第二章一元二次函数、方程与不等式单元测试卷-2026-2027学年高一上学期数学湘教版必修第一册

**基本信息** 湘教版高中数学必修第一册第二章单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，全面覆盖一元二次函数、方程与不等式核心知识，注重数学思维的推理与数学语言的表达，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|不等式性质（题1）、基本不等式求最值（题2、8）、解集与充要条件（题3、5）|基础概念辨析，突出数学眼光的抽象能力| |多选|3/18|基本不等式应用（题9）、二次函数图像与性质（题10）|多维度考查，培养批判性思维| |填空|3/15|最值计算（题12）、方程根与参数（题13）|简洁设问，强化运算能力| |解答|5/77|不等式证明（题15）、方程根综合（题16）、函数不等式（题17-19）|分层设问（如15题两问），注重逻辑推理与模型应用，贴合高考命题趋势|

湘教版高中数学必修第一册 第二章《一元二次函数、方程与不等式》单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 3．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 5．“”是“”成立的（    ）条件． A．充分不必要 B．既不充分也不必要 C．充要 D．必要不充分 6．已知命题：关于的方程有两个不相等的实根，若为真命题，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知命题：，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 10．如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 11．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，且，则的最大值为________． 13．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 14．已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，都是正实数，解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值． 16．（15分）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 17．（15分）已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 18．（17分）（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 19．（17分）已知集合. (1)当时，.若“”是“”的充分不必要条件，求的范围； (2)若集合，且中恰好只有1个元素，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学必修第一册 第二章《一元二次函数、方程与不等式》单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，， 对于A：，即，故A正确； 对于B：，即，故B错误； 对于C：，已知，当时，，此时，故C错误； 对于D：，已知，当时，，此时，故D错误． 2．的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【答案】B 【详解】，当且仅当，即时取等. 3．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式解法求解即可. 【详解】不等式可化为，通分整理得，解得，所以解集为. 故选：A. 4．若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【答案】D 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为，所以，即， 所以，即，故ABC错误，D正确. 5．“”是“”成立的（    ）条件． A．充分不必要 B．既不充分也不必要 C．充要 D．必要不充分 【答案】D 【分析】先求解分式不等式得到对应解集，再根据充分条件、必要条件的定义判断两者的逻辑关系即可. 【详解】对于，不等式等价于 ，解得或. 充分性：由“”不能推出“”（例如当时，前者成立，后者不成立）， 故“”不是“”的充分条件. 必要性：由“”可以推出“”，故“”是“”的必要条件. 因此“”是“”成立的必要不充分条件. 6．已知命题：关于的方程有两个不相等的实根，若为真命题，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若为真命题，则命题为假命题，所以关于的方程没有两个不相等的实根， 即：有两个相等的实根或者没有实根，则，解得：，所以的取值范围是. 7．已知命题：，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，将不等式化为，利用基本不等式求的最小值即可求出答案． 【详解】根据题意可得，因为，则， 利用基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以，故选：C. 8．若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 【答案】C 【分析】设直角三角的两条直角边分别为，进而得，再根据基本不等式即可得的最小值. 【详解】设直角三角的两条直角边分别为， 因为直角三角形的面积为32，所以，即， 所以，当且仅当时等号成立，所以两条直角边的和的最小值是.故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】AC 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，对平方后利用基本不等式判断；对于C，由，再结合基本不等式分析判断；对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 10．如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由图象知，，对称轴为，由对称轴公式得， 解得，抛物线与轴交于轴正半轴，则时，，则，故A错误； 由可得，故B正确； 抛物线与轴有2个不同交点，故一元二次方程有两个不等实根， 则，故C正确； 当时，，即是时的函数值， 由图象可知，时，，且，故，故D正确． 11．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，且，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且，可得，且， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 13．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 【答案】0 【详解】∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式，解得， 由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴， 整理得：，因式分解得：，解得，， ∵， ∴舍去，故． 14．已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 【答案】 【分析】先由基本不等式“1”的妙用求出，进而得到不等式，求出答案 【详解】，且，故， 当且仅当，即，时成立，要使原式恒成立只需， ，解得 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，都是正实数，解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）将化为，利用基本不等式即可求得答案； （2）利用，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案． 【详解】（1）由题意，知，所以， （当且仅当 ，即取等号），故的最小值为5. （2）因为都是正实数，，所以 ，当且仅当 ，即时取等号，故的最小值为18； 16．（15分）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 【答案】(1)当时，方程为，有实数根； 当时，方程为一元二次方程，， 此时方程有解．综上，不论m取何值，方程都有实数根． (2)或 【分析】（1）先讨论m是否为0，再利用一元二次方程根的判别式判断即可. （2）因式分解求解二次方程，再判断根为整数的情况即可． 【详解】（1）略 （2）方程有两个整数根，则且为整数，化简有， 解得，则为整数，所以或. 17．（15分）已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】（1）的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与 轴最多有一个交点，即：，，即， 解得，综合，可得，即. （2）， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 18．（17分）（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）将不等式左边配方，转化为 ，即得答案； （2）利用一元二次不等式的解以及韦达定理，可得到 且 ，代入到中，利用一元二次不等式的解法可得答案. 【详解】（1）原不等式可化为：，故该不等式的解集为； （2）不等式的解集为 ， 这说明抛物线开口向下， 同时，和是方程的两个实数根， 利用韦达定理得：，所以 且 ， 代入要求解的不等式中，得：， 因为，所以，解得：或， 故不等式的解集为 . 19．（17分）已知集合. (1)当时，.若“”是“”的充分不必要条件，求的范围； (2)若集合，且中恰好只有1个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出时的集合，再根据是的真子集，分为空集和非空集讨论，得到的范围； （2）将“ 恰有个元素”拆为两种互斥情况，列不等式组求解，得到的范围. 【详解】（1）时，{或}， 若“”是“”的充分不必要条件，则是A的真子集， 所以若，显然符合题意，此时，即； 若，要符合题意需，此时该不等式组无解，舍去； 或，此时；综上； （2）若， 要符合题意需，此时该不等式组无解，舍去； 若，要符合题意需，此时；综上：. 学科网（北京）股份有限公司 $