专题04 整式加减应用十类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 以“通法归纳+题型精讲+压轴挑战”构建整式加减应用体系，通过十类热考题型提炼可迁移的解题方法，强化从实际问题到数学模型的抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1综述|聚焦核心解法，强调能力迁移|构建“问题情境→等量关系→整式表示→化简求值”逻辑链| |十类题型|每类1典例+3变式|每题型提炼“特征+方法+易错”，如销售问题“量关系→设未知→列式化简”|从具体场景（销售、行程等）抽象整式应用，形成题型与方法的对应| |压轴挑战|11题|综合应用多题型方法，突破思维上限|融合多知识点，提升复杂问题的模型构建与运算能力|

专题04 整式加减应用十类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、销售问题 1 类型二、周长问题 2 类型三、面积问题 5 类型四、行程问题 7 类型五、数字问题 8 类型六、整除问题 10 类型七、日历问题 12 类型八、幻方问题 14 类型九、方案选择问题 17 类型十、分段计费问题 18 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 版块说明(返稿须删)：简而精，对本专题的解题方法做综述说明，可以是题型特征/解题方法/易错提醒等内容。 一元二次方程含参数问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕方程定义、根的存在性、根的数量与特征、两根关系四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是一元二次方程二次项系数不为0，二是实数根问题必须验证判别式Δ≥0，所有参数结果最终均需合规检验. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、销售问题 典例精讲1（24-25七年级上·河南周口·期末）某商店销售一种商品，在“双十一”期间开展了线上，线下两种促销活动，某一天的线上销售情况统计如下： 单件利润／元 销量／件 第单 第单 第单 (1)这一天线下的销售总利润比线上销售总利润少元，这天线下的销售总利润多少元？ (2)若线下销售的总件数比线上的总件数少件，求线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润多多少元？ 题型归纳 1.特征：涉及进价、售价、标价、折扣、利润、利润率等销售要素，要求列代数式或求值。 2.方法：明确各量关系（售价 = 标价 × 折扣；利润 = 售价−进价；利润率 = 利润 ÷ 进价）→设未知量→按等量关系列式→化简求值。 3.易错提醒："打八折" 是乘以 0.8，不是减去 0.8；利润率是相对于进价而非售价，勿混淆。 变式训练1（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）某农户承包果树若干亩，今年投资13500元，收获水果总产量为19000千克．现有两种销售方式可选择，一是在果园直接销售，二是在市场销售．在果园直接销售每千克售价4元，在市场销售每千克售价x元，在市场销售平均每天可售出1000千克．（利润收入支出） (1)若这批水果全部在市场销售，则需要______天； (2)全部在市场销售比全部在果园直接销售的收入多______元（用含x的代数式表示）； (3)该农户在果园直接销售6000千克，其余在市场销售，用含x的代数式表示该农户今年的总利润，并进行化简． 变式训练2（25-26七年级上·河南南阳·期末）随着春节越来越近，人们迎新年的氛围愈加浓厚，许多零售商店都上架了新的纪念品，某零售商店购进一款新的纪念品共件，已知此款纪念品的进价为每件元，现采用两种销售方式，线下门店销售定价每件元，需要支付实体门店租赁费用元：线上网店销售定价每件元(利润=销售额-成本)． (1)用含的式子表示该商店在线下门店出售完件纪念品的利润：； 用含的式子表示该商店在线上网店出售完件纪念品的利润：； (2)在（1）的情况下，若，请判断选择哪种销售方式比较好． 变式训练3（25-26七年级上·吉林四平·期中）某文具店销售笔记本和中性笔，两种文具的销售单价和成本如下表所示，且每月固定成本（如房租、水电费）为300元． 文具类型 销售单价（元/件） 单价变动成本（元/件） 笔记本 15 8 中性笔 5 2 已知该店每月卖出的中性笔数量是笔记本数量的2倍．设每月卖出笔记本本（为正整数）． (1)用含的代数式表示该店每月的总利润（利润＝总销售额－总变动成本－固定成本）； (2)若该店制定了“笔记本销量超200本时，超出部分的笔记本按原价的8折销售，中性笔单价不变”的促销方案，分别计算当和时，该店每月的总利润． 类型二、周长问题 典例精讲2（25-26七年级上·北京延庆·期末）数学课上，老师提出一道思考题，如图，在一个长方形中放入三个正方形，从大到小正方形的边长分别为，则右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长差是多少？经过独立思考和小组讨论之后，小明代表本组汇报如下的解题思路： 可以先设重叠部分的小长方形的长与宽分别为和，再用含和的式子分别表示阴影部分的各边长，算出右上角阴影部分周长和左下角阴影部分周长后求两者差即可得到答案 (1)请你结合小明说的思路，表示一下右上角阴影部分的周长为___________，左下角阴影部分的周长为___________； (2)右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长差是___________（用含b的式子表示）． 题型归纳 1.特征：结合三角形、四边形、圆等图形，用整式表示周长或由周长求未知边长。 2.方法：回忆周长公式（长方形 2 (a+b)、正方形 4a 等）→用字母表示各边→按 "周长 = 各边之和" 列式→化简或逆向求解。 3.易错提醒：长方形周长是长加宽和的 2 倍，不可漏乘 2；含字母的边长须注意单位统一 变式训练1（25-26七年级上·广东中山·期中）为了更好地理解整式加减的实际应用，七（1）班龙狮小组进行数学实践活动． 【操作探究】如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中，记阴影部分①、②、③、④的周长分别为，，，， （1）若，，，求长方形的面积； 【深入思考】 （2）若长方形的周长为24，长方形的周长为16，请算出，，的值； 【拓展提升】 （3）若，，求长方形的周长（结果用含m，n的代数式表示） 变式训练2（24-25七年级上·广东韶关·阶段检测）项目式学习． 【主题】剪纸． 【素材】一张边长为的正方形纸片、剪刀等． 【操作】从一个边长为的正方形纸片（如图1）上剪去两个相同的小长方形，得到一个美术字“5”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新长方形（如图3）． 【探究】 (1)求新长方形的周长（用含有，的代数式表示）； (2)求美术字“5”的图案的周长（用含有，的代数式表示）； (3)若，剪去的小长方形的宽为1，求新长方形的周长和美术字“5”的图案的周长． 变式训练3（23-24七年级上·四川广安·期末）有4张相同的长方形纸片，各边长如图1所示（），将它们拼成较大的长方形，共有如图2的三种不同的方式． (1)用含a，b的式子表示： 方式一拼成的大长方形的周长：______； 方式二拼成的大长方形的周长：______； 方式三拼成的大长方形的周长：______． (2)试说明方式一拼成的大长方形的周长最大． (3)如果这三种方式拼成的大长方形中有两个大长方形的周长相等，请求出a和b之间的数量关系． 类型三、面积问题 典例精讲3（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）据调查，很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的部分区域．在一次普及“交通安全知识”的综合实践活动中，七年级学生们对货车的盲区面积进行探究，得到货车盲区的部分分布图（如图）．已知盲区A的面积是，盲区B，C的面积相同，都比盲区A的面积多，盲区D的面积比盲区A面积的4倍少． (1)用含a，b的代数式表示图中盲区的总面积； (2)若，，求图中盲区的总面积． 题型归纳 1.特征：结合各类图形，用整式表示面积，或由面积条件建立等量关系求参数 2.方法：识别图形类型与组合方式→用字母表示相关边长→按面积公式列式（组合图形分清求和或求差）→化简求解 3.易错提醒：阴影面积常用 "大面积−空白面积"；π 按题意保留或取值，不擅自更改。 变式训练1（25-26七年级上·全国·单元复习）某种植大户王大伯种植花生，玉米的种植面积比花生种植面积的5倍还多，而高粱的种植面积比玉米种植面积的2倍要少． (1)王大伯种植的花生、玉米和高粱共有多少平方米？种植高粱的面积比玉米多多少平方米？ (2)王大伯经过测量得到，那么种植的花生、玉米和高粱共有多少平方米？种植高粱的面积比玉米多多少平方米？ 变式训练2（25-26七年级上·广东茂名·阶段检测）【问题情景】 如图1，公园内有两条道路，相交于，且，，，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接、， 【初步探究】 （1）______（用表示）； （2）图1中阴影部分为草坪，请用含、的式子表示阴影部分的面积（结果要求化简） （3）当为何值时，草坪的面积不会随运动时间的变化而变化； 【拓展提升】 （4）如图2，已知草坪、两区初始面积分别是和（为正整数），若点每运动1秒，表示草坪区面积的代数式结果就会自动减去2，同时表示草坪区面积的整个代数式结果会自动乘以2，当，试比较草坪区、区面积哪个大？ 变式训练3（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）为了进行农业试验，某村开辟了四块试验田．如图所示，试验田可分割成3块长方形的小试验田（图中长度单位：米），试验田的面积比试验田面积的倍还多平方米．   试验田示意图 (1)用含的式子表示试验田的面积为______平方米，试验田的面积为______平方米； (2)已知试验田的面积相等，且都比试验田的面积少平方米． 用含的式子表示出四块试验田的面积之和为多少平方米？ 当四块试验田的面积之和为平方米时，求试验田的面积比试验田的面积多多少平方米？ 类型四、行程问题 典例精讲4（24-25七年级上·广东珠海·期中）已知某轮船在河流中先顺水航行，再逆水航行． (1)若轮船在静水中前进的速度是，水流的速度是，则轮船在顺流时的速度是_______，轮船在逆流时的速度是_______． (2)若轮船在静水中前进的速度是，水流的速度是，则轮船共航行多少千米（列代数式表示）？ 题型归纳 1.特征：涉及路程、速度、时间的关系，或相遇、追及等情境，要求列代数式。 2.方法：抓住 "路程 = 速度 × 时间" 基本关系→设未知量→分行程阶段或对象列式→化简或利用等量关系求解 3.易错提醒：单位须统一（如千米 / 时与小时对应）；相遇问题两车路程和为全程，追及问题路程差为初始距离 变式训练1（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）科技改变生活．小王是一名摄影爱好者，他最近新买入了一台无人机进行航拍，小王将无人机放在距离地面米的台面上，以a米/秒的速度匀速上升秒后进行拍照，然后以米秒的速度匀速下降秒后进行第二次拍照． (1)用含的式子表示无人机第二次拍照时距地面的高度； (2)当时，求无人机完成第二次拍摄后，仍以米秒的速度匀速落回台面所用的时间． 变式训练2（24-25七年级上·江苏南京·期中）小红从A地匀速骑自行车至B地，到达B地后，立即沿原路线以原速返回A地．爷爷在小红出发后，从B地出发，匀速骑自行车至A地．已知爷爷每小时骑行，小红骑车的速度是爷爷骑车速度的1.5倍．设爷爷骑行的时间为． (1)根据题意，填写下列表格： 骑车速度 骑行时间 骑行路程 爷爷 12 x _______ 小红 _______ _______ _______ (2)已知A、B两地相距． ①当小红到达B地时，求爷爷与A地的距离（用含a的代数式表示，结果需化简）． ②爷爷和小红谁先到达A地？请说明理由． 变式训练3（23-24七年级上·全国·课堂例题）甲、乙两船从同一港口同时出发（在一条直线上行驶），甲船在静水中的速度是，乙船在静水中的速度是，水流速度是． (1)若甲船顺水，乙船逆水，则后两船相距多远？ (2)若甲、乙两船都顺水，则后两船相距多远？ (3)若甲船顺水，乙船逆水，则后甲船比乙船多航行多少千米？ 类型五、数字问题 典例精讲5（25-26七年级上·河北邢台·期末）一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如234，因为 所以 234是半和数． (1)已知一个三位数是“半和数”． ①若它的百位数字是5，个位数字是1，则这个数是________； ②若它的百位数字为a（a为不等于0的偶数），个位数字为0，则十位数字为________，这个数为________（用含a的代数式表示，结果要化简）； (2)小明发现：任意一个半和数都能被3整除．设任意一个“半和数”的百位数字为a（a≠0），个位数字为b，请你说明小明的这个发现正确． 题型归纳 1.特征：涉及数位、连续数、两位数 / 三位数的表示，要求列代数式或求值 2.方法：按数位意义列式（如两位数 = 10a+b）→用字母表示数字→按题意（和、差、积、倍数）列式→化简求解 3.易错提醒：多位数的字母式必须带位权（10、100 倍），不能把数位字母直接相乘；连续数与奇偶数相差规律须分清 变式训练1（25-26七年级上·山东青岛·期末）我们来玩一个神奇的数字游戏!按照下列步骤一步步操作，你能得到一个神奇的数字1089! 操作步骤： 第①步：任意写一个三位数（个位不能为0），百位数字比个位数字大2； 第②步：交换百位数字与个位数字，得到一个三位数； 第③步：用上述的较大的三位数减去较小的三位数，所得的差为三位数； 第④步：交换这个差的百位数字与个位数字又得到一个三位数； 第⑤步：把③④中的两个三位数相加，得到最后结果． 问题： (1)第③步中得到的三位数是 ；第④步中得到的三位数是 ； (2)再换几个数试试看，发现得到的最后结果都是1089．看来这个结果具有普遍意义．我们尝试用字母说明这个神奇的现象，请你补全说明过程． 说明：设这个三位数的百位数字为a、十位数字为b，个位是c，并且． 则这个三位数可以表示为： ， 交换百位数字与个位数字后得到的三位数可以表示为： ， 用较大的三位数减去较小的三位数所得的差为： ．（请你继续完成剩下的说明） 变式训练2（25-26七年级上·福建宁德·期中）（1）任意写一个两位数，个位数字是，十位数字是．交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新的两位数，请用含的代数式表示，并说明能否被11整除； （2）任意写一个三位数，个位数字是，十位数字是，百位数字是．交换百位数字和个位数字的位置，得到一个新的三位数，请用含的代数式表示，并说明能否被99整除． 变式训练3（25-26七年级上·四川眉山·期末）已知一个三位数，百位上数字比十位数字大1，十位数字比个位数字大3． (1)若这个三位数的百位上数字为，请用的代数式表示这个三位数； (2)若将这个三位数的百位上数字与个位数字对调，求所得新数比原数小多少？ (3)若这个三位数是5的倍数，求这个三位数． 类型六、整除问题 典例精讲6（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）在数学活动课中，同学们学习了自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．并且同学们完成了两位数被3整除规律的证明，过程如下：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为和，通常记为．则．因为能被3整除，如果能被3整除，那么也能被3整除，于是能被3整除，即能被3整除．请你通过阅读以上材料后，解决下列问题： (1)写出一个能被3整除的三位数 ． (2)仿照上述证明过程，完成三位数被3整除规律的证明； (3)若四位数能被3整除，请说明也能被3整除． 题型归纳 1.特征：代数式的值能被某数整除，或结果恒为某数 / 某式的倍数，求参数或验证 2.方法：化简代数式→提取公因数或分解因式→根据整除条件令其等于整数 / 整式→列方程或说明理由 3.易错提醒：整除须对字母任意取值均成立，不能仅代入特殊值验证；提取公因数后注意剩余部分是否为整数倍 变式训练1（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）综合与探究 【问题情境】一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除． 比如：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【类比探究】已知三位数． （1）“若能被3整除，则三位数就能被3整除”，请你说出其中的道理； 【类比拓展】判断一个三位整数能否被7整除，只需看去掉这个数的末位数字后，所得到的数与此末尾数字5倍的和能否被7整除，如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除． 比如：三位数去掉末位数字得两位数，再用加上的5倍所得的和为．若是7的倍数，则能被7整除． （2）请你说明：“若是7的倍数，则能被7整除”这个结论的道理． 变式训练2（25-26七年级上·贵州遵义·期末）数学活动 活动主题 判断一个正整数能否被7整除 探究内容 利用整式的加减运算和数据规律类探索整除问题 探究过程 小乐同学探究一个正整数被7整除的规律，她先列举一些数，如28，364，1576，…等，她发现了如下特征： 28能被7整除，则有； 364能被7整除，则有； …… 1576不能被7整除，则有，145不能被7整除； 继续探究 （1）根据题目中的信息，仿照上述判断过程，判断3738能否被7整除（请写出详细过程）； 经验回顾 在课本页的活动2中，我们论证自然数被3整除的规律．以三位数为例： 若能被3整除，则这个数可以被3整除．理由如下： ． 显然能被3整除，因为也能被3整除，则就能被3整除． 规律发现 （2）设是一个三位数，若满足______能被7整除．并说明这个三位数能被7整除的理由． 拓展提升 （3）当自然数能被7整除时，直接写出x的值． 变式训练3（25-26七年级上·河南郑州·期末）字母表示数将具体的数字抽象为符号，实现了从特殊到一般的飞跃，让数学得以描述普遍规律．小学阶段我们已经了解能被整除的数的规律，现在我们用字母进行一般化地推理． 【验证规律】 不妨以三位数为例，设是一个三位数，若可以被整除，则这个数可以被整除．推理过程如下： ，显然能被整除，因此，如果可以被整除，那么就能被整除． 【类比迁移】 若是一个三位数，那么三个数位上的数字，，满足什么条件时，能被整除，并说明理由． 【拓展应用】 若是一个三位数，当能被整除时，三个数位上的数字，，、满足的条件可以是________（填序号） ①能被整除  ②能被整除  ③能被整除 类型七、日历问题 典例精讲7（26-27七年级·全国·小升初衔接）观察下面日历图，思考下列问题： (1)日历图中的数有什么规律？ (2)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ (4)你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？请用代数式表示． 题型归纳 1.特征：结合日历表，研究横、竖、斜相邻日期的数量关系，要求列代数式或求值 2.方法：以某日为基准设为 x→横邻日差 1、竖邻日差 7→用 x 表示其他日期→按题意列式化简求值 3.易错提醒：横排相邻差 1、竖排相邻差 7 是日历的核心规律，勿写反；跨月情形须注意日期合法性 变式训练1（26-27七年级·全国·小升初衔接）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 变式训练2（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）如图1是某年7月的日历，用一平行四边形框在表中任意框住4个数． (1)若框住4个数的和为74，求出框住4个数中最大数； (2)能否用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数，它们的和等于94？若能，则求框出的最小数，若不能，说明理由． (3)如图2，用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数为a、b、c、d，平行四边形在不同的位置时，代数式的值是否发生变化，若变化说明变化规律，若不变化求出该值． 变式训练3（24-25七年级上·北京·期中）观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． (1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； (2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； (3)在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 类型八、幻方问题 典例精讲8（25-26七年级上·全国·期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，相传大禹治水时，有只神龟从洛水中跳出来，背上负有洛书，洛书便是最早的幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其对角线、横行、纵列的数字之和均相等，这个和叫作幻和．如图1是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为． (1)①如图2，设该三阶幻方中间的数字是x(其中x为正整数)，请用含x的代数式将图中的幻方填充完整； ②如图3也是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，求x的值． (2)如图4，这是一个类似于幻方的“幻圆”，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数． ①求“幻圆”的幻和； ②求的值． 题型归纳 1.特征：给定幻方（每行、每列、每条对角线和相等），缺若干数，要求填数或列代数式 2.方法：找出幻方中已知和相等的行 / 列 / 对角线→利用和相等建立含字母的等式→解方程（组）求未知数或参数 3.易错提醒：建立等式时须确保行、列、对角线三个方向的和都相等；字母代数式参与运算时注意合并同类项 变式训练1（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）【规律探究】“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个“三阶”幻方（图）． 【观察发现】图 “三阶”幻方的每行，每列，每条对角线上数字之和都等于，中间的数为，若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发现“幻方和”是“中心数”的倍． 【猜想验证】猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的倍． 说明理由：如图，将“三阶”幻方中的个数字分别用字母、、、、、、、、表示，其中“中心数”为，将“幻方和”用字母表示． 由题意可知：： 又因为； 即； 所以，所以，即“幻方和”是“中心数”的倍． 【解决问题】利用上述结论解决问题： (1)如图，已知，，幻方的“中心数”，则的值为________； (2)如图，、、、、、是含有字母的整式，，． ①若幻方的“中心数”，求整式（用含的式子表示）： ②若幻方的“中心数”，，且、均为常数，求、的值． 变式训练2（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍． (1)如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为______ (2)如图2所示，则幻和_______； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，则的值为_______ 变式训练3（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图1即洛书，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个“三阶”幻方（图2）．    【观察发现】 图2“三阶”幻方的每行，每列，每条对角线上数字之和都等于15，中间的数为5，若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发现“幻方和”是“中心数”的3倍． 【猜想验证】 猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的3倍． 说明理由：如图3，将“三阶”幻方中的9个数字分别用字母a、b、c、d、e、f、g、m、n表示，其中“中心数”为e，将“幻方和”用字母s表示． 由题意可知：； 又因为； 即； 所以，所以，即“幻方和”是“中心数”的3倍． 【解决问题】 利用上述结论解决问题： (1)如图3，已知，，幻方的“中心数”，则n的值为 ； (2)如图4，A、B、C、D、E、F是含有字母t的整式，，． ①若幻方的“中心数”，求整式F和整式A（用含t的式子表示）； ②若幻方的“中心数”，，且a、m均为常数，求a、m的值． 类型九、方案选择问题 典例精讲9（25-26七年级上·全国·期末）某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种： 方案一：A商品每件进价80元，售价100元；B商品每件进价50元，售价60元． 方案二：所购商品一律按进价加价销售． (1)某单位购买A商品20件，B商品30件，选择哪种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多5件，该单位选择哪种方案更合算？ 题型归纳 1.特征：给出两种或多种消费 / 购买方案，要求列出各方案代数式并比较作出选择 2.方法：分别用含字母的代数式表示各方案所需费用→作差或代入具体值比较大小→结合情境确定最优方案 3.易错提醒：方案比较常用作差法判断优劣；选择结果须结合题目给定的取值范围，不可脱离情境下结论 变式训练1（25-26七年级上·全国·期末）某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下： 方案一： A商品每件进价80元，售价100元；B商品每件进价100元，售价130元 方案二： 所购商品一律按进价加价销售 (1)某单位购买A商品20件，B商品10件，选择哪种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品件（为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多5件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 变式训练2（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价300元，领带每条定价40元，厂家在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的九折付款，现有一客户在促销活动期间要到该服装厂购买西装20套，领带条． (1)用含x的代数式分别表示选择两种方案所需的总费用； (2)当时，该客户选择哪种方案购买较为合算？ 变式训练3（25-26六年级上·山东泰安·期末）在“生命，幸“盔”有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高．某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了两家批发商，他们之间的对话如表： 店经理：你好！请问安全头盔和手套的批发价分别是多少元？ 批发商甲： 你好！头盔100元/个，手套30元/副， 优惠方案：整体打九折； 批发商乙： 你好！头盔100元/个，手套30元/副， 优惠方案：原价购买两个头盔赠送一副手套． (1)电动自行车店计划购买30个安全头盔和副手套， 若选择批发商甲购买，需要花费多少元．（用含的代数式表示）； 若选择批发商乙购买，需要花费多少元．（用含的代数式表示）； (2)当时，选择哪家批发商购买更省钱？ (3)在（2）的条件下，请帮店经理设计一种更为省钱的购买方案，并求出需要花费多少元． 类型十、分段计费问题 典例精讲10（25-26七年级上·浙江金华·期末）【提出问题】 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”．根据以下素材，探索小明家水费与用水量情况． 下表是“阶梯收费”标准，其中水费=自来水费+污水处理费，每月水费以整数立方米水量计费． 收费标准 年用水量 水费（元） 自来水费（元） 污水处理费（元） 第一阶梯 不超过 2.6 1.65 0.95 第二阶梯 超过但不超过的部分 3.95 3.0 第三阶梯 超过的部分 7.8 6.85 【理解问题】 若1月至11月累计用水量为，12月用水量为，则12月水费为（元）． 【解决问题】 任务1：已知2025年11月用水量在第一阶梯，且水费为65元，求11月污水处理费多少元? 任务2：2025年12月用水量，若第一阶梯用水量比第二阶梯少，用的代数式表示12月水费． 任务3：2025年12月水费70.9元，用水量，求小明家2025年全年水费多少元? 题型归纳 1.特征：收费随使用量分区间变化（如阶梯水价、电费、出租车费），要求列代数式或计算费用 2.方法：明确分段节点与各段单价→判断使用量落在哪个区间→分段列式求和（超量部分单独按超量计费）→化简计算 3.易错提醒：分段计费须先判断所在区间，再按各段分别计算，不能全程按统一单价；边界值（恰好等于分段节点）的处理须与题意一致 变式训练1（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、⋯⋯”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择： 计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各挡电费的总和； 计费方式二：“分档＋分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和． 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230且不超过420 第三档 超过420 表1 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（） （每度电在各挡电价基础上加价元） 谷时段（次日） （每度电在各挡电价基础上降低元） 表2 (1)若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为330度，求1月份应缴电费； (2)设小阳同学家某月的用电量为x度，，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费； (3)小阳同学家在2025年某月的电费为元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段的用电量是谷时段的几倍？ 变式训练2（25-26七年级上·江苏泰州·期中）小明家最近购买了一台电动汽车，为方便给电动汽车充电，小明家安装了家庭充电桩．根据国家有关政策，该充电桩给电动汽车充电时，实行“峰谷电”计价的方式：峰时电费单价为元/度；谷时电费单价为元/度． (1)已知小明家所购买的这台电动汽车平均电耗为12度/百公里，在不考虑其他因素的情况下，这台电动汽车平均行驶300公里，至少需要电费______________元； (2)若该充电桩在七月份充电总量为210度，峰时充电量为x度，求该充电桩在七月份的电费（用含x的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，若小明家在七月份使用该充电桩所花电费为95.8元，则七月份该充电桩峰时充电多少度？谷时充电多少度？ 变式训练3（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某人去龙园水果批发市场采购芒果，他看中了、两家芒果． 这两家芒果品质一样，零售价都为8元/千克，批发价各不相同． 家规定：批发数量不超过1000千克，按零售价的优惠；批发数量超过1000千克按零售价的优惠；超过2000千克的按零售价的优惠． 家的规定如下表： 数量范围（千克） 500以上～1500 1500以上～2500 2500以上 价格（元） 零售价的 零售价的 零售价的 零售价的 【表格说明：批发价格分段计算，如：某人批发苹果2100千克，则总费用 (1)如果他批发800千克芒果，则他在家批发需要多少元，在家批发需要多少元； (2)如果他批发千克芒果，他在A家批发需要多少元，在B家批发需要多少元（用含的整式表示）； (3)现在他要批发2200千克芒果，请你通过计算帮助他选择在哪家批发更优惠． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明，例如：一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． 【探究】设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 证明：∵可以被3整除 ∴(k是整数) ∴ ∴ ∵a、b是整数 ∴商是整数 ∴能被3整除 因此，如果能被3整除，那么就能被3整除． 【实践】设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 【应用】若四位数能被9整除，则它的最后一位数字m是______． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)后甲，乙两船相距多远？ (2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 3．（21-22七年级上·福建泉州·期末）图1是2022年1月份的日历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为、、、． (1)直接填空：；（填“＞”、“＜”或“=”） (2)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由． 4．（21-22七年级上·广东深圳·期中）深圳市云端学校有一块长方形花园，长12米、宽10米．花园中间欲铺设纵横两条小路（图1中空白部分），横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，设纵向道路的宽是x米． （1）填空：在图1中，横向道路的宽是 　 　米（用含x的代数式表示）； （2）试求图1中花园道路的面积； （3）若把纵向道路的宽改为原来的2倍、横向道路的宽改为原来的，如图2所示．设图1与图2中花园的面积（阴影部分）分别为S1、S2，用含x的代数式分别表示出S1、S2，并比较S1与S2的大小． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 6．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）根据以下素材，探索未完成的任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4元/吨，其中自来水为3元/吨，污水处理费为1元/吨． 第二阶梯（14吨<用水量吨）：水费为6元/吨，其中自来水为5元/吨，污水处理费为1元/吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10元/吨，污水处理费为1元/吨． 素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处 理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为67元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2023年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费210元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 7．（24-25七年级上·福建厦门·期末）某化工厂每天产生超过100吨的工业废水，为使排放的工业废水达到国家的排放标准，建设了一座工业废水处理站．该处理站无论是否处理废水，都需要支付设备维护费用200元/天，且处理废水还需其他费用5元/吨．随着生产规模的扩大，该废水处理站已无法完成当天工业废水的处理任务，需要将一部分废水交给第三方企业处理，该企业处理工业废水的价格如表二所示． 表二 收费方式 废水处理量/吨 费用 第一阶梯 0～50 500元 第二阶梯 50～100的部分 5元/吨 第三阶梯 100以上的部分 4元/吨 (1)设某天有m吨废水在处理站处理，直接写出处理站处理废水产生的总费用； (2)若某天该工厂将一半的废水由处理站处理，另一半废水由第三方企业处理，该废水处理站处理废水产生的总费用与第三方企业处理废水产生的费用相同，求这一天该工厂产生的废水总量； (3)经测算，扩大生产规模后，每天产生的废水量超过该处理站日废水处理量至少50吨，为实现降本增效，工厂设计了两种废水处理方案：方案A：超出该处理站的日废水处理量的废水交给第三方企业处理；方案B：保留处理站的设备，但废水全部交给第三方企业处理．根据以上信息，请帮助工厂选择最优方案，并说明理由． 8．（24-25七年级上·全国·期中）按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案： A方案：买一个篮球送一条跳绳； B方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球50个，跳绳x条（）． (1)若按A方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示），若按B方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 9．（21-22七年级上·浙江台州·期中）把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2021排在第 行第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m，n都是正整数）为w，请用含m，n的代数式表示； ②此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； 10．（2025七年级上·湖北·专题练习）现有一种新型网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/公里 元/分钟 元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程公里以内（含公里）不收远途费，超过公里的，超出部分每公里加收1元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 11．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）某超市在双十一期间对顾客实行优惠政策，规定如下表： 一次性购物 优惠办法 低于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 全部9折优惠 不低于500元 其中500元的部分给予9折优惠， 超出500元的部分给予8折优惠 (1)若小惠一次购物原价300元，她实际付款______元；若一次购物原价600元，她实际付款______元； (2)若小惠在该超市一次购物x元．当x大于或等于500元时，她实际付款______元（用含x的代数式表示并化简）； (3)如果小惠两次购物合计850元（原价），第一次购物的原价为a元（），用含a的代数式表示两次购物实际付款一共多少元？当元时，小惠两次购物一共节省了多少元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $