1>0,he)=e-a<0, 由(i)知，1<<e<a<2, 冷2=m,则m>1且马=mt,n52=nm+n 又因为4-aln4=h2-alnl,=0,可得a=点 a点即合品 所以nm+ln4=mlh4,可得lnm=(m-l)n4,所以lnt= Inm m-1' mlnm Int In(mt )Inm+Int m-1’ 所以nf+n,>2等价于nm+mlnm>2,即m+lnm>2, m-1m-1 m-1 即为nm>2m-) m+1 令Fx)=1nx-2(x-Dx>L,则F'(x)=1-2(x+19-2（x-1D=x-D>0. (x+1) x(x+) 所以F(x)在(L,+o)单调递增，所以F(x)>F(I)=0, 即nx-2>0,可得nx>2,所以m>2,回可得证 x+1 x+11 19.【详解】(1)抛物线C:y2=2pr的准线方程为x=-2 2 根据抛物线定义，PF=5=4+号，所以p=2. 因此，抛物线C的方程为y2=4x. 将P(4,)代入抛物线方程：t2=16,又t>0,故t=4. (2)i设A(x,y),B(x,2）, 则△PAB的重心为 x+x+4++4 3 3 B 由题意知， 十+4=-4，则y+=一8 3 所以直线4B的斜幸m=上=片。4二4。】 x-名上-⅓+为8=2， 为定值。 44 i.因为直线AB的斜率不为零， 所以设直线AB的方程为x=-2y+n.设 答小要 联立 [x=-2y+n y2=4x，整理得y2+8y-4n=0. △=64+16n>0 所以 乃+为2=-8 2=-4n 设T(x,)为AB的中点，则： 上+垃 44 +-24+8n+8”⅓=422=4， 2 2 8 即T(n+8,-4). 直线AB与x轴交点Q(n,0),P(4,4),则P0中点R 由于△=64+16n>0,所以n>-4. 所以n+12≠0. 12 直线TR的斜率： 2-(4)=6 《n+4+8”+1-n=27 2 直线R的方程：y+4=12 （x-n-8),整理得12x+(n+12)y-8n-48=0, -n-12 令y=8x=-4,代入方程，解得x=-4, 因此，直线TR经过定点N(-4,8). 因为P(4,4),PH⊥TR于H, 所以H在以PN为直径的定圆上. 数学试题 （本试卷共150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，若，则集合的真子集个数为（ ） A．3 B．6 C．7 D．8 2．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则“且”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数，则的图象可能是（ ） A． B． C． D． 5．已知，，则（ ） A． B． C． D． 6．从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．“进步”的是“落后”的10倍只需要大约经过（ ）天．（参考数据：， A．110 B．115 C．120 D．125 7．已知，若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图像如图所示，则（ ） A． B．的图像关于点对称 C．直线是的一条对称轴 D．函数为奇函数 10．已知正实数、满足，则下列说法正确的有（ ） A．的最大值为8 B．的最小值为8 C．的最小值为9 D．的最小值为3 11．已知函数，的定义域均为，为奇函数，且，，则（ ） A．为偶函数 B．不为奇函数 C． D． 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．__________． 13．已知，则__________． 14．函数，若存在实数，，，满足，，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在三棱柱中，，平面平面． （1）证明：， （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 16．已知的内角、、的对边分别是、、，且． （1）求； （2）若，的平分线与相交于点，且，求的面积． 17．某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示． 成绩区间 频数 100 200 300 240 160 （1）求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； （2）该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为，求的分布列及数学期望； （3）对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化．优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分．用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时的取值范围． 18．已知函数， （1）当时，求的极值； （2）若函数有2个不同的零点． （ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：． 19．已知抛物线：的焦点为，上的点到的距离为5． （1）求和的值； （2），为上两点，的重心在直线上． ⅰ．证明：直线的斜率为定值； ⅱ．设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动． 学科网（北京）股份有限公司 $