第一章 特殊平行四边形能力提升卷-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦九年级上册第一章特殊平行四边形，涵盖菱形、矩形、正方形的性质与判定，通过选择、填空、解答题梯度设计，适配单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|四边形表示、菱形角度计算、矩形中位线|结合汽车千斤顶等生活情境，基础与能力题结合| |填空题|6|菱形面积、矩形动态问题、正方形中点连线|涉及对称性质与分类讨论，提升空间观念| |解答题|6|全等证明、菱形性质应用、正方形综合探究|如22题正方形与矩形综合，需推理与模型构建，体现逻辑思维与创新意识|

第一章 特殊平行四边形能力提升卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 一．选择题（共10小题） 1．如图，下面关于此四边形的表示方法： ①四边形ABCD； ②四边形ACBD； ③四边形ABDC； ④四边形ADCB． 其中正确的有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（2026春•凤阳县期末）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．当∠BCD＝52°时，则∠BAC的度数为（　　） A．26° B．27° C．28° D．29° 3．（2026春•桂林期末）如图，在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝6，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（2026春•衡阳县期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长为（　　） A．3 B．5 C．4.8 D．3.6 5．（2025秋•峄城区期末）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点，若AB＝8，OM＝3，则线段OB的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（2026•定西模拟）在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的度数为（　　） A．54° B．60° C．72° D．74° 7．（2026•安徽模拟）如图，AC是矩形ABCD的对角线，线段AC的垂直平分线OE，分别交AC、CD于点O、E，连接AE．若AB＝3，AD＝2，则AD+DE的值为（　　） A． B．3 C． D． 8．（2026春•汉川市期中）在平面直角坐标系中，一个长方形三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标是（　　） A．（2，2） B．（2，3） C．（3，3） D．（3，2） 9．（2026春•大同校级期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，连接AE，AF，EF，M，N分别为AE，AF的中点，连接MN，则MN的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 10．（2026春•下城区期中）如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，AC上，且DE∥CA，DE+CF＝AC．下列判断中错误的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．若AD＝EF，则四边形AEDF是矩形 C．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形 D．若AD⊥EF，则四边形AEDF是正方形 二．填空题（共6小题） 11．（2026春•红河州期末）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是10cm和6cm．则菱形的面积为 　 　 cm2． 12．（2026•龙海区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，对角线BD交AE于点F．若∠AFD＝60°，则∠C的度数为　 　 ． 13．（2026春•天河区校级期中）在矩形ABCD中，AB＝2，O是BD的中点，点E在直线AD上，且DE＝3，若△BOE与△DOE关于直线OE对称，则AD的长为　 　 ． 14．（2026春•广信区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E为BC边的中点，点P在AD边上运动，F为BP的中点，当△BEF为等腰三角形时，AP的长为 　 　 ． 15．（2026春•下城区期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为　 　 ． 16．（2026春•宁津县期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，D在CG上，BC＝1，CG＝3，H是AF的中点，则CH的长是 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2026•徐州）如图，AD是△ABC的中线，点E，F分别在AD及其延长线上，BE∥CF，连接CE，BF． （1）求证：△BDE≌△CDF； （2）若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形． 18．（2026春•武汉校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AB＝5． （1）若AE⊥BC于点E，连接OE，求OE； （2）若F为CD中点，则AF＝　 　 ． 19．（2026春•同步）如图（1），矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试找出图中相等的线段与相等的角．如图（2），菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试找出图中相等的线段与相等的角． 20．（2026春•东丽区期末）矩形ABCD中，点M是对角线BD上的一个动点（点M不与点B，D重合），分别过点B，D向射线AM作垂线，垂足分别为点E，F，点O为BD的中点． （1）如图1，当点M与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系，并加以证明； （2）当点M运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立．加以证明，若不成立，说明理由． 21．（2026春•同步）如图，已知：正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OB上一点，DG⊥CE，垂足为G，DG与OC相交于点F．求证：OE＝OF． 22．（2026春•涡阳县期末）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 第一章 特殊平行四边形能力提升卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：四边形可以表示为：四边形ABCD或四边形ADCB， 故选：B． 2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线， ∴∠BCD＝∠BAD＝52°，AC平分∠BAD， ∴， 故选：A． 3．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝6， ∴BC＝6， ∵AE垂直平分BC，垂足为E， ∴AB＝AC＝6，BE＝CE＝3，∠ABE＝90°， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：， ∴菱形ABCD的面积， 故选：C． 4．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴，，AC⊥BD， ， ∴在Rt△AOB中，， ∵S菱形ABCD＝AB•DH，即24＝5DH， ∴DH＝4.8， 故选：C． 5．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，AB＝CD＝8，AO＝CO＝BO， ∵M是CD边的中点，O是矩形ABCD的对角线AC的中点， ∴OM∥AD，OM是△ADC的中位线， ∵OM＝3， ∴AD＝2OM＝6， ∵CD＝AB＝8， ∴， ∴， 故选：A． 6．【解答】解：如图所示，． 故选：C． 7．【解答】解：∵OE 垂直平分AC， ∴AE＝CE， 设AE＝CE＝x， 在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC＝AB＝3， ∴AD2+DE2＝AE2，DE＝3﹣x， ∴22+（3﹣x）2＝x2， 解得：， ∴． 故选：A． 8．【解答】解：如图， ∵点A与点B的横坐标相同， ∴AB∥y轴， ∵点B与点C的纵坐标相同， ∴BC∥x轴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴AD∥x轴，CD∥y轴， ∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，点D的纵坐标与点A的纵坐标相同， ∴点D的坐标是（3，2）， 故选：D． 9．【解答】解：∵E，F分别为CD，BC的中点， ∴CE＝2，CF＝2， 在Rt△CEF中，， ∵点M，N分别是AE和AF的中点， ∴MN是△AEF的中位线， ∴． 故选：B． 10．【解答】解：对于选项A， ∵点F在AC边上，DE∥CA， ∴AC＝AF+CF，DE∥AF， ∵DE+CF＝AC， ∴DE+CF＝AF+CF， ∴DE＝AF， 在四边形AEDF中，DE∥AF，DE＝AF， ∴四边形AEDF是平行四边形， 故选项A正确，不符合题意； 对于选项B， 由选项A正确得：四边形AEDF是平行四边形， 又∵AD＝EF， ∴平行四边形AEDF是矩形， 故选项B正确，不符合题意； 对于选项C， 由选项A正确得：四边形AEDF是平行四边形， ∴AE∥FD，∴∠EAC＝∠FDA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FDA， ∴∠FDA＝∠EAD， 在△FDA中，∠FDA＝∠EAD， ∴FD＝FA， ∴平行四边形AEDF是菱形， 故选项C正确，不符合题意； 对于选项D， 由选项A正确得：四边形AEDF是平行四边形， 又∵AD⊥EF， ∴平行四边形AEDF是菱形，不能判定四边形AEDF是正方形， 故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．【解答】解：已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是10cm和6cm． ∴S菱形ABCDAC•BD10×6＝30（cm2）， 故答案为：30． 12．【解答】解：∵AE⊥BC于点E， ∴∠BEF＝90°， ∵∠BFE＝∠AFD＝60°， ∴∠FBE＝180°﹣∠BFE﹣∠BEF＝30°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD， ∴∠FBE＝∠BDC＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠FBE﹣∠BDC＝120°， 故答案为：120°． 13．【解答】本题考查了矩形性质，勾股定理，对称的性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．解：因为△BOE与△DOE关于直线OE对称， 所以点B与点D关于直线OE对称，因此BE＝DE＝3． 在矩形ABCD中，AB＝2． 当点E在边AD上时，如图①， 在Rt△ABE中，∠A＝90°，由勾股定理得， 所以． 当点E在DA的延长线上时，如图②， 在Rt△ABE中，∠EAB＝90°，同理， 所以． 故AD的长为或． 故答案为：或． 14．【解答】解：连接CP， ∵点E为BC的中点，点F为BP的中点， ∴EF∥CP，且EFCP， ∵四边形ABCDE是矩形，AB＝4，BC＝8， ∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，BE＝CEBC＝4，∠A＝∠D＝90°， 如图1，△BEF为等腰三角形，且FE＝BE＝4， ∴CP＝2EF＝8， ∴PD4， ∴AP＝AD﹣PD＝8﹣4； 如图2，△BEF为等腰三角形，且EF＝BF，连接PE， ∵∠FEB＝∠PBC，∠FEB＝∠PCB， ∴∠PBC＝∠PCB， ∴PB＝PC， ∴PE⊥BC， ∴∠PEB＝∠ABE＝∠A＝90°， ∴四边形ABEP是矩形， ∴AP＝BE＝4； 如图3，△BEF为等腰三角形，且BF＝BE， ∵∠BFE＝∠BPC，∠BEF＝∠BCP，且∠BFE＝∠BEF， ∴∠BPC＝∠BCP， ∴BP＝BC＝8， ∴AP4， 综上所述，AP的长为8﹣4或4或4， 故答案为：8﹣4或4或4． 15．【解答】解：如图，连接AG并延长AG交CD于点P，连接FP， ∵正方形ABCD， ∴CD＝BC＝AB＝6，AB∥CD，∠C＝90°， ∴∠AEG＝∠PDG，∠EAG＝∠DPG， ∵E、F分别为边AB、BC的中点， ∴， ∵G是DE的中点， ∴EG＝DG， 在△AEG和△PDG中， ， ∴△AEG≌△PDG（AAS）， ∴DP＝AE＝3， ∴CP＝CD﹣DP＝3， ∴， ∵点G、H分别为DE、AF的中点， ∴GH是△APF的中位线， ∴， 故答案为：． 16．【解答】解：延长AD交EF于点M，连接AC，EC，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，BC＝1， ∴AD＝CD＝BC＝1，∠ADC＝90°，∠ACD＝45°， ∴∠GDM＝∠ADC＝90°， ∵四边形CEFG是正方形，CG＝3， ∴CG＝GF＝3，∠G＝∠GFE＝90°，∠GCF＝45°， ∴GD＝CG﹣CD＝2， ∵∠GDM＝∠G＝∠GFE＝90°， ∴四边形GDMF是矩形， ∴FM＝GD＝2，DM＝GF＝3，∠AMF＝90°， 在Rt△AMF中，AM＝AD+DM＝4， 由勾股定理得：AF， ∵∠ACF＝∠ACD+∠GCF＝90°， ∴△ACF是直角三角形， ∵H是AF的中点， ∴CH是Rt△ACF斜边AF上的中线， ∴CHAF． 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 17．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵BE∥CF， ∴∠BED＝∠CFD， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）； （2）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC，即EF⊥BC， 由（1）知△BDE≌△CDF， ∴BE＝CF， 又∵BE∥CF， ∴四边形BFCE是平行四边形， ∵EF⊥BC， ∴四边形BFCE是菱形． 18．【解答】解：（1）∵在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，AB＝BC，BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC， ∴BC＝5，， ∴， ∴AC＝2OC＝6， ∵AE⊥BC，即△AEC是直角三角形，且∠AEC＝90°， ∴； （2）过点A作AG⊥CD于点G， ∵菱形ABCD中，AB＝CD＝AD且AB＝5， ∴CD＝AD＝5， 设CG＝x，则DG＝5﹣x， ∵AC＝6， ∴AC2﹣CG2＝AG2＝AD2﹣DG2， 即36﹣x2＝25﹣（5﹣x）2， 解得， 则， ∴， ∵点F为CD中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．【解答】解：图（1）中相等的线段①AB＝CD，②AD＝BC，③OA＝OC＝OB＝OD， 相等的角①∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ②∠AOB＝∠COD， ③∠AOD＝∠BOC， ④∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC， ⑤∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB． 图（2）相等的线段：①AB＝BC＝CD＝AD，②AO＝CO，③BO＝DO． 相等的角：①∠ABC＝∠CDA， ②∠BCD＝∠DAB， ③∠AOB＝∠COD＝∠AOD＝∠BOC＝90°， ④∠OAB＝∠OAD＝∠OCD＝∠OCB， ⑤∠ODC＝∠ODA＝∠OBC＝∠OBA． 20．【解答】解：（1）OE＝OF，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴DO＝BO， 在△DOF和△BOE中， ， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴OE＝OF； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长FO交BE于点H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DO＝BO， ∵DF⊥AM，BE⊥AM， ∴DF∥BE， ∴∠DFO＝∠BHO， 在△DFO和△BHO中， ， ∴△DFO≌△BHO（AAS）， ∴OF＝OH， ∵BE⊥AM， ∴OE＝OF． 21．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC⊥BD． ∴OC＝OD，∠EOC＝∠FOD＝90°． ∵DG⊥CE， ∴∠FGC＝90°． ∴∠FOD＝∠FGC． ∵∠OFD＝∠GFC， ∴180°﹣∠FOD﹣∠OFD＝180°﹣∠FGC﹣∠GFC， 即∠ODF＝∠OCE． ∴△EOC≌△FOD（ASA）． ∴OE＝OF． 22．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， 得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9． ∵CG＝3， ∴CE＝6， 连接EG， ∴EG3， ∴DEEG＝3． ∴正方形DEFG的边长为3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $