外方内圆与外圆内方（教案）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

该教案聚焦外方内圆与外圆内方组合图形的面积关系，通过古代铜镜、传统雕窗等传统文化情境导入，关联圆和正方形面积公式旧知，搭建从单一图形到组合图形的学习支架。 此教案以“传统文化浸润+填表探究建模+图形对比辨析”为特色，借助小组合作填表推导面积比例模型培养推理意识，动画演示外圆内方拆分三角形突破难点发展几何直观，助力学生形成模型观念，教师使用可高效落实核心素养，提升课堂探究性与趣味性。

人教版 六年级数学上册 小学 数学 教案 备课人： 授课人： 课题： 外方内圆与外圆内方 课型： 新授课 特色： 传统文化浸润 + 填表探究建模 + 图形对比辨析课堂。依托铜镜、传统雕窗传统文化情境导入方圆图形；借助方格纸、填表计算开展小组探究，自主推导固定面积比例模型；采用画图对比，区分外方内圆、外圆内方两组易混淆等量关系；突破 “必须算出半径才能解题” 的思维定式，学会利用面积倍数直接求解；动手画图、动画拆分图形，降低外圆内方拆分为三角形的理解难度，落实几何直观与归纳推理素养。 教材分析： 本节课是圆面积之后的一节组合图形新授课，主要研究 “外方内圆”“外圆内方” 两种经典方圆嵌套图形。教材通过设置半径，引导学生分别计算正方形与圆的面积，发现固定的面积比值。其中外圆内方中正方形没有直接给出边长，需要把正方形沿对角线拆分为两个三角形计算面积，是本课思维难点。教材还出现变式习题，已知正方形面积，不求半径直接求圆面积，渗透比例模型思想，拓展学生解题思路。同时将两个图形叠加得到嵌套图形，得出大正方形面积是小正方形面积 2 倍的规律。本课既是圆、正方形面积知识的综合应用，也为后续阴影面积拓展题打下基础，教学中要重视画图、填表探究，对比辨析两类图形的等量关系。 教学目标： 1. 知识与技能：认识外方内圆、外圆内方两类组合图形；掌握边长、对角线与圆直径之间的等量关系；推导图形面积比例关系；在不直接给出半径的条件下，正确计算圆、正方形以及涂色部分面积；理解嵌套图形中大正方形面积是小正方形面积的 2 倍。 2. 过程与方法：经历画图、填表计算、图形拆分、小组合作探究的活动，经历归纳推理，体会转化思想，提升几何直观与代数推理能力。 3. 情感态度价值观：感受方圆组合在传统器物、古建筑当中的应用，体会数学模型的实用价值；养成仔细审题、规范分步计算的学习习惯。 教学重点：识别两种方圆组合图形；找准边长、对角线和直径的对应关系；运用面积比例模型计算涂色部分面积。 教学难点：外圆内方中把正方形拆分为三角形求面积；理解恒定不变的面积倍数关系；不给出半径，借助面积倍数完成计算。 教学课时：1课时 教具准备：多媒体 PPT、圆规、直尺、课堂学习单、方格纸。 教学方法：情境教学法、动手操作法、小组合作探究法、讲练结合法。 教学过程： 一、情境导入（4 分钟） 1. 复习旧知：回顾圆的面积公式、正方形面积公式。 2. 文化情境导入：出示古代铜镜、传统雕窗图片。观察图片中的图形，引出本节课两个经典组合图形：外方内圆、外圆内方，板书课题。 引导学生观察辨析： 外方内圆：正方形内部画出最大的圆； 外圆内方：圆内部画出最大的正方形。 二、探究新知（24 分钟） 活动一：探究外方内圆 设定圆的半径为。 提问：正方形和圆之间有什么联系？ 学生观察得出：正方形边长 = 圆的直径 =。 小组合作，利用学习单表格，填入几组不同半径数值，分别计算正方形面积、圆的面积。 小组汇报计算结果，引导发现规律： ，这个比值不会随着半径大小发生改变。 小结核心等量：外方内圆，正方形边长等于圆的直径。 活动二：探究外圆内方 圆半径依旧为，正方形对角线等于圆的直径。 思考难点：不知道正方形边长，如何求正方形面积？ PPT 动画演示分割：沿着对角线把正方形拆成两个完全一样的三角形。 三角形底 = 圆的直径，三角形高 = 圆的半径。 正方形面积 = 2 个三角形面积之和：。 小组继续填表计算多组数据，归纳得到：，比值固定不变。 活动三：嵌套图形探究 把外方内圆、外圆内方图形叠加在一起，形成大正方形‑圆‑小正方形嵌套图形。 课件旋转内部小正方形进行直观演示，对比面积，得出结论：大正方形面积是小正方形面积的 2 倍。 活动四：教学 “做一做” 变式习题 出示习题：已知正方形面积，求外方内圆当中圆的面积以及涂色部分面积。 启发思考：本题没有告诉半径，有没有必要先求出半径？ 学生尝试，教师点拨：直接套用比例关系进行计算，不必计算半径。 拓展：对比外圆内方同类变式，强化比例模型使用。 三、巩固练习（10 分钟） 1. 基础练习：给出半径条件，计算外方内圆、外圆内方的正方形、圆面积。 2. 变式练习：已知正方形面积，利用面积比例模型直接求圆面积，训练不求半径解题思路。 3. 对比辨析：表格对比两类图形等量关系，辨析 “边长 = 直径” 和 “对角线 = 直径”，防止混淆。 学生独立完成习题，指名分享解题思路，教师巡视，及时纠正等量关系混淆、计算平方错误等问题。 四、课堂小结（2 分钟） 师生共同梳理本节课知识要点： ①外方内圆：正方形边长 = 圆直径，； ②外圆内方：正方形对角线 = 圆直径，正方形拆成三角形求面积，； ③嵌套图形规律：大正方形面积 = 小正方形面积 ×2； ④解题技巧：可以借助面积倍数关系，不求出半径直接计算。 五、布置作业（2 分钟） 1. 基础作业：完成配套习题，计算外方内圆、外圆内方涂色部分面积。 2. 拓展实践：动手画一个外圆内方图形，测量圆的直径，计算圆和内部正方形的面积。 板书设计： 外方内圆与外圆内方 外方内圆 正方形边长 = 圆直径   外圆内方 正方形对角线 = 圆直径 正方形拆为 2 个三角形   嵌套图形：大正方形面积 = 小正方形面积 ×2 💡技巧：利用倍数，不求半径直接计算 教学反思： 1. 外圆内方是本节课难点，学生不容易想到把正方形拆成三角形，课堂多用动画演示分割过程，配合学生画图操作，降低思维门槛。 2. 学生极易混淆两类图形等量关系：分不清 “边长等于直径” 和 “对角线等于直径”，课堂增加画图对比，让学生在图上标注对应线段。 3. 学生思维定式：习惯一定要算出半径再计算，对面积比例模型接受较慢，需要多安排变式习题强化训练。 4. 平方运算步骤多，计算错误频发，持续提醒学生分步演算，减少计算失误。 5. 小组填表探究活动中，关注学困生，对推理有困难的学生进行个别引导，落实分层教学。 1 学科网（北京）股份有限公司 $