多边形的面积（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

该小学数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了多边形面积的知识体系，从图形的底与高、面积公式推导到等底等高规律、组合图形计算等要点，按“基础概念-公式推导-应用拓展”的逻辑递进，并用核心口诀和考点清单归纳重难点及内在联系。 讲义亮点在于“分层递进”的练习设计，如例题中组合图形分割与添补法应用、真题里图形拉伸后面积变化分析，培养几何直观和推理意识。易错指引针对性解决公式漏除2、底高不对应等问题，基础学生可掌握公式应用，优秀学生能提升综合解题能力，为教师实施精准复习提供系统支持。

单元复习讲义：专题06 多边形的面积（知识梳理 例题讲解 提升练习） 知识精讲 一、单元学习概述 《多边形的面积》是人教版五年级上册几何核心重点单元，承接长方形、正方形面积计算，首次系统学习平行四边形、三角形、梯形的面积推导与计算，同时涵盖组合图形、不规则图形面积估算。本单元核心思想为转化思想，通过割补、拼接将未知图形转化为已知图形求解，公式多、变式多、易混点集中，是小学几何计算高频考点，为六年级圆、圆柱圆锥面积体积学习奠定基础。 二、图形的底与高（基础前提） 1. 平行四边形的高 从平行四边形一条边上任意一点向对边作垂线，这点与垂足之间的线段就是高，对边为对应的底。平行四边形有无数条高，两组底对应两组不同的高。 2. 三角形的高 从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段是这条底对应的高。三角形有三条高，锐角三角形高在内部、直角三角形两条直角边互为底和高、钝角三角形两条高在外部。 3. 梯形的高 梯形两底之间的垂线段叫做梯形的高，梯形有无数条相等的高，高垂直于上底和下底。 三、三大多边形面积推导与公式（必背核心） 1. 平行四边形的面积 推导方法：割补平移法，把平行四边形沿高剪开，平移拼接成长方形。长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。 面积公式：平行四边形面积 = 底 × 高 字母公式： 逆向公式：底 = 面积 ÷ 高 、高 = 面积 ÷ 底 2. 三角形的面积 推导方法：两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。三角形面积是拼成平行四边形面积的一半。 面积公式：三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 字母公式： 逆向公式：底 = 面积 × 2 ÷ 高 、高 = 面积 × 2 ÷ 底 3. 梯形的面积 推导方法：两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，高等于梯形的高。 面积公式：梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2 字母公式： 逆向公式：高 = 面积 × 2 ÷（上底 + 下底）、上底、下底可对应推导求解 四、等底等高图形面积规律（必考判断、选择题） 1. 等底等高的平行四边形，面积一定相等，形状可以不同； 2. 等底等高的三角形，面积一定相等，形状可以不同； 3. 三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半； 4. 面积相等、底相等时，三角形的高是平行四边形高的2倍； 5. 面积相等、高相等时，三角形的底是平行四边形底的2倍。 五、组合图形的面积（重难点应用题） 1. 核心解题思路 通过分割法、添补法，把复杂组合图形转化为长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等基本图形求解。 2. 两种常用方法 分割法：将组合图形拆分成若干个基本图形，分别算面积，最后相加求和； 添补法：给不规则图形补全规则图形，用整体大面积减去补充部分小面积。 六、不规则图形面积估算 方格纸估算规则：满格按1格计算，不满一格按半格计算，总格子数即为近似面积。适用于树叶、云朵、不规则曲面图形估算。 七、图形变化规律（拉伸、割补） 1. 平行四边形拉伸变形：周长不变，内角、高、面积发生改变；拉成长方形时面积最大； 2. 图形割补平移：形状改变，面积不变，周长可能改变； 3. 图形拼接重合：重合部分不计入总面积，需要减去重叠面积。 易错指引 八、单元高频易错点（扣分重灾区） 1. 三角形、梯形面积计算忘记÷2，是最常见公式错误； 2. 求三角形、梯形的底和高时，忘记先用面积×2，逆向公式套用错误； 3. 底和高不对应，随意搭配数值计算，导致面积全部错误； 4. 混淆“等底等高”概念，乱用一半面积规律； 5. 单位不统一，不提前换算单位直接计算； 6. 组合图形分割混乱、重复计算、遗漏部分图形； 7. 误认为周长变化面积一定变化、形状不同面积一定不同； 8. 不规则图形数格子时，满格、半格统计混乱。 九、单元必背核心口诀 平行四边底乘高，割补转化长方牢； 三角梯形都除二，两图拼接平行超； 等底等高面积定，三角面积一半要； 组合图形拆补算，底高对应错不了； 拉伸周变面积改，单位统一最重要。 十、单元核心考点清单 1. 认识三类多边形的底和高，熟练规范画出任意底对应的高； 2. 理解平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导转化过程； 3. 熟记正向、逆向面积公式，熟练计算基础图形面积； 4. 掌握等底等高图形的面积关系，快速判断图形面积大小； 5. 熟练运用分割法、添补法求解组合图形面积； 6. 掌握方格纸不规则图形面积估算方法； 7. 掌握图形拉伸、割补、拼接后的周长与面积变化规律； 8. 规避公式、对应量、单位换算易错点，解决生活实际面积问题。 例题讲解 【例题1】 下边三个图形面积相等。平行四边形的底是5，则三角形的底是( )，若梯形下底是a，则梯形上底是( )。 【答案】 10 【分析】平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，已知高相等，面积相等，由此进行判断。 【详解】平行四边形的底＝面积÷高＝5， 三角形的底＝面积÷高×2，所以三角形的底＝5×2＝10； 梯形上底＝面积÷高×2－下底，所以梯形上底＝5×2－a＝10－a。 【例题2】 如下图的△ABC中，如果以AB为底，它的高是_______；AE是△ABC的_______边上的高。 【答案】 CD BC 【分析】从三角形一个顶点到对边作垂线段，顶点到垂足之间的距离就是这条底边上的高。 【详解】在题目图片中的△ABC中，如果以AB为底，它的高是CD；AE是△ABC的BC边上的高。 【例题3】 房产开发商计划在2.2公顷的土地上建造商品房。若每幢楼房的地面占地的长是40米，宽是15米，楼房之间的间隔面积是120平方米。在这块土地上最多可以建造多少幢这样的楼房？ 【答案】30幢 【分析】先根据1公顷＝10000平方米，把公顷单位转换为平方米，求出土地的总面积，再用楼房的长乘宽，求出一幢楼房自身的占地面积，接着用一幢楼房的占地面积加上楼房间隔面积，求出建造一幢楼房一共需要的土地面积，最后用土地的总面积除以建造一幢楼房需要的土地面积，求出楼房数量，因为剩余土地不够再建一幢楼房，所以用去尾法舍去余数，得到最多可以建造的幢数。 【详解】2.2公顷＝22000平方米 40×15＝600（平方米） 600＋120＝720（平方米） 22000÷720≈30（幢） 答：在这块土地上最多可以建造30幢这样的楼房。 【例题4】 一块长15米，宽10米的草地外面围一条宽1.5米的小路，求小路的面积是多少平方米？ 【答案】84平方米 【分析】根据题意，小路围在草地外面，说明草地和小路共同组成了一个更大的长方形。求小路的面积，可以用大长方形的面积减去中间草地的面积。关键在于确定大长方形的长和宽，因为小路在草地四周，所以大长方形的长和宽分别比草地的长和宽多了2个小路的宽度。 【详解】大长方形的长： 15＋1.5×2 ＝15＋3 ＝18（米） 大长方形的宽： 10＋1.5×2 ＝10＋3 ＝13（米） 草地面积：15×10＝150（平方米） 小路的面积： 18×13－150 ＝234－150 ＝84（平方米） 答：小路的面积是84平方米。 真题拔高 一、填空题 1．如图，在三角形ABC中，D、E为BC的三等分点，F为AB的中点，若三角形DEF的面积是12平方厘米，则三角形ABC的面积是( )平方厘米。 【答案】72 【分析】D、E为BC的三等分点，F为AB的中点，连接F、C，可以把三角形ABC划分成四个小三角形，等底等高的三角形面积相等，把未知小三角形的面积转化为已知三角形的面积进行求解。 【详解】 如图连接FC，D、E为BC的三等分点，所以BD＝DE＝EC， ＝12平方厘米 （平方厘米） F为AB的中点， （平方厘米） （平方厘米） 2．如图所示，一张长方形的纸折叠成一个直角梯形，这个直角梯形的高是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 8 140 【分析】由图可知，梯形复原成长方形后，长方形的长（即梯形的下底）是（15＋5）cm，宽（梯形的高）是8cm，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，把数据代入计算即可。 【详解】15＋5＝20（cm） 这个直角梯形的高是8cm， 面积：（15＋20）×8÷2 ＝35×8÷2 ＝280÷2 ＝140（cm2） 3．一个长方形模型变形后成了一个平行四边形（如图），原来这个长方形的周长是( )厘米，变形后的平行四边形的面积是( )平方厘米。 【答案】 26 32 【分析】求长方形的周长：长方形拉成平行四边形的时候，四条边的长度不会发生改变。从图里能看出，原来长方形的长是8厘米，宽和平行四边形长5厘米的斜边长度相等，也就是5厘米。根据长方形周长公式：长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入计算即可； 求平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高，图里平行四边形的底是8厘米，对应的高是4厘米，代入计算即可 【详解】长方形的周长： （8＋5）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 平行四边形的面积：（平方厘米） 4．如上图，点P为长方形ABCD上的一个动点，它以每秒1厘米的速度从A点出发，沿着A→B→C→D的路径运动，到D点停止，从2秒开始直至8秒，的面积均为6平方厘米，那么长方形ABCD的周长为______厘米。 【答案】16 【分析】从0秒到2秒，点P在AB边上运动，面积不断增加，在AB边上移动2秒，速度是1厘米/秒，可算得AB长度，即长方形的宽，当点P在BC边上运动时，形成的面积始终是长方形面积的一半，保持不变。从2秒开始直至8秒，即点P在BC边上移动了6秒，结合速度可算得BC长度，即长方形的长，最后根据“长方形周长＝（长＋宽）×2”算出周长。 【详解】AB边长：（厘米） BC边长：（秒） （厘米） 长方形周长： （厘米） 5．手工课上，淘气把一个梯形剪拼成一个三角形（如下图），如果梯形的上底是5厘米，下底是7.2厘米，高是6.5厘米，那么剪拼成的三角形的底是( )厘米，高是( )厘米。 【答案】 12.2 6.5 【分析】这种剪拼方法是把梯形右上角的小三角形，绕着右下角的顶点旋转补到梯形下底的延长侧，拼成的新三角形的底刚好是梯形上底和下底的长度之和：5＋7.2＝12.2厘米；剪拼过程没有改变图形的竖直高度，所以新三角形的高和原来梯形的高相等，是6.5厘米。 【详解】5＋7.2＝12.2（厘米） 剪拼成的三角形的底是12.2厘米，高是6.5厘米。 6．两个同样大的正方形，如把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上使它们部分重叠（如图），已知正方形的边长是5厘米，则重叠部分的面积是( )平方厘米。 【答案】6.25 【分析】一个正方形顶点固定在另一个正方形中心，正方形绕中心点旋转的时候，重叠区域只是形状变了，总面积大小不会改变。当它的两条边刚好转到下方正方形水平、竖直的中线： 此时重叠部分正好是一个小正方形，大小刚好就是正方形的。所以无论上方正方形怎样旋转，重叠部分面积永远是正方形面积的。先算出单个正方形总面积，，再除以4就能得到重叠面积。 【详解】5×5＝25（平方厘米） 重叠面积：25÷4＝6.25（平方厘米） 7．如图，直角三角形ABC中，直角边BC对应的高是线段( )。 【答案】AB/BA 【分析】三角形中，底与高是两条相互垂直的线段，据此解答。 【详解】从图中可知，与直角边BC垂直的线段是另一条直角边AB，所以直角边BC对应的高是线段AB。 8．如图1，利用割补法将平行四边形剪拼成长方形，图中三角形发生了______运动；图2利用割补法将梯形剪拼成平行四边形，图中移动位置的梯形发生了______运动。 【答案】 平移 旋转 【分析】平移是物体沿着直线移动，形状方向都不变； 物体绕着一个固定的点或轴做圆周运动叫作旋转。 【详解】如图1，图中三角形发生了平移运动； 如图2，图中移动位置的梯形发生了旋转运动。 二、选择题 9．一个直角三角形的三条边的长分别为、和，这个三角形斜边上的高是（    ）。 A．6 B．4.8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】三角形两边之和大于第三边，6＋8＝14＞10，直角三角形的两条短边是互相垂直的两条直角边，把其中一条当底，另一条就是它对应的高，代入三角形面积＝底×高÷2求出三角形面积，然后根据高＝面积×2÷底求出斜边上的高。 【详解】6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 24×2÷10 ＝48÷10 ＝4.8（cm） 10．如图，在平行线a与b之间有①、②、③三个图形，如果图形①和图形③的面积之和等于图形②的面积，那么平行四边形③的底是（    ）。 A．4cm B．4.5cm C．8cm D．12cm 【答案】A 【分析】平行线a与b之间距离处处相等，因此三角形①、梯形②、平行四边形③的高相等，设高为h。已知图形①和图形③的面积之和等于图形②的面积，先根据三角形面积公式S＝ah÷2求出图形①的面积，根据梯形面积公式S＝（a＋b）h÷2，求出图形②的面积，再用图形②的面积减去图形①的面积，求出图形③的面积，最后利用底＝面积÷高，求出平行四边形③的底。 【详解】解：设三个图形的高为h。 三角形①面积：S①＝4×h÷2＝2h 梯形②面积：S②＝（5＋7）h÷2 ＝12h÷2 ＝6h 图形③的面积： S③＝S②－S① ＝6h－2h ＝4h 图形③的底：4h÷h＝4（cm） 11．数学活动课上，淘气用4个完全一样的直角三角形摆成如图所示的图案，图案的外围与中心部分都正好是一个正方形，如果每个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和5厘米，那么图案中外围正方形的面积是（    ）。 A．24平方厘米 B．30平方厘米 C．32平方厘米 D．34平方厘米 【答案】D 【分析】从图中可以看出四个直角三角形围成一个大正方形，中间有一个小正方形。外围大正方形的面积等于四个直角三角形面积加中间小正方形的面积。直角三角形面积＝两条直角边乘积÷2。中间小正方形的边长等于两条直角边的差，即（5－3）厘米。小正方形面积＝边长×边长。大正方形面积＝四个三角形总面积＋小正方形面积。 【详解】3×5÷2 ＝15÷2 ＝7.5（平方厘米） 7.5×4＝30（平方厘米） 小正方形边长：5－3＝2（厘米）；面积：2×2＝4（平方厘米） 大正方形面积：30＋4＝34（平方厘米） 12．周爷爷把一块长方形菜地分成两部分，分别种萝卜和白菜，已知种萝卜的面积是200平方米，则种白菜的面积是（    ）平方米。 A．400 B．600 C．800 D．1200 【答案】B 【分析】种植萝卜的菜地是一块三角形菜地，已知底为20米，面积是200平方米，根据三角形的面积公式：面积＝底×高÷2，反推出高＝面积×2÷底，求出三角形菜地的高，即为白菜菜地的高，再根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出种白菜的面积。 【详解】200×2÷20 ＝400÷20 ＝20（米） 20＋20＝40（米） （40＋20）×20÷2 ＝60×20÷2 ＝1200÷2 ＝600（平方米） 所以，种白菜的面积是600平方米。 13．如图，以线段AB为底边，画高是5厘米的三角形，能画出（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】D 【分析】明确三角形高的定义，以AB为底边时，高是第三个顶点到AB所在直线的垂线段长度。 因为要求高为5厘米，所以第三个顶点需要在到AB所在直线的距离为5厘米的直线上。 因为到AB所在直线距离为5厘米的直线有两条，分别在AB的两侧，且每条直线上有无数个点，所以可以确定符合条件的三角形的数量。 【详解】以线段AB为底边，画高是5厘米的三角形，能画出无数个。 三、判断题 14．一个三角形的面积是平行四边形面积的一半，它们一定等底等高。( ) 【答案】× 【分析】三角形的面积等于平行四边形面积的一半时，可能存在底和高的不同组合满足乘积关系，因此不一定等底等高。据此解答。 【详解】由三角形面积公式；S＝ah÷2，平行四边形面积公式：S＝ah可知，在等底等高的情况下，平行四边形的面积是三角形面积的2倍。但平行四边形的面积是三角形面积的2倍时，不一定等底等高。因此原题说法错误。 故答案为：× 15．两个三角形的面积相等，它们的底和高也一定分别相等。( ) 【答案】× 【分析】三角形的面积由底和高的乘积决定。若两个三角形面积相等，可能存在底和高不同的情况，结合举例进行判断。 【详解】根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2。若两个三角形面积相等，可能存在不同的底和高的组合。例如，一个三角形的底为4厘米，高为3厘米，面积为4×3÷2＝6平方厘米；另一个三角形的底为6厘米，高为2厘米，面积为6×2÷2＝6平方厘米。此时面积相等，但底和高不相等。因此原题说法错误。 故答案为：× 16．一个梯形的上底和下底都扩大到原来的4倍，高不变，面积也扩大到原来的4倍。( ) 【答案】√ 【分析】根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2以及积的变化规律可知，当梯形的上底和下底都扩大到原来的4倍，高不变时，面积的变化取决于上底和下底之和的变化。 【详解】设原来梯形的上底是a，下底是b，高是h；现在梯形的上底是4a，下底是4b，高是h。 原来梯形的面积是：（a＋b）×h÷2 现在梯形的面积是：（4a＋4b）×h÷2＝4（a＋b）×h÷2 所以，梯形的面积也扩大到原来的4倍。 原题说法正确。 故答案为：√ 17．面积相等的两个图形，形状不一定相同。( ) 【答案】√ 【分析】根据面积的定义，不同形状的图形可能具有相同的面积，根据平行四边形的面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，举例说明即可。 【详解】面积是图形所占平面的大小，形状不同的图形面积可能相等。例如：底4厘米、高3厘米的平行四边形，和底6厘米，高4厘米的三角形，4×3＝12（平方厘米）、6×4÷2＝12（平方厘米），面积都是12平方厘米，但两者形状不同。因此，面积相等的两个图形形状不一定相同，说法正确。 故答案为：√ 18．梯形的上底、下底、高都扩大2倍，面积就扩大8倍。( ) 【答案】× 【分析】梯形面积公式为。当上底、下底、高均扩大2倍时，代入公式计算新面积，并与原面积比较倍数关系。 【详解】设原梯形上底为a，下底为b，高为h，则原面积S₁＝（a＋b）×h÷2。扩大后上底为2a，下底为2b，高为2h，新面积。原面积，故。因此面积扩大4倍，而非8倍。题干说法错误。 故答案为：× 四、计算题 19．计算下面图形的面积（单位：cm）。 【答案】24cm2；24cm2 【分析】三角形面积公式：。第一个三角形直接给出一组对应的底和高，直接代入计算。第二个是直角三角形，两条直角边互为底和高，代入公式计算即可。 【详解】（1）6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） （2）6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 五、解答题 20．一块三角形警示牌，底长9分米，这条底对应的高是4分米，它的面积是多少平方分米？ 【答案】18平方分米 【分析】已知三角形警示牌的底和对应高，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出它的面积。 【详解】9×4÷2 ＝36÷2 ＝18（平方分米） 答：它的面积是18平方分米。 21．把一个长8厘米、宽6厘米的长方形，拉成一个高是7厘米的平行四边形，这时平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【答案】42平方厘米 【分析】把长方形拉成平行四边形时，平行四边形的高一定比对应的斜边短。这里高是7厘米，比原长方形的长8厘米短，比原长方形的宽6厘米长，所以7厘米的高不可能对应8厘米的底，只能对应6厘米的底。根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，把数据代入计算即可。 【详解】8＞7＞6 所以7厘米的高对应6厘米的底。 6×7＝42（平方厘米） 答：平行四边形的面积是42平方厘米。 22．为防止沙漠化的继续扩大，国家通过种植胡杨树进行防护，不断改善沙漠荒凉冷清的面貌。一块长方形的沙漠，长约8千米，宽约5千米，面积约为多少平方千米？合多少公顷？ 【答案】40平方千米；4000公顷 【分析】求长方形沙漠的面积，用长乘宽可得到以平方千米为单位的结果；再根据平方千米和公顷的进率，1平方千米＝100公顷，将单位换算为公顷。 【详解】（平方千米） ，40平方千米＝4000公顷 答：面积约为40平方千米，合4000公顷。 23．下图中ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积。 【答案】49.5平方厘米 【分析】三角形CHG、三角形FHG、三角形FCG是等高的三个三角形，则面积比就是底之比，CH∶CF＝1∶3，则三角形CHG的面积∶三角形FCG的面积＝1∶3，则三角形FCG的面积为18平方厘米。三角形FGH的面积＝三角形FCG面积－三角形CHG的面积。FG是正方形EFCG的对角线，则正方形EFCG的面积＝2×三角形FCG的面积，为36平方厘米，则正方形的边长为6厘米。 三角形AFG和三角形FCG是等底等高，则面积相等为18平方厘米。根据三角形AFH的面积＝三角形AFG的面积－三角形FGH的面积，得出三角形AFH的面积是6平方厘米。 因为CH∶CF＝1∶3，所以FH∶CF＝2∶3，则三角形AFH的面积∶三角形ACF的面积＝2∶3，则三角形ACF的面积为9平方厘米。 再根据三角形的面积＝底×高÷2反推出三角形ACF的高AD为3厘米。则三角形ADF的面积＝底（AD）×高（DF）÷2。 最后五边形ABGEF的面积＝正方形ABCD的面积＋正方形EFCG的面积＋三角形ADF的面积。代入数据计算即可。 【详解】因为CH∶CF＝1∶3，所以 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 36＝6×6，则FC＝6（厘米） （平方厘米） 因为FH∶CF＝2∶3，则 ＝9（平方厘米） 正方形ABCD的边长：9×2÷6 ＝18÷6 ＝3（厘米） 三角形ADF的面积：3×（6－3）÷2 ＝3×3÷2 ＝9÷2 ＝4.5（平方厘米） 3×3＋6×6＋4.5 ＝9＋36＋4.5 ＝49.5（平方厘米） 答：五边形ABGEF的面积49.5平方厘米。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元复习讲义：专题06 多边形的面积（知识梳理 例题讲解 提升练习） 知识精讲 一、单元学习概述 《多边形的面积》是人教版五年级上册几何核心重点单元，承接长方形、正方形面积计算，首次系统学习平行四边形、三角形、梯形的面积推导与计算，同时涵盖组合图形、不规则图形面积估算。本单元核心思想为转化思想，通过割补、拼接将未知图形转化为已知图形求解，公式多、变式多、易混点集中，是小学几何计算高频考点，为六年级圆、圆柱圆锥面积体积学习奠定基础。 二、图形的底与高（基础前提） 1. 平行四边形的高 从平行四边形一条边上任意一点向对边作垂线，这点与垂足之间的线段就是高，对边为对应的底。平行四边形有无数条高，两组底对应两组不同的高。 2. 三角形的高 从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段是这条底对应的高。三角形有三条高，锐角三角形高在内部、直角三角形两条直角边互为底和高、钝角三角形两条高在外部。 3. 梯形的高 梯形两底之间的垂线段叫做梯形的高，梯形有无数条相等的高，高垂直于上底和下底。 三、三大多边形面积推导与公式（必背核心） 1. 平行四边形的面积 推导方法：割补平移法，把平行四边形沿高剪开，平移拼接成长方形。长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。 面积公式：平行四边形面积 = 底 × 高 字母公式： 逆向公式：底 = 面积 ÷ 高 、高 = 面积 ÷ 底 2. 三角形的面积 推导方法：两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。三角形面积是拼成平行四边形面积的一半。 面积公式：三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 字母公式： 逆向公式：底 = 面积 × 2 ÷ 高 、高 = 面积 × 2 ÷ 底 3. 梯形的面积 推导方法：两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，高等于梯形的高。 面积公式：梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2 字母公式： 逆向公式：高 = 面积 × 2 ÷（上底 + 下底）、上底、下底可对应推导求解 四、等底等高图形面积规律（必考判断、选择题） 1. 等底等高的平行四边形，面积一定相等，形状可以不同； 2. 等底等高的三角形，面积一定相等，形状可以不同； 3. 三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半； 4. 面积相等、底相等时，三角形的高是平行四边形高的2倍； 5. 面积相等、高相等时，三角形的底是平行四边形底的2倍。 五、组合图形的面积（重难点应用题） 1. 核心解题思路 通过分割法、添补法，把复杂组合图形转化为长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等基本图形求解。 2. 两种常用方法 分割法：将组合图形拆分成若干个基本图形，分别算面积，最后相加求和； 添补法：给不规则图形补全规则图形，用整体大面积减去补充部分小面积。 六、不规则图形面积估算 方格纸估算规则：满格按1格计算，不满一格按半格计算，总格子数即为近似面积。适用于树叶、云朵、不规则曲面图形估算。 七、图形变化规律（拉伸、割补） 1. 平行四边形拉伸变形：周长不变，内角、高、面积发生改变；拉成长方形时面积最大； 2. 图形割补平移：形状改变，面积不变，周长可能改变； 3. 图形拼接重合：重合部分不计入总面积，需要减去重叠面积。 易错指引 八、单元高频易错点（扣分重灾区） 1. 三角形、梯形面积计算忘记÷2，是最常见公式错误； 2. 求三角形、梯形的底和高时，忘记先用面积×2，逆向公式套用错误； 3. 底和高不对应，随意搭配数值计算，导致面积全部错误； 4. 混淆“等底等高”概念，乱用一半面积规律； 5. 单位不统一，不提前换算单位直接计算； 6. 组合图形分割混乱、重复计算、遗漏部分图形； 7. 误认为周长变化面积一定变化、形状不同面积一定不同； 8. 不规则图形数格子时，满格、半格统计混乱。 九、单元必背核心口诀 平行四边底乘高，割补转化长方牢； 三角梯形都除二，两图拼接平行超； 等底等高面积定，三角面积一半要； 组合图形拆补算，底高对应错不了； 拉伸周变面积改，单位统一最重要。 十、单元核心考点清单 1. 认识三类多边形的底和高，熟练规范画出任意底对应的高； 2. 理解平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导转化过程； 3. 熟记正向、逆向面积公式，熟练计算基础图形面积； 4. 掌握等底等高图形的面积关系，快速判断图形面积大小； 5. 熟练运用分割法、添补法求解组合图形面积； 6. 掌握方格纸不规则图形面积估算方法； 7. 掌握图形拉伸、割补、拼接后的周长与面积变化规律； 8. 规避公式、对应量、单位换算易错点，解决生活实际面积问题。 例题讲解 【例题1】 下边三个图形面积相等。平行四边形的底是5，则三角形的底是( )，若梯形下底是a，则梯形上底是( )。 【例题2】 如下图的△ABC中，如果以AB为底，它的高是_______；AE是△ABC的_______边上的高。 【例题3】 房产开发商计划在2.2公顷的土地上建造商品房。若每幢楼房的地面占地的长是40米，宽是15米，楼房之间的间隔面积是120平方米。在这块土地上最多可以建造多少幢这样的楼房？ 【例题4】 一块长15米，宽10米的草地外面围一条宽1.5米的小路，求小路的面积是多少平方米？ 真题拔高 一、填空题 1．如图，在三角形ABC中，D、E为BC的三等分点，F为AB的中点，若三角形DEF的面积是12平方厘米，则三角形ABC的面积是( )平方厘米。 2．如图所示，一张长方形的纸折叠成一个直角梯形，这个直角梯形的高是( )cm，面积是( )cm2。 3．一个长方形模型变形后成了一个平行四边形（如图），原来这个长方形的周长是( )厘米，变形后的平行四边形的面积是( )平方厘米。 4．如上图，点P为长方形ABCD上的一个动点，它以每秒1厘米的速度从A点出发，沿着A→B→C→D的路径运动，到D点停止，从2秒开始直至8秒，的面积均为6平方厘米，那么长方形ABCD的周长为______厘米。 5．手工课上，淘气把一个梯形剪拼成一个三角形（如下图），如果梯形的上底是5厘米，下底是7.2厘米，高是6.5厘米，那么剪拼成的三角形的底是( )厘米，高是( )厘米。 6．两个同样大的正方形，如把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上使它们部分重叠（如图），已知正方形的边长是5厘米，则重叠部分的面积是( )平方厘米。 7．如图，直角三角形ABC中，直角边BC对应的高是线段( )。 8．如图1，利用割补法将平行四边形剪拼成长方形，图中三角形发生了______运动；图2利用割补法将梯形剪拼成平行四边形，图中移动位置的梯形发生了______运动。 二、选择题 9．一个直角三角形的三条边的长分别为、和，这个三角形斜边上的高是（    ）。 A．6 B．4.8 C．10 D．12 10．如图，在平行线a与b之间有①、②、③三个图形，如果图形①和图形③的面积之和等于图形②的面积，那么平行四边形③的底是（    ）。 A．4cm B．4.5cm C．8cm D．12cm 11．数学活动课上，淘气用4个完全一样的直角三角形摆成如图所示的图案，图案的外围与中心部分都正好是一个正方形，如果每个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和5厘米，那么图案中外围正方形的面积是（    ）。 A．24平方厘米 B．30平方厘米 C．32平方厘米 D．34平方厘米 12．周爷爷把一块长方形菜地分成两部分，分别种萝卜和白菜，已知种萝卜的面积是200平方米，则种白菜的面积是（    ）平方米。 A．400 B．600 C．800 D．1200 13．如图，以线段AB为底边，画高是5厘米的三角形，能画出（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．无数 三、判断题 14．一个三角形的面积是平行四边形面积的一半，它们一定等底等高。( ) 15．两个三角形的面积相等，它们的底和高也一定分别相等。( ) 16．一个梯形的上底和下底都扩大到原来的4倍，高不变，面积也扩大到原来的4倍。( ) 17．面积相等的两个图形，形状不一定相同。( ) 18．梯形的上底、下底、高都扩大2倍，面积就扩大8倍。( ) 四、计算题 19．计算下面图形的面积（单位：cm）。 五、解答题 20．一块三角形警示牌，底长9分米，这条底对应的高是4分米，它的面积是多少平方分米？ 21．把一个长8厘米、宽6厘米的长方形，拉成一个高是7厘米的平行四边形，这时平行四边形的面积是多少平方厘米？ 22．为防止沙漠化的继续扩大，国家通过种植胡杨树进行防护，不断改善沙漠荒凉冷清的面貌。一块长方形的沙漠，长约8千米，宽约5千米，面积约为多少平方千米？合多少公顷？ 23．下图中ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $