陕西榆林市横山区2027届高三9月开学考试数学试卷

高三 数学 参考答案及解析 高三数学 一、选择题 1.B【详解】设z=a+bi(a,beR),则z=a-bi,则2：-三=2a+2bi-(a-bi)=a+3bi, 面1得3=3，根指复数相等的定义，得3，即a3汤=1，所以=31， |日=32+(-1D=0 2.D【详解】A={x-1<x-1<}={x0<x<2},由x=x得x(x+1)(x-1)=0,即x=0或-1或1，所以 B=0,-1,,故A∩B= 3.A【详解】由同-a+,得云2=d+2a6+无，则a.6=-= 2 2 则6aa=-d:是1=月 4B【详解】由恩意得2=V5,故b=V5a,即62=3，又B=c-d,故c=4, 可得=2，故C的离心率为2. 5.C【详解】设棱台的上下底面中心分别为O,O,设正四棱台的高为h, 则正四楼台的体积为r-号×Q+9+9xh=5,则h=00=2, A B 40=4c=+3-35,40=4c=FT=5 A 2 2 设球F的半径为R,OF=α，若该正四棱台外接球球心F在线段O,O上， 则OF=2-a,由lAF卡AF可得 +ad2= 2 2 +(2-a)2, 2 解得a0: 若该正四棱台外接球球心F在线段O1O的延长线上， 则OF=2+a,由lAF卡AF可得 3v2 +(2+a)}, 解得a=0, 故外接球球心F与O重合，放R=32 2 则该四棱台的外接球表面积为4πR=18π. 6.A【详解】4名同学各自有5种选择，故共有54=625种选择， 小明去济南，且4人中恰有两人去同一城市分为两种情况， ①除小明外的3人中有1人和小明组成一队，此时有C种选择， 剩余的2人从剩余的4个城市中各选一个，有A4种选择， 故此时有CA=36种选择： 答案第1页共8页 高三 数学 ②除小明外的3人中有2人组成一队，和单独的1人从剩余的4个城市中各选一个， 此时有CA=36种选择，综上，共有36+36=72种选择， 故概率为625 72 7B【详解】由cosa-c0s6=-1 31 得cosa+P,&-E) (2 j-cos a-n (22F3 即csa+E。n 2 2-cos4+B 2cos sin csin c 2 2 3 nnmg2-60 2 ima-m-克有n(生“：)maea片 气22 (222 +c0581B 即sin+Bcos-B insinco a-B sin -B 1 2 2 2 2 2 2 2 23 即cosg+Esin-,@ 2 24 由于sn“,E≠0，故O2两式相除得am+B_名 2 23 8.D【详解】因为函数f(x)的定义域为R且是偶函数，所以f(-x)=∫(x), 因为f(3.x+1)为奇函数，所以f(3x+1)=-f(-3x+1), 令t=3x+1,得3x=t-1,即-3x+1=2-t, 即f(t)=-f(2-t),即f(x)=-f(2-x),故A正确： 因为f(x)=-f(2-x), 所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，故B正确： 由f(x)=-f(2-x)及f(-x)=f(x),得f(-x)=-f(2-x),即f(x)=-f(x+2), 即f(x+4)=-f(x+2)f(x),故4为函数f(x)的一个周期，故C正确： 对于D,由f(x)=-f(2-x),令x=1,则f1)=-f1),所以f(1)=0, 所以f(2029)=f(1+4×507)=f(1)=0,故D错误 二、选择题 9.ABD【详解】因为OC:(x-2)+(y-2=16关于直线x+y-5=0对称， 所以C(2,a)在x+y-5=0上，则有2+a-5=0,解得a=3,故A正确： 则G(2,3),半径片=4，⊙C2:x-1)+y+1)=1,则C(1,-1),半径5=1， 「2k+b=3,。「k=4, 设经过Cc,的直线方程为-h+b,则次+b-一解得6=5， 则经过CC的直线方程为=4x-5,故B正确： 因为CC=√(2-1}+3+1=M7,5+5=4+1=5,1-5=4-1=3,3<17<5,所以-<cc<+5, 故OC1与OC2相交，则OC与OC2的公切线的数量为2，故C错误： 因为⊙C与⊙C2相交，则PQ的最大值为CC+1+5=√17+5，故D正确. 10.ABC【详解】由题意得an-1=3。-2-1=3a.-),又a.-1≠0，所以1-1-3， 4-1 因此数列a,一乃是以4-1=1为首项，3为公比的等比数列，故A正确； 答案第2页共8页 高三 数学 所以-1=13=3，所以4=3+1，故B正确： 所以S=(3°+3++3m-)+1+1++1) -30-3】+m 1-3 3”-1 2+n, 故C正确； b.=log(aH-D=log,3”=,故=” 4-40 所以Z=1+2 442 4n 12 所以平++ n 4+1, 两式相减，得工= 11 42++ 1 n 4-4+ 里 4 n43n+4 ,故D错误 1,AD【详解】因为抛物线C:y=2px经过点(2，-2W2),可得(-2V)=2px2,解得p=2,故A正确： 因为p=2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)， 所以抛物线C上的点到点(1,0)的距离等于到准线x=-1的距离， 所以抛物线C上的点到点(1,0)和(2,2)的距离之和的最小值为点(2,2)到准线x=-1的距离，为3，故B 错误： 当m=1时，直线1：y=x-2, y2=4x 联立方程组 y=x-2整理得r-8r+4=0, 方程x2-8x+4=0的判别式4=64-16=48>0， 设A(5,片)，B(5,乃2)，则x1+3=8,x2=4, 所以AB到=1+FV(x+5}-4x5=V2×V64-16=46, 又由0到直线：-y-2=0的距离d-D0-3-及， 1+(-1)月 所以0AB的面积SeAd=45,敢C错误： 联立方程组 且2整理得少-4w-8=0, 设A(5,片)，B(6,y3),则4=(-4m+32>0且片+为=4m,乃=-8， 不妨设A在第一象限，则A在曲线y=2(K>0)上，则有V左 则在A(;)处的切线方程为y-= 答案第3页共8页 高三 数学 又由2=45，可得在A处的切线方程为y=2x+上 片2 同理可得，点B在曲线y=-2Gx>0)上，则有y=- 随在医)处的切线方产为=方在-).且-4钙。 所以在5处的切线方程为y=2x+上， 2 y=2x+为 联立方程组 2 ，解得x=坐=-2，所以点P在定直线x=-2上，故D正确 y三 2x+2 4 32 三、填空题 12.4【详解】由题意得 4+d=1, 4+4幼=-互解 d2所以a=-2n+5,所以8=m3+0,-(2. 4=3, 2 所以S.=-m+4n=-(n-2)2+4, 所以当n=2时，Sn有最大值S2=4. 13.(-0,-1)U(0,+w)【详解】当x≥1时，由l0g2(x+2)>1,得x+2>2,即x>0,所以x>0; 当x<-1时，由2-1>1，得2>2，即-x>1,即x<-1, 综上，x<1或x>0, 所以原不等式的解集为(-0，-1)U(0,+∞) 14.4√5π【详解】在△ABC中，AC=BC=2√万，AB=4,D为AB的中点， 则∠ACB=90°，CD⊥AB,则DC=AD=BD=2. 在三棱锥A'-BCD中，CD⊥A'D,CD⊥BD,A'D,BDC平面A'BD且AD∩BD=D, 所以CD⊥平面A'BD. 因为∠ADB=90°，A'D=BD=2,所以AB=2√2， 取AB的中点E,连接DE,则DE=√互， 过E作EF∥CD,则EF⊥平面A'DB, 所以三棱锥C-ABD的外接球球心必在EF上，如图， 设球心为O,球的半径为R,则oB=cD=1, OD2=DE2+OE2,即R2=(W}+1,解得R=√5， 所以三棱锥C-ABD的外接球的体积为号R=4m。 四、解答题 15.解：(1)由图可得组距为50，根据频率和为1， 得50×(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)=1, 解得x=0.0044 3分 (2)由图可得第一组[50,100)的频率为50×0.0024=0.12， 第二组[100,150)的频率为50×0.0036=0.18， 第三组[150,200)的频率为50×0.0060=0.30， 因为前两组的累计频率为0.12+0.18=0.3， 前三组的累计频率为0.12+0.18+0.30=0.6， 所以中位数位于第三组[150,200)内 6分 答案第4页共8页 高三 数学 设中位数为m,则0.3+(-150)×0.0060=0.5， 解得m=550 8分 3 (3)用电量小于150kW.h的频率为0.12+0.18=0.3， 所以用频率估计概率，从该小区随机抽取1户居民用户，其用电量小于150kW.h的概率p=0.3.10分 从该小区抽取10户居民用户，设X表示用电量小于150kW.h的户数， 则X服从二项分布B(10,0.3), 则E(X)=10×0.3=3. 13分 16.(1)证明：设4B中点为0，连接PO,CO, 则OP⊥AB,OC⊥AB, 2分 所以OB=2,P0=4,C0=2N2, 故PC2=PO+C02,所以OP⊥OC,4分 又ABOOC=O且AB,OCc平面ABC,则OP⊥平面ABC, 又OPc平面PAB, 所以平面PAB⊥平面ABC 7分 (2)解：以O为原点，OA方向为x轴正方向，OC方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向建立如图所 示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0),B(-2,0,0),C(0,2√2,0)，P(0,0,4), E为BC中点，即E(-1,V2,0),F为AC中点，即F1,V2,0), PC=(0,2W2,4),PE=(-1,V2,-4),PF=1,V2,-4). 10分 设平面PEF的一个法向量h=（x,少，z), mPE=-x+V2y-4:=0 则 4PF=x+V2y-4:=0 取：=√2，则y=4,x=0,故%=(0,4，V2, 设直线PC与平面PEF所成角为O, PC.n 4v2 则sin8 =6 2W√6x3W29 15分 17.解：(1)由题意得sim2B-cos2A+cos2C+sinA+cos2A-1=√3 sin Asin E, 即sin2B+sinA-sin2C=√3 sin A sin B, 由正弦定理得a+b2-c2=5ab,则cosC-a+bB-c2=3 4分 2ab 2 因为c(0引 所以c= 6分 (2)如图，延长AF交BC于D,延长BF交AC于E, 根据题意可得BC⊥AD,BE⊥AC. 因为4C4 ,所以∠PBD=∠FAC=T 设∠FCD=a,且a∈O, 6 则FD=6sina,BF= FD 6sind=4 3sinc, 3 Sin 答案第5页共8页 高三 数学 同可得A=4Na(后2 10分 (6 则AP-BF=4na+4Nn合Q =452 因为a) 所以a(品 12 4 π-1x2,326+2 2=8342222 cos 12 4 所以a 所以AF+BF的取值范围是(2V3,6V5-26]: 15分 18.(1)解：由题意得ax2=2+2=4, 所以椭圆c:+上-1,3分 42 (2)证明：设椭圆C的左焦点为耳，连接BF,AF1, 由椭圆的对称性知BF=A, 因为P,2分别为线段AF,AB的中点， 所以Pg=B=A, 6分 又因为P列A, 所以PO+PA=,0A+AF)=a=2,即为定值 9分 B (3)解：设点A(,), 因为A,B关于y轴对称， 所以B(-,%), 所以k:广万 6 -瓦--√22-好 12分 因为点A(,)在C上， 所5互=1.即对=2李代入上式相到如2一房受 26 4-号， 42 因为P,Q分别为线段AF,AB的中点， 所以PQ∥BF, 若∠QPF=90,则P2⊥AF，即BF⊥AF,此时kAFKBF=-1, 是1，解得-6-号 即 4-2 16分 答案第6页共8页 高三 数学 所以存在点A 26,6426,6成265成4 26-V6 33 (3, 3 33 3 9-3 使得∠QPF=90° 17分 19.(1)解：∫(x)的定义域为(0，+o), 函数f(x)=aea-lnx(a>0)有两个零点， 即方程axex=xnx=lnxe血x有两个解. 2分 因为a>0,所以e“恒大于0，所以xnx恒大于0，可得x>l, 设g(x)=e,x>0, 则原方程可化为g(ax)=g(lnx), g'(x)=(x+l)e>0, 则g(x)在(0，+o)上单调递增， 所以a=nx,即a=血x 5分 x 设()=血，>l,则()=-nx 当x∈(L,e)时，H(x)>0,h(x)单调递增， 当x∈(e,+o)时，H(x)<0,h(x)单调递减，且h(x)恒大于0， Inx he)=, h(x)= e y=a 画出h(x)的图象如图所示， 要使a=血x有两个解，即y=a与h(y)的图象有两个交点， X2 x x 由图象可得a份取值范围是o日， 8分 (2)证明：由（①）得a= 血￥=lhx=nx-hx X2 2-X1 1+5ns 所以+6= (+)(Inx-Inx) ￥步 10分 a(-) -1 a 设1=点，则t>1,出+x= (t+1)Int 12分 X a(t-1) 设H0)=nt-2-1) ,t>1, t+1 w品 所以H(t)在(1，+∞)上单调递增，所以H(t)>H(1)=0, 所以《+)t >2, 15分 t-1 又由于0<a<,所以>e, 1 e 所以x+x3>2e. 17分 答案第7页共8页 高三 数学 开学考数学细目表 题号 题型 分值 考查的主要内容及知识点 难度 1 单选题 5 复数的混合运算 易 2 单选题 5 集合的交集运算 易 3 单选题 向量的数量积，向量的模 易 单选题 双曲线的离心率 易 5 单选题 J 棱台的体积和外接球 易 6 单选题 分类加法计数原理，事件概率的求解 易 7 单选题 三角恒等变换 易 8 单选题 5 函数奇偶性和周期性的应用 中难 9 多选题 6 直线与圆的综合 易 10 多选题 6 数列的通项公式与前n项和 易 11 多选题 6 抛物线与直线的综合 中 12 填空题 5 等差数列的前n项和 易 13 填空题 5 分段函数与不等式 易 14 填空题 5 棱锥的外接球问题 中 15 解答题 13 频率分布直方图的应用 易 16 解答题 15 面面垂直的证明，直线与平面所成角 易 17 解答题 15 正、余弦定理解三角形 中 18 解答题 17 椭圆与直线的综合 中 19 解答题 17 函数零点，导数研究单调性与不等式证明 难 答案第8页共8页高三数学试卷 满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1,答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡 规定的位置上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应 的区域内，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知复数之满足2z-之=33十3，则|x= A.√5 B.10 C.2 D.3 2.已知集合A={x1|x-1≤1)，B={xx3x,则A∩B= A.{-1,0,1,2} B.{0,1,2} C.{0,1) BD.(1} 3.已知向量a,b满足a=1,|b|=|a+b1,则(3b-a)·a的值为 .3 A.-5 2 B.-2 D.2 4. 已知双曲线C:-:=1(a>0,6>0)的一条渐近线的斜率为3，则C的离心率 A.5 B.2 C.2 D.4 5.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=1,AB=3,若该四棱台的体 D 26 积为兮，则该四棱台的外接球表面积为 A.12π B.16π C.18π D.27π 6.鲁菜是中国八大菜系中历史最悠久、技法最丰富、最见功力的菜系，是黄河流域烹饪文化的代表， 当走进山东，人们感受到的不仅是一道道的美食，更是一份传承了千年之久的深厚文化底蕴以及 热情好客之道.小明和3名同学决定探访山东美食文化，计划打卡济南、青岛、潍坊等五个城市。 若4人各自独立且等可能地从5个城市中任选一个，则小明去济南，且恰有一个城市有2人，其 余2人分别选择另外两个不同城市的概率为 72 A.625 108 B.625 36 C. 144 D. 625 125 高三数学试卷第1页（共4页） 7.已知cosa一cosB= 3'sin a-sin B= 2则an十 1 2 A.3 B号 c n音 8。已知f(x)的定义域为R,(x)为偶函数，f(3红十1D为奇函数，则下列说法错误的是 A.f(x)=-f(2-x) C.4为函数f(x)的一个周期 B.f(x)的图象关于点(1,0)中心树称 D.f(2029)=1 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知0C1:(x-2)2+(y-a)2=16关于直线z+y-5=0对称，⊙C,:(x-1)2+(y+1)2= 1,则 A.a=3 B.经过CC2的直线方程为y=4x-5 C.⊙C1与⊙C2的公切线的数量为3 D.若P,Q分别是圆C1与圆C2上的点，则|PQ|的最大值为7+5 10.在数列{an}中，a1=2,am+1=3am-2,n∈N.则 A.数列{an一1}为等比数列 B.数列{an}的通项公式为an=3”-1+1 C数列a}的前n项和s,=3”,1+ D若6.=log,a+1-1),则数列}的前n项和T.-。3n+ 93·4” 11.已知抛物线C:y2=2px经过点(2，一2√2)，直线l:x=my十2与C交于A,B两点，则 A.力=2 B.抛物线C上的点到点(1,0)和(2,2)的距离之和的最小值是2√2+1 C.当m=1时，△OAB的面积S△oAB=63 D.过点A,B分别作抛物线C的切线交于点P,则点P在定直线上 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等差数列{am}中，a2=1,a6=一5，则{an}的前n项和Sm的最大值为 log2(x+2),x≥-1， 13.已知函数f(x)= 22-1,x<-1, 则不等式f(x)>1的解集为 14.如图1，在△ABC中，AC=BC=22,AB=4,D是线段AB的中点.将△ACD沿CD所在直线 翻折得到三棱锥CA'BD,如图2，若∠A'DB=90,则三棱锥C-A'BD外接球的体积 为 图1 图2 高三数学试卷第2页（共4页） 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15。(13分)从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50一350kW·h 之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），得到如下频率分布 直方图 (1)求直方图中x的值； (2)估计该小区用户月用电量的中位数； (3)用频率估计概率，假设各户月用电量是否小于150kW·h相互独立，从该小区随机抽取10 户居民用户，X表示月用电量小于150kW·h的户数，求E(X). 个频率组距 0.0060 0.0036 0.0024 0.0012 050100150200250300350月用电量/kW·h) 16.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB,△ABC均为等腰三角形，AB=4,PA=PB=25, BC=AC=23,PC=2√6，E,F分别为BC,AC的中点. (1)证明：平面PAB⊥平面ABC; (2)求直线PC与平面PEF所成角的正弦值 17.(15分)在锐角三角形ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinB-cos2A+cos2C= √3 sin Asin B. (1)求C; (2)若点F为△ABC的垂心，CF=6,求AF+BF的取值范围， 高三数学试卷第3页（共4页） 18.（17分)已知椭圆C,三十=1，F(2,0为C的右焦点，点A,B在C上，且关于y轴对称，P, Q分别为线段AF,AB的中点，O为坐标原点. (1)求C的方程； (2)证明：|PQ|+|PF|是定值； (3)是否存在点A,使得∠QPF=90°，若存在，求出点A坐标；若不存在，请说明理由。 19.(17分)已知函数f(x)=ae-lnx(a>0)有两个零点x1,x2,且x1<x2 (1)求实数a的取值范围； (2)证明：x1+x2>2e. 高三数学试卷第4页（共4页）